Množenje tri razlomka s različitim nazivnicima. Formula za množenje razlomaka. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Množenje običnih razlomaka

Razmotrimo primjer.

Neka je na tanjuru $\frac(1)(3)$ dio jabuke. Moramo pronaći njegov dio $\frac(1)(2)$. Traženi dio rezultat je množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak.

Množenje dva obična razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka razlomkom je razlomak čiji je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženih razlomaka, a nazivnik jednak umnošku nazivnika:

Primjer 1

Pomnožite obične razlomke $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Odluka.

Upotrijebimo pravilo množenja običnih razlomaka:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Odgovor:$\frac(15)(77)$

Ako se kao rezultat množenja razlomaka dobije poništivi ili nepravilni razlomak, onda ga je potrebno pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Odluka.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kao rezultat, dobili smo reducibilni razlomak (na temelju dijeljenja s $3$. Podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s $3$, dobivamo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Odgovor:$\frac(1)(24).$

Kada množite razlomke, možete smanjiti brojnike i nazivnike da biste pronašli njihov proizvod. U ovom slučaju, brojnik i nazivnik razlomka se rastavljaju na primarni čimbenici, nakon čega se ponovljeni faktori smanjuju i rezultat se nalazi.

Primjer 3

Izračunajte umnožak razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Odluka.

Koristimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očito, brojnik i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu smanjiti za brojeve $2$, $3$ i $5$. Razlažemo brojnik i nazivnik na jednostavne faktore i činimo redukciju:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Odgovor:$\frac(1)(20).$

Prilikom množenja razlomaka može se primijeniti komutativni zakon:

Množenje razlomka prirodnim brojem

pravilo množenja obični razlomak za prirodan broj:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka s prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $\frac(a)(b)$ običan razlomak, $n$ je prirodan broj.

Primjer 4

Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ s $4$.

Odluka.

Upotrijebimo pravilo množenja običnog razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja za kontraktibilnost razlomka ili za nepravilan razlomak.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ s $3$.

Odluka.

Upotrijebimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Po kriteriju dijeljenja brojem $3$) može se odrediti da se dobiveni razlomak može smanjiti:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Također je bilo moguće smanjiti razlomke zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim proširenjima u proste faktore. U ovom slučaju rješenje se može napisati na sljedeći način:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Odgovor:$1\frac(2)(5).$

Kada množite razlomak prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:

Podjela običnih razlomaka

Operacija dijeljenja je inverzna od množenja i njen rezultat je razlomak s kojim trebate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznati umnožak dvaju razlomaka.

Dijeljenje dva obična razlomka

Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka: Očito, brojnik i nazivnik rezultirajućeg razlomka mogu se rastaviti na jednostavne faktore i smanjiti:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak iz kojeg biramo cijeli broj:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Odgovor:$1\frac(5)(9).$

Obični razlomčki brojevi prvi put susreću školarce u 5. razredu i prate ih kroz život, budući da je u svakodnevnom životu često potrebno uzeti u obzir ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - udio. Dionice su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zgnječiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII stoljeću se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom jeziku.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se "razbijeni brojevi", što je bilo vrlo teško prikazati u razumijevanju ljudi.

moderan izgled jednostavne frakcijske ostatke, čiji su dijelovi odvojeni precizno vodoravnom linijom, prvi su pridonijeli Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi datirani su 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se množenje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti sorte frakcija:

• ispravan;
• pogrešno;
• mješoviti.

Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa lako je formulirati neovisno: rezultat množenja prosti razlomci s istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika zadanih razlomaka. Naime, novi nazivnik je u početku kvadrat jednog od postojećih.

Prilikom množenja prosti razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomka biti umnožak različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine za smanjenje frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika s brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Za razmatranje je dano nekoliko primjera.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju formulom:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav proizvod je zbroj identičnih razlomaka, a broj pojmova označava ovaj prirodni broj. poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti nazivnik s ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način da se mješoviti razlomak predstavi kao nepravilan razlomak, a može se predstaviti i kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemu se nazivnik novog razlomka tvori množenjem cjelobrojnog dijela s nazivnikom i dodavanjem brojniku izvornog razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces također radi obrnutim putem. Da biste odabrali cijeli broj i razlomki ostatak, trebate podijeliti brojnik nepravilnog razlomka s nazivnikom s "uglom".

Množenje nepravih razlomaka proizveden na uobičajeni način. Kada unos ide ispod jednog razlomka, prema potrebi, trebate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve ovom metodom i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih problema. matematički problemi u raznim programima. Dovoljan broj takvih usluga nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka s različite brojeve u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za izračun razlomaka. Oni su sposobni ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješoviti brojevi. Lako je raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, znak je odabran matematička radnja i kliknite na "izračunaj". Program broji automatski.

Predmet aritmetičke operacije s razlomcima je relevantan u cijelom obrazovanju srednjoškolaca i starijih škola. U srednjoj školi više ne razmišljaju o najjednostavnijim vrstama, ali cjelobrojni frakcijski izrazi, ali poznavanje pravila za transformaciju i izračune, dobiveno ranije, primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro naučeno osnovno znanje daje puno povjerenje u dobra odluka najviše izazovni zadaci.

Zaključno, ima smisla navesti riječi Lava Tolstoja, koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik – svoje zasluge, ali svatko može smanjiti svoj nazivnik – svoje mišljenje o sebi i time se približiti svom savršenstvu.

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima

Zbrajanje razlomaka je dvije vrste:

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Počnimo sa zbrajanjem razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjen:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2 Dodajte razlomke i .

Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, tada je uobičajeno riješiti se nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljena s dva jednako je jedan:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjen:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobit ćete pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Moraju se dodati brojnici, a nazivnik ostati nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom zbrajanja razlomaka nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu zbrajati odjednom, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina za smanjenje razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.

Bit ove metode leži u činjenici da se traži prvi (LCM) nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i s drugim razlomkom - LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajte razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Najprije podijelimo LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i iznad nje zapišemo pronađeni dodatni faktor:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu crtu iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pomno do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati slikom. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika bit će što će se ovaj put podijeliti na jednake udjele (svedene na isti nazivnik).

Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Stavljajući ove dijelove zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu istaknuli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pizza i još jedna šesta pizza).

Imajte na umu da smo slikali dati primjer previše detaljan. NA obrazovne ustanove nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožiti dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i nazivnici. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako se na prvim fazama studija matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Nađi LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo se gornjim uputama.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Nađi LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

LCM podijelite nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 s 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada LCM dijelimo nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima

Brojnike i nazivnike množimo našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Zbrojiti:

Dodatak nije stao u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dopušteno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan redak, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog retka i na početak nova linija. Znak jednakosti u drugom retku označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu

Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:

Dobio odgovor

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Za rješavanje ovog primjera potrebno je brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjen:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka trebate oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
2. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo po istom principu koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) nazivnik.

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 s 3, dobijemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 s 4, dobijemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Dobio odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze.

Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ti će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo trebate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Nađite LCM nazivnika tih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik tih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada ćemo pronaći dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 s 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Odgovor se pokazao točnim razlomkom, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo to olakšati. Što može biti učinjeno? Ovu frakciju možete smanjiti.

Da biste smanjili razlomak, trebate njegov brojnik i nazivnik podijeliti s (gcd) brojevima 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim GCD, odnosno s 10

Dobio odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste razlomak pomnožili brojem, trebate brojnik zadanog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka brojem 1

Unos se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i množitelj izmijene, onda se umnožak neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet, funkcionira pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovice jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka sa 4

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množitelj na mjestima, dobit ćemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza.

Dobio odgovor. Poželjno je smanjiti zadani razlomak. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako uzeti dvije trećine od ove polovice? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Dobit ćemo pizzu. Zapamtite kako izgleda pizza podijeljena u tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak, ali bit će dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti najvećim zajednički djelitelj(gcd) brojevi 105 i 450.

Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD koji smo sada pronašli, to jest, sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati s vrlo zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Je li moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži s 5, daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga na dva jednaka mjesta. Koliko će pizza dobiti svaki?

Vidi se da su nakon cijepanja polovice pizze dobivene dvije jednake kriške od kojih svaka čini pizzu. Tako svi dobivaju pizzu.

Podjela razlomaka vrši se pomoću recipročnih vrijednosti. Recipročne vrijednosti vam omogućuju da dijeljenje zamijenite množenjem.

Da biste razlomak podijelili brojem, trebate ovaj razlomak pomnožiti s recipročnim djeliteljem.

Koristeći ovo pravilo, zapisati ćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je 2.

Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, trebate pomnožiti s

U srednjoškolskom i srednjoškolskom tečaju učenici su proučavali temu "Razlomci". Međutim, ovaj koncept je mnogo širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Što je razlomak?

Povijesno se dogodilo da su se razlomci pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri za određivanje duljine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se studenti upoznaju s takvim konceptom kao udio. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, tada će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovicom; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Unosi poput 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se običnim razlomcima. Obični razlomak dijeli se na brojnik i nazivnik. Između njih je frakcijska crta, ili frakcijska crta. Frakcijska traka može se nacrtati kao vodoravna ili nagnuta linija. U ovom slučaju, to je znak podjele.

Nazivnik predstavlja na koliko jednakih udjela je podijeljena vrijednost; a brojnik je koliko je uzeto jednakih udjela. Brojnik je napisan iznad razlomka, nazivnik ispod njega.

Najprikladnije je prikazati obične razlomke na koordinatni snop. Ako podijelite jedan segment na 4 jednaka dijela, svaki dio označite latiničnim slovom, tada možete dobiti izvrsnu vizualnu pomoć. Dakle, točka A pokazuje udio jednak 1/4 cijelog segmenta jedinice, a točka B označava 2/8 ovog segmenta.

Sorte frakcija

Razlomci su uobičajeni, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova je klasifikacija prikladnija za obične frakcije.

Pod, ispod pravi razlomak razumjeti broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz se sastoji od cjelobrojnog dijela i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli broj, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Točan frakcijski izraz je uvijek manji od jedan, a netočan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik razlomka može izraziti kroz jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak točan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti nula.

Da biste napisali decimalu, prvo morate napisati cijeli broj, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati frakcijski izraz. Treba imati na umu da brojnik nakon zareza mora sadržavati onoliko brojčanih znakova koliko ima nula u nazivniku.

Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

Netočno je zapisivati ​​nepravilan razlomak u odgovoru zadatka, pa ga se mora pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
• u konkretan primjer nepotpuni količnik - cijeli;
• a ostatak je brojnik razlomka, pri čemu nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvori nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5 .

Odluka. 47: 5. Nepotpuni kvocijent je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

• cijeli se dio množi nazivnikom razlomka;
• rezultirajući proizvod se dodaje brojniku;
• rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Izrazite broj u mješovitom obliku kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10 .

Odluka. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojnik.

Odgovor: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Na običnim razlomcima možete izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka s različitim nazivnicima ne razlikuje se od umnožaka razlomaka s istim nazivnicima.

Događa se da nakon pronalaska rezultata trebate smanjiti razlomak. NA bez greške rezultirajući izraz treba pojednostaviti što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.

Primjer. Pronađite umnožak dvaju običnih razlomaka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaska proizvoda dobiva se reducibilni razlomak. I brojnik i nazivnik u ovom slučaju su djeljivi sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po svom se principu prilično razlikuje od umnoška običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:

• dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
• trebate množiti napisane brojeve, unatoč zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
• broji broj znamenki iza zareza u svakom od brojeva;
• u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova s ​​desne strane koliko ih sadrži zbroj oba faktora nakon decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
• ako je u umnošku manje znamenki, onda se ispred njih mora napisati toliko nula da pokrije ovaj broj, staviti zarez i dodijeliti cijeli broj jednak nuli.

Primjer. Izračunaj umnožak dviju decimala: 2,25 i 3,6.

Odluka.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dvaju mješovitih razlomaka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
• pronaći umnožak brojnika;
• pronaći umnožak nazivnika;
• zapišite rezultat;
• pojednostaviti izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 4½ i 6 2 / 5.

Množenje broja s razlomkom (razlomci s brojem)

Osim pronalaženja umnoška dva razlomka, mješovitih brojeva, postoje zadaci u kojima trebate množiti razlomkom.

Dakle, da biste pronašli umnožak decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

• upiši broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
• pronaći posao, unatoč zarezu;
• u dobivenom rezultatu odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući s desne strane broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.

Da biste obični razlomak pomnožili brojem, trebali biste pronaći umnožak brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor reducibilni razlomak, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunaj umnožak 5/8 i 12.

Odluka. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovor: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti dobiveni rezultat i pretvoriti netočan razlomak u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka vrijedi i za pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli broj mješovitog faktora pomnožiti s brojem, pomnožiti brojnik s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 9 5 / 6 i 9.

Odluka. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovor: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Iz prethodnog stavka proizlazi sljedeće pravilo. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju nakon jedan.

Primjer 1. Pronađite umnožak 0,065 i 1000.

Odluka. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovor: 65.

Primjer 2. Pronađite umnožak 3,9 i 1000.

Odluka. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovor: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem umnošku za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, ispred prirodnog broja upisuje se dovoljan broj nula.

Primjer 1. Pronađite umnožak 56 i 0,01.

Odluka. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovor: 0,56.

Primjer 2. Pronađite umnožak 4 i 0,001.

Odluka. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovor: 0,004.

Dakle, pronalaženje proizvoda razne frakcije ne bi trebao uzrokovati poteškoće, osim za izračun rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

U ovom članku ćemo analizirati množenje mješovitih brojeva. Prvo ćemo izraziti pravilo za množenje mješovitih brojeva i razmotriti primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera. Zatim ćemo govoriti o množenju mješovitog broja i prirodnog broja. Na kraju ćemo naučiti kako množiti mješoviti broj i obični razlomak.

Navigacija po stranici.

Množenje mješovitih brojeva.

Množenje mješovitih brojeva može se svesti na množenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, dovoljno je pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke.

Zapišimo pravilo množenja mješovitih brojeva:

• Prvo, mješoviti brojevi koji se množe moraju se zamijeniti nepravilnim razlomcima;
• Drugo, morate koristiti pravilo množenja razlomka s razlomkom.

Razmotrite primjere primjene ovog pravila pri množenju mješovitog broja s mješovitim brojem.

Izvršite množenje mješovitih brojeva i .

Prvo, predstavljamo pomnožene mješovite brojeve kao nepravilne razlomke: i . Sada možemo zamijeniti množenje mješovitih brojeva množenjem običnih razlomaka: . Primjenom pravila množenja razlomaka dobivamo . Rezultirajući razlomak je nesvodljiv (vidi svodljivi i nesvodljivi razlomci), ali je netočan (vidi redoviti i nepravilni razlomci), stoga, da bismo dobili konačni odgovor, ostaje izdvojiti cijeli broj iz nepravilnog razlomka: .

Napišimo cijelo rješenje u jedan red: .

.

Da biste konsolidirali vještinu množenja mješovitih brojeva, razmotrite rješenje drugog primjera.

Izvršite množenje.

Smiješni brojevi i jednaki su razlomcima 13/5 i 10/9. Zatim . U ovoj fazi, vrijeme je da se prisjetimo redukcije razlomaka: sve brojeve u razlomku ćemo zamijeniti njihovim proširenjima u proste faktore, te ćemo izvršiti redukciju istih faktora.

Množenje mješovitog broja i prirodnog broja

Nakon zamjene mješovitog broja nepravilnim razlomkom, množenje mješovitog broja i prirodnog broja svodi se na množenje običnog razlomka i prirodnog broja.

Pomnožite mješoviti broj i prirodni broj 45 .

Mješoviti broj je dakle razlomak . Zamijenimo brojeve u rezultirajućem razlomku njihovim proširenjima u proste faktore, napravimo smanjenje, nakon čega odabiremo cijeli broj: .

.

Množenje mješovitog broja i prirodnog broja ponekad se prikladno izvodi korištenjem distributivnog svojstva množenja s obzirom na zbrajanje. U ovom slučaju, umnožak mješovitog broja i prirodnog broja jednak je zbroju umnožaka cjelobrojnog dijela na zadani prirodni broj i razlomka na zadani prirodni broj, tj. .

Izračunajte proizvod.

Mješoviti broj zamjenjujemo zbrojem cjelobrojnog i razlomka, nakon čega primjenjujemo distributivno svojstvo množenja: .

Množenje mješovitog broja i običnog razlomka najprikladnije je svesti na množenje običnih razlomaka, predstavljajući pomnoženi mješoviti broj kao nepravilan razlomak.

Mješoviti broj pomnožite običnim razlomkom 4/15.

Zamjenom mješovitog broja s razlomkom, dobivamo .

www.cleverstudents.ru

Množenje razlomaka

§ 140. Definicije. 1) Množenje razlomka cijelim brojem definira se na isti način kao i množenje cijelih brojeva, naime: pomnožiti neki broj (množitelj) cijelim brojem (množitelj) znači napraviti zbroj identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, množenje sa 5 znači pronaći zbroj:
2) Pomnožiti neki broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Dakle, pronalaženje razlomka zadanog broja, koji smo prije razmatrali, sada ćemo nazvati množenje razlomkom.

3) Pomnožiti neki broj (množitelj) s mješovitim brojem (faktorom) znači pomnožiti množitelj prvo s cijelim brojem faktora, zatim s razlomkom faktora, i zbrojiti rezultate ova dva množenja zajedno.

Na primjer:

Broj dobiven nakon množenja se u svim tim slučajevima naziva raditi, tj. na isti način kao kod množenja cijelih brojeva.

Iz ovih definicija jasno je da je množenje razlomaka radnja koja je uvijek moguća i uvijek nedvosmislena.

§ 141. Svrsishodnost ovih definicija. Da bismo razumjeli svrsishodnost uvođenja posljednje dvije definicije množenja u aritmetiku, uzmimo sljedeći problem:

Zadatak. Vlak, krećući se ravnomjerno, putuje 40 km na sat; kako saznati koliko će kilometara ovaj vlak prijeći za zadani broj sati?

Da smo ostali pri toj jednoj definiciji množenja, koja je naznačena u aritmetici cijelih brojeva (zbrajanje jednakih članova), onda bi naš problem imao tri različita rješenja, i to:

Ako je zadani broj sati cijeli broj (na primjer, 5 sati), tada se za rješavanje problema 40 km mora pomnožiti s ovim brojem sati.

Ako je zadani broj sati izražen kao razlomak (na primjer, sati), tada ćete morati pronaći vrijednost ovog razlomka od 40 km.

Konačno, ako se zadani broj sati pomiješa (na primjer, sati), tada će biti potrebno pomnožiti 40 km s cijelim brojem sadržanim u mješovitom broju i rezultatu dodati onaj razlomak od 40 km kao što je u mješoviti broj.

Definicije koje smo dali omogućuju nam da damo jedan opći odgovor na sve ove moguće slučajeve:

40 km se mora pomnožiti sa zadanim brojem sati, ma kakav on bio.

Dakle, ako je zadatak predstavljen u opći pogled Tako:

Vlak koji se kreće jednoliko putuje v km na sat. Koliko će kilometara vlak prijeći za t sati?

onda, bez obzira na brojeve v i t, možemo izraziti jedan odgovor: željeni broj se izražava formulom v · t.

Bilješka. Pronalaženje nekog razlomka zadanog broja, prema našoj definiciji, znači isto što i množenje zadanog broja ovim razlomkom; stoga, na primjer, pronaći 5% (tj. pet stotinki) određenog broja znači isto što i množenje zadanog broja sa ili s; pronalaženje 125% zadanog broja isto je kao množenje tog broja sa ili s , itd.

§ 142. Bilješka o tome kada se broj povećava, a kada smanjuje od množenja.

Od množenja s pravim razlomkom broj se smanjuje, a od množenja s nepravilnim razlomkom broj se povećava ako je ovaj nepravilni razlomak veći od jedan, a ostaje nepromijenjen ako je jednak jedan.
Komentar. Prilikom množenja razlomaka, kao i cijelih brojeva, umnožak se uzima jednakim nuli ako je bilo koji od faktora jednak nuli, dakle,.

§ 143. Izvođenje pravila množenja.

1) Množenje razlomka cijelim brojem. Neka se razlomak pomnoži sa 5. To znači povećati se za 5 puta. Da bi se razlomak povećao za 5, dovoljno je povećati njegov brojnik ili smanjiti nazivnik za 5 puta (§ 127).

Tako:
Pravilo 1. Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, morate brojnik pomnožiti s ovim cijelim brojem, a nazivnik ostaviti istim; umjesto toga, nazivnik razlomka također možete podijeliti zadanim cijelim brojem (ako je moguće), a brojnik ostaviti istim.

Komentar. Umnožak razlomka i nazivnika jednak je brojniku.

Tako:
Pravilo 2. Da biste cijeli broj pomnožili razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i ovaj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.
Pravilo 3. Da biste razlomak pomnožili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i učiniti prvi umnožak brojnikom, a drugi nazivnikom proizvoda.

Komentar. Ovo pravilo može se primijeniti i na množenje razlomka cijelim brojem i cijelog broja razlomkom, samo ako cijeli broj smatramo razlomkom s nazivnikom jedan. Tako:

Dakle, tri sada navedena pravila sadržana su u jednom, koje se može izraziti u općem obliku na sljedeći način:
4) Množenje mješovitih brojeva.

Pravilo 4. Za množenje mješovitih brojeva, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilima za množenje razlomaka. Na primjer:
§ 144. Smanjenje u množenju. Prilikom množenja razlomaka, ako je moguće, potrebno je izvršiti preliminarnu redukciju, što se može vidjeti iz sljedećih primjera:

Takvo smanjenje se može učiniti jer se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se brojnik i nazivnik smanji u isti broj jednom.

§ 145. Promjena proizvoda s promjenom faktora. Kada se faktori promijene, umnožak razlomaka će se promijeniti na potpuno isti način kao i umnožak cijelih brojeva (§ 53), naime: ako povećate (ili smanjite) bilo koji faktor nekoliko puta, tada će se proizvod povećati (ili smanjiti) za isti iznos.

Dakle, ako je u primjeru:
da bi se pomnožilo nekoliko razlomaka, potrebno je pomnožiti njihove brojnike među sobom i nazivnike među sobom te prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi nazivnikom umnoška.

Komentar. Ovo pravilo se može primijeniti i na takve proizvode u kojima su neki faktori broja cijeli ili mješoviti, ako samo cijeli broj smatramo razlomkom čiji je nazivnik jedan, a mješovite brojeve pretvorimo u nepravilne razlomke. Na primjer:
§ 147. Osnovna svojstva množenja. U množenje razlomaka pripadaju i ona svojstva množenja koja smo naveli za cijele brojeve (§ 56, 57, 59). Navedite ova svojstva.

1) Proizvod se ne mijenja promjenom mjesta faktora.

Na primjer:

Doista, prema pravilu iz prethodnog stavka, prvi umnožak je jednak razlomku, a drugi je jednak razlomku. Ali ti su razlomci isti, jer se njihovi pojmovi razlikuju samo po redoslijedu cjelobrojnih faktora, a umnožak cijelih brojeva se ne mijenja kada se mijenjaju mjesta faktora.

2) Proizvod se neće promijeniti ako se bilo koja skupina čimbenika zamijeni njihovim proizvodom.

Na primjer:

Rezultati su isti.

Iz ovog svojstva množenja može se izvesti sljedeći zaključak:

da pomnožite broj s umnoškom, ovaj broj možete pomnožiti s prvim faktorom, pomnožiti rezultirajući broj s drugim itd.

Na primjer:
3) Distributivni zakon množenja (s obzirom na zbrajanje). Da biste zbroj pomnožili nekim brojem, možete svaki pojam pomnožiti s tim brojem zasebno i zbrojiti rezultate.

Ovaj zakon smo objasnili (§ 59) kao primijenjen na cijele brojeve. Ostaje istinito bez ikakvih promjena za razlomke.

Pokažimo, zapravo, da je jednakost

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(distributivni zakon množenja s obzirom na zbrajanje) ostaje istinit čak i kada slova znače razlomke. Razmotrimo tri slučaja.

1) Pretpostavimo prvo da je faktor m cijeli broj, na primjer m = 3 (a, b, c su bilo koji brojevi). Prema definiciji množenja cijelim brojem, može se napisati (ograničeno zbog jednostavnosti na tri pojma):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Na temelju asocijativnog zakona zbrajanja možemo izostaviti sve zagrade na desnoj strani; primjenom komutativnog zakona zbrajanja, a zatim opet zakona kombinacije, očito možemo prepisati desnu stranu na sljedeći način:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Dakle, distributivni zakon u ovom slučaju je potvrđen.

Množenje i dijeljenje razlomaka

Zadnji put smo naučili kako zbrajati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju razmatrati uglavnom množenje.

Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) smanjeni razlomak - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je redukcija na zajednički nazivnik: bez križnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u neispravne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ta pravila susrela samo pri zbrajanju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

1. Prekrižimo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je dovršena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, budući da nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Sve razlomke prevodimo u nepravilne, a zatim minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se prema uobičajenim pravilima. dobivamo:

Podsjetim još jednom da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se pomnože, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori i stoga se mogu smanjiti korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim su primjerima crvenom bojom označeni brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku ​​pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slične brojke koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Pogreška nastaje zbog činjenice da se prilikom zbrajanja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Kao što vidite, ispao je točan odgovor ne tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Množenje razlomaka.

Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.

Množenje razlomka s razlomkom.

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati umnožak brojnika i umnožaka nazivnika tih razlomaka.

Razmotrimo primjer:
Brojnik prvog razlomka množimo s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka također množimo s nazivnikom drugog razlomka.

Množenje razlomka brojem.

Počnimo s pravilom bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac \) .

Koristimo ovo pravilo za množenje.

Nepravilni razlomak \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) pretvoren je u mješoviti razlomak.

Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj s brojnikom i ostavite nazivnik nepromijenjen. Primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Za množenje mješovitih razlomaka, najprije morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim upotrijebiti pravilo množenja. Brojnik se množi s brojnikom, nazivnik se množi sa nazivnikom.

Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.

Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak s razlomkom?
Odgovor: umnožak običnih razlomaka je množenje brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom. Da biste dobili umnožak miješanih razlomaka, morate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.

Kako množiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno jesu li nazivnici razlomaka isti ili različiti, množenje se događa prema pravilu za pronalaženje umnoška brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom.

Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod prema pravilima množenja.

Kako pomnožiti broj s razlomkom?
Odgovor: Pomnožimo broj s brojnikom, a nazivnik ostavimo istim.

Primjer #1:
Izračunajte umnožak: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac \) b) \(\frac \puts 11\)

Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac \)?
Odgovor: \(\frac = 3\)

Primjer #4:
Izračunajte umnožak dviju recipročnih vrijednosti: a) \(\frac \times \frac \)

Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) prirodni brojevi u isto vrijeme?

Odluka:
a) Uzmimo primjer da odgovorimo na prvo pitanje. Razlomak \(\frac \) je točan, njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac \) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.

b) u gotovo svim nabrajanjima razlomaka ovaj uvjet nije zadovoljen, ali postoje neki brojevi koji istovremeno ispunjavaju uvjet da su nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilni razlomak je \(\frac \) , njegova recipročna vrijednost je \(\frac \). Dobivamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uvjetima kada su brojnik i nazivnik jednaki.

c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo kada brojimo npr. 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac \), tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac \). Razlomak \(\frac \) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac = \frac = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je taj broj 1.

Primjer #6:
Izvedite umnožak miješanih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac \) b) \(1\frac \puts 3\frac \)

Odluka:
a) \(4 \puta 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac\)

Primjer #7:
Mogu li dvije međusobno recipročne biti istovremeno mješoviti brojevi?

Pogledajmo primjer. Uzmite mješoviti razlomak \(1\frac \), pronađite ga recipročan, za to ga prevodimo u nepravilan razlomak \(1\frac = \frac \) . Njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac \) . Razlomak \(\frac \) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.

Množenje decimale prirodnim brojem

Prezentacija za lekciju

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

• Na zabavan način upoznati učenike s pravilom množenja decimalnog razlomka prirodnim brojem, bitnom jedinicom i pravilom izražavanja decimalnog razlomka kao postotak. Razvijati sposobnost primjene stečenih znanja u rješavanju primjera i zadataka.
• Razvijati i aktivirati logičko mišljenje učenika, sposobnost prepoznavanja i generaliziranja obrazaca, jačanje pamćenja, sposobnost suradnje, pružanja pomoći, vrednovanja svog i međusobnog rada.
• Razvijati interes za matematiku, aktivnost, mobilnost, sposobnost komunikacije.

Oprema: interaktivna ploča, plakat s cifargramom, plakati s izjavama matematičara.

1. Organiziranje vremena.
2. Usmeno brojanje je generalizacija prethodno proučenog gradiva, priprema za proučavanje novog gradiva.
3. Objašnjenje novog gradiva.
4. Domaća zadaća.
5. Matematički tjelesni odgoj.
6. Uopćavanje i sistematizacija stečenog znanja na igriv način uz pomoć računala.
7. Ocjenjivanje.

2. Dečki, danas će naša lekcija biti pomalo neobična, jer je neću provesti sam, već sa svojim prijateljem. I moj prijatelj je također neobičan, sad ćeš ga vidjeti. (Na ekranu se pojavljuje računalo za crtani film.) Moj prijatelj ima ime i zna pričati. Kako se zoveš prijatelju? Komposha odgovara: "Zovem se Komposha." Jeste li spremni danas mi pomoći? DA! Pa onda, krenimo s lekcijom.

Danas sam dobio šifrirani cifergram, ljudi, koji moramo zajedno riješiti i dešifrirati. (Na ploči je postavljen poster s usmenim računom za zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka, zbog čega dečki dobivaju sljedeći kod 523914687. )

Komposha pomaže dešifrirati primljeni kod. Kao rezultat dekodiranja dobiva se riječ MNOŽENJE. Množenje je ključna riječ teme današnje lekcije. Na monitoru se prikazuje tema lekcije: "Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem"

Ljudi, znamo kako se radi množenje prirodni brojevi. Danas ćemo pogledati množenje. decimalni brojevi na prirodan broj. Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem može se smatrati zbrojem članova, od kojih je svaki jednak ovom decimalnom razlomku, a broj članova jednak je ovom prirodnom broju. Na primjer: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Dakle 5,21 3 = 15,63. Predstavljajući 5.21 kao običan razlomak prirodnog broja, dobivamo

I u ovom slučaju dobili smo isti rezultat 15,63. Sada, zanemarujući zarez, uzmimo broj 521 umjesto broja 5,21 i pomnožimo zadanim prirodnim brojem. Ovdje moramo imati na umu da je u jednom od faktora zarez pomaknut dva mjesta udesno. Množenjem brojeva 5, 21 i 3 dobivamo proizvod jednak 15,63. Sada, u ovom primjeru, pomaknut ćemo zarez ulijevo za dvije znamenke. Dakle, za koliko je puta povećan jedan od faktora, proizvod je smanjen za toliko puta. Na temelju sličnih točaka ovih metoda donosimo zaključak.

Da biste decimalu pomnožili prirodnim brojem, trebate:
1) zanemarujući zarez, izvršiti množenje prirodnih brojeva;
2) u dobivenom umnošku odvojite zarezom s desne strane onoliko znakova koliko ih ima u decimalnom razlomku.

Na monitoru su prikazani sljedeći primjeri koje analiziramo zajedno s Komposhom i dečkima: 5,21 3 = 15,63 i 7,624 15 = 114,34. Nakon što pokažem množenje sa okrugli broj 12,6 50 = 630. Zatim prelazim na množenje decimalnog razlomka s bitnom jedinicom. Prikazujem sljedeće primjere: 7,423 100 = 742,3 i 5,2 1000 = 5200. Dakle, uvodim pravilo za množenje decimalnog razlomka s bitnom jedinicom:

Da biste decimalni razlomak pomnožili s bitnim jedinicama 10, 100, 1000 itd., potrebno je pomaknuti zarez udesno u ovom razlomku za onoliko znamenki koliko ima nula u zapisu bitne jedinice.

Objašnjenje završavam izrazom decimalnog razlomka u postotku. Unosim pravilo:

Da biste decimalu izrazili kao postotak, pomnožite je sa 100 i dodajte znak %.

Dajem primjer na računalu 0,5 100 = 50 ili 0,5 = 50%.

4. Na kraju objašnjenja dajem dečkima domaća zadaća, koji se također prikazuje na monitoru računala: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Kako bi se dečki malo odmorili, konsolidirali temu, zajedno s Komposhom odrađujemo matematičku tjelesnu. Svi ustaju, pokazuju razredu riješene primjere i moraju odgovoriti je li primjer točan ili netočan. Ako je primjer točno riješen, onda podignu ruke iznad glave i pljesnu dlanovima. Ako primjer nije točno riješen, dečki ispruže ruke u stranu i gnječe prste.

6. A sada se malo odmorite, možete riješiti zadatke. Otvorite svoj udžbenik na stranici 205, № 1029. u ovom zadatku potrebno je izračunati vrijednost izraza:

Zadaci se pojavljuju na računalu. Kako su riješeni, pojavljuje se slika s likom čamca, koji, kad je potpuno sastavljen, isplovljava.

Rješavajući ovaj zadatak na računalu, raketa se postupno razvija, rješavajući posljednji primjer, raketa odleti. Učitelj daje male informacije učenicima: svemirski brodovi. U blizini Bajkonura, Kazahstan gradi svoje nova svemirska luka Baiterek.

Koliko će auto prijeći za 4 sata ako je brzina putnički automobil 74,8 km/h.

Poklon bon Ne znate što pokloniti svojoj drugoj osobi, prijateljima, zaposlenicima, rodbini? Iskoristite našu posebnu ponudu: "Poklon bon hotela Blue Osoka Country". Certifikat […]