Primjeri s razlomcima jedan su od osnovnih elemenata matematike. Ima ih mnogo različite vrste jednadžbe s razlomcima. Ispod je detaljne upute za rješavanje primjera ove vrste.
Kako rješavati primjere s razlomcima – opća pravila
Za rješavanje primjera s razlomcima bilo koje vrste, bilo da se radi o zbrajanju, oduzimanju, množenju ili dijeljenju, trebate znati osnovna pravila:
- Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom (nazivnik je broj na dnu razlomka, brojnik na vrhu), potrebno je zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti.
- Kako biste od jednog razlomka oduzeli drugi razlomački izraz (s istim nazivnikom), trebate oduzeti njihove brojnike i ostaviti nazivnik istim.
- Da biste zbrajali ili oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, morate pronaći najmanji zajednički nazivnik.
- Da biste pronašli razlomački proizvod, morate pomnožiti brojnike i nazivnike i, ako je moguće, smanjiti.
- Da biste podijelili razlomak s razlomkom, pomnožite prvi razlomak s drugim obrnutim razlomkom.
Kako rješavati primjere s razlomcima – vježbajte
Pravilo 1, primjer 1:
Izračunajte 3/4 +1/4.
Prema pravilu 1, ako dva (ili više) razlomka imaju isti nazivnik, jednostavno zbrojite njihove brojnike. Dobivamo: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ako razlomak ima isti brojnik i nazivnik, razlomak će biti jednak 1.
Odgovor: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Pravilo 2, primjer 1:
Izračunajte: 3/4 – 1/4
Koristeći pravilo broj 2, da biste riješili ovu jednadžbu, trebate oduzeti 1 od 3 i ostaviti nazivnik istim. Dobivamo 2/4. Kako se dva 2 i 4 mogu smanjiti, smanjimo i dobijemo 1/2.
Odgovor: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Pravilo 3, primjer 1
Izračunajte: 3/4 + 1/6
Rješenje: Pomoću 3. pravila nalazimo najmanji zajednički nazivnik. Najmanji zajednički nazivnik je broj koji je djeljiv nazivnicima svih razlomaka u primjeru. Dakle, trebamo pronaći najmanji broj koji će biti djeljiv i sa 4 i sa 6. Ovaj broj je 12. Napišemo 12 kao nazivnik prvog razlomka, dobijemo 3, pomnožimo sa 3, napišemo. 3 u brojniku *3 i znak +. Podijelimo 12 s nazivnikom drugog razlomka, dobivamo 2, pomnožimo 2 s 1, u brojnik upišemo 2*1. Dakle, dobili smo novi razlomak s nazivnikom jednakim 12 i brojnikom jednakim 3*3+2*1=11. 11/12.
Odgovor: 11/12
Pravilo 3, primjer 2:
Izračunajte 3/4 – 1/6. Ovaj primjer je vrlo sličan prethodnom. Radimo sve iste korake, ali u brojnik umjesto znaka + upisujemo znak minus. Dobivamo: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Odgovor: 7/12
Pravilo 4, primjer 1:
Izračunajte: 3/4 * 1/4
Koristeći četvrto pravilo, nazivnik prvog razlomka množimo nazivnikom drugog i brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog. 3*1/4*4 = 3/16.
Odgovor: 3/16
Pravilo 4, primjer 2:
Izračunajte 2/5 * 10/4.
Ovaj se udio može smanjiti. U slučaju umnoška, poništavaju se brojnik prvog razlomka i nazivnik drugog te brojnik drugog razlomka i nazivnik prvog.
2 poništava od 4. 10 poništava iz 5. Dobivamo 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.
Odgovor: 2/5 * 10/4 = 1
Pravilo 5, primjer 1:
Izračunajte: 3/4: 5/6
Koristeći 5. pravilo, dobivamo: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Razlomak smanjimo prema principu prethodnog primjera i dobijemo 9/10.
Odgovor: 9/10.
Kako rješavati primjere s razlomcima – razlomačke jednadžbe
Frakcijske jednadžbe su primjeri u kojima nazivnik sadrži nepoznanicu. Da biste riješili takvu jednadžbu, morate koristiti određena pravila.
Pogledajmo primjer:
Riješite jednadžbu 15/3x+5 = 3
Podsjetimo se da ne možete dijeliti s nulom, tj. vrijednost nazivnika ne smije biti nula. Prilikom rješavanja ovakvih primjera to mora biti naznačeno. Za to postoji ODZ (područje prihvatljive vrijednosti).
Dakle, 3x+5 ≠ 0.
Dakle: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Pri x = 5/3 jednadžba jednostavno nema rješenja.
Naznačivši ODZ, na najbolji mogući način Rješavanjem ove jednadžbe riješit ćete se razlomaka. Da bismo to učinili, prvo predstavljamo sve nefrakcijske vrijednosti u obliku razlomka, u u ovom slučaju broj 3. Dobivamo: 15/(3x+5) = 3/1. Da biste se riješili razlomaka, morate svaki od njih pomnožiti s najmanjim zajedničkim nazivnikom. U ovom slučaju to će biti (3x+5)*1. Redoslijed radnji:
- Pomnožite 15/(3x+5) s (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Otvorite zagrade: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Isto radimo s desnom stranom jednadžbe: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Izjednačite lijevu i desnu stranu: 45x + 75 = 9x +15
- Pomaknite X ulijevo, brojeve udesno: 36x = – 50
- Pronađite x: x = -50/36.
- Smanjujemo: -50/36 = -25/18
Odgovor: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Kako rješavati primjere s razlomcima – razlomačke nejednadžbe
Razlomačke nejednakosti tipa (3x-5)/(2-x)≥0 rješavaju se pomoću brojčane osi. Pogledajmo ovaj primjer.
Redoslijed radnji:
- Izjednačavamo brojnik i nazivnik s nulom: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Nacrtamo brojčanu os, na njoj pišemo dobivene vrijednosti.
- Nacrtajte krug ispod vrijednosti. Postoje dvije vrste krugova - ispunjeni i prazni. Ispunjeni krug znači da je navedena vrijednost unutar raspona rješenja. Prazan krug označava da ova vrijednost nije uključena u područje rješenja.
- Budući da nazivnik ne može biti jednak nuli, ispod 2. bit će prazan kružić.
- Da bismo odredili predznake, zamijenimo bilo koji broj veći od dva u jednadžbu, na primjer 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. vrijednost je negativna, što znači da iznad područja iza dva pišemo minus. Zatim zamijenite X bilo kojom vrijednošću intervala od 5/3 do 2, na primjer 1. Vrijednost je opet negativna. Pišemo minus. Ponavljamo isto s područjem koje se nalazi do 5/3. Zamjenjujemo bilo koji broj manji od 5/3, na primjer 1. Opet, minus.
- Budući da nas zanimaju vrijednosti x pri kojima će izraz biti veći ili jednak 0, a takvih vrijednosti nema (svugdje su minusi), ova nejednadžba nema rješenja, odnosno x = Ø (prazan skup).
Odgovor: x = Ø
S razlomcima se učenici upoznaju u 5. razredu. Prije su se ljudi koji su znali izvoditi operacije s razlomcima smatrali vrlo pametnima. Prvi razlomak je bio 1/2, odnosno polovica, zatim se pojavila 1/3 itd. Nekoliko stoljeća primjeri su se smatrali previše složenima. Sada razvijeno detaljna pravila o pretvaranju razlomaka, zbrajanju, množenju i drugim operacijama. Dovoljno je malo razumjeti gradivo i rješenje će biti lako.
Obični razlomak, koji se naziva prosti razlomak, zapisuje se dijeljenjem dvaju brojeva: m i n.
M je dividenda, odnosno brojnik razlomka, a djelitelj n nazivamo nazivnik.
Prepoznajte pravilne razlomke (m< n) а также неправильные (m >n).
Pravilan razlomak manje od jednog(na primjer, 5/6 - to znači da je 5 dijelova uzeto iz jedinice; 2/8 - 2 dijela su uzeta iz jedinice). Nepravilan razlomak je jednak ili veći od 1 (8/7 - jedinica je 7/7 i još jedan dio se uzima kao plus).
Dakle, jedan je kada se brojnik i nazivnik podudaraju (3/3, 12/12, 100/100 i drugi).
Operacije s običnim razlomcima, 6. razred
S jednostavnim razlomcima možete učiniti sljedeće:
- Proširi razlomak. Ako gornji i donji dio razlomka pomnožite bilo kojim isti broj(ali ne nulom), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti (3/5 = 6/10 (jednostavno pomnoženo s 2).
- Smanjenje razlomaka je slično proširivanju, ali ovdje se dijele brojem.
- Usporedi. Ako dva razlomka imaju iste brojnike, tada će razlomak s manjim nazivnikom biti veći. Ako su nazivnici isti, tada će razlomak s najvećim brojnikom biti veći.
- Izvršite zbrajanje i oduzimanje. S istim nazivnicima to je lako učiniti (gornje dijelove zbrajamo, ali se donji dio ne mijenja). Ako su različiti, morat ćete pronaći zajednički nazivnik i dodatne faktore.
- Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pogledajmo dolje primjere operacija s razlomcima.
Skraćeni razlomci 6. razred
Skratiti znači podijeliti vrh i dno razlomka s nekim jednakim brojem.
Na slici su prikazani jednostavni primjeri redukcije. U prvoj opciji odmah možete pogoditi da su brojnik i nazivnik djeljivi s 2.
Bilješka! Ako je broj paran, onda je djeljiv sa 2 na bilo koji način. Parni brojevi su 2, 4, 6...32 8 (završava parnim brojem), itd.
U drugom slučaju, pri dijeljenju 6 s 18, odmah je jasno da su brojevi djeljivi s 2. Dijeljenjem dobivamo 3/9. Ovaj se razlomak dalje dijeli s 3. Tada je odgovor 1/3. Ako pomnožite oba djelitelja: 2 s 3, dobit ćete 6. Ispada da je razlomak podijeljen sa šest. Ova postupna podjela zove se uzastopno smanjivanje razlomaka zajedničkim djeliteljima.
Neki ljudi će odmah podijeliti sa 6, drugi će trebati podijeliti na dijelove. Glavno je da na kraju ostane razlomak koji se nikako ne može smanjiti.
Imajte na umu da ako se broj sastoji od znamenki čijim zbrajanjem dobijemo broj djeljiv s 3, tada se i izvorni broj može smanjiti za 3. Primjer: broj 341. Zbrojite brojeve: 3 + 4 + 1 = 8 (8 nije djeljiv s 3, To znači da se broj 341 ne može smanjiti za 3 bez ostatka). Drugi primjer: 264. Zbrojite: 2 + 6 + 4 = 12 (djeljivo s 3). Dobivamo: 264 : 3 = 88. Tako ćemo lakše smanjiti velike brojeve.
Osim metode sekvencijalnog smanjivanja razlomaka zajedničkim djeliteljima, postoje i druge metode.
GCD je najviše veliki djelitelj za broj. Nakon što ste pronašli gcd za nazivnik i brojnik, možete odmah smanjiti razlomak na željeni broj. Pretraga se provodi postupnim dijeljenjem svakog broja. Zatim gledaju koji se djelitelji podudaraju; ako ih ima nekoliko (kao na slici ispod), trebate pomnožiti.
Mješoviti razlomci 6. razred
Sve nepravi razlomci mogu se pretvoriti u mješovite isticanjem cijelog dijela u njima. Lijevo je napisan cijeli broj.
Često morate napraviti mješoviti broj od nepravilnog razlomka. Proces pretvorbe prikazan je u donjem primjeru: 22/4 = 22 podijeljeno s 4, dobivamo 5 cijelih brojeva (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Dobivamo 5 cijelih brojeva i 2/4 (nazivnik se ne mijenja). Budući da se razlomak može smanjiti, gornji i donji dio podijelimo s 2.
Mješoviti broj se lako može pretvoriti u ne točan razlomak(ovo je potrebno kod dijeljenja i množenja razlomaka). Da biste to učinili: pomnožite cijeli broj s donjim dijelom razlomka i dodajte mu brojnik. Spreman. Nazivnik se ne mijenja.
Računanje s razlomcima 6. razred
Mogu se zbrajati mješoviti brojevi. Ako su nazivnici isti, onda je to lako učiniti: zbrojite cijele dijelove i brojnike, nazivnik ostaje na mjestu.
Kod zbrajanja brojeva s različitim nazivnicima, postupak je kompliciraniji. Prvo, svedemo brojeve na jedan najmanji nazivnik (LSD).
U donjem primjeru, za brojeve 9 i 6, nazivnik će biti 18. Nakon toga, potrebni su dodatni faktori. Da biste ih pronašli, trebate podijeliti 18 s 9, tako ćete pronaći dodatni broj - 2. Pomnožimo ga s brojnikom 4 i dobijemo razlomak 8/18). Isto čine s drugom frakcijom. Već zbrajamo pretvorene razlomke (cijele brojeve i brojnike odvojeno, nazivnik ne mijenjamo). U primjeru je odgovor trebalo pretvoriti u pravi razlomak (u početku se pokazalo da je brojnik veći od nazivnika).
Imajte na umu da kada se razlomci razlikuju, algoritam radnji je isti.
Pri množenju razlomaka važno je obje staviti pod istu crtu. Ako je broj miješan, onda ga pretvaramo u prosti razlomak. Zatim pomnožite gornji i donji dio i zapišite odgovor. Ako je jasno da se razlomci mogu reducirati, onda ih odmah reduciramo.
U gornjem primjeru niste morali ništa rezati, samo ste napisali odgovor i označili cijeli dio.
U ovom primjeru morali smo smanjiti brojeve ispod jedne crte. Iako možete skratiti gotov odgovor.
Kod dijeljenja algoritam je gotovo isti. Prvo mješoviti razlomak pretvorimo u nepravi razlomak, zatim brojeve zapišemo ispod jedne crte, a dijeljenje zamijenimo množenjem. Ne zaboravite zamijeniti gornji i donji dio drugog razlomka (ovo je pravilo dijeljenje razlomaka).
Po potrebi smanjujemo brojeve (u donjem primjeru smanjili smo ih za pet i dva). Nepravi razlomak pretvaramo označavanjem cijelog dijela.
Osnovni zadaci s razlomcima 6. razred
Video prikazuje još nekoliko zadataka. Koristi se za jasnoću grafičke slike rješenja koja će vam pomoći da vizualizirate razlomke.
Primjeri množenja razlomaka 6. razred s objašnjenjima
Množenje razlomaka napisano je ispod jedne crte. Zatim se smanjuju dijeljenjem s istim brojevima (na primjer, 15 u nazivniku i 5 u brojniku može se podijeliti s pet).
Uspoređivanje razlomaka 6. razred
Da biste usporedili razlomke, morate zapamtiti dva jednostavna pravila.
Pravilo 1. Ako su nazivnici različiti
Pravilo 2. Kad su nazivnici isti
Na primjer, usporedite razlomke 7/12 i 2/3.
- Gledamo nazivnike, ne poklapaju se. Dakle, morate pronaći zajedničku.
- Za razlomke, zajednički nazivnik je 12.
- Prvo podijelimo 12 s donjim dijelom prvog razlomka: 12 : 12 = 1 (ovo je dodatni faktor za 1. razlomak).
- Sada dijelimo 12 sa 3, dobivamo 4 - ekstra. faktor 2. razlomka.
- Dobivene brojeve množimo s brojnicima da bismo pretvorili razlomke: 1 x 7 = 7 (prvi razlomak: 7/12); 4 x 2 = 8 (drugi razlomak: 8/12).
- Sada možemo usporediti: 7/12 i 8/12. Ispalo je: 7/12< 8/12.
Za bolje predstavljanje razlomaka, radi jasnoće možete koristiti slike gdje je objekt podijeljen na dijelove (na primjer, torta). Ako želite usporediti 4/7 i 2/3, onda se u prvom slučaju torta podijeli na 7 dijelova i odaberu se 4 dijela. U drugom dijele na 3 dijela i uzimaju 2. Golim okom će biti jasno da će 2/3 biti veće od 4/7.
Primjeri s razlomcima 6. razred za obuku
Sljedeće zadatke možete dovršiti kao vježbu.
- Usporedi razlomke
- izvršiti množenje
Savjet: ako je teško pronaći najmanji zajednički nazivnik za razlomke (osobito ako su njihove vrijednosti male), tada možete pomnožiti nazivnik prvog i drugog razlomka. Primjer: 2/8 i 5/9. Jednostavno je pronaći njihov nazivnik: pomnožite 8 s 9 i dobit ćete 72.
Rješavanje jednadžbi s razlomcima 6. razred
Rješavanje jednadžbi zahtijeva pamćenje operacija s razlomcima: množenje, dijeljenje, oduzimanje i zbrajanje. Ako je jedan od faktora nepoznat, tada se umnožak (ukupno) dijeli s poznatim faktorom, odnosno razlomci se množe (drugi se okreće).
Ako je dividenda nepoznata, tada se nazivnik množi djeliteljem, a da bi se dobio djelitelj potrebno je podijeliti dividendu s količnikom.
Zamislimo se jednostavni primjeri rješenja jednadžbi:
Ovdje samo trebate proizvesti razliku razlomaka, bez dovođenja do zajedničkog nazivnika.
Odgovor je ispao kao nepravi razlomak. Može se pretvoriti u 1 cijelo i 3/5.
U drugoj metodi, brojnik i nazivnik pomnoženi su s 4 kako bi se poništio donji dio umjesto da se nazivnik okrene.
Ovaj članak je opći pogled na rad s razlomcima. Ovdje ćemo formulirati i obrazložiti pravila za zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i potenciranje razlomaka općeg oblika A/B, gdje su A i B neki brojevi, brojčani izrazi ili izrazi s varijablama. Kao i obično, pružit ćemo materijal s objašnjenim primjerima detaljni opisi odluke.
Navigacija po stranici.
Pravila za izvođenje operacija s općim brojčanim razlomcima
Dogovorimo se o brojčanim razlomcima opći pogled razumjeti razlomke u kojima se brojnik i/ili nazivnik mogu prikazati ne samo prirodnim brojevima, već i drugim brojevima ili brojčanim izrazima. Radi jasnoće, evo nekoliko primjera takvih razlomaka: , 
.
Znamo pravila po kojima se provode. Koristeći ista pravila, možete izvoditi operacije s općim razlomcima:
Obrazloženje za pravila
Da biste opravdali valjanost pravila za izvođenje operacija s numeričkim ulomcima općeg oblika, možete krenuti od sljedećih točaka:
- razlomačka crta je u biti znak podjele,
- dijeljenje nekim brojem različitim od nule može se smatrati množenjem inverzom djelitelja (ovo odmah objašnjava pravilo dijeljenja razlomaka),
- svojstva operacija s realnim brojevima,
- i njegovo opće razumijevanje,
Omogućuju vam da izvršite sljedeće transformacije koje opravdavaju pravila zbrajanja, oduzimanja razlomaka s jednakim i različitim nazivnicima, kao i pravilo množenja razlomaka: 
Primjeri
Navedimo primjere izvođenja operacija s općim razlomcima prema pravilima naučenim u prethodnom odlomku. Recimo odmah da obično nakon izvođenja radnji s razlomcima, dobiveni razlomak zahtijeva pojednostavljenje, a postupak pojednostavljenja razlomka često je kompliciraniji od izvođenja prethodnih radnji. Nećemo se detaljno zadržavati na pojednostavljenju razlomaka (o odgovarajućim transformacijama raspravlja se u članku o transformaciji razlomaka), kako ne bismo odvratili pažnju od teme koja nas zanima.
Počnimo s primjerima zbrajanja i oduzimanja brojčani razlomci s istim nazivnicima. Prvo, zbrojimo razlomke i . Očito je da su nazivnici jednaki. Prema odgovarajućem pravilu, zapisujemo razlomak čiji je brojnik jednak zbroju brojnika izvornih razlomaka, a nazivnik ostavljamo isti, imamo. Zbrajanje je gotovo, preostaje samo pojednostaviti dobiveni razlomak: 
. Tako, 
.
Rješenje se moglo drugačije riješiti: prvo prijeći na obične razlomke, a zatim izvršiti zbrajanje. Ovim pristupom imamo 
.
Sada oduzmimo od razlomka 
frakcija 
. Nazivnici razlomaka su jednaki, stoga slijedimo pravilo oduzimanja razlomaka s istim nazivnicima: 
Prijeđimo na primjere zbrajanja i oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima. Glavna poteškoća ovdje je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Za opće razlomke, ovo je prilično opsežna tema, koju ćemo detaljno ispitati u posebnom članku. dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Sada se ograničimo na par opće preporuke, od godine u trenutku više nas zanima tehnika izvođenja operacija s razlomcima.
Općenito, postupak je sličan svođenju običnih razlomaka na zajednički nazivnik. Odnosno, nazivnici se prikazuju u obliku umnožaka, zatim se uzimaju svi faktori iz nazivnika prvog razlomka i dodaju im se faktori koji nedostaju iz nazivnika drugog razlomka.
Kada nazivnici razlomaka koji se zbrajaju ili oduzimaju nemaju zajedničke faktore, onda je logično da se njihov umnožak uzme kao zajednički nazivnik. Navedimo primjer.
Recimo da trebamo izvesti zbrajanje razlomaka i 1/2. Ovdje je kao zajednički nazivnik logično uzeti umnožak nazivnika izvornih razlomaka, tj. U ovom slučaju, dodatni faktor za prvi razlomak će biti 2. Nakon što njime pomnožimo brojnik i nazivnik, razlomak će poprimiti oblik . A za drugi razlomak, dodatni faktor je izraz. Pomoću njega se razlomak 1/2 svodi na oblik . Ostaje samo zbrojiti dobivene razlomke s istim nazivnicima. Evo sažetka cijelog rješenja: 
Kod općih razlomaka više ne govorimo o najmanjem zajedničkom nazivniku, na koji se obično svode obični razlomci. Iako je u ovom pitanju još uvijek preporučljivo težiti nekom minimalizmu. Ovim želimo reći da ne treba odmah uzeti umnožak nazivnika izvornih razlomaka kao zajednički nazivnik. Na primjer, uopće nije potrebno uzeti zajednički nazivnik razlomaka i umnoška 
. Ovdje možemo uzeti.
Prijeđimo na primjere množenja općih razlomaka. Pomnožimo razlomke i . Pravilo za izvođenje ove radnje nalaže nam da zapišemo razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika izvornih razlomaka, a nazivnik umnožak nazivnika. imamo 
. Ovdje, kao iu mnogim drugim slučajevima kada množite razlomke, možete smanjiti razlomak: 
.
Pravilo za dijeljenje razlomaka omogućuje prijelaz s dijeljenja na množenje recipročnim razlomkom. Ovdje morate zapamtiti da, kako biste dobili inverziju danog razlomka, morate zamijeniti brojnik i nazivnik danog razlomka. Evo primjera prijelaza s dijeljenja općih brojčanih razlomaka na množenje: 
. Sve što ostaje je izvršiti množenje i pojednostaviti dobiveni razlomak (ako je potrebno, pogledajte transformaciju iracionalnih izraza): 
Zaključujući informacije u ovom odlomku, podsjetite se da se bilo koji broj ili numerički izraz može predstaviti kao razlomak s nazivnikom 1, stoga se zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje brojeva i razlomaka može smatrati izvođenjem odgovarajuće operacije s razlomcima, jedan od kojih ima jedan u nazivniku . Na primjer, zamjena u izrazu 
korijen tri s razlomkom, prelazimo s množenja razlomka brojem na množenje dvaju razlomaka: 
.
Rad s razlomcima koji sadrže varijable
Pravila iz prvog dijela ovog članka vrijede i za izvođenje operacija s razlomcima koji sadrže varijable. Opravdajmo prvo od njih - pravilo za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima, ostali se dokazuju na potpuno isti način.
Dokažimo da za bilo koje izraze A, C i D (D nije identički jednak nuli) vrijedi jednakost 
na svom rasponu dopuštenih vrijednosti varijabli.
Uzmimo određeni skup varijabli iz ODZ-a. Neka izrazi A, C i D imaju vrijednosti a 0, c 0 i d 0 za ove vrijednosti varijabli. Zatim se zamjenom vrijednosti varijabli iz odabranog skupa u izraz pretvara u zbroj (razliku) brojčanih razlomaka s jednakim nazivnicima oblika , koji prema pravilu zbrajanja (oduzimanja) brojčanih razlomaka s jednakim nazivnicima , jednako je . Ali zamjena vrijednosti varijabli iz odabranog skupa u izraz pretvara ga u isti razlomak. To znači da za odabrani skup vrijednosti varijabli iz ODZ vrijednosti izrazi i su jednaki. Jasno je da će vrijednosti navedenih izraza biti jednake za svaki drugi skup vrijednosti varijabli iz ODZ, što znači da su izrazi i identički jednaki, odnosno da je jednakost koja se dokazuje istinita .
Primjeri zbrajanja i oduzimanja razlomaka s varijablama
Kad su nazivnici razlomaka koji se zbrajaju ili oduzimaju isti, onda je sve vrlo jednostavno - brojnici se zbrajaju ili oduzimaju, ali nazivnik ostaje isti. Jasno je da se nakon toga dobiveni razlomak pojednostavljuje ako je potrebno i moguće.
Imajte na umu da se nazivnici razlomaka ponekad razlikuju samo na prvi pogled, ali zapravo su identični u jednakim uvjetima, kao što je 
i , ili i . A ponekad je dovoljno pojednostaviti izvorne razlomke tako da se "pojavljuju" njihovi identični nazivnici.
Primjer.
, b) 
, V) 
.
Otopina.
a) Trebamo oduzeti razlomke s jednakim nazivnicima. Prema odgovarajućem pravilu, nazivnik ostavljamo isti i oduzimamo brojnike, imamo 
. Akcija je završena. Ali također možete otvoriti zagrade u brojniku i predstaviti slične pojmove: 
.
b) Očito je da su nazivnici razlomaka koji se zbrajaju isti. Stoga brojnike zbrajamo, a nazivnik ostavljamo isti: . Dodavanje završeno. Ali lako je vidjeti da se dobiveni ulomak može smanjiti. Doista, brojnik dobivenog razlomka može se sažeti pomoću formule kvadrata zbroja kao (lgx+2) 2 (vidi formule za skraćeno množenje), pa se stoga događaju sljedeće transformacije: 
.
c) Razlomci u zbroju imaju različite nazivnike. Ali nakon što ste transformirali jedan od razlomaka, možete prijeći na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Pokazat ćemo dva rješenja.
Prvi način. Nazivnik prvog razlomka može se faktorizirati pomoću formule razlike kvadrata, a zatim smanjiti ovaj razlomak: 
. Dakle, . Još uvijek ne škodi osloboditi se iracionalnosti u nazivniku razlomka: 
.
Drugi način. Množenjem brojnika i nazivnika drugog razlomka s (ovaj izraz ne nestaje za bilo koju vrijednost varijable x iz ODZ za izvorni izraz) omogućuje vam da postignete dva cilja odjednom: oslobodite se iracionalnosti i prijeđete na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. imamo 
Odgovor:
A) 
, b) 
, V) 
.
Zadnji primjer doveo nas je do pitanja svođenja razlomaka na zajednički nazivnik. Tu smo gotovo slučajno došli do istih nazivnika pojednostavljivanjem jednog od zbrojenih razlomaka. Ali u većini slučajeva, kada zbrajate i oduzimate razlomke s različitim nazivnicima, razlomke morate namjerno dovesti do zajedničkog nazivnika. Da biste to učinili, obično se nazivnici razlomaka prikazuju u obliku proizvoda, uzimaju se svi faktori iz nazivnika prvog razlomka i dodaju im se faktori koji nedostaju iz nazivnika drugog razlomka.
Primjer.
Izvedite operacije s razlomcima: a) 
, b), , c) 
.
Otopina.
a) Ne treba ništa raditi s nazivnicima razlomaka. Kao zajednički nazivnik uzimamo proizvod 
. U ovom slučaju, dodatni faktor za prvi razlomak je izraz, a za drugi razlomak - broj 3. Ovi dodatni faktori dovode razlomke na zajednički nazivnik, što nam kasnije omogućuje da izvršimo radnju koja nam je potrebna, imamo 
b) U ovom primjeru, nazivnici su već predstavljeni kao produkti i ne zahtijevaju nikakve dodatne transformacije. Očito se faktori u nazivnicima razlikuju samo u eksponentima, stoga kao zajednički nazivnik uzimamo umnožak faktora s najvećim eksponentima, tj. 
. Tada će dodatni faktor za prvi razlomak biti x 4, a za drugi - ln(x+1) . Sada smo spremni za oduzimanje razlomaka: 
c) I u ovom slučaju, prvo ćemo raditi s nazivnicima razlomaka. Formule za razliku kvadrata i kvadrata zbroja omogućuju vam prijelaz s izvornog zbroja na izraz 
. Sada je jasno da se ti razlomci mogu svesti na zajednički nazivnik 
. S ovim pristupom, rješenje će imati sljedeći pogled:
Odgovor:
A) 
b) 
V) 
Primjeri množenja razlomaka s varijablama
Množenjem razlomaka dobiva se razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika izvornih razlomaka, a nazivnik umnožak nazivnika. Ovdje je, kao što vidite, sve poznato i jednostavno, a možemo samo dodati da se ulomak dobiven kao rezultat ove radnje često može smanjiti. U tim se slučajevima smanjuje, osim ako, naravno, nije nužno i opravdano.
Akcije s razlomcima. U ovom članku ćemo pogledati primjere, sve detaljno s objašnjenjima. Razmotrit ćemo obične razlomke. Kasnije ćemo pogledati decimale. Preporučujem da pogledate cijelu stvar i proučavate je redom.
1. Zbroj razlomaka, razlika razlomaka.
Pravilo: pri zbrajanju razlomaka s jednakim nazivnicima, rezultat je razlomak - čiji nazivnik ostaje isti, a brojnik će mu biti jednak zbroju brojnika razlomaka.
Pravilo: kada računamo razliku razlomaka s istim nazivnicima, dobivamo razlomak - nazivnik ostaje isti, a brojnik drugog oduzima se od brojnika prvog razlomka.
Formalni zapis za zbroj i razliku razlomaka s jednakim nazivnicima:
Primjeri (1):
Jasno je da kada su zadani obični razlomci, onda je sve jednostavno, ali što ako su pomiješani? Ništa komplicirano...
Opcija 1– možete ih pretvoriti u obične i onda izračunati.
opcija 2– možete odvojeno „raditi“ s cijelim i razlomljenim dijelovima.
Primjeri (2):
Više:
Što ako je zadana razlika dvaju mješovitih razlomaka, a brojnik prvog razlomka manji je od brojnika drugog? Također možete djelovati na dva načina.
Primjeri (3):
*Pretvoreno u obične razlomke, izračunata razlika, pretvoreni dobiveni nepravi razlomak u mješoviti razlomak.
*Razdvojili smo ga na cijeli i razlomački dio, dobili trojku, zatim predstavili 3 kao zbroj 2 i 1, s jedinicom predstavljenom kao 11/11, zatim pronašli razliku između 11/11 i 7/11 i izračunali rezultat . Smisao gornjih transformacija je uzeti (odabrati) jedinicu i prikazati je u obliku razlomka s nazivnikom koji nam je potreban, a zatim od tog razlomka možemo oduzeti drugu.
Još jedan primjer:
Zaključak: postoji univerzalni pristup - kako bi se izračunao zbroj (razlika) mješovitih razlomaka s jednakim nazivnicima, oni se uvijek mogu pretvoriti u neprave, a zatim izvršiti potrebna radnja. Nakon toga, ako je rezultat nepravi razlomak, pretvaramo ga u mješoviti razlomak.
Gore smo pogledali primjere s razlomcima koji imaju jednake nazivnike. Što ako su nazivnici različiti? U tom slučaju razlomci se svode na isti nazivnik i izvršava se navedena radnja. Za promjenu (transformaciju) razlomka koristi se osnovno svojstvo razlomka.
Pogledajmo jednostavne primjere:
U ovim primjerima odmah vidimo kako se jedan od razlomaka može transformirati da se dobiju jednaki nazivnici.
Ako odredimo načine svođenja razlomaka na isti nazivnik, tada ćemo ovaj nazvati PRVA METODA.
Odnosno, odmah kada "procjenjujete" razlomak, morate shvatiti hoće li ovaj pristup funkcionirati - provjeravamo je li veći nazivnik djeljiv s manjim. A ako je djeljiv, onda izvršimo transformaciju - pomnožimo brojnik i nazivnik tako da se nazivnici obaju razlomaka izjednače.
Sada pogledajte ove primjere:
Ovaj pristup nije primjenjiv na njih. Postoje i načini svođenja razlomaka na zajednički nazivnik; razmotrimo ih.
Metoda DVA.
Množimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a brojnik i nazivnik drugog razlomka s nazivnikom prvog:
*U stvari, razlomke svodimo na oblik kada se nazivnici izjednače. Zatim koristimo pravilo zbrajanja razlomaka s jednakim nazivnicima.
Primjer:
*Ovu metodu možemo nazvati univerzalnom i uvijek djeluje. Jedina mana je da nakon izračuna možete dobiti razlomak koji ćete morati dodatno smanjiti.
Pogledajmo primjer:
Vidi se da su brojnik i nazivnik djeljivi s 5:
Metoda TREĆA.
Morate pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika. Ovo će biti zajednički nazivnik. Kakav je ovo broj? Ovo je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva.
Pogledaj, evo dva broja: 3 i 4, ima mnogo brojeva koji su djeljivi s njima - to su 12, 24, 36, ... Najmanji od njih je 12. Ili 6 i 15, oni su djeljivi sa 30, 60, 90 .... Najmanji je 30. Pitanje je - kako odrediti taj najmanji zajednički višekratnik?
Postoji jasan algoritam, ali često se to može učiniti odmah bez izračuna. Na primjer, prema gornjim primjerima (3 i 4, 6 i 15) nije potreban algoritam, uzeli smo velike brojeve (4 i 15), udvostručili ih i vidjeli da su djeljivi s drugim brojem, ali parovi brojeva mogu biti drugi, na primjer 51 i 119.
Algoritam. Da biste odredili najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate:
- rastaviti svaki broj na JEDNOSTAVNI faktori
— zapiši razlaganje VEĆEG od njih
- pomnožite ga faktorima koji NEDOSTAJU drugih brojeva
Pogledajmo primjere:
50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
u razgradnji više fali jedna petica
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
u proširenju većeg broja dva i tri nedostaju
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmanji zajednički višekratnik dva prosti brojevi jednak njihovom proizvodu
Pitanje! Zašto je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika korisno, budući da možete koristiti drugu metodu i jednostavno smanjiti dobiveni razlomak? Da, moguće je, ali nije uvijek zgodno. Pogledajte nazivnik za brojeve 48 i 72 ako ih jednostavno pomnožite 48∙72 = 3456. Složit ćete se da je ugodnije raditi s manjim brojevima.
Pogledajmo primjere:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
proširivanju većeg broja nedostaje trojka
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Sada upotrijebimo prvu metodu:
*Pogledajte razliku u izračunima, u prvom slučaju ih je minimalno, ali u drugom morate posebno raditi na papiru, pa čak i razlomak koji ste dobili treba smanjiti. Pronalaženje LOC-a znatno pojednostavljuje posao.
Još primjera:
*U drugom primjeru jasno je da najmanji broj koji je djeljiv sa 40, a 60 je jednak 120.
PROIZLAZITI! OPĆI RAČUNALNI ALGORITAM!
— razlomke svodimo na obične ako postoji cjelobrojni dio.
- razlomke dovodimo na zajednički nazivnik (prvo gledamo da li je jedan nazivnik djeljiv drugim; ako je djeljiv onda množimo brojnik i nazivnik ovog drugog razlomka; ako nije djeljiv postupamo drugim metodama) gore navedeno).
- Nakon što smo dobili razlomke s jednakim nazivnicima, izvodimo operacije (zbrajanje, oduzimanje).
- po potrebi smanjujemo rezultat.
- po potrebi odaberite cijeli dio.
2. Umnožak razlomaka.
Pravilo je jednostavno. Pri množenju razlomaka množe se njihovi brojnici i nazivnici:
Primjeri:
Zadatak. U bazu je dovezeno 13 tona povrća. Krumpir čini ¾ ukupnog uvezenog povrća. Koliko je kilograma krumpira dovezeno u bazu?
Završimo s komadom.
*Prethodno sam vam obećao dati formalno objašnjenje glavnog svojstva razlomka kroz umnožak, molim vas:
3. Podjela razlomaka.
Dijeljenje razlomaka svodi se na njihovo množenje. Ovdje je važno zapamtiti da se razlomak koji je djelitelj (onaj s kojim se dijeli) okreće i radnja se mijenja u množenje:
Ova radnja se može napisati u obliku takozvanog četverokatnog razlomka, jer se i sam dio “:” može napisati kao razlomak:
Primjeri:
To je sve! Sretno vam bilo!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
Aritmetičke operacije sa obični razlomci
1. Zbrajanje.
Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti.
Primjer. .
Da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, potrebno ih je svesti na najmanji zajednički nazivnik, a zatim dobivene brojnike zbrojiti i ispod zbroja napisati zajednički nazivnik.
Primjer.
Ukratko piše ovako:
Da biste zbrojili mješovite brojeve, morate zasebno pronaći zbroj cijelih brojeva i zbroj razlomaka. Akcija je napisana ovako:
2. Oduzimanje.
Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik umanjenika od brojnika umanjenika i ostaviti isti nazivnik. Akcija je napisana ovako:
Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički nazivnik, zatim od brojnika umanjenika oduzeti brojnik umanjenika i zajednički nazivnik potpisati ispod njihove razlike. Akcija je napisana ovako:
Ako trebate oduzeti jedan mješoviti broj od drugog mješovitog broja, onda, ako je moguće, oduzmite razlomak od razlomka, a cjelinu od cjeline. Akcija je napisana ovako:
Ako je razlomak oduzetog veći od razlomka umanjenika, tada se od cijelog broja umanjenika uzima jedna jedinica, dijeli na odgovarajuće dijelove i dodaje razlomku umanjenika, nakon čega se nastavlja kako je gore opisano. . Akcija je napisana ovako:
Učinite istu stvar kada trebate oduzeti razlomak od cijelog broja.
Primjer. .
3. Proširenje svojstava zbrajanja i oduzimanja na razlomke.Svi zakoni i svojstva zbrajanja i oduzimanja prirodnih brojeva vrijede i za razlomke. Njihova uporaba u mnogim slučajevima uvelike pojednostavljuje proces izračuna.
4. Množenje.
Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom, te da prvi umnožak bude brojnik, a drugi umnožak nazivnik.
Kod množenja treba (ako je moguće) smanjiti.
Primjer. .
Ako uzmemo u obzir da je cijeli broj razlomak s nazivnikom 1, tada se množenje razlomka cijelim brojem i cijelog broja razlomkom može slijediti istim pravilom.
Primjeri.
5. Množenje mješoviti brojevi.
Za množenje mješovitih brojeva prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje razlomaka.
Primjer. .
6. Dijeljenje razlomka razlomkom.
Da biste razlomak podijelili na razlomak, potrebno je brojnik prvog razlomka pomnožiti s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog s brojnikom drugog te prvi umnožak napisati kao brojnik, a drugi kao nazivnik.
Primjer. .
Koristeći isto pravilo, možete podijeliti razlomak s cijelim brojem i cijeli broj s razlomkom, ako cijeli broj predstavite kao razlomak s nazivnikom 1.
Primjeri.
7. Dijeljenje mješovitih brojeva.
Za dijeljenje mješovitih brojeva prvo se pretvaraju u neprave razlomke, a zatim dijele prema pravilu za dijeljenje razlomaka.
Primjer. .
8. Zamjena dijeljenja množenjem.
Ako u razlomku zamijenite brojnik i nazivnik, dobit ćete novi razlomak, inverzan zadanom. Na primjer, za razlomakrecipročni razlomak će biti.
Očito je da je umnožak dva recipročan recipročni razlomci jednako 1.
- Nalaženje razlomka iz broja.
Postoje mnogi problemi koji zahtijevaju da pronađete dio ili razlomak zadanog broja. Takvi se problemi rješavaju množenjem.
Zadatak. Domaćica je imala 20 rubalja;Potrošila ih je na kupovinu. Koliko košta kupovina?
Ovdje morate pronaćibroj 20. Možete to učiniti ovako:
Odgovor. Domaćica je potrošila 8 rubalja.
Primjeri. Pronađite od 30. Rješenje. .
Pronađite iz. Otopina. .
- Pronalaženje broja prema poznatoj veličini njegovog razlomka.
Ponekad je potrebno odrediti cijeli broj pomoću poznatog dijela broja i razlomka koji izražava taj dio. Takvi se problemi rješavaju diobom.
Zadatak. U razredu ima 12 komsomolaca, što jedijelovi svih učenika u razredu. Koliko učenika ima u razredu?
Otopina. .
Odgovor. 20 učenika.
Primjer. Pronađite brojšto je 34.
Otopina. .
Odgovor. Traženi broj je.
- Pronalaženje omjera dvaju brojeva.
Razmotrite problem: radnik je proizveo 40 dijelova u jednom danu. Koji dio mjesečnog zadatka je radnik izvršio ako je mjesečni plan 400 dijelova?
Otopina. .
Odgovor. Radnik je završiodio mjesečnog plana.
U ovom slučaju, dio (40 dijelova) izražava se kao razlomak cjeline (400 dijelova). Također kažu da je pronađen omjer broja proizvedenih dijelova dnevno i mjesečnog plana.
- Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak.
Preobratiti se decimalni u obični, piše se s nazivnikom i po mogućnosti skraćeno:
Primjeri.
- Pretvaranje razlomka u decimalu.
Postoji nekoliko načina pretvaranja razlomka u decimalu.
Prvi način. Da biste razlomak pretvorili u decimalu, podijelite brojnik s nazivnikom.
Primjeri. .
Drugi način. Da biste razlomak pretvorili u decimalu, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s takvim brojem da nazivnik na kraju bude jedan s nulama (ako je moguće).
Primjer.
- Usporedba decimala po veličini. Da biste saznali koji je od dva decimalna razlomka veći, potrebno je usporediti njihove cijele dijelove, desetinke, stotinke itd. Kad su cijeli dijelovi jednaki, veći je razlomak koji ima više desetina; ako su cijeli brojevi i decimale jednaki, veći je onaj s više stotinki itd.
Primjer. Od tri razlomka 2,432; 2,41 i 2,4098 je najveći prvi, jer ima najviše stotinki, a cijeli i deseti su isti u svim razlomcima.
Operacije s decimalama
- Množenje i dijeljenje decimala s 10, 100, 1000 itd.
Za množenje decimale s 10, 100, 1000 itd. trebate premjestiti zarez na jedan, dva, tri itd. znak desno. Ako u broju nema dovoljno znakova, tada se dodjeljuju nule.
Primjer. 15,45 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.
Da biste podijelili decimalni razlomak s 10, 100, 1000 itd., trebate premjestiti decimalni zarez na jedan, dva, tri itd. znak lijevo. Ako nema dovoljno znakova za pomicanje zareza, njihov broj se nadopunjuje odgovarajućim brojem nula s lijeve strane.
Primjeri. 184,35 : 100 = 1,8435; 3,5 : 100 = 0,035.
- Zbrajanje i oduzimanje decimala.
Decimale se zbrajaju i oduzimaju na gotovo isti način kao što se zbrajaju i oduzimaju. prirodni brojevi. Znamenka je napisana ispod znamenke, zarez je napisan ispod zareza.
Primjeri.
- Množenje decimala.
Za množenje dva decimalna razlomka dovoljno ih je, ne obazirući se na zareze, pomnožiti kao cijele brojeve i u umnošku zarezom s desne strane odvojiti onoliko decimala koliko ih je bilo u množeniku i množitelju zajedno.
Primjer 1. 2.064 · 0.05.
Množimo cijele brojeve 2064 · 5 = 10320. Prvi faktor je imao tri decimale, a drugi dvije. Proizvod mora imati pet decimala. Odvojimo ih s desne strane i dobijemo 0,10320. Nula na kraju se može odbaciti: 2,064 · 0,05 = 0,1032.
Primjer 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.
Broj decimala treba biti 3 + 2 = 5. Na 9000 s lijeve strane dodamo nule (009000), a s desne odvojimo pet decimala. Dobivamo 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.
- Dijeljenje decimala.
Razmatraju se dva slučaja dijeljenja decimalnih razlomaka bez ostatka: 1) dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem; 2) dijeljenje broja (cijelog ili razlomka) decimalnim razlomkom.
Dijeljenje decimale cijelim brojem vrši se na isti način kao i dijeljenje cijelih brojeva; rezultirajući ostaci se sekvencijalno dijele na manje decimalne dijelove i dijeljenje se nastavlja sve dok ostatak ne bude nula.
Primjeri.
Dijeljenje broja (cijelog ili razlomka) decimalnim razlomkom u svim slučajevima rezultira dijeljenjem cijelim brojem. Da biste to učinili, povećajte djelitelj za 10, 100, 1000 itd. puta, a da se kvocijent ne mijenja, dividenda se uvećava isto toliko puta, a zatim se dijeli cijelim brojem (kao u prvom slučaju).
Primjer. 47,04 : 0,0084 = 470400 : 84 = 5600;
- Primjeri zajedničkih radnji s običnim i decimalnim razlomcima.
Razmotrimo najprije primjer svih operacija s decimalnim razlomcima.
Primjer 1. Izračunajte:
Ovdje se koristi svođenje dividende i djelitelja na cijeli broj, uzimajući u obzir činjenicu da se kvocijent ne mijenja. Zatim imamo:
Kod rješavanja primjera zajedničkih radnji s običnim i decimalnim razlomcima, neke se radnje mogu izvoditi u decimalnim razlomcima, a neke u običnim. Mora se imati na umu da se obični razlomak ne može uvijek pretvoriti u konačni decimalni razlomak. Stoga se zapisivanje decimalnog razlomka može učiniti samo ako se potvrdi da je takva pretvorba moguća.
Primjer 2. Izračunajte:
Interes
Pojam postotka.Postotak broja je stoti dio tog broja. Na primjer, umjesto da kažemo "54 stotinke svih stanovnika naše zemlje su žene", moglo bi se reći "54 posto svih stanovnika naše zemlje su žene". Umjesto riječi "postotak" pišu i znak %, na primjer 35% znači 35 posto.
Budući da je postotak stoti dio, slijedi da je postotak razlomak s nazivnikom 100. Dakle, razlomak je 0,49, odn., može se pročitati kao 49 posto i napisati bez nazivnika kao 49%. Općenito, nakon što ste odredili koliko stotinki ima u određenom decimalnom razlomku, lako ga je napisati kao postotak. Da biste to učinili, upotrijebite pravilo: da biste zapisali decimalni razlomak kao postotak, morate pomaknuti decimalnu točku u ovom razlomku dva mjesta udesno.
Primjeri. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.
I obrnuto: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.
1. Određivanje postotka zadanog broja
Zadatak. Prema planu, ekipa traktorista mora potrošiti 9 tona goriva. Vozači traktora su se društveno obvezali uštedjeti 20% goriva. Odredite uštedu goriva u tonama.
Ako u ovom zadatku umjesto 20% napišemo njemu jednak broj 0,2, dobivamo zadatak za pronalaženje razlomka broja. A takvi problemi se rješavaju množenjem. Ovo je rješenje:
20% = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).
Izračuni se mogu napisati ovako:
(m)
Da biste pronašli nekoliko postotaka zadanog broja, dovoljno je zadani broj podijeliti sa 100 i rezultat pomnožiti s brojem postotaka.
Zadatak. Radnik je 1963. primao 90 rubalja mjesečno, a 1964. počeo je primati 30% više. Koliko je zaradio 1964.?
Rješenje (prva metoda).
1) Koliko je više rubalja dobio radnik?
(trljati.)
90 + 27 = 117 (utrljati).
Drugi način.
1) Koliki je postotak prethodne zarade radnik počeo primati 1964. godine?
100% + 30% = 130%.
2) Kolika je bila mjesečna plaća radnika 1964. godine?
(trljati.)
2. Pronalaženje broja iz zadane vrijednosti njegovog postotka.
Zadatak. Zadruga je zasijala kukuruz na površini od 280 hektara, što je 14% ukupne zasijane površine. Odredite sjetvenu površinu kolektivne farme.
Ako u ovom zadatku umjesto 14% napišemo 0,14 odn, tada dobivamo zadatak pronaći broj iz poznate vrijednosti njegovog razlomka. A takvi se problemi rješavaju diobom.
Otopina. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Ova se otopina može formulirati i ovako:
(Ha)
Da biste pronašli broj na temelju zadane vrijednosti od nekoliko postotaka, dovoljno je tu vrijednost podijeliti s brojem postotaka i rezultat pomnožiti sa 100.
Zadatak. U ožujku je tvornica istopila 125,4 T metala, premašivši plan za 4,5%. Koliko je tona metala tvornica trebala istopiti u ožujku prema planu?
Otopina.
1) U kojem postotku je tvornica ispunila plan u ožujku?
100% + 4,5% = 104,5%.
2) Koliko tona metala bi postrojenje trebalo rastaliti?
(Ha)
- Određivanje postotnog odnosa između dva broja.
Zadatak. Moramo preorati 300 hektara zemlje. Prvog dana poorano je 120 hektara. Koliki je postotak zadatka obavljen prvog dana?
Otopina.
Prvi način. 300 hektara je 100%, što znači da 1% čini 3 hektara. Određivanjem koliko puta 3 hektara, što čini 1%, sadrži 120 hektara, saznajemo koliki je postotak zadatka zemlja obrađena prvog dana
120: 3 = 40(%).
Drugi način. Nakon što smo utvrdili koji je dio zemlje bio preoran prvog dana, taj udio izražavamo u postotku.
Zapišimo izračun:
Za izračunavanje postotka broja a do broja b , morate pronaći odnos a do b i pomnožite sa 100.
