U ovom članku ćemo govoriti o mješoviti brojevi. Prvo, definirajmo mješovite brojeve i navedimo primjere. Zatim se zadržimo na odnosu između mješovitih brojeva i nepravilnih razlomaka. Nakon toga ćemo pokazati kako mješoviti broj pretvoriti u nepravilan razlomak. Konačno, istražimo obrnuti proces, što se zove izdvajanje cijelog broja iz nepravilan razlomak.
Navigacija po stranici.
Mješoviti brojevi, definicija, primjeri
Matematičari su se složili da se zbroj n + a / b, gdje je n prirodan broj, a / b pravilan razlomak, može napisati bez znaka zbrajanja u obliku. Na primjer, zbroj 28+5/7 može se ukratko napisati kao . Takav se unos zvao mješoviti, a broj koji odgovara ovom mješovitom unosu nazvan je mješoviti broj.
Tako dolazimo do definicije mješoviti broj.
Definicija.
mješoviti broj je broj jednak zbroju prirodnog broja n i pravilnog običnog razlomka a/b, i zapisan kao . U ovom slučaju se zove broj n cijeli dio broja, a broj a/b se zove razlomački dio broja.
Po definiciji, mješoviti broj jednak je zbroju njegovih cjelobrojnih i razlomaka, odnosno jednakost je istinita, što se može napisati i ovako:.
Donesimo primjeri mješovitih brojeva. Broj je mješoviti broj, prirodni broj 5 je cijeli dio broja i razlomački je dio broja. Drugi primjeri mješovitih brojeva su 
.
Ponekad možete pronaći brojeve u mješovitom zapisu, ali s razlomkom nepravilnog razlomka, na primjer, ili. Ti se brojevi shvaćaju kao zbroj njihovih cijelih i razlomaka, na primjer, 
i 
. Ali takvi brojevi ne odgovaraju definiciji mješovitog broja, budući da razlomak mješovitih brojeva mora biti pravi razlomak.
Broj također nije mješoviti broj, budući da 0 nije prirodan broj.
Odnos mješovitih brojeva i nepravilnih razlomaka
trag odnos između mješovitih brojeva i nepravilnih razlomaka najbolje s primjerima.
Neka na tacni bude kolač i još 3/4 iste torte. Odnosno, prema značenju dodavanja, na tacni je 1 + 3/4 kolača. Nakon što smo zadnji iznos upisali kao mješoviti broj, konstatujemo da se na tacni nalazi kolač. Sada ćemo cijelu tortu prerezati na 4 jednaka dijela. Kao rezultat toga, 7/4 torte će biti na pladnju. Jasno je da se "količina" torte nije promijenila, dakle.
Iz razmatranog primjera jasno je vidljiva sljedeća veza: bilo koji mješoviti broj može se predstaviti kao nepravilan razlomak.
Sada neka na tacni bude 7/4 torte. Dodavanjem cijele torte od četiri udjela, na tacni će biti 1 + 3/4, odnosno torta. Odavde je jasno da .
Iz ovog primjera je jasno da Nepravilan razlomak se može predstaviti kao mješoviti broj. (U posebnom slučaju kada se brojnik nepravilnog razlomka podijeli s nazivnikom, nepravilni razlomak se može predstaviti kao prirodan broj, na primjer, budući da je 8:4=2).
Pretvaranje mješovitog broja u nepravilan razlomak
Za izvršenje razne aktivnosti kod mješovitih brojeva od pomoći je vještina predstavljanja mješovitih brojeva kao nepravilnih razlomaka. U prethodnom odlomku saznali smo da se svaki mješoviti broj može pretvoriti u nepravilan razlomak. Vrijeme je da shvatimo kako se takav prijevod izvodi.
Napišimo algoritam koji pokazuje kako pretvoriti mješoviti broj u nepravilan razlomak:
Razmotrimo primjer pretvaranja mješovitog broja u nepravilan razlomak.
Primjer.
Izrazite mješoviti broj kao nepravilan razlomak.
Odluka.
Izvršimo sve potrebne korake algoritma.
Mješoviti broj jednak je zbroju njegovih cjelobrojnih i razlomaka: .
Zapisivanjem broja 5 kao 5/1, posljednji zbroj postaje .
Da bismo dovršili prijevod izvornog mješovitog broja u nepravilan razlomak, ostaje izvršiti zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima: 
.
Sažetak cjelokupnog rješenja je sljedeći: 
.
Odgovor:
Dakle, da biste mješoviti broj preveli u nepravilan razlomak, morate izvršiti sljedeći lanac radnji:. Kao rezultat primljen 
, koji ćemo koristiti u nastavku.
Primjer.
Napiši mješoviti broj kao nepravilan razlomak.
Odluka.
Upotrijebimo formulu za pretvaranje mješovitog broja u nepravilan razlomak. U ovom primjeru n=15, a=2, b=5. Tako, 
.
Odgovor:
Izdvajanje cjelobrojnog dijela iz nepravilnog razlomka
Nije uobičajeno u odgovoru napisati nepravilan razlomak. Nepravilni razlomak preliminarno se zamjenjuje bilo kojim istim prirodni broj(kada se brojnik u cijelosti podijeli nazivnikom), ili se provodi tzv. odvajanje cjelobrojnog dijela od nepravilnog razlomka (kada brojnik nije u cijelosti podijeljen nazivnikom).
Definicija.
Izdvajanje cjelobrojnog dijela iz nepravilnog razlomka je zamjena razlomka njegovim jednakim mješovitim brojem.
Ostaje saznati kako možete odabrati cijeli dio iz nepravilnog razlomka.
Vrlo je jednostavno: nepravilan razlomak a/b jednak je mješovitom broju oblika , gdje je q nepotpuni kvocijent, a r ostatak dijeljenja a s b. To jest, cijeli je dio jednak nepotpunom kvocijentu dijeljenja a s b, a ostatak je jednak brojniku razlomaka.
Dokažimo ovu tvrdnju.
Da biste to učinili, dovoljno je pokazati da . Prevedimo pomiješano u nepravilan razlomak kao što smo učinili u prethodnom odlomku:. Budući da je q nepotpun kvocijent i r ostatak dijeljenja a s b , tada je tačna jednakost a=b q+r (ako je potrebno, vidi
Na riječ "frakcije" mnoge se naježi. Jer se sjećam škole i zadataka koji su se rješavali iz matematike. To je bila dužnost koju je trebalo ispuniti. Ali što ako zadatke koji sadrže ispravne i nepravilne razlomke tretiramo kao zagonetku? Uostalom, mnogi odrasli rješavaju digitalne i japanske križaljke. Shvatite pravila i to je to. Isto ovdje. Treba samo uroniti u teoriju - i sve će doći na svoje mjesto. A primjeri će se pretvoriti u način treniranja mozga.
Koje vrste razlomaka postoje?
Krenimo od onoga što je. Razlomak je broj koji ima neki razlomak od jedan. Može se napisati u dva oblika. Prvi se naziva običnim. Odnosno onaj koji ima vodoravni ili kosi potez. Izjednačava se sa znakom dijeljenja.
U takvom zapisu broj iznad crtice naziva se brojnik, a ispod naziva nazivnik.
Među običnim razlomcima razlikuju se pravi i krivi razlomci. Za prvi je brojnik po modulu uvijek manji od nazivnika. Pogrešni se tako zovu jer imaju suprotno. Vrijednost pravog razlomka uvijek je manja od jedan. Dok je pogrešan uvijek veći od ovog broja.
Postoje i mješoviti brojevi, odnosno oni koji imaju cijeli broj i razlomak.
Druga vrsta zapisa je decimalna. O njenom odvojenom razgovoru.
Koja je razlika između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva?
Uglavnom, ništa. To je samo drugačiji zapis istog broja. Nepravilni razlomci nakon jednostavnih operacija lako postaju mješoviti brojevi. I obrnuto.
Sve ovisi o konkretnu situaciju. Ponekad je u zadacima prikladnije koristiti nepravilan razlomak. A ponekad ga je potrebno prevesti u mješoviti broj i tada će se primjer vrlo lako riješiti. Stoga, što koristiti: nepravilni razlomci, mješoviti brojevi - ovisi o promatranju rješavača problema.
Mješoviti broj se također uspoređuje sa zbrojem cjelobrojnog dijela i razlomka. Štoviše, drugo je uvijek manje od jedinice.
Kako mješoviti broj predstaviti kao nepravilan razlomak?
Ako želite izvršiti neku radnju s nekoliko brojeva koji su upisani u različiti tipovi, onda ih trebate učiniti istim. Jedna od metoda je predstavljanje brojeva kao nepravilnih razlomaka.
U tu svrhu morat ćete slijediti sljedeći algoritam:
- pomnoži nazivnik cijelim dijelom;
- rezultatu dodajte vrijednost brojnika;
- napiši odgovor iznad crte;
- ostavite nazivnik isti.
Evo primjera kako napisati nepravilne razlomke iz mješovitih brojeva:
- 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
- 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.
Kako napisati nepravilan razlomak kao mješoviti broj?
Sljedeća metoda je suprotna od gore opisane. To jest, kada se svi mješoviti brojevi zamijene nepravilnim razlomcima. Algoritam radnji bit će sljedeći:
- podijelite brojnik s nazivnikom da dobijete ostatak;
- umjesto cjelobrojnog dijela pomiješanog upiši kvocijent;
- ostatak treba staviti iznad crte;
- djelitelj će biti nazivnik.
Primjeri takve transformacije:
76/14; 76:14 = 5 s ostatkom 6; odgovor je 5 cijelih brojeva i 6/14; frakcijski dio u ovom primjeru treba smanjiti za 2, dobivate 3/7; konačni odgovor je 5 cijelih 3/7.
108/54; nakon dijeljenja dobije se kvocijent 2 bez ostatka; to znači da se svi nepravilni razlomci ne mogu predstaviti kao mješoviti broj; odgovor je cijeli broj - 2.
Kako pretvoriti cijeli broj u nepravilan razlomak?
Postoje situacije kada je takva akcija neophodna. Da biste dobili nepravilne razlomke s unaprijed određenim nazivnikom, morat ćete izvesti sljedeći algoritam:
- pomnožiti cijeli broj sa željenim nazivnikom;
- napišite ovu vrijednost iznad crte;
- ispod njega stavi nazivnik.
Najjednostavnija opcija je kada je nazivnik jednak jedan. Tada nema potrebe za množenjem. Dovoljno je samo napisati cijeli broj, koji je dat u primjeru, a ispod reda staviti jedinicu.
Primjer: Neka 5 bude nepravilan razlomak s nazivnikom 3. Nakon množenja 5 s 3, dobit ćete 15. Ovaj broj će biti nazivnik. Odgovor na zadatak je razlomak: 15/3.
Dva pristupa rješavanju zadataka s različitim brojevima
U primjeru je potrebno izračunati zbroj i razliku, kao i umnožak i kvocijent dvaju brojeva: 2 cijela broja 3/5 i 14/11.
U prvom pristupu mješoviti broj će biti predstavljen kao nepravilan razlomak.
Nakon izvođenja gore opisanih koraka, dobivate sljedeću vrijednost: 13/5.
Da biste saznali zbroj, trebate svesti razlomke na isti nazivnik. 13/5 pomnoženo s 11 postaje 143/55. A 14/11 nakon množenja s 5 poprimit će oblik: 70/55. Da biste izračunali zbroj, trebate samo zbrojiti brojnike: 143 i 70, a zatim zapisati odgovor s jednim nazivnikom. 213/55 - ovaj nepravilni razlomak je odgovor na problem.
Prilikom pronalaženja razlike oduzimaju se ti isti brojevi: 143 - 70 = 73. Odgovor je razlomak: 73/55.
Prilikom množenja 13/5 i 14/11, ne morate svesti na zajednički nazivnik. Samo pomnožite brojnike i nazivnike u parovima. Odgovor će biti: 182/55.
Isto tako i s podjelom. Za ispravna odluka trebate zamijeniti dijeljenje množenjem i okrenite djelitelj: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.
U drugom pristupu Nepravilan razlomak postaje mješoviti broj.
Nakon izvođenja radnji algoritma, 14/11 će se pretvoriti u mješoviti broj s cijelim dijelom 1 i razlomkom 3/11.
Prilikom izračunavanja zbroja potrebno je zasebno zbrojiti cijeli broj i razlomak. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konačni odgovor je 3 cijela 48/55. U prvom pristupu bio je razlomak 213/55. Točnost možete provjeriti pretvaranjem u mješoviti broj. Nakon dijeljenja 213 s 55, kvocijent je 3, a ostatak je 48. Lako je vidjeti da je odgovor točan.
Prilikom oduzimanja, znak "+" zamjenjuje se "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Da biste provjerili odgovor iz prethodnog pristupa, trebate ga pretvoriti u mješoviti broj: 73 se podijeli sa 55 i dobijete kvocijent od 1 i ostatak od 18.
Za pronalaženje proizvoda i kvocijenta nezgodno je koristiti mješovite brojeve. Ovdje se uvijek preporuča prijeći na nepravilne razlomke.
Decimalni brojevi kao što je 0,2; 1,05; 3.017 itd. kako se čuju, tako su i napisani. Nula točka dva, dobivamo razlomak. Cijelih pet stotinki, dobivamo razlomak. Tri cijele sedamnaest tisućinke, dobivamo djelić. Znamenke ispred decimalne točke u decimalnom broju cijeli su dio razlomka. Broj iza decimalne točke je brojnik budućeg razlomka. Ako iza zareza jednoznamenkasta- nazivnik će biti 10, ako je dvoznamenkasti - 100, troznamenkasti - 1000, itd. Neki od dobivenih frakcija mogu se smanjiti. U našim primjerima 
Pretvaranje razlomka u decimalni broj
Ovo je obrnuto od prethodne transformacije. Što je decimalni razlomak? Njezin nazivnik je uvijek 10, ili 100, ili 1000, ili 10.000, i tako dalje. Ako vaš uobičajeni razlomak ima takav nazivnik, nema problema. Na primjer, ili
Ako je razlomak, na primjer. U ovom slučaju trebate koristiti osnovno svojstvo razlomka i nazivnik pretvoriti u 10 ili 100, ili 1000 ... U našem primjeru, ako brojnik i nazivnik pomnožimo s 4, dobit ćemo razlomak koji se može napisati kao decimalni broj 0,12.
Neke je razlomke lakše podijeliti nego pretvoriti nazivnik. Na primjer,
Neki razlomci se ne mogu pretvoriti u decimalne brojeve!
Na primjer,
Pretvaranje mješovitog razlomka u nepravilan
Mješoviti razlomak, kao što je , lako se pretvara u nepravilan razlomak. Da biste to učinili, trebate pomnožiti cijeli broj s nazivnikom (dolje) i dodati ga brojniku (gore), a nazivnik (dolje) ostaviti nepromijenjen. tj
Prilikom pretvorbe miješana frakcija u pogrešan, možete se sjetiti da možete koristiti zbrajanje razlomaka
Pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti (isticanje cijelog dijela)
Nepravilan razlomak se može pretvoriti u mješoviti razlomak isticanjem cijelog dijela. Razmotrimo primjer, . Odredi koliko cijelih brojeva "3" stane u "23". Ili na kalkulatoru podijelimo 23 sa 3, cijeli broj do decimalne točke je željeni. Ovo je "7". Zatim određujemo brojnik budućeg razlomka: dobiveno "7" pomnožimo nazivnikom "3" i oduzmemo rezultat od brojnika "23". 
Kako bismo pronašli višak koji ostaje od brojnika "23", ako uklonimo maksimalni broj "3". Nazivnik ostaje nepromijenjen. Sve je gotovo, zapišite rezultat
Uputa
Pronađite brojnik dobivenog razlomka, koji bi trebao ostati nakon što iz njega izvučete cijeli broj. Da biste to učinili, pomnožite izračunati cijeli broj (20) s nazivnikom (23) i oduzmite rezultat (20*23=460) od brojnika izvornog razlomka (475). Ova se operacija također može izvesti u umu, u stupcu ili pomoću kalkulatora (475-460=15).
Izračunate podatke skupite u jedan unos u obliku mješovitog razlomka - prvo napišite cijeli dio (20), a zatim unesite točan s brojnikom (15) i (23). Za primjer korišten kao uzorak, transformacija nepravilnog razlomka u ispravan (točnije, u mješoviti) može se zapisati na sljedeći način: 475/23=20 15/23.
Često morate nešto podijeliti na dijelove, a oni dijelovi na koje je podijeljena cjelina su razlomci. U matematici postoji nekoliko vrsta razlomaka: decimalni (0,1; 2,5 i tako dalje) i obični (1/3; 5/9; 67/89 i tako dalje). Obični razlomci su točni i pogrešni.
Uputa
obični frakcija naziva se točnim ako je broj u njegovom brojniku manje od broja, koji je u nazivniku. Smanjenje razlomaka radi se s najmanjim brojevima.
Nepravilan razlomak možete pretvoriti u ispravan tako da brojnik takvog razlomka podijelite s nazivnikom - na taj način dobivamo točan razlomak. Inače, nepravilan razlomak se može zapisati kao jednostavan decimalni broj.
Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojnik veći od nazivnika. ispravan - onaj razlomak, u kojem je, prema tome, brojnik manji od nazivnika. ne postoji način da se nepravilan razlomak pretvori u pravilan, ali se može predstaviti kao mješoviti broj koji se sastoji od dva dijela (jedan dio će biti cijeli broj, a drugi će biti samo pravilan razlomak).
na primjer 5/2=2+1/2 (samo se razlomak obično piše odmah iza cijelog broja bez znaka plus)
ovdje trebate podijeliti brojnik nepravilnog razlomka s nazivnikom. zapiši cijeli broj dijeljenja (u našem slučaju 2). tada se ostatak dijeljenja (odnosno 1) zapisuje kao brojnik razlomka, koji zapisujemo pored dva.
Znamo iz školskog tečaja matematike. Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojnik veći od nazivnika. Da biste ga pretvorili u pravi razlomak, trebate brojnik takvog razlomka podijeliti s nazivnikom. Sve je vrlo jednostavno, pa će postati točan, odnosno decimalni razlomak.
Nepravilan razlomak, na primjer: 9/5, odabiremo njegov cijeli broj, bit će: 1 4/5 je sada malo kao ispravan, samo s cijelim dijelom koji je jedan.
Također ga možete pretvoriti u decimal u našem slučaju to će biti 1.8
Da biste riješili problem, prvo morate jasno razumjeti što je točan razlomak, a što netočan.
Krenimo od izjave
ne vrijedi za sve brojeve na brojevnoj liniji.
brojnik je (-10), nazivnik je (-4)
slična izjava
također nije uvijek istinito
brojnik je 2, nazivnik je (-3)
Nepravilan razlomak se može napisati zbrojem cijelog broja i pravilnog razlomka (mješoviti razlomak) i za to vam je potrebno:
podijeliti brojnik s nazivnikom, rezultirajući cijeli broj upisati u cijeli broj, ostatak u brojnik, ostavite nazivnik nepromijenjen
u brojniku (-15), u nazivniku 2, uzimamo minus izvan razlomka - (15/2), podijelimo 15 s 2, stavimo cijeli broj 7 u cijeli broj razlomka, upišemo ostatak dijeljenja 1 u brojniku, a nazivnik 2 ostaviti bez promjena.
Da biste nepravilan razlomak pretvorili u ispravan, prvo trebate reći:
U nepravilnom razlomku brojnik (najviši broj u razlomku) je veći ili jednak nazivniku;
Za pravi razlomak vrijedi suprotno.
Analizirat ćemo proces pretvorbe na primjeru razlomka 260/7:
1) Prvo podijelimo 260 sa 7, dobijemo broj 37,14 ..
2) Broj 37 će doći ispred razlomka kao cijeli broj
3) Sada 37 * 7 = 259
4) Od brojnika oduzimamo rezultirajući broj 260 - 259 \u003d 1 - ovaj će broj biti u brojnicima našeg redovnog razlomka.
5) Prilikom pisanja novog razlomka nazivnik ostaje nepromijenjen. U ovom slučaju, to je 7. Točan razlomak će izgledati ovako:
Provjera pretvorenog razlomka:
Cijeli broj pomnožimo nazivnikom i dodamo brojnik 37 * 7 + 1 = 260.
Pravi razlomak je razlomak čiji je nazivnik veći od brojnika. To sugerira da ovaj razlomak pokazuje neki dio cjeline. Na primjer, razlomak 1/2 označava da imamo polovicu, na primjer, lubenice, a razlomak 7/9 označava da imamo sedam komada lubenice izrezane na 9 dijelova. Netko je pojeo dvije.
Ako je razlomak netočan, odnosno brojnik je veći od nazivnika, onda je potpuno neshvatljivo koji je dio cjeline, ali izrezane lubenice, i koliko još cijelih lubenica ima na raspolaganju. Stoga morate pretvoriti nepravilan razlomak u ispravan. u ovom slučaju, dobit ćemo neki cijeli broj, a ostatak - točno točan razlomak.
Za prijevod, brojnik podijelimo nazivnikom u stupac. Primjer: 7/4. Sedam puta četiri daje jedan, a ostatak je 3/4. Dakle, pretvorili smo razlomak u točan - odgovor je 1 i 3/4.
Nepravilan razlomak naziva razlomak koji ima brojnik veći od nazivnika. Dakle, pravi razlomak je onaj čiji je brojnik manji od nazivnika. Da biste nepravilan razlomak pretvorili u ispravan, možete ga predstaviti kao decimalni broj. Na primjer, 17/8 se može napisati ovako: 2.125. Ili napišite ovako: 2 1/8.
Pravilnim razlomkom smatra se onaj kod kojeg je nazivnik veći od brojnika. Da biste nepravilni razlomak pretvorili u pravi, morate brojnik nepravilnog razlomka podijeliti s nazivnikom, rezultat će biti broj s ostatkom.
Na primjer, 4 cijela broja i tri jedanaeste, pomnožimo 4 s 11 i +3, zatim podijelimo s 11, ispada 44 +3 i podijelimo s 11, i dobijemo razlomak 47/11. Nepravilan razlomak je kada postoji cijeli broj kao što je 5,10, odnosno pet cijelih brojeva i 10/100, pet pomnožimo 100 i +10, ispada 10/500. Također, ako je na primjer 6,6, ovdje je lakše, pomnožimo 6 sa 6 i +6 ispadne 12/6, presiječemo za dva, dobijemo šest trećina, izrežemo šest trećina za tri, dobijemo prve dvije, dvije podijeljene po jedan, dobivamo dva. To jest, 6,6 = 2.
