Zapišite sastavljeni prirodni broj. Proučavanje točnog predmeta: prirodni brojevi su ono što brojevi, primjeri i svojstva

Cijeli brojevi nama vrlo poznato i prirodno. I to nije iznenađujuće, budući da upoznavanje s njima počinje od prvih godina našeg života na intuitivnoj razini.

Informacije u ovom članku stvaraju bazni pogled o prirodnim brojevima, otkriva njihovu svrhu, usađuje vještine pisanja i čitanja prirodnih brojeva. Za bolju asimilaciju gradiva dati su potrebni primjeri i ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prirodni brojevi su opći prikaz.

Sljedeće mišljenje nije lišeno zdrave logike: pojava problema prebrojavanja objekata (prvi, drugi, treći objekt, itd.) i problema označavanja broja objekata (jedan, dva, tri predmeta, itd.) dovela je do toga. do stvaranja alata za njegovo rješenje, ovaj alat je bio cijeli brojevi .

Ovaj prijedlog pokazuje glavna svrha prirodnih brojeva- nose informacije o broju bilo koje stavke ili serijskom broju dane stavke u razmatranom skupu stavki.

Da bi se čovjek koristio prirodnim brojevima, oni moraju na neki način biti dostupni, kako za percepciju tako i za reprodukciju. Ako čujete svaki prirodni broj, tada će on postati uho uočljiv, a ako opišete prirodni broj, onda se može vidjeti. Ovo su najprirodniji načini prenošenja i percipiranja prirodnih brojeva.

Stoga počnimo stjecati vještinu prikazivanja (pisanja) i vještinu izgovaranja (čitanja) prirodnih brojeva, dok učimo njihovo značenje.

Decimalni zapis za prirodni broj.

Prvo trebamo odlučiti na čemu ćemo graditi pri pisanju prirodnih brojeva.

Pamtimo slike sljedećih znakova (prikazujemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Prikazane slike su zapis o tzv brojevima. Dogovorimo se odmah da ne okrećemo, naginjemo ili na drugi način ne iskrivljujemo brojeve prilikom pisanja.

Sada se slažemo da samo naznačene znamenke mogu biti prisutne u zapisu bilo kojeg prirodnog broja i da nikakvi drugi simboli ne mogu biti prisutni. Također se slažemo da znamenke u zapisu prirodnog broja imaju istu visinu, poredane su u retku jedna za drugom (bez uvlaka), a na lijevoj strani nalazi se znamenka koja se razlikuje od znamenke 0 .

Evo nekoliko primjera ispravnog zapisivanja prirodnih brojeva: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (napomena: uvlake između brojeva nisu uvijek iste, o tome će se više raspravljati prilikom pregleda). Iz gornjih primjera može se vidjeti da prirodni broj ne sadrži nužno sve znamenke 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; neke ili sve znamenke uključene u pisanje prirodnog broja mogu se ponoviti.

Unosi 014 , 0005 , 0 , 0209 nisu zapisi prirodnih brojeva, budući da se s lijeve strane nalazi znamenka 0 .

Zapis prirodnog broja, izveden uzimajući u obzir sve zahtjeve opisane u ovom stavku, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Nadalje nećemo razlikovati prirodne brojeve i njihov zapis. Pojasnimo ovo: dalje u tekstu fraze poput „dat je prirodan broj 582 “, što će značiti da je zadan prirodan broj, čiji zapis ima oblik 582 .

Prirodni brojevi u smislu broja objekata.

Vrijeme je da se pozabavimo kvantitativnim značenjem koje nosi zabilježeni prirodni broj. U članku usporedba prirodnih brojeva razmatra se značenje prirodnih brojeva u smislu numeriranja objekata.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, odnosno s brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 i 9 .

Zamislite da smo otvorili oči i vidjeli neki predmet, na primjer, ovakav. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 1 stvar. Prirodni broj 1 čita se kao " jedan"(deklinacija broja "jedan", kao i ostale brojeve, dat ćemo u paragrafu), za broj 1 usvojio drugo ime - " jedinica».

Međutim, izraz "jedinica" ima više vrijednosti; osim prirodnog broja 1 , nazivaju se nečim što se razmatra kao cjelina. Na primjer, bilo koja stavka iz njihovog skupa može se nazvati jedinicom. Na primjer, svaka jabuka od mnogih jabuka je jedna, svako jato ptica od mnogih jata također je jedna, i tako dalje.

Sada otvaramo oči i vidimo: To jest, vidimo jedan objekt i drugi objekt. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 2 predmet. Prirodni broj 2 , glasi kao " dva».

Isto tako, - 3 predmet (čitaj " tri» predmet), - 4 (« četiri"") predmeta, - 5 (« pet»), - 6 (« šest»), - 7 (« sedam»), - 8 (« osam»), - 9 (« devet”) stavke.

Dakle, iz razmatrane pozicije, prirodni brojevi 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiti iznos stavke.

Broj čija se oznaka podudara s oznakom znamenke 0 , pod nazivom " nula". Broj nula NIJE prirodan broj, međutim, obično se smatra zajedno s prirodnim brojevima. Zapamtite: nula znači odsutnost nečega. Na primjer, nula stavki nije jedna stavka.

U sljedećim odlomcima članka nastavit ćemo otkrivati ​​značenje prirodnih brojeva u smislu označavanja količine.

jednoznamenkasti prirodni brojevi.

Očito, zapis svakog od prirodnih brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastoji se od jednog znaka – jedne znamenke.

Definicija.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od jednog znaka - jedne znamenke.

Nabrojimo sve jednoznamenkaste prirodne brojeve: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi.

Prvo dajemo definiciju dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije znamenke (različite ili iste).

Na primjer, prirodni broj 45 - dvoznamenkasti, brojevi 10 , 77 , 82 također dvoznamenkasti 5 490 , 832 , 90 037 - nije dvoznamenkasta.

Odgonetnimo kakvo značenje nose dvoznamenkasti brojevi, dok ćemo krenuti od kvantitativnog značenja nama već poznatih jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Prvo, predstavimo koncept deset.

Zamislimo takvu situaciju – otvorili smo oči i vidjeli skup koji se sastoji od devet predmeta i još jednog predmeta. U ovom slučaju se govori o 1 deset (jedan desetak) predmeta. Ako se zajedno uzme u obzir jedna desetica i još jedna desetka, onda se govori o 2 desetice (dvije desetice). Ako dvije desetice dodamo još deseticu, imat ćemo tri desetice. Nastavljajući ovaj proces, dobit ćemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Sada možemo prijeći na bit dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Za ovo, pogledajmo dvoznamenkasti broj kao dva jednoznamenkasta broja - jedan je lijevo u zapisu dvoznamenkastog broja, drugi je desno. Broj s lijeve strane označava broj desetica, a broj s desne strane označava broj jedinica. Štoviše, ako postoji znamenka s desne strane u zapisu dvoznamenkastog broja 0 , onda to znači odsutnost jedinica. To je cijela poanta dvoznamenkastih prirodnih brojeva u smislu označavanja iznosa.

Na primjer, dvoznamenkasti prirodni broj 72 odgovara 7 deseci i 2 jedinice (tj. 72 jabuke je skup od sedam desetaka jabuka i još dvije jabuke), te broj 30 odgovori 3 deseci i 0 nema jedinica, odnosno jedinica koje nisu ujedinjene u desetice.

Odgovorimo na pitanje: "Koliko dvoznamenkastih prirodnih brojeva postoji"? Odgovori im 90 .

Prelazimo na definiciju troznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od 3 znakovi - 3 nazivaju se znamenke (različite ili ponovljene). troznamenkasti.

Primjeri prirodnih troznamenkastih brojeva su 372 , 990 , 717 , 222 . Cijeli brojevi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nisu troznamenkaste.

Da bismo razumjeli značenje inherentno troznamenkastim prirodnim brojevima, potreban nam je koncept stotine.

Skup od deset desetica je 1 sto (sto). Sto i sto je 2 stotine. Dvjesto i još sto je tristo. I tako dalje, imamo četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osamsto i konačno devet stotina.

Pogledajmo sada troznamenkasti prirodni broj kao tri jednoznamenkasta prirodna broja, koji idu jedan za drugim s desna na lijevo u zapisu troznamenkastog prirodnog broja. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj označava broj desetica, sljedeći broj broj stotina. Brojevi 0 u zapisu troznamenkastog broja znači izostanak desetica i (ili) jedinica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 812 odgovara 8 stotine 1 prvih deset i 2 jedinice; broj 305 - tristo 0 desetice, odnosno desetice koje nisu spojene u stotine, ne) i 5 jedinice; broj 470 - četiri stotine sedam desetica (nema jedinica koje se ne spajaju u desetice); broj 500 - petsto (desetice koje se ne spajaju u stotine, a jedinice koje se ne spajaju u desetice, ne).

Slično, može se definirati četveroznamenkasti, peteroznamenkasti, šesteroznamenkasti i tako dalje. prirodni brojevi.

Viševrijedni prirodni brojevi.

Dakle, prelazimo na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija.

Viševrijedni prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva ili tri ili četiri itd. znakovi. Drugim riječima, višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti itd. brojevima.

Recimo odmah da je skup koji se sastoji od deset stotina tisuću, tisuću tisuća je milijun, tisuću milijuna je jedna milijarda, tisuću milijardi je jedan trilijun. Tisuću bilijuna, tisuću tisuća bilijuna i tako dalje također se mogu nazvati vlastitim imenima, ali za tim nema posebne potrebe.

Dakle, koje je značenje iza viševrijednih prirodnih brojeva?

Pogledajmo višeznamenkasti prirodni broj kao jednoznamenkaste prirodne brojeve koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj je broj desetica, sljedeći je broj stotina, zatim broj tisuća, sljedeći je broj desetaka tisuća, sljedeći je broj stotina tisuća , sljedeći je broj milijuna, sljedeći je broj desetaka milijuna, sljedeći su stotine milijuna, sljedeći - broj milijardi, zatim - broj desetaka milijardi, zatim - stotine milijardi, pa - bilijuni, zatim - deseci bilijuna, zatim - stotine bilijuna, i tako dalje.

Na primjer, višeznamenkasti prirodni broj 7 580 521 odgovara 1 jedinica, 2 deseci, 5 stotine 0 tisuće 8 deseci tisuća 5 stotine tisuća i 7 milijuna.

Tako smo naučili grupirati jedinice u desetice, desetice u stotine, stotine u tisuće, tisuće u desetke tisuća i tako dalje, i saznali da brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja označavaju odgovarajući broj iznad grupa.

Čitanje prirodnih brojeva, nastava.

Već smo spomenuli kako se čitaju jednoznamenkasti prirodni brojevi. Naučimo napamet sadržaj sljedećih tablica.

A kako se čitaju ostali dvoznamenkasti brojevi?

Objasnimo na primjeru. Čitanje prirodnog broja 74 . Kako smo gore saznali, ovaj broj odgovara 7 deseci i 4 jedinice, tj. 70 i 4 . Okrećemo se upravo napisanim tablicama i broju 74 čitamo kao: “Sedamdeset i četiri” (ne izgovaramo uniju “i”). Ako želite pročitati broj 74 u rečenici: „Ne 74 jabuke" (genitiv), onda će zvučati ovako: "Nema sedamdeset četiri jabuke." Još jedan primjer. Broj 88 - Ovo 80 i 8 , dakle, čitamo: "Osamdeset i osam". A evo primjera rečenice: "Razmišlja o osamdeset osam rubalja."

Prijeđimo na čitanje troznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, morat ćemo naučiti još nekoliko novih riječi.

Ostaje pokazati kako se čitaju preostali troznamenkasti prirodni brojevi. U ovom slučaju koristit ćemo već stečene vještine čitanja jednoznamenkastih i dvoznamenkastih brojeva.

Uzmimo primjer. Pročitajmo broj 107 . Ovaj broj odgovara 1 stotinu i 7 jedinice, tj. 100 i 7 . Okrenuvši se prema tablicama, čitamo: "Sto sedam." Recimo sada broj 217 . Ovaj broj je 200 i 17 , dakle, čitamo: "Dvjesto sedamnaest". Također, 888 - Ovo 800 (osam stotina) i 88 (osamdeset i osam), čitamo: "Osam stotina osamdeset i osam."

Prijeđimo na čitanje višeznamenkasti brojevi.

Za čitanje, zapis višeznamenkastog prirodnog broja dijeli se, počevši s desne strane, u skupine od tri znamenke, dok u krajnjoj lijevoj takvoj skupini može biti ili 1 , ili 2 , ili 3 brojevima. Ove grupe se zovu razreda. Razred s desne strane se zove razred jedinice. Poziva se sljedeći razred (s desna na lijevo). klasa tisuća, sljedeći razred je klasa milijuna, Sljedeći - klasa milijardi, onda ide trilijuna klasa. Možete dati nazive sljedećih razreda, ali prirodne brojeve, čiji se zapis sastoji od 16 , 17 , 18 itd. znakovi se obično ne čitaju, jer ih je vrlo teško percipirati uhu.

Pogledajte primjere dijeljenja višeznamenkastih brojeva u klase (radi jasnoće, klase su međusobno odvojene malom uvlakom): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Zabilježene prirodne brojeve stavimo u tablicu prema kojoj ih je lako naučiti čitati.

Za čitanje prirodnog broja pozivamo s lijeva na desno brojeve koji ga čine po razredima i dodajemo naziv razreda. Pritom ne izgovaramo naziv klase jedinica, a također preskačemo one klase koje čine tri znamenke 0 . Ako zapis razreda ima znamenku na lijevoj strani 0 ili dvije znamenke 0 , a zatim zanemarite ove brojeve 0 i pročitaj broj dobiven odbacivanjem ovih znamenki 0 . Na primjer, 002 čitati kao "dva", i 025 - kao "dvadeset pet".

Pročitajmo broj 489 002 prema datim pravilima.

Čitamo s lijeva na desno,

• pročitaj broj 489 , koji predstavlja klasu tisuća, je "četiri stotine osamdeset i devet";
• dodajte naziv razreda, dobivamo "četiri stotine osamdeset devet tisuća";
• dalje u klasi jedinica vidimo 002 , nule su na lijevoj strani, stoga ih ignoriramo 002 čitati kao "dva";
• naziv klase jedinice nije potrebno dodavati;
• kao rezultat imamo 489 002 - četiri stotine osamdeset devet tisuća dvije.

Počnimo čitati broj 10 000 501 .

• S lijeve strane u klasi milijuna vidimo broj 10 , čitamo "deset";
• dodajte naziv razreda, imamo "deset milijuna";
• sljedeće vidimo zapisnik 000 u klasi tisuća, budući da su sve tri znamenke znamenke 0 , tada preskačemo ovaj razred i prelazimo na sljedeći;
• klasa jedinica predstavlja broj 501 , koje čitamo "petsto i jedan";
• Tako, 10 000 501 deset milijuna petsto i jedan.

Učinimo to bez detaljnih objašnjenja: 1 789 090 221 214 - "jedan trilijun sedamsto osamdeset devet milijardi devedeset milijuna dvjesto dvadeset i jedna tisuću dvjesto četrnaest."

Dakle, vještina čitanja višeznamenkastih prirodnih brojeva temelji se na sposobnosti razbijanja višeznamenkastih brojeva u razrede, poznavanju naziva razreda i sposobnosti čitanja troznamenkastih brojeva.

Znamenke prirodnog broja, vrijednost znamenke.

U pisanju prirodnog broja vrijednost svake znamenke ovisi o njezinom položaju. Na primjer, prirodni broj 539 odgovara 5 stotine 3 deseci i 9 jedinica, dakle brojka 5 u unosu broja 539 definira broj stotina, znamenku 3 je broj desetica i znamenka 9 - broj jedinica. Kaže se da je broj 9 stoji unutra jedinice znamenka i broj 9 je vrijednost jedinice znamenke, broj 3 stoji unutra desetke mjesto i broj 3 je vrijednost mjesta desetica, i broj 5 - u stotine mjesta i broj 5 je vrijednost na stotine mjesta.

Tako, pražnjenje- to je, s jedne strane, položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, a s druge strane vrijednost te znamenke, određena njezinim položajem.

Redovi su dobili imena. Ako pogledate brojeve u zapisu prirodnog broja s desna na lijevo, tada će im odgovarati sljedeće znamenke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, deseci tisuća, stotine tisuća, milijuni, deseci milijuna i tako dalje.

Nazive kategorija zgodno je zapamtiti kada su predstavljeni u obliku tablice. Napišimo tablicu koja sadrži nazive od 15 znamenki.

Imajte na umu da je broj znamenki zadanog prirodnog broja jednak broju znakova uključenih u pisanje ovog broja. Dakle, snimljena tablica sadrži nazive znamenki svih prirodnih brojeva, čiji zapis sadrži do 15 znakova. Sljedeće znamenke također imaju svoja imena, ali se vrlo rijetko koriste pa ih nema smisla spominjati.

Koristeći tablicu znamenki, prikladno je odrediti znamenke zadanog prirodnog broja. Da biste to učinili, trebate upisati ovaj prirodni broj u ovu tablicu tako da u svakoj znamenki postoji jedna znamenka, a krajnja desna znamenka je u znamenki jedinice.

Uzmimo primjer. Napišimo prirodan broj 67 922 003 942 u tablici, a znamenke i vrijednosti ovih znamenki postat će jasno vidljive.

U zapisu ovog broja, znamenka 2 stoji na mjestu jedinica, znamenka 4 - na mjestu desetica, znamenka 9 - na stotine, itd. Obratite pažnju na brojke 0 , koje su u znamenkama od desetina tisuća i stotina tisuća. Brojevi 0 u ovim znamenkama znači odsutnost jedinica ovih znamenki.

Spomenimo i takozvanu najnižu (najnižu) i najvišu (najvišu) kategoriju viševrijednog prirodnog broja. Niži (mlađi) rang bilo koji viševrijedni prirodni broj je znamenka jedinice. Najviša (najviša) znamenka prirodnog broja je znamenka koja odgovara krajnjoj desnoj znamenki u zapisu ovog broja. Na primjer, znamenka s najmanjim značajem prirodnog broja 23004 je znamenka jedinice, a najveća znamenka je znamenka desetaka tisuća. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s lijeva na desno, onda svaka sljedeća znamenka niži (mlađi) prethodni. Na primjer, znamenka tisuća je manja od znamenke desetaka tisuća, posebno znamenka tisuća je manja od znamenke stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna itd. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s desna na lijevo, onda svaku sljedeću znamenku viši (stariji) prethodni. Na primjer, znamenka stotine je starija od znamenke desetice, a još više, starija je od znamenke jedinica.

U nekim slučajevima (na primjer, kada se vrši zbrajanje ili oduzimanje), ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj bitnih članova tog prirodnog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu.

Dakle, upoznali smo se s prirodnim brojevima, sa njihovim značenjem i načinom pisanja prirodnih brojeva pomoću deset znamenki.

Općenito se naziva metoda pisanja brojeva pomoću znakova brojevni sustav. Vrijednost znamenke u unosu broja može, ali i ne mora ovisiti o njenom položaju. Zovu se brojevni sustavi u kojima vrijednost znamenke u brojčanom unosu ovisi o njezinom položaju pozicijski.

Dakle, prirodni brojevi koje smo razmatrali i način njihovog pisanja ukazuju na to da koristimo pozicijski brojevni sustav. Treba napomenuti da posebno mjesto u ovom brojevnom sustavu ima broj 10 . Doista, rezultat se vodi u deseticama: deset jedinica se kombinira u deseticu, deset desetica se kombinira u sto, deset stotina u tisuću i tako dalje. Broj 10 pozvao osnovu zadani brojevni sustav, a sam brojevni sustav se zove decimal.

Osim decimalnog brojevnog sustava, postoje i drugi, primjerice, u informatici se koristi binarni pozicijski brojevni sustav, a kod mjerenja vremena susrećemo se sa seksagezimalnim sustavom.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih ustanova.

Prirodni brojevi jedan su od najstarijih matematičkih pojmova.

U davnoj prošlosti ljudi nisu znali brojeve, a kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe i sl.), činili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta uspoređivali su s dijelovima tijela, na primjer, s prstima na ruci, pa su govorili: „Imam orašastih plodova koliko ima prstiju na ruci“.

S vremenom su ljudi shvatili da pet oraha, pet koza i pet zečeva imaju zajedničko svojstvo - njihov broj je pet.

Zapamtiti!

Cijeli brojevi su brojevi, koji počinju s 1, dobiveni prebrojavanjem objekata.

1, 2, 3, 4, 5…

najmanji prirodni broj — 1 .

najveći prirodni broj ne postoji.

Prilikom brojanja ne koristi se broj nula. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su predstavljati jedinicu s jednim štapom, zatim s dva štapa - brojem 2, s tri - brojem 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Onda je bilo posebni znakovi za označavanje brojeva - prethodnika modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva potječu iz Indije prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Europu, tako se zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ove znamenke se mogu koristiti za pisanje bilo kojeg prirodnog broja.

Zapamtiti!

prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki je broj veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan, u njemu nema najvećeg prirodnog broja.

Sustav brojanja koji koristimo zove se decimalni pozicijski.

Decimalno jer 10 jedinica svake znamenke tvori 1 jedinicu najznačajnije znamenke. Poziciona jer vrijednost znamenke ovisi o njenom mjestu u zapisu broja, odnosno o znamenki u kojoj je zapisan.

Važno!

Klase koje slijede nakon milijarde imenovane su prema latinskim nazivima brojeva. Svaka sljedeća jedinica sadrži tisuću prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 bilijun ("tri" je latinski za "tri")
• 1.000 trilijuna = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijun ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadrilijuna = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijun ("quinta" je latinski za "pet")

Međutim, fizičari su pronašli broj koji premašuje broj svih atoma (najmanjih čestica materije) u cijelom svemiru.

Ovaj broj ima poseban naziv - googol. Googol je broj koji ima 100 nula.

Prirodni brojevi poznati su čovjeku i intuitivni, jer nas okružuju od djetinjstva. U članku u nastavku dat ćemo osnovnu ideju o značenju prirodnih brojeva, opisati osnovne vještine njihovog pisanja i čitanja. Cijeli teorijski dio bit će popraćen primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opća ideja prirodnih brojeva

U određenoj fazi razvoja čovječanstva pojavio se zadatak prebrojavanja određenih objekata i označavanja njihove količine, što je zauzvrat zahtijevalo pronalaženje alata za rješavanje ovog problema. Prirodni brojevi su postali takav alat. Glavna svrha prirodnih brojeva je također jasna - dati ideju o broju objekata ili serijskom broju određenog objekta, ako govorimo o skupu.

Logično je da je za korištenje prirodnih brojeva potrebno imati način da ih percipira i reproducira. Dakle, prirodni broj se može izraziti ili prikazati, što je prirodnim putevima prijenos informacija.

Razmotrite osnovne vještine izgovaranja (čitanja) i slika (pisanja) prirodnih brojeva.

Decimalni zapis prirodnog broja

Prisjetimo se kako su prikazani slijedeći znakovi(odvajamo ih zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ti se znakovi nazivaju brojevima.

Uzmimo sada kao pravilo da se prilikom prikazivanja (pisanja) bilo kojeg prirodnog broja koriste samo naznačene znamenke bez sudjelovanja ikakvih drugih simbola. Neka znamenke pri pisanju prirodnog broja imaju istu visinu, pišu se jedna za drugom u retku, a s lijeve strane uvijek postoji znamenka koja je različita od nule.

Navedimo primjere ispravnog zapisa prirodnih brojeva: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Uvlake između znamenki nisu uvijek iste, o tome će se detaljnije govoriti u nastavku prilikom proučavanja klasa brojeva. Navedeni primjeri pokazuju da prilikom pisanja prirodnog broja nije potrebno imati sve znamenke iz navedenog niza. Neki ili svi se mogu ponoviti.

Definicija 1

Zapisi oblika: 065 , 0 , 003 , 0791 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer lijevo je broj 0.

Točan zapis prirodnog broja, napravljen uzimajući u obzir sve opisane zahtjeve, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Kvantitativno značenje prirodnih brojeva

Kao što je već spomenuto, prirodni brojevi u početku nose, između ostalog, kvantitativno značenje. Prirodni brojevi, kao alat za numeriranje, obrađeni su u temi usporedbe prirodnih brojeva.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, tj.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Zamislite određeni objekt, na primjer, ovo: Ψ . Možemo zapisati ono što vidimo 1 stvar. Prirodni broj 1 čita se kao "jedan" ili "jedan". Pojam "jedinica" ima i drugo značenje: nešto što se može promatrati kao cjelina. Ako postoji skup, onda se bilo koji njegov element može označiti jednim. Na primjer, od mnogih miševa, svaki miš je jedan; svaki cvijet iz skupa cvijeća je jedinica.

Sada zamislite: Ψ Ψ . Vidimo jedan predmet i drugi objekt, t.j. u zapisniku će biti - 2 stavke. Prirodni broj 2 čita se kao "dva".

Nadalje, analogno: Ψ Ψ Ψ - 3 stavke ("tri"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("četiri"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("pet"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("šest"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sedam"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("osam"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (" Ψ devet").

S naznačene pozicije, funkcija prirodnog broja je da označava količina stavke.

Definicija 1

Ako se unos broja podudara s unosom znamenke 0, tada se takav broj naziva "nula". Nula nije prirodan broj, ali se smatra zajedno s drugim prirodnim brojevima. Nula znači ne, tj. nula stavki znači ništa.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi

Očigledna je činjenica da pri pisanju svakog od gore navedenih prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) koristimo jedan znak - jednu znamenku.

Definicija 2

Jednoznamenkasti prirodni broj- prirodni broj, koji se piše jednim znakom - jednom znamenkom.

Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- prirodni brojevi, koji se zapisuju pomoću dva znaka - dvije znamenke. U ovom slučaju korišteni brojevi mogu biti ili isti ili različiti.

Na primjer, prirodni brojevi 71, 64, 11 su dvoznamenkasti.

Razmotrimo značenje dvoznamenkastih brojeva. Oslonit ćemo se na kvantitativno značenje nama već poznatih jednovrijednih prirodnih brojeva.

Uvedimo koncept kao što je "deset".

Zamislite skup objekata koji se sastoji od devet i još jednog. U ovom slučaju možemo govoriti o 1 tucetu ("jedan tucet") stavki. Ako zamislite jedan desetak i još jedan, tada ćemo govoriti o 2 desetice („dvije desetice“). Zbrajanjem još jedne desetice na dvije desetice, dobivamo tri desetice. I tako dalje: nastavljajući zbrajati deseticu, dobivamo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i konačno devet desetica.

Pogledajmo dvoznamenkasti broj kao skup jednoznamenkastih brojeva od kojih je jedan napisan desno, drugi lijevo. Broj s lijeve strane označava broj desetica u prirodnom broju, a broj s desne strane označava broj jedinica. U slučaju kada se broj 0 nalazi s desne strane, tada govorimo o odsutnosti jedinica. Gore navedeno je kvantitativno značenje prirodnih dvoznamenkastih brojeva. Ukupno ih je 90.

Definicija 4

Troznamenkasti prirodni brojevi- prirodni brojevi, koji se pišu pomoću tri znaka - tri znamenke. Brojevi mogu biti različiti ili se ponavljati u bilo kojoj kombinaciji.

Na primjer, 413, 222, 818, 750 su troznamenkasti prirodni brojevi.

Da bismo razumjeli kvantitativno značenje trovrijednih prirodnih brojeva, uvodimo pojam "sto".

Definicija 5

sto (sto) je skup od deset desetica. Sto plus sto je dvjesto. Dodajte još sto i dobijete 3 stotine. Postupno zbrajajući sto, dobivamo: četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osamsto, devetsto.

Razmotrimo sam zapis troznamenkastog broja: jednoznamenkasti prirodni brojevi koji su u njemu napisani su jedan za drugim s lijeva na desno. daleko desno jednoznamenkasta označava broj jedinica; sljedeći jednoznamenkasti broj lijevo - brojem desetica; krajnja lijeva jednoznamenkasta znamenka je broj stotina. Ako je broj 0 uključen u unos, to označava odsutnost jedinica i/ili desetica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 402 znači: 2 jedinice, 0 desetica (nema desetica koje se ne spajaju u stotine) i 4 stotine.

Analogno se daje definicija četveroznamenkastih, peteroznamenkastih i tako dalje prirodnih brojeva.

Viševrijedni prirodni brojevi

Iz svega navedenog sada je moguće prijeći na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija 6

Viševrijedni prirodni brojevi- prirodni brojevi koji se pišu pomoću dva ili više znakova. Višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti itd. brojevi.

Tisuću je skup koji uključuje deset stotina; milijun se sastoji od tisuću tisuća; jedna milijarda - tisuću milijuna; jedan trilijun je tisuću milijardi. Čak i veći setovi također imaju nazive, ali njihova upotreba je rijetka.

Slično gore navedenom principu, svaki višeznamenkasti prirodni broj možemo smatrati skupom jednoznamenkastih prirodnih brojeva, od kojih svaki, na određenom mjestu, označava prisutnost i broj jedinica, desetica, stotina, tisuća, desetica od tisuća, stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna, stotina milijuna, milijardi i tako dalje (s desna na lijevo, respektivno).

Na primjer, višeznamenkasti broj 4 912 305 sadrži: 5 jedinica, 0 desetica, tri stotine, 2 tisuće, 1 desetke tisuća, 9 stotina tisuća i 4 milijuna.

Rezimirajući, ispitali smo vještinu grupiranja jedinica u razne skupove (desetice, stotine itd.) i vidjeli da su brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja oznaka broja jedinica u svakom od takvih skupova.

Čitanje prirodnih brojeva, nastava

U gornjoj teoriji označili smo nazive prirodnih brojeva. U tablici 1 navodimo kako pravilno koristiti nazive jednoznamenkastih prirodnih brojeva u govoru i u abecednom zapisu:

Za kompetentno čitanje i pisanje dvoznamenkastih brojeva morate naučiti podatke u tablici 2:

Za čitanje drugih prirodnih dvoznamenkastih brojeva koristit ćemo podatke iz obje tablice, razmotrite to na primjeru. Recimo da trebamo pročitati prirodni dvoznamenkasti broj 21. Ovaj broj sadrži 1 jedinicu i 2 desetice, tj. 20 i 1. Okrenuvši se tablicama, navedeni broj čitamo kao "dvadeset jedan", dok spoj "i" između riječi nije potrebno izgovarati. Pretpostavimo da u nekoj rečenici trebamo upotrijebiti navedeni broj 21, koji označava broj stavki u genitivu: "nema 21 jabuka." U ovom slučaju, izgovor će zvučati ovako: "nema dvadeset i jedne jabuke."

Navedimo još jedan primjer radi jasnoće: broj 76, koji se čita kao "sedamdeset šest" i, na primjer, "sedamdeset i šest tona".

Za čitanje u cijelosti troznamenkasti broj, također koristimo podatke svih navedenih tablica. Na primjer, zadan prirodni broj 305 . Ovaj broj odgovara 5 jedinica, 0 deseticama i 3 stotine: 300 i 5. Uzimajući tablicu kao osnovu, čitamo: "trista i pet" ili u deklinaciji po padežima, na primjer, ovako: "trista i pet metara".

Pročitajmo još jedan broj: 543. Prema pravilima tablica, naznačeni broj će zvučati ovako: "petsto četrdeset i tri" ili u slučaju deklinacije, na primjer, ovako: "nema petsto četrdeset i tri rublja".

Idemo dalje na opći principčitanje višeznamenkastih prirodnih brojeva: da biste pročitali višeznamenkasti broj, trebate ga podijeliti s desna na lijevo u skupine od tri znamenke, a krajnja lijeva grupa može imati 1, 2 ili 3 znamenke. Takve grupe nazivaju se klasama.

Ekstremna desna klasa je klasa jedinica; zatim sljedeći razred, lijevo - klasa tisuća; dalje - klasa milijuna; zatim dolazi klasa milijardi, a zatim klasa trilijuna. Sljedeći razredi također imaju naziv, ali prirodni brojevi koji se sastoje od velikog broja znakova (16, 17 i više) rijetko se koriste u čitanju, prilično ih je teško percipirati sluhom.

Radi praktičnosti percepcije zapisa, klase su međusobno odvojene malom uvlakom. Na primjer, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Za čitanje višeznamenkastog broja pozivamo redom brojeve koji ga čine (s lijeva na desno, po razredu, dodajući naziv razreda). Naziv klase jedinica se ne izgovara, a ne izgovaraju se i one klase koje čine tri znamenke 0. Ako su jedna ili dvije znamenke 0 prisutne s lijeve strane u jednom razredu, tada se ne koriste ni na koji način pri čitanju. Na primjer, 054 se čita kao "pedeset četiri" ili 001 kao "jedan".

Primjer 1

Pogledajmo detaljno čitanje broja 2 533 467 001 222:

Čitamo broj 2, kao komponentu klase trilijuna – „dva“;

Dodajući naziv klase, dobivamo: "dva trilijuna";

Čitamo sljedeći broj, dodajući naziv odgovarajuće klase: “petsto trideset i tri milijarde”;

Nastavljamo analogijom, čitajući sljedeći razred s desne strane: “četiristo šezdeset sedam milijuna”;

U sljedećoj klasi vidimo dvije znamenke 0 koje se nalaze na lijevoj strani. Prema gornjim pravilima čitanja, znamenke 0 se odbacuju i ne sudjeluju u čitanju zapisa. Tada dobivamo: "tisuću";

Čitanje zadnji razred jedinice, bez dodavanja svog imena - "dvjesto dvadeset i dvije".

Tako će broj 2 533 467 001 222 zvučati ovako: dva trilijuna petsto trideset tri milijarde četiri stotine šezdeset sedam milijuna tisuću dvjesto dvadeset i dva. Koristeći ovaj princip, možemo čitati i ostale zadane brojeve:

31 013 736 - trideset jedan milijun trinaest tisuća sedamsto trideset šest;

134 678 - sto trideset i četiri tisuće šest stotina sedamdeset i osam;

23 476 009 434 - dvadeset i tri milijarde četiri stotine sedamdeset šest milijuna devet tisuća četiri stotine trideset i četiri.

Dakle, osnova ispravno čitanje višeznamenkasti brojevi je vještina razbijanja višeznamenkastog broja u razrede, poznavanje pripadajućih naziva i razumijevanje principa čitanja dvoznamenkastih i troznamenkastih brojeva.

Kao što već postaje jasno iz svega navedenog, njegova vrijednost ovisi o poziciji na kojoj se znamenka nalazi u zapisu broja. To jest, na primjer, broj 3 u prirodnom broju 314 označava broj stotina, odnosno 3 stotine. Broj 2 je broj desetica (1 desetica), a broj 4 je broj jedinica (4 jedinice). U ovom slučaju ćemo reći da je broj 4 na mjestu jedinica i da je vrijednost jedinica mjesta u danom broju. Broj 1 nalazi se na mjestu desetica i služi kao vrijednost mjesta desetica. Broj 3 nalazi se na mjestu stotina i vrijednost je mjesta stotina.

Definicija 7

Pražnjenje je položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, kao i vrijednost te znamenke, koja je određena njezinim položajem u zadanom broju.

Pražnjenja imaju svoja imena, već smo ih koristili gore. S desna na lijevo slijede brojke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, desetke tisuća itd.

Za praktičnost pamćenja možete koristiti sljedeću tablicu (naznačavamo 15 znamenki):

Pojasnimo ovaj detalj: broj znamenki u danom višeznamenkastom broju jednak je broju znakova u unosu broja. Na primjer, ova tablica sadrži nazive svih znamenki za broj od 15 znakova. Naknadna pražnjenja također imaju nazive, ali se koriste iznimno rijetko i vrlo su nezgodna za slušanje.

Uz pomoć takve tablice moguće je razviti vještinu određivanja ranga upisivanjem zadanog prirodnog broja u tablicu tako da se krajnja desna znamenka upisuje u znamenku jedinica, a zatim u svaku znamenku po znamenku. Na primjer, zapišimo višeznamenkasti prirodni broj 56 402 513 674 ovako:

Obratite pažnju na broj 0, koji se nalazi u kategoriji desetaka milijuna - to znači odsutnost jedinica ove kategorije.

Uvodimo i pojmove najniže i najviše znamenke višeznamenkastog broja.

Definicija 8

Najniži (junior) rang bilo koji viševrijedni prirodni broj je znamenka jedinice.

Najviša (senior) kategorija bilo kojeg višeznamenkastog prirodnog broja - znamenka koja odgovara krajnjoj lijevoj znamenki u zapisu zadanog broja.

Tako, na primjer, u broju 41.781: najniži rang je rang jedinica; najviši rang je znamenka deseci tisuća.

Logično slijedi da je moguće govoriti o starješini znamenki u odnosu na drugu. Svaka sljedeća znamenka pri pomicanju s lijeva na desno je niža (mlađa) od prethodne. I obrnuto: kada se krećete s desna na lijevo, svaka sljedeća znamenka je viša (starija) od prethodne. Na primjer, znamenka tisuća je starija od znamenke stotine, ali je mlađa od znamenke milijuna.

Pojasnimo to prilikom rješavanja nekih praktični primjeri ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj bitnih članova zadanog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu

Notacija- metoda pisanja brojeva pomoću znakova.

Pozicijski brojevni sustavi- one kod kojih vrijednost znamenke u broju ovisi o njenom položaju u zapisu broja.

Prema ovoj definiciji možemo reći da smo, proučavajući prirodne brojeve i način na koji su gore zapisani, koristili pozicijski brojevni sustav. Posebno mjesto broj 10 igra ovdje. Stalno brojimo u deseticama: deset jedinica čini deset, deset desetica sjedinjenih u sto, itd. Broj 10 služi kao baza ovog brojevnog sustava, a sam sustav naziva se i decimalnim.

Osim njega, postoje i drugi brojevni sustavi. Na primjer, informatika koristi binarni sustav. Kada pratimo vrijeme, koristimo seksagezimalni brojevni sustav.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prirodni brojevi i njihova svojstva

Prirodni brojevi se koriste za brojanje predmeta u životu. Bilo koji prirodni broj koristi znamenke $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Niz prirodnih brojeva, svaki sljedeći broj u kojem je $1$ veći od prethodnog, tvori prirodni niz koji počinje s jedan (jer je jedan najmanji prirodni broj) i nema najveća vrijednost, tj. beskrajna.

Nula se ne smatra prirodnim brojem.

Sljedeća svojstva odnosa

Sva svojstva prirodnih brojeva i operacije nad njima proizlaze iz četiri svojstva relacija niza, koje je u $1891$ formulirao D. Peano:

Jedan je prirodan broj koji ne slijedi nijedan prirodni broj.

Nakon svakog prirodnog broja slijedi jedan i samo jedan broj

Svaki prirodni broj osim $1$ slijedi jedan i samo jedan prirodni broj

Podskup prirodnih brojeva koji sadrži broj $1$, i zajedno sa svakim brojem sljedeći broj, sadrži sve prirodne brojeve.

Ako se zapis prirodnog broja sastoji od jedne znamenke, naziva se jednoznamenkastim (npr. $2,6,9$ itd.), ako se zapis sastoji od dvije znamenke naziva se dvoznamenkastim (na primjer, 12,18 $ ,45 $), itd. Slično. Dvoznamenkaste, troznamenkaste, četveroznamenkaste itd. brojevi se u matematici nazivaju viševrijednim.

Svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva

Komutativno svojstvo: $a+b=b+a$

Zbroj se ne mijenja kada se uvjeti preurede

Asocijativno svojstvo: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Da biste broju dodali zbroj dvaju brojeva, prvo možete dodati prvi član, a zatim, rezultirajućem zbroju, drugi član

Dodavanjem nule ne mijenja se broj, a ako dodate bilo koji broj nuli, dobit ćete dodani broj.

svojstva oduzimanja

Svojstvo oduzimanja zbroja od broja $a-(b+c) =a-b-c$ ako je $b+c ≤ a$

Da biste od broja oduzeli zbroj, od tog broja možete prvo oduzeti prvi član, a zatim od dobivene razlike drugi član

Svojstvo oduzimanja broja od zbroja $(a+b) -c=a+(b-c)$ ako je $c ≤ b$

Da biste oduzeli broj od zbroja, možete ga oduzeti od jednog člana, a dobivenoj razlici dodati drugi član

Ako od broja oduzmete nulu, broj se neće promijeniti.

Ako ga oduzmete od samog broja, dobit ćete nulu

Svojstva množenja

Pomak $a\cdot b=b\cdot a$

Umnožak dvaju brojeva se ne mijenja kada se faktori preurede

Asocijativni $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni proizvod s drugim faktorom

Kada se pomnoži s jedan, proizvod se ne mijenja $m\cdot 1=m$

Kada se pomnoži s nulom, proizvod je nula

Kada u zapisu proizvoda nema zagrada, množenje se izvodi s lijeva na desno

Svojstva množenja s obzirom na zbrajanje i oduzimanje

Distributivno svojstvo množenja s obzirom na zbrajanje

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Da biste zbroj pomnožili brojem, možete svaki pojam pomnožiti s tim brojem i zbrojiti rezultirajuće proizvode

Na primjer, $5(x+y)=5x+5y$

Distributivno svojstvo množenja s obzirom na oduzimanje

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Da biste razliku pomnožili brojem, pomnožite minus i oduzmite s tim brojem i oduzmite drugi od prvog proizvoda

Na primjer, $5(x-y)=5x-5y$

Usporedba prirodnih brojeva

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$, samo jedna od tri relacije $a=b$, $a

Manji broj je onaj koji se pojavljuje ranije u prirodnom nizu, a veći koji se pojavljuje kasnije. Nula je manja od bilo kojeg prirodnog broja.

Primjer 1

Usporedite brojeve $a$ i $555$, ako je poznato da postoji neki broj $b$, i vrijede sljedeće relacije: $a

Odluka: Na temelju navedenog svojstva, jer po uvjetu $a

u bilo kojem podskupu prirodnih brojeva koji sadrži barem jedan broj, postoji najmanji broj

Podskup u matematici je dio skupa. Za skup se kaže da je podskup drugog ako je svaki element podskupa također element većeg skupa.

Često, za usporedbu brojeva, pronađu njihovu razliku i uspoređuju je s nulom. Ako je razlika veća od $0$, ali je prvi broj veći od drugog, ako je razlika manja od $0$, tada je prvi broj manji od drugog.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Kada puna preciznost nije potrebna ili nije moguća, brojevi se zaokružuju, odnosno zamjenjuju se bliskim brojevima s nulama na kraju.

Prirodni brojevi se zaokružuju na desetke, stotine, tisuće itd.

Kada se broj zaokružuje na desetice, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih desetica; takav broj ima znamenku $0$ na mjestu jedinica

Prilikom zaokruživanja broja na stotine, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih stotina; takav broj bi trebao imati znamenku $0$ na mjestu desetica i jedinica. itd

Brojevi na koje se zaokružuje zadani nazivaju se približna vrijednost broja s točnošću navedenih znamenki. Na primjer, ako zaokružite broj $564$ na desetice, dobivamo da se može zaokružiti s nedostatkom i dobiti 560$, ili s viškom i dobijete 570$.

Pravilo zaokruživanja prirodnih brojeva

Ako je desno od znamenke na koju je broj zaokružen broj $5$ ili broj veći od $5$, tada se znamenki ove znamenke dodaje $1$; inače, ova brojka ostaje nepromijenjena.

Sve znamenke koje se nalaze desno od znamenke na koju je broj zaokružen zamjenjuju se nulama

Definicija

Prirodnim brojevima nazivaju se brojevi namijenjeni prebrojavanju predmeta. Za bilježenje prirodnih brojeva koristi se 10 arapskih brojeva (0–9), koji čine osnovu decimalnog brojevnog sustava općenito prihvaćenog za matematičke izračune.

Niz prirodnih brojeva

Prirodni brojevi čine niz koji počinje od 1 i pokriva skup svih pozitivnih cijelih brojeva. Takav niz se sastoji od brojeva 1,2,3, ... . To znači da u prirodnom nizu:

1. Postoji najmanji broj i nema najveći.
2. Svaki sljedeći broj veći je od prethodnog za 1 (iznimka je sama jedinica).
3. Kako brojevi idu u beskonačnost, tako rastu u nedogled.

Ponekad se u niz prirodnih brojeva uvodi i 0. To je dopušteno, a onda se priča o tome proširena prirodne serije.

Klase prirodnih brojeva

Svaka znamenka prirodnog broja izražava određenu znamenku. Posljednji je uvijek broj jedinica u broju, onaj prije njega je broj desetica, treći s kraja je broj stotina, četvrti je broj tisuća i tako dalje.

• u broju 276: 2 stotine, 7 desetica, 6 jedinica
• u broju 1098: 1 tisuća, 9 desetica, 8 jedinica; mjesto stotine ovdje nema, budući da je izraženo kao nula.

Za velike i vrlo velike brojeve možete vidjeti stalni trend (ako pogledate broj s desna na lijevo, odnosno od posljednje znamenke do prve):

• posljednje tri znamenke u broju su jedinice, desetice i stotine;
• prethodne tri su jedinice, deseci i stotine tisuća;
• tri ispred njih (tj. 7., 8. i 9. znamenka broja, računajući od kraja) su jedinice, desetine i stotine milijuna itd.

Odnosno, svaki put imamo posla s tri znamenke, što znači jedinice, desetke i stotine većeg imena. Takve grupe formiraju razrede. A ako s prva tri razreda u Svakidašnjica moraju češće ili rjeđe imati posla, onda treba navesti druge, jer ne pamte svi svoja imena napamet.

• 4. klasa, koja slijedi klasu milijuna i predstavlja brojeve od 10-12 znamenki, naziva se milijarda (ili milijarda);
• 5. razred - trilijun;
• 6. razred - kvadrilijun;
• 7. razred - kvintilion;
• 8. razred - sekstilion;
• 9. razred - septilion.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Zbrajanje prirodnih brojeva je aritmetička operacija, što vam omogućuje da dobijete broj koji sadrži onoliko jedinica koliko ih ima u zbrojenim brojevima.

Znak zbrajanja je znak "+". Zbrojeni brojevi nazivaju se pojmovi, a rezultat zbroj.

Mali brojevi se zbrajaju (zbrajaju) usmeno, u pisanom obliku takve se radnje pišu u retku.

Višeznamenkasti brojevi, koje je teško zbrajati u mislima, obično se zbrajaju u stupac. Za to se brojevi pišu jedan ispod drugog, poravnati sa posljednjom znamenkom, to jest, pišu znamenku jedinice ispod znamenke jedinice, znamenku stotine ispod znamenke stotine i tako dalje. Zatim morate dodati znamenke u parovima. Ako se zbrajanje znamenki dogodi s prijelazom kroz deseticu, tada je ova desetica fiksirana kao jedinica iznad znamenke s lijeve strane (odnosno, nakon nje) i zbraja se zajedno sa znamenkama ove znamenke.

Ako stupac zbroji ne 2, nego više brojeva, onda kada se zbrajaju znamenke kategorije, ne 1 desetak, već nekoliko može biti suvišno. U ovom slučaju, broj takvih desetica prenosi se na sljedeću znamenku.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Oduzimanje je aritmetička operacija, obrnuto zbrajanje, koja se svodi na to da, s obzirom na količinu i jedan od pojmova, trebate pronaći drugi - nepoznati pojam. Broj od kojeg se oduzima naziva se minuend; broj koji se oduzima je oduzet. Rezultat oduzimanja naziva se razlika. Znak koji označava operaciju oduzimanja je "-".

U prijelazu na zbrajanje oduzetak i razlika se pretvaraju u članke, a svedeno u zbroj. Zbrajanjem se obično provjerava ispravnost izvedenog oduzimanja, i obrnuto.

Ovdje je 74 minuend, 18 je oduzetak, 56 je razlika.

Preduvjet za oduzimanje prirodnih brojeva je sljedeći: minus mora nužno biti veći od oduzetog. Samo u ovom slučaju rezultirajuća razlika također će biti prirodan broj. Ako se radnja oduzimanja provodi za prošireni prirodni niz, tada je dopušteno da je minus jednak oduzetom. I rezultat oduzimanja u ovom slučaju bit će 0.

Napomena: ako je oduzimanje jednak nuli, tada operacija oduzimanja ne mijenja vrijednost minuenda.

Oduzimanje višeznamenkastih brojeva obično se vrši u stupcu. Zapišite brojeve na isti način kao za zbrajanje. Oduzimanje se vrši za odgovarajuće znamenke. Ako se pokaže da je minuend manji od oduzetog, tada se iz prethodne znamenke (koja se nalazi s lijeve strane) uzima jedan, koji se nakon prijenosa prirodno pretvara u 10. Ova desetica se zbraja s brojem smanjene zadana znamenka, a zatim oduzeta. Nadalje, pri oduzimanju sljedeće znamenke potrebno je uzeti u obzir da je smanjeno postalo 1 manje.

Umnožak prirodnih brojeva

Umnožak (ili množenje) prirodnih brojeva je aritmetička operacija, koja je pronalaženje zbroja proizvoljnog broja identičnih članova. Za snimanje operacije množenja koristite znak "·" (ponekad "×" ili "*"). Na primjer: 3 5=15.

Radnja množenja je neophodna kada je potrebno zbrajati veliki broj Pojmovi. Na primjer, ako trebate zbrojiti broj 4 7 puta, tada je množenje 4 sa 7 lakše nego napraviti ovaj zbrajanje: 4+4+4+4+4+4+4.

Brojevi koji se množe nazivaju se faktori, a rezultat množenja je umnožak. Sukladno tome, pojam "rad" može, ovisno o kontekstu, izraziti i proces umnožavanja i njegov rezultat.

Višeznamenkasti brojevi se množe u stupcu. Za ovaj broj se piše na isti način kao za zbrajanje i oduzimanje. Preporuča se prvo (iznad) napisati koji od 2 broja, koji je duži. U ovom slučaju, proces množenja bit će jednostavniji, a time i racionalniji.

Prilikom množenja u stupcu, znamenke svake znamenke drugog broja uzastopno se množe znamenkama 1. broja, počevši od njegova kraja. Nakon što su pronašli prvi takav rad, zapisuju broj jedinica i imaju na umu broj desetica. Prilikom množenja znamenke 2. broja sa sljedećom znamenkom 1. broja, umnošku se dodaje broj koji se ima na umu. I opet zapisuju broj jedinica dobivenog rezultata i pamte broj desetica. Prilikom množenja sa posljednjom znamenkom 1. broja, tako dobiveni broj upisuje se u cijelosti.

Rezultati množenja znamenki 2. znamenke drugog broja upisuju se u drugi red, pomičući ga za 1 ćeliju udesno. itd. Kao rezultat toga, dobit će se "ljestve". Treba zbrojiti sve rezultirajuće retke brojeva (prema pravilu zbrajanja u stupcu). Prazne ćelije treba smatrati ispunjenim nulama. Dobiveni zbroj je konačni proizvod.

Bilješka

1. Umnožak bilo kojeg prirodnog broja za 1 (ili 1 za broj) jednak je samom broju. Na primjer: 376 1=376; 1 86 = 86.
2. Kada je jedan od faktora ili oba faktora jednak 0, tada je umnožak jednak 0. Na primjer: 32·0=0; 0 845 = 845; 0 0=0.

Dijeljenje prirodnih brojeva

Dijeljenjem se naziva računska operacija, uz pomoć koje se prema poznatom umnošku i jednom od faktora može pronaći drugi – nepoznati – faktor. Podjela je akcija recipročna vrijednost množenja, a služi za provjeru ispravnosti izvršenog množenja (i obrnuto).

Broj koji se dijeli naziva se djeljivim; broj kojim se dijeli je djelitelj; rezultat dijeljenja naziva se količnik. Znak podjele je ":" (ponekad, rjeđe - "÷").

Ovdje je 48 dividenda, 6 djelitelj, a 8 kvocijent.

Ne mogu se svi prirodni brojevi međusobno podijeliti. U ovom slučaju, dijeljenje se vrši s ostatkom. Sastoji se u tome da se za djelitelj odabire takav faktor kako bi njegov umnožak na djelitelj bio broj koji je po vrijednosti što bliži dividendi, ali manji od nje. Djelitelj se množi s ovim faktorom i oduzima od dividende. Razlika će biti ostatak diobe. Umnožak djelitelja na faktor naziva se nepotpuni kvocijent. Pažnja: ostatak mora biti manji od odabranog množitelja! Ako je ostatak veći, to znači da je množitelj pogrešno odabran i treba ga povećati.

Odabiremo faktor za 7. U ovom slučaju, ovaj broj je 5. Nalazimo nepotpuni kvocijent: 7 5 \u003d 35. Izračunaj ostatak: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Višeznamenkasti brojevi podijeljeni su u stupac. Da biste to učinili, djelitelj i djelitelj su napisani jedan pored drugog, odvajajući djelitelj okomitom i vodoravnom crtom. U dividendi se odabire prva znamenka ili prvih nekoliko znamenki (desno), što bi trebao biti broj koji je minimalno dovoljan za dijeljenje s djeliteljem (odnosno taj broj mora biti veći od djelitelja). Za ovaj broj odabire se nepotpuni količnik, kako je opisano u pravilu dijeljenja s ostatkom. Pod djeliteljem se upisuje broj množitelja koji se koristi za pronalaženje parcijalnog kvocijenta. Nepotpuni kvocijent upisuje se ispod broja koji je podijeljen, desno poravnat. Pronađite njihovu razliku. Sljedeća znamenka dividende se ruši tako da se upiše pored ove razlike. Za dobiveni broj ponovno se nalazi nepotpuni kvocijent tako da se broj odabranog faktora zapiše uz prethodni ispod djelitelja. itd. Takve se radnje izvode sve dok se ne potroše brojevi dividende. Nakon toga, podjela se smatra završenom. Ako se dividenda i djelitelj podijele u cijelosti (bez ostatka), tada će posljednja razlika dati nulu. U suprotnom će se vratiti preostali broj.

Eksponencijaliranje

Eksponencijacija je matematička operacija koja se sastoji u množenju proizvoljnog broja identičnih brojeva. Na primjer: 2 2 2 2.

Takvi se izrazi pišu kao: a x,

gdje a je broj pomnožen sam sa sobom x je broj takvih faktora.

Prosti i složeni prirodni brojevi

Bilo koji prirodni broj, osim 1, može se podijeliti s najmanje 2 broja - jednim i samim sobom. Na temelju ovog kriterija prirodni brojevi se dijele na proste i složene.

Prosti brojevi su brojevi koji su djeljivi samo s 1 i samim sobom. Brojevi koji su djeljivi s više od ova 2 broja nazivaju se složeni brojevi. Jedinica djeljiva samo po sebi nije ni prosta ni složena.

Brojevi su prosti: 2,3,5,7,11,13,17,19, itd. Primjeri složenih brojeva: 4 (djeljivo sa 1,2,4), 6 (djeljivo sa 1,2,3,6), 20 (djeljivo sa 1,2,4,5,10,20).

Svaki složeni broj može se rastaviti na proste faktore. Prosti faktori ovdje se shvaćaju kao njegovi djelitelji, koji su prosti brojevi.

Primjer faktorizacije na primarne faktore:

Dijelitelji prirodnih brojeva

Djelitelj je broj kojim se dati broj može podijeliti bez ostatka.

U skladu s ovom definicijom, jednostavni prirodni brojevi imaju 2 djelitelja, složeni brojevi imaju više od 2 djelitelja.

Mnogi brojevi imaju zajedničke djelitelje. Zajednički djelitelj je broj kojim su dati brojevi djeljivi bez ostatka.

• Brojevi 12 i 15 imaju zajednički djelitelj 3
• Brojevi 20 i 30 imaju zajedničke djelitelje 2,5,10

Od posebne je važnosti najveći zajednički djelitelj (GCD). Ovaj broj je posebno koristan za pronalaženje za reduciranje razlomaka. Da bismo ga pronašli, potrebno je zadane brojeve rastaviti na proste faktore i prikazati ih kao umnožak njihovih zajedničkih prostih faktora, uzetih u njihovim najmanjim potencijama.

Potrebno je pronaći GCD brojeva 36 i 48.

Djeljivost prirodnih brojeva

Daleko nije uvijek moguće "na oko" odrediti je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka. U takvim slučajevima je koristan odgovarajući test djeljivosti, odnosno pravilo po kojem se u nekoliko sekundi može utvrditi je li moguće dijeliti brojeve bez ostatka. Znak "" koristi se za označavanje djeljivosti.

Najmanji zajednički višekratnik

Ova vrijednost (označena LCM) je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od zadanih. LCM se može pronaći za proizvoljan skup prirodnih brojeva.

LCM, kao i GCD, ima značajno primijenjeno značenje. Dakle, LCM treba pronaći redukcijom običnih razlomaka na zajednički nazivnik.

LCM se određuje faktorivanjem zadanih brojeva u proste faktore. Za njegovo formiranje uzima se umnožak koji se sastoji od svakog od pojavnih (barem za 1 broj) prostih čimbenika predstavljenih u maksimalnom stupnju.

Potrebno je pronaći LCM brojeva 14 i 24.

Prosječno

Aritmetička sredina proizvoljnog (ali konačnog) broja prirodnih brojeva je zbroj svih ovih brojeva podijeljen s brojem članova:

Aritmetička sredina je neka prosječna vrijednost za skup brojeva.

Dani su brojevi 2,84,53,176,17,28. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.