Svojstva korijena, formulacije, dokazi, primjeri. Korijen. Detaljna teorija s primjerima Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

\(\sqrt(a)=b\) ako je \(b^2=a\), gdje je \(a≥0,b≥0\)

primjeri:

\(\sqrt(49)=7\) jer \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\),jer \(0,2^2=0,04\)

Kako izvući kvadratni korijen broja?

Da biste izvukli kvadratni korijen iz broja, morate si postaviti pitanje: koji će broj na kvadrat dati izraz ispod korijena?

na primjer. Izdvoj korijen: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Koji će broj na kvadrat dati \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Koji će broj na kvadrat dati \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Koji će broj na kvadrat dati \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Koji će broj na kvadrat dati \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Da biste dali odgovor na pitanje, morate prevesti na pogrešan.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentar: Iako \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) također odgovaraju na zadana pitanja , ali se ne uzimaju u obzir, budući da je kvadratni korijen uvijek pozitivan.

Glavno svojstvo korijena

Kao što znate, u matematici svaka radnja ima inverznu vrijednost. Zbrajanje ima oduzimanje, množenje ima dijeljenje. Suprotno od kvadrature je uzimanje kvadratnog korijena. Stoga se ove radnje međusobno poništavaju:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Ovo je glavno svojstvo korijena, koje se najčešće koristi (uključujući i OGE)

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Odluka :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \((\sqrt(85)-1)^2\)

Odluka:

Naravno, kada radite s kvadratnim korijenom, morate koristiti druge.

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Odluka:

Odgovor: \(220\)

4 pravila koja se uvijek zaboravljaju

Korijen se ne vadi uvijek

Primjer: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) itd. - izvlačenje korijena iz broja nije uvijek moguće i to je normalno!

Korijen broja, također broj

Nema potrebe tretirati \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) na bilo koji poseban način. To su brojevi, ali ne cijeli brojevi, da, ali ne mjeri se sve u našem svijetu cijelim brojevima.

Korijen se uzima samo iz nenegativnih brojeva

Stoga u udžbenicima nećete vidjeti takve stavke \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) itd.

Pogledao sam opet u tanjur... I, idemo!

Počnimo s jednostavnim:

Pričekaj minutu. ovo, što znači da to možemo napisati ovako:

Shvaćam? Evo sljedećeg za vas:

Korijeni dobivenih brojeva nisu točno izvučeni? Ne brinite, evo nekoliko primjera:

Ali što ako ne postoje dva množitelja, već više? Isto! Formula za množenje korijena radi s bilo kojim brojem čimbenika:

Sada potpuno neovisno:

odgovori: Dobro napravljeno! Slažem se, sve je vrlo jednostavno, glavna stvar je znati tablicu množenja!

Podjela korijena

Shvatili smo množenje korijena, sada idemo na svojstvo dijeljenja.

Dopustite mi da vas podsjetim da formula općenito izgleda ovako:

A to znači da korijen kvocijenta jednak je kvocijentu korijena.

Pa, pogledajmo primjere:

To je sva znanost. A evo primjera:

Sve nije tako glatko kao u prvom primjeru, ali kao što vidite, nema ništa komplicirano.

Što ako izraz izgleda ovako:

Samo trebate primijeniti formulu obrnuto:

A evo primjera:

Također možete vidjeti ovaj izraz:

Sve je isto, samo se ovdje trebate sjetiti kako prevesti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i vratite se!). Sjećali ste se? Sada odlučujemo!

Siguran sam da ste se snašli sa svime, sa svime, a sada pokušajmo graditi korijene u stupnju.

Eksponencijaliranje

Što se događa ako se kvadratni korijen kvadrira? Jednostavno je, zapamtite značenje kvadratnog korijena broja - ovo je broj kojem je kvadratni korijen jednak.

Dakle, ako kvadriramo broj čiji je kvadratni korijen jednak, što ćemo onda dobiti?

Pa naravno, !

Pogledajmo primjere:

Sve je jednostavno, zar ne? A ako je korijen u drugom stupnju? U redu je!

Držite se iste logike i zapamtite svojstva i moguće radnje sa stupnjevima.

Pročitajte teoriju na temu "" i sve će vam postati krajnje jasno.

Na primjer, evo izraza:

U ovom primjeru stupanj je paran, ali što ako je neparan? Opet, primijenite svojstva snage i faktorirajte sve:

S ovim se čini da je sve jasno, ali kako izvući korijen iz broja u stupnju? Evo, na primjer, ovo:

Prilično jednostavno, zar ne? Što ako je stupanj veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:

Pa, je li sve jasno? Zatim riješite svoje primjere:

A evo i odgovora:

Uvod pod znakom korijena

Ono što samo nismo naučili raditi s korijenima! Ostaje samo vježbati unos broja ispod znaka korijena!

Prilično je lako!

Recimo da imamo broj

Što možemo učiniti s tim? Pa, naravno, sakrijte trojku ispod korijena, a ne zaboravite da je trojka kvadratni korijen!

Zašto nam to treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti pri rješavanju primjera:

Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Olakšava život? Za mene je tako! Samo moramo zapamtiti da pod predznakom kvadratnog korijena možemo unijeti samo pozitivne brojeve.

Isprobajte i sami ovaj primjer:
Jeste li uspjeli? Pogledajmo što biste trebali dobiti:

Dobro napravljeno! Uspjeli ste unijeti broj ispod korijenskog znaka! Prijeđimo na jednako važno – razmislite kako usporediti brojeve koji sadrže kvadratni korijen!

Usporedba korijena

Zašto bismo trebali naučiti uspoređivati ​​brojeve koji sadrže kvadratni korijen?

Jako jednostavno. Često, u velikim i dugim izrazima na koje se susrećemo na ispitu, dobijemo iracionalan odgovor (sjećate li se što je to? Danas smo već razgovarali o tome!)

Primljene odgovore trebamo smjestiti na koordinatnu liniju, na primjer, kako bismo odredili koji je interval prikladan za rješavanje jednadžbe. I tu nastaje zamka: na ispitu nema kalkulatora, a bez njega kako zamisliti koji je broj veći, a koji manji? To je to!

Na primjer, odredite što je veće: ili?

Nećete reći odmah. Pa, upotrijebimo raščlanjeno svojstvo dodavanja broja ispod predznaka korijena?

Zatim naprijed:

Pa, očito, što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen!

Oni. ako znači .

Iz ovoga čvrsto zaključujemo da I nitko nas neće uvjeriti u suprotno!

Vađenje korijena iz velikih brojeva

Prije toga smo uveli faktor pod znakom korijena, ali kako ga izvaditi? Vi samo trebate to izdvojiti i izdvojiti ono što je izvučeno!

Bilo je moguće ići drugim putem i razložiti se na druge čimbenike:

Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako se osjećate ugodno.

Faktoring je vrlo koristan pri rješavanju takvih nestandardnih zadataka kao što je ovaj:

Ne plašimo se, mi djelujemo! Svaki faktor pod korijenom rastavljamo na zasebne čimbenike:

A sada probajte sami (bez kalkulatora! Neće biti na ispitu):

Je li ovo kraj? Ne stajemo na pola puta!

To je sve, nije sve tako strašno, zar ne?

dogodilo? Bravo, u pravu si!

Sada pokušajte s ovim primjerom:

A primjer je tvrd orah, pa ne možete odmah shvatiti kako mu pristupiti. Ali mi smo, naravno, u zubima.

Pa, krenimo s faktorima, hoćemo li? Odmah napominjemo da broj možete podijeliti s (prisjetite se znakova djeljivosti):

A sada, probajte sami (opet, bez kalkulatora!):

Pa, je li uspjelo? Bravo, u pravu si!

Sumirati

1. Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
   .
2. Ako uzmemo samo kvadratni korijen nečega, uvijek ćemo dobiti jedan nenegativan rezultat.
3. Svojstva aritmetičkog korijena:
4. Kada se uspoređuju kvadratni korijeni, mora se imati na umu da što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen.

Kako vam se sviđa kvadratni korijen? Sve jasno?

Pokušali smo vam bez vode objasniti sve što trebate znati na ispitu o kvadratnom korijenu.

Ti si na redu. Pišite nam je li vam ova tema teška ili ne.

Jeste li naučili nešto novo ili je sve već bilo tako jasno.

Pišite u komentarima i sretno na ispitima!

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi ljudi se zbune oko korijena, ne zato što su složeni (što je komplicirano - par definicija i još par svojstava), nego zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divlje vrijednosti da samo autori udžbenika mogu razumjeti ovo škrabanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najispravniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju stvarno trebate zapamtiti. I tek onda ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo, zapamtite jednu važnu točku, na koju iz nekog razloga mnogi sastavljači udžbenika "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i paran $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). A definicija korijena neparnog stupnja donekle se razlikuje od parnog.

Ovdje se u ovom jebenom "nešto drugačijem" krije, vjerojatno, 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Pa razjasnimo terminologiju jednom zauvijek:

Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativni broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stupnja iz istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvom zapisu naziva se korijenski eksponent, a broj $a$ naziva se radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput rečeno, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubni korijen (neparni stupanj), što se također često nalazi u problemima i jednadžbama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(poravnati)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također česti - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(poravnati)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto su nam uopće potrebni korijeni?

Nakon čitanja definicije, mnogi će se učenici pitati: "Što su matematičari pušili kad su smislili ovo?" I stvarno: zašto su nam potrebni svi ti korijeni?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak u osnovnu školu. Zapamtite: u onim dalekim vremenima, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša je glavna briga bila ispravno množiti brojeve. Pa nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali uostalom, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, to nije poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Tako su smislili diplome. Zašto ne biste zapisali broj faktora kao superscript umjesto dugog niza? Kao ova:

Vrlo je zgodno! Svi izračuni su smanjeni za nekoliko puta, a ne možete potrošiti hrpu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav zapis nazvan je stupnjem broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali se pokazalo da je sreća kratkotrajna.

Nakon grandiozne cuge, koja je organizirana upravo u vezi s "otkrićem" stupnjeva, neki posebno naduvani matematičar iznenada je upitao: "Što ako znamo stupanj broja, a ne znamo sam broj?" Doista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. stepen, kako onda možemo pogoditi čemu je sam broj $b$ jednak?

Taj se problem pokazao mnogo globalnijim nego što se na prvi pogled moglo činiti. Jer se pokazalo da za većinu “gotovih” stupnjeva ne postoje takvi “početni” brojevi. Procijenite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Strelica desno b=3\cdot 3\cdot 3\Strelica desno b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(poravnati)\]

Što ako je $((b)^(3))=50$? Ispada da trebate pronaći određeni broj, koji će nam, kada se pomnoži sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIGU ćete razumjeti.

Upravo zbog toga su matematičari došli do $n$-tog korijena. Zato je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Za označavanje istog broja $b$, koji će nam do određenog stupnja dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\Strelica desno ((b)^(n))=a\]

Ne tvrdim: često se ti korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera iznad. Ali ipak, u većini slučajeva, ako pomislite na proizvoljan broj, a zatim iz njega pokušate izvući korijen proizvoljnog stupnja, čeka vas okrutna nevolja.

Što je tamo! Čak i najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se predstaviti u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalne točke postoji beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj da biste ga brzo usporedili s drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]

Ali sva su ta zaokruživanja, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočiglednih pogrešaka (usput, vještina usporedbe i zaokruživanja nužno se provjerava na ispitu profila).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena – oni su isti jednaki predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, poput razlomaka i cijelih brojeva koje odavno poznajemo.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih konstrukcija posebno dizajniranih za to (logaritmi, stupnjevi, granice itd.). Ali o tome drugi put.

Razmotrimo nekoliko primjera gdje će, nakon svih izračuna, iracionalni brojevi i dalje ostati u odgovoru.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, po izgledu korijena gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je puno ispravnije odgovore napisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Kako bi bilo lakše zapisivati ​​odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa, barem od nule. Ali kockasti korijeni se mirno izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnih, čak i negativnih.

Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj graf. Da biste to učinili, na grafu je nacrtana vodoravna linija $y=4$ (obilježena crvenom), koja siječe parabolu u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x) _(2)) =-2$. Ovo je sasvim logično, jer

Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:

Ali što onda učiniti s drugom točkom? Ima li 4 dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne bismo napisali $\sqrt(4)=-2$? A zašto učitelji gledaju takve zapise kao da te žele pojesti? :)

Problem je u tome što ako se ne nametnu nikakvi dodatni uvjeti, onda će četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I svaki pozitivan broj također će ih imati dva. No negativni brojevi uopće neće imati korijen - to se može vidjeti iz istog grafa, budući da parabola nikada ne pada ispod osi y, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj imat će dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva korijen s čak $n$ uopće se ne izdvaja.

Zato definicija parnog korijena $n$ izričito propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Ovako se rješavamo nejasnoća.

Ali za neparan $n$ ne postoji takav problem. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini povučemo vodoravnu crtu, ta će se crta sigurno presijecati s našim grafom. Stoga se kubni korijen uvijek može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj uzeti u obzir "ispravan" korijen, a koji postići. Zato je definicija korijena za neparni stupanj jednostavnija nego za paran (nema zahtjeva nenegativnosti).

Šteta što ove jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naš mozak počinje uzdizati sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne tvrdim: što je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o tome, jer bez toga sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila bi nepotpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. Inače, zbog obilja termina, u glavi će vam početi toliki nered da na kraju nećete baš ništa razumjeti.

A sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što stvarno trebate znati o korijenima:

1. Parni korijen postoji samo od nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav korijen je nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što kapa upućuje, negativan.

Je li teško? Ne, nije teško. Razumljivo? Da, očito je! Stoga ćemo sada malo vježbati s izračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju puno čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo zapisujemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]

Drugim riječima, ako podignemo broj na paran stepen, a zatim iz toga izvučemo korijen istog stupnja, dobit ćemo ne izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji je lako dokazati (dovoljno je zasebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim zasebno razmotriti negativne). Učitelji stalno govore o tome, to se nalazi u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednadžbi (tj. jednadžbi koje sadrže predznak radikala), učenici zajedno zaborave ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo sve formule na minutu i pokušajmo izbrojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo su vrlo jednostavni primjeri. Prvi će primjer riješiti većina ljudi, ali na drugom se mnogi drže. Kako biste bez problema riješili svako takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:

1. Prvo, broj se podiže na četvrti stepen. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
2. A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. nema "redukcije" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne radnje.

Pozabavimo se prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo podižemo broj −3 na četvrti stepen, za što ga trebamo pomnožiti sam sa sobom 4 puta:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lijevo (-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, budući da je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada, i svi će se međusobno poništiti (na kraju krajeva, minus po minus daje plus). Zatim ponovno izvucite korijen:

U principu, ovaj redak se ne bi mogao napisati, jer je nebitno da će odgovor biti isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse, i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(poravnati)\]

Ti se proračuni dobro slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a predznak radikala je također uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim uzimamo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Stoga možemo biti sigurni da se nenegativan broj uvijek nalazi ispod predznaka korijena, budući da je $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
2. No, oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da prvo izvlačimo korijen iz određenog broja $a$ i tek onda kvadriramo rezultat. Stoga, broj $a$ ni u kojem slučaju ne može biti negativan - to je obavezan zahtjev ugrađen u definiciju.

Stoga se ni u kojem slučaju ne smije nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavlja" izvorni izraz. Jer ako ispod korijena postoji negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo mnogo problema.

Međutim, svi ovi problemi su relevantni samo za jednake pokazatelje.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, korijeni s neparnim eksponentima također imaju svoje obilježje, koje u principu ne postoji za parne. Naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stupnja. Ovo je vrlo korisno svojstvo koje vam omogućuje da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(poravnati)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne trebate brinuti: što ako je negativan izraz ušao ispod korijena, a stupanj u korijenu se pokazao paran? Dovoljno je samo "izbaciti" sve minuse izvan korijena, nakon čega se mogu međusobno umnožiti, podijeliti i općenito učiniti mnoge sumnjive stvari, koje će nas u slučaju "klasičnih" korijena zajamčeno dovesti do pogreška.

I tu na scenu stupa još jedna definicija – ona s kojom većina škola započinje proučavanje iracionalnih izraza. A bez čega bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte se!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod predznaka korijena. Ocijenimo na parne/neparne pokazatelje, ocjenimo na svim gore navedenim definicijama - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?

I tada dobivamo aritmetički korijen - on se djelomično siječe s našim "standardnim" definicijama, ali se još uvijek razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, paritet nas više ne zanima. Umjesto toga, pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz sada je uvijek nenegativan, a sam korijen također nije negativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafove kvadratne i kubične parabole koji su nam već poznati:

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafova koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrti - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati u indikator da biste razumjeli imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.

Možda ćete pitati: "Pa, zašto nam treba takva kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"

Pa, navest ću samo jedno svojstvo zbog kojeg nova definicija postaje odgovarajuća. Na primjer, pravilo eksponencijalnosti:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: korijenski izraz možemo podići na bilo koji stepen i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent s istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(poravnati)\]

Pa, što nije u redu s tim? Zašto to nismo mogli učiniti prije? Evo zašto. Razmislite o jednostavnom izrazu: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo ga pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom smo slučaju minus izvadili ispod radikala (imamo pravo, jer je pokazatelj neparan), au drugom smo koristili gornju formulu. Oni. s gledišta matematike sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo formula eksponencijalnosti, koja izvrsno radi za pozitivne brojeve i nulu, počinje davati potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.

Ovdje su, kako bi se riješili takve nejasnoće, došli do aritmetičkih korijena. Njima je posvećena zasebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Dakle, sada se nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugačkom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u zasebnom odlomku ili ne. Na kraju sam odlučio otići odavde. Ovaj materijal namijenjen je onima koji žele još bolje razumjeti korijene - više ne na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.

Dakle: pored "klasične" definicije korijena $n$-tog stupnja iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne pokazatelje, postoji "odrasla" definicija, koja ne ovisi o paritetu i druge suptilnosti uopće. To se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Temeljna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju danu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A budući da radimo s realnim brojevima, ovaj skup je samo tri vrste:

1. Prazan set. Pojavljuje se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija iz nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - isti $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratna funkcija. Sukladno tome, takvo je poravnanje moguće samo kada se iz pozitivnog broja izdvoji korijen parnog stupnja.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera kako bismo razumjeli razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Odluka. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koja su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, budući da je eksponent korijena neparan.

Konačno, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kada se podigne na četvrti (to jest, paran!) stepen, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napominjemo: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo sa stvarnim brojevima. Budući da postoje i kompleksni brojevi - tu je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u suvremenom školskom kurikulumu matematike kompleksni brojevi se gotovo nikada ne nalaze. Izostavljeni su iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju da je tema "preteška za razumjeti".

To je sve. U sljedećoj lekciji pogledat ćemo sva ključna svojstva korijena i konačno naučiti kako pojednostaviti iracionalne izraze. :)

Korijenske formule. svojstva kvadratnih korijena.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U prethodnoj lekciji shvatili smo što je kvadratni korijen. Vrijeme je da shvatimo što su formule za korijene, Što su svojstva korijena i što se tu može učiniti.

Korijenske formule, svojstva korijena i pravila za radnje s korijenima- to je u biti ista stvar. Postoji iznenađujuće malo formula za kvadratne korijene. Što, naravno, raduje! Dapače, možete napisati mnogo svih vrsta formula, ali samo tri su dovoljne za praktičan i siguran rad s korijenima. Sve ostalo proizlazi iz ovo troje. Iako mnogi zalutaju u tri formule korijena, da...

Počnimo s najjednostavnijim. evo nje:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Suprug. korijen, vratovi, korijen · umanjiti. prezrivi rizom, uvećavajući rizom, podzemni dio svake biljke. U drveću se razlikuju okosnica i bočni korijeni, a uz njih korijenje i mali režnjevi. upija vlagu. Korijen se događa: lukovičasti, ... ... Dahlov objašnjavajući rječnik

KORIJEN, pH, pl. rni, rni, muž. 1. Podzemni dio biljke, koji služi za jačanje u tlu i upijanje vode i hranjivih tvari iz njega. Glavni, bočni, adneksalni prema. Zračno korijenje (kod lijana i nekih drugih biljaka visoko iznad tla... Objašnjavajući rječnik Ozhegova

- (radix), jedan od glavnih vegetativnih organa lisnatog bilja, koji služi za pričvršćivanje na supstrat, upijanje vode iz njega i hranjenje. tvari. Filogenetski, K. je nastao kasnije od stabljike, a vjerojatno potječe od korijena ... ... Biološki enciklopedijski rječnik

Vidi početak, razlog, porijeklo iskorijeniti, ukorijeniti se... Rječnik ruskih sinonima i izraza sličnih po značenju. pod, ispod. izd. N. Abramova, M .: Ruski rječnici, 1999. korijen, početak, razlog, porijeklo; radikal; kralježnica, stabljika, ...... Rječnik sinonima

korijen- KORIJEN, rnya, m. 1. Prijatelj, prijatelj. 2. Muški spolni organ Mali čovjek izrasta u korijen korijen Snažan korijen je stari, vjeran prijatelj. 1. moguće kontaminacija pomoćnikom... Rječnik ruskog Arga

U matematici ..1) korijen stupnja n iz broja a je bilo koji broj x (označeno, a naziva se radikalni izraz), čiji je n-ti stupanj jednak a (). Radnja pronalaženja korijena naziva se vađenje korijena2)] Korijen jednadžbe je broj koji nakon ... ...

Primarni korijen je u mnogim četinjačama sačuvan doživotno i razvija se u obliku snažnog korijena iz kojeg se protežu bočni. Rjeđe, kao kod nekih borova, primarni korijen je nerazvijen i zamijenjen bočnim. Osim dugog... Biološka enciklopedija

- (matematički), 1) Korijen stupnja n broja a Broj čiji je n-ti stepen jednak zadanom broju a (označeno; a naziva se radikalni izraz). Čin pronalaženja korijena naziva se vađenje korijena. 2) Rješenje vrijednosti jednadžbe ... ... Moderna enciklopedija

U biologiji, jedan od glavnih organa biljaka, koji služi za jačanje u tlu, apsorpciju vode, minerala, sintetiziranje organskih spojeva, a također i za izolaciju nekih metaboličkih proizvoda. Korijen može biti mjesto za pohranu rezervnih ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

U lingvistici je neizvedena (jednostavna) osnova riječi koja ne uključuje nikakve afikse. Korijen je leksička jezgra riječi, odnosno nosi njeno glavno pravo značenje ... Veliki enciklopedijski rječnik

knjige

• Korijen svih zala, Williams R. Donald Bailey nije težak tinejdžer, već jednostavno nesretan. Počinivši nepopravljiv čin, izgubio je povjerenje prijatelja, ljubav svoje majke i vlastiti mir. Što mu preostaje? Pobjeći od...
• Korijen problema, Henry R. Brandt. Autor ove knjige nudi vrlo jednostavnu biblijsku istinu o oslobađanju od svih vrsta mentalnih poremećaja: svijest o grijehu kao temeljnom uzroku svih problema i pokajanje za počinjene grijehe. NA…