Vađenje korijena je inverzna operacija eksponencijalnosti. To jest, izdvajanjem korijena broja X, dobivamo broj koji će, na kvadrat, dati isti broj X.
Vađenje korijena je prilično jednostavna operacija. Tablica kvadrata može olakšati rad vađenja. Jer nemoguće je zapamtiti sve kvadrate i korijene napamet, a brojevi mogu biti veliki.
Izdvajanje korijena iz broja
izvlačenje korijen od broja je jednostavno. Štoviše, to se može učiniti ne odmah, već postupno. Na primjer, uzmimo izraz √256. U početku je nepoznatoj osobi teško odmah dati odgovor. Tada ćemo poduzeti korake. Prvo, podijelimo samo s brojem 4, iz kojeg vadimo odabrani kvadrat kao korijen.
Izvlačenje: √(64 4), tada će to biti ekvivalentno 2√64. I kao što znate, prema tablici množenja 64 = 8 8. Odgovor će biti 2*8=16.
Prijavite se na tečaj "Ubrzajte mentalno brojanje, a NE mentalnu aritmetiku" kako biste naučili kako brzo i ispravno zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadrirati brojeve, pa čak i puštati korijene. Za 30 dana naučit ćete se koristiti jednostavnim trikovima za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.
Složeno vađenje korijena
Kvadratni korijen se ne može izračunati iz negativnih brojeva, jer bilo koji broj na kvadrat jest pozitivan broj!
Kompleksni broj je broj i koji je na kvadrat jednak -1. To je i2=-1.
U matematici postoji broj koji se dobiva uzimanjem korijena broja -1.
To jest, moguće je izračunati korijen od negativan broj, ali to se već odnosi na višu matematiku, a ne na školu.
Razmotrimo primjer takvog vađenja korijena: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Root kalkulator online
Uz pomoć našeg kalkulatora možete izračunati izvlačenje broja iz kvadratnog korijena:
Pretvaranje izraza koji sadrže operaciju vađenja korijena
Bit transformacije radikalnih izraza je razlaganje radikalnog broja na jednostavnije, iz kojih se može izdvojiti korijen. Kao što su 4, 9, 25 i tako dalje.
Uzmimo primjer, √625. Radikalni izraz podijelimo brojem 5. Dobivamo √(125 5), ponavljamo operaciju √(25 25), ali znamo da je 25 52. Dakle, odgovor je 5*5=25.
Ali postoje brojevi za koje se korijen ne može izračunati ovom metodom i samo trebate znati odgovor ili imati pri ruci tablicu kvadrata.
√289=√(17*17)=17
Ishod
Uzeli smo u obzir samo vrh ledenog brijega, kako bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se na naš tečaj: Ubrzajte mentalno brojanje - NE mentalnu aritmetiku.
Iz tečaja ćete ne samo naučiti desetke trikova za pojednostavljeno i brzo množenje, zbrajanje, množenje, dijeljenje, računanje postotaka, već ćete ih i razraditi u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalno brojanje također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju u rješavanju zanimljivih problema.
Vrijeme je za rastavljanje metode vađenja korijena. Oni se temelje na svojstvima korijena, posebice na jednakosti, što vrijedi za svaki nenegativni broj b.
U nastavku ćemo zauzvrat razmotriti glavne metode vađenja korijena.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem - vađenjem korijena iz prirodnih brojeva pomoću tablice kvadrata, tablice kocki itd.
Ako tablice kvadrata, kocke itd. nije pri ruci, logično je koristiti metodu vađenja korijena, koja uključuje razlaganje korijenskog broja na jednostavne faktore.
Zasebno, vrijedi se zadržati na tome, što je moguće za korijene s neparnim eksponentima.
Konačno, razmotrite metodu koja vam omogućuje da uzastopno pronađete znamenke vrijednosti korijena.
Započnimo.
Korištenje tablice kvadrata, tablice kocki itd.
U najjednostavnijim slučajevima, tablice kvadrata, kocke itd. omogućuju vađenje korijena. Kakve su ovo tablice?
Tablica kvadrata cijelih brojeva od 0 do 99 (prikazano dolje) sastoji se od dvije zone. Prva zona stola nalazi se na siva pozadina, omogućuje vam da napravite broj od 0 do 99 odabirom određenog retka i određenog stupca. Na primjer, odaberimo red od 8 desetica i stupac od 3 jedinice, čime smo fiksirali broj 83. Druga zona zauzima ostatak tablice. Svaka njegova ćelija nalazi se na sjecištu određenog retka i određenog stupca, a sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99 . Na sjecištu odabranog retka od 8 desetica i stupca 3 od jedan nalazi se ćelija s brojem 6889, što je kvadrat broja 83.
Tablice kocki, tablice četvrtih potencija brojeva od 0 do 99 i tako dalje slične su tablici kvadrata, samo što sadrže kocke, četvrte potencije itd. u drugoj zoni. odgovarajući brojevi.
Tablice kvadrata, kocke, četvrte potencije itd. dopustiti vam da izvučete kvadratni korijen, kockasti korijeni, četvrti korijen itd. odnosno iz brojeva u ovim tablicama. Objasnimo princip njihove primjene u vađenju korijena.
Recimo da iz broja a trebamo izdvojiti korijen n-tog stupnja, dok je broj a sadržan u tablici n-tih stupnjeva. Prema ovoj tablici nalazimo broj b takav da je a=b n . Zatim 
, dakle, broj b će biti željeni korijen n-tog stupnja.
Kao primjer, pokažimo kako se kubni korijen od 19683 izdvaja pomoću tablice kocke. U tablici kocki nalazimo broj 19 683, iz nje nalazimo da je ovaj broj kocka broja 27, dakle, 
.
Jasno je da su tablice n-tih stupnjeva vrlo zgodne za vađenje korijena. Međutim, često nisu pri ruci, a njihovo sastavljanje zahtijeva određeno vrijeme. Štoviše, često je potrebno izdvojiti korijene iz brojeva koji nisu sadržani u odgovarajućim tablicama. U tim slučajevima treba pribjeći drugim metodama vađenja korijena.
Dekompozicija korijenskog broja na proste faktore
Dovoljno zgodan način, koji omogućuje vađenje korijena iz prirodnog broja (ako je, naravno, korijen ekstrahiran) je dekompozicija korijenskog broja na proste faktore. Njegovo suština je sljedeća: nakon što ga je prilično lako predstaviti kao stupanj sa željenim pokazateljem, što vam omogućuje da dobijete vrijednost korijena. Objasnimo ovu točku.
Neka je korijen n-tog stupnja izvučen iz prirodnog broja a, a njegova je vrijednost jednaka b. U ovom slučaju vrijedi jednakost a=b n. Broj b kao bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao umnožak svih njegovih prostih faktora p 1 , p 2 , ..., p m u obliku p 1 p 2 ... p m , a korijenski broj a u ovom slučaju je predstavljen kao (p 1 p 2 ... p m) n. Budući da je dekompozicija broja na proste faktore jedinstvena, dekompozicija korijenskog broja a na proste faktore će izgledati kao (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , što omogućuje izračunavanje vrijednosti korijena kao .
Imajte na umu da ako se faktorizacija korijenskog broja a ne može predstaviti u obliku (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tada korijen n-tog stupnja iz takvog broja a nije u potpunosti izdvojen.
Pozabavimo se time prilikom rješavanja primjera.
Primjer.
Uzmi kvadratni korijen od 144 .
Odluka.
Ako se okrenemo tablici kvadrata danoj u prethodnom odlomku, jasno se vidi da je 144=12 2 , iz čega je jasno da je kvadratni korijen od 144 12 .
Ali u svjetlu ove točke, zanima nas kako se korijen izdvaja razlaganjem korijenskog broja 144 na proste faktore. Pogledajmo ovo rješenje.
Razgradimo se 144 na osnovne faktore:
To jest, 144=2 2 2 2 3 3 . Na temelju dobivene razgradnje mogu se provesti sljedeće transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Stoga, 
.
Koristeći svojstva stupnja i svojstva korijena, rješenje bi se moglo formulirati malo drugačije: .
Odgovor:
Za konsolidaciju gradiva razmotrite rješenja još dva primjera.
Primjer.
Izračunajte vrijednost korijena.
Odluka.
Prost faktorizacija korijenskog broja 243 je 243=3 5 . Tako, 
.
Odgovor:
Primjer.
Je li vrijednost korijena cijeli broj?
Odluka.
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, razložimo korijenski broj na proste faktore i vidimo može li se predstaviti kao kocka cijelog broja.
Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Rezultirajuća dekompozicija nije predstavljena kao kocka cijelog broja, budući da je stupanj glavni faktor 7 nije višekratnik od tri. Stoga se kubni korijen od 285,768 ne uzima u potpunosti.
Odgovor:
Ne.
Vađenje korijena iz razlomaka
Vrijeme je da shvatimo kako se korijen izdvaja iz razlomka. Neka se razlomak korijenskog broja zapiše kao p/q . Prema svojstvu korijena kvocijenta vrijedi sljedeća jednakost. Iz ove jednakosti slijedi pravilo korijena razlomka: Korijen razlomka jednak je kvocijentu dijeljenja korijena brojnika s korijenom nazivnika.
Pogledajmo primjer vađenja korijena iz razlomka.
Primjer.
Koliki je kvadratni korijen obični razlomak 25/169 .
Odluka.
Prema tablici kvadrata nalazimo da je kvadratni korijen brojnika izvornog razlomka 5, a kvadratni korijen nazivnika 13. Zatim 
. Time je završeno vađenje korijena iz obične frakcije 25/169.
Odgovor:
Korijen decimalnog razlomka ili mješovitog broja izdvaja se nakon zamjene korijenskih brojeva običnim razlomcima.
Primjer.
Uzmite kubni korijen decimalnog broja 474.552.
Odluka.
Zamislite original decimal u obliku običnog razlomka: 474,552=474552/1000. Zatim 
. Ostaje izdvojiti kubne korijene koji se nalaze u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka. Kao 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , tada 
i 
. Ostaje samo dovršiti izračune 
.
Odgovor:
.
Izdvajanje korijena negativnog broja
Zasebno, vrijedi se zadržati na vađenju korijena iz negativnih brojeva. Prilikom proučavanja korijena rekli smo da kada je eksponent korijena neparan broj, tada negativan broj može biti pod znakom korijena. Takvim zapisima dali smo sljedeće značenje: za negativan broj −a i neparni eksponent korijena 2 n−1, imamo 
. Ova jednakost daje pravilo za vađenje neparnih korijena iz negativnih brojeva: da biste izdvojili korijen negativnog broja, potrebno je izvući korijen suprotnog pozitivnog broja, a ispred rezultata staviti znak minus.
Razmotrimo primjer rješenja.
Primjer.
Pronađite vrijednost korijena.
Odluka.
Transformirajmo izvorni izraz tako da se ispod predznaka korijena pojavi pozitivan broj: 
. Sada mješoviti broj zamijeniti običnim razlomkom: 
. Primjenjujemo pravilo vađenja korijena iz običnog razlomka: 
. Ostaje izračunati korijene u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka: 
.
Evo sažetka rješenja: 
.
Odgovor:
.
Pobitno traženje korijenske vrijednosti
U općem slučaju, ispod korijena nalazi se broj koji se, korištenjem tehnika o kojima smo raspravljali, ne može predstaviti kao n-ti stepen bilo kojeg broja. Ali u isto vrijeme postoji potreba da se zna vrijednost danog korijena, barem do određenog predznaka. U ovom slučaju, za izdvajanje korijena, možete koristiti algoritam koji vam omogućuje dosljedno dobivanje dovoljnog broja vrijednosti znamenki željenog broja.
Na prvom koraku ovaj algoritam morate saznati koji je najznačajniji dio vrijednosti korijena. Da biste to učinili, brojevi 0, 10, 100, ... sukcesivno se podižu na stepen n dok se ne dobije broj koji premašuje korijenski broj. Tada će broj koji smo podigli na stepen n u prethodnom koraku označavati odgovarajući visoki red.
Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma kada vadite kvadratni korijen od pet. Uzimamo brojeve 0, 10, 100, ... i kvadriramo ih dok ne dobijemo broj veći od 5 . Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , što znači da će najznačajnija znamenka biti znamenka jedinica. Vrijednost ovog bita, kao i nižih, naći ćemo u sljedećim koracima algoritma za ekstrakciju korijena.
Svi sljedeći koraci algoritma usmjereni su na uzastopno preciziranje vrijednosti korijena zbog činjenice da se pronađu vrijednosti sljedećih znamenki željene vrijednosti korijena, počevši od najviše i krećući se prema najnižoj . Na primjer, vrijednost korijena u prvom koraku je 2 , u drugom - 2,2 , u trećem - 2,23 , i tako dalje 2,236067977 ... . Opišimo kako se pronalaze vrijednosti bitova.
Pronalaženje znamenki vrši se njihovim nabrajanjem moguće vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9 . U ovom slučaju, n-te potencije odgovarajućih brojeva izračunavaju se paralelno i uspoređuju se s korijenskim brojem. Ako u nekoj fazi vrijednost stupnja premašuje radikalni broj, tada se smatra pronađenom vrijednost znamenke koja odgovara prethodnoj vrijednosti i vrši se prijelaz na sljedeći korak algoritma ekstrakcije korijena, ako se to ne dogodi, tada je vrijednost ove znamenke 9 .
Objasnimo sve ove točke koristeći isti primjer vađenja kvadratnog korijena od pet.
Najprije pronađite vrijednost znamenke jedinice. Iterirati ćemo vrijednosti 0, 1, 2, …, 9, računajući redom 0 2 , 1 2 , …, 9 2 dok ne dobijemo vrijednost veću od radikalnog broja 5 . Svi ovi izračuni prikladno su prikazani u obliku tablice: 
Dakle, vrijednost znamenke jedinice je 2 (jer je 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Prijeđimo na traženje vrijednosti desetog mjesta. U ovom slučaju ćemo kvadrirati brojeve 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, uspoređujući dobivene vrijednosti s korijenskim brojem 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5 , tada je vrijednost desetog mjesta 2 . Možete nastaviti s traženjem vrijednosti stotinke: 
Dakle, pronađena je sljedeća vrijednost korijena od pet, ona je jednaka 2,23. I tako možete nastaviti dalje tražiti vrijednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Za konsolidaciju gradiva analizirat ćemo ekstrakciju korijena s točnošću od stotinke koristeći razmatrani algoritam.
Prvo definiramo staru znamenku. Da bismo to učinili, kockamo brojeve 0, 10, 100 itd. dok ne dobijemo broj veći od 2.151.186 . Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , pa je najznačajnija znamenka znamenka desetice.
Definirajmo njegovu vrijednost. 
Od 103<2 151,186
, а 20 3 >2.151.186, tada je vrijednost znamenke desetice 1. Prijeđimo na jedinice. 
Dakle, vrijednost mjesta jedinica je 2 . Prijeđimo na deset. 
Budući da je čak 12,9 3 manje od radikalnog broja 2 151,186 , vrijednost desetog mjesta je 9 . Ostaje izvršiti zadnji korak algoritma, on će nam dati vrijednost korijena s potrebnom točnošću. 
U ovoj fazi, vrijednost korijena nalazi se do stotinke: 
.
U zaključku ovog članka, želio bih reći da postoji mnogo drugih načina za vađenje korijena. Ali za većinu zadataka dovoljni su oni koje smo gore proučili.
Bibliografija.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).
Uputa
Odaberite radikalni broj takav faktor, čije uklanjanje ispod korijen valjani izraz - inače će operacija izgubiti . Na primjer, ako je pod znakom korijen s eksponentom jednakim tri (kockasti korijen) vrijedi broj 128, onda se ispod znaka može izvaditi npr. broj 5. U isto vrijeme, korijen broj 128 će se morati podijeliti s 5 kubnih: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Ako je prisutnost razlomka pod znakom korijen ne proturječi uvjetima problema, moguće je u ovom obliku. Ako vam je potrebna jednostavnija opcija, prvo razbijte radikalni izraz na takve cjelobrojne faktore, od kojih će kubni korijen jednog biti cijeli broj broj m. Na primjer: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Koristite za odabir faktora korijenskog broja, ako nije moguće izračunati stupanj broja u vašem umu. To posebno vrijedi za korijen m s eksponentom većim od dva. Ako imate pristup internetu, tada možete izvršiti izračune pomoću kalkulatora ugrađenih u tražilice Google i Nigma. Na primjer, ako trebate pronaći najveći cjelobrojni faktor koji se može izvaditi iz predznaka kubika korijen za broj 250, zatim idite na Google web stranicu i unesite upit "6 ^ 3" da provjerite da li je moguće izvaditi ispod znaka korijenšest. Tražilica će pokazati rezultat jednak 216. Nažalost, 250 se ne može podijeliti bez ostatka s ovim broj. Zatim unesite upit 5^3. Rezultat će biti 125, a to vam omogućuje da podijelite 250 na faktore 125 i 2, što znači da ga izbacite iz znaka korijen broj 5 odlazi tamo broj 2.
Izvori:
- kako ga izvaditi ispod korijena
- Kvadratni korijen proizvoda
Izvadite ispod korijen jedan od čimbenika nužan je u situacijama kada trebate pojednostaviti matematički izraz. Postoje slučajevi kada je nemoguće izvršiti potrebne izračune pomoću kalkulatora. Na primjer, ako se umjesto brojeva koriste slova varijabli.
Uputa
Rastavite radikalni izraz na jednostavne čimbenike. Pogledajte koji se od čimbenika ponavlja isti broj puta, naznačen u pokazateljima korijen, ili više. Na primjer, trebate uzeti korijen broja a na četvrti stepen. U ovom slučaju, broj se može predstaviti kao a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikator korijen u ovom slučaju će odgovarati faktor a3. Mora se izvaditi iz znaka.
Odvojeno ekstrahirajte korijen nastalih radikala, gdje je to moguće. izvlačenje korijen je algebarska operacija inverzna eksponencijaciji. izvlačenje korijen proizvoljnog stepena iz broja, pronađite broj koji će, kada se podigne na ovaj proizvoljni stepen, rezultirati zadanim brojem. Ako ekstrakcija korijen ne može proizvesti, ostavite radikalni izraz ispod znaka korijen način na koji je. Kao rezultat gore navedenih radnji, izvršit ćete uklanjanje ispod znak korijen.
Slični Videi
Bilješka
Budite oprezni pri pisanju radikalnog izraza kao faktora - pogreška u ovoj fazi dovest će do netočnih rezultata.
Koristan savjet
Prilikom vađenja korijena prikladno je koristiti posebne tablice ili tablice logaritamskih korijena - to će značajno smanjiti vrijeme za pronalaženje ispravnog rješenja.
Izvori:
- znak za vađenje korijena 2019
Pojednostavljivanje algebarskih izraza potrebno je u mnogim granama matematike, uključujući rješavanje jednadžbi viših stupnjeva, diferencijaciju i integraciju. Ovo koristi nekoliko metoda, uključujući faktorizaciju. Da biste primijenili ovu metodu, morate pronaći i izvaditi zajednički faktor iza zagrade.
Uputa
Izuzimanje zajedničkog faktora za zagrade- jedna od najčešćih metoda razgradnje. Ova tehnika se koristi za pojednostavljenje strukture dugih algebarskih izraza, t.j. polinomi. Općenito može biti broj, monom ili binom, a za njegovo pronalaženje koristi se distributivno svojstvo množenja.
Broj. Pomno pogledajte koeficijente svakog polinoma da vidite mogu li se podijeliti istim brojem. Na primjer, u izrazu 12 z³ + 16 z² - 4, očito je faktor 4. Nakon pretvorbe, dobivate 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Drugim riječima, ovaj broj je najmanji zajednički cijeli broj svih koeficijenata.
Mononom Odrediti nalazi li se ista varijabla u svakom od članova polinoma. Pretpostavimo da je to slučaj, a sada pogledajte koeficijente, kao u prethodnom slučaju. Primjer: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.
Svaki element ovog polinoma sadrži varijablu z. Osim toga, svi koeficijenti su višekratnici od 3. Stoga će zajednički faktor biti monom 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).
Binom.Za zagrade Općenito faktor od dva, varijable i broja, što je opći polinom. Stoga, ako faktor-binom nije očit, tada morate pronaći barem jedan korijen. Označite slobodni član polinoma, ovo je koeficijent bez varijable. Sada primijenite metodu zamjene na zajednički izraz svih cijelih djelitelja slobodnog člana.
Uzmite u obzir: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Provjerite ima li bilo koji od djelitelja cijelih brojeva 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Pronađite z1 jednostavnom zamjenom = 1 i z2 = 2, dakle zagrade binomi (z - 1) i (z - 2) se mogu izvaditi. Da biste pronašli preostali izraz, koristite sekvencijalnu podjelu u stupac.
Činjenica 1.
\(\bullet\) Uzmite neki nenegativni broj \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) korijen iz broja \(a\) se zove takav nenegativan broj \(b\), pri kvadriranju dobivamo broj \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizlazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ova ograničenja su važan uvjet za postojanje kvadratnog korijena i treba ih zapamtiti!
Podsjetimo da bilo koji broj kada se kvadrira daje nenegativan rezultat. To jest, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Što je \(\sqrt(25)\) ? Znamo da su \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Budući da po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, \(-5\) nije prikladan, stoga \(\sqrt(25)=5\) (pošto \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se uzimanje kvadratnog korijena broja \(a\) , a broj \(a\) naziva se korijen izraz.
\(\bullet\) Na temelju definicije, izrazi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itd. nemaju smisla.
Činjenica 2.
Za brze izračune bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva od \(1\) do \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(niz)\]
Činjenica 3.
Što se može učiniti s kvadratnim korijenima?
\(\metak\) Zbroj ili razlika kvadratnih korijena NIJE JEDNAKA kvadratnom korijenu zbroja ili razlike, t.j. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada u početku morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ), a zatim ih zbrojite. Stoga, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći prilikom zbrajanja \(\sqrt a+\sqrt b\), onda se takav izraz dalje ne pretvara i ostaje takav kakav jest. Na primjer, u zbroju \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) - ovo je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) ne može biti pretvoren na bilo koji način, Zato \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nadalje, ovaj se izraz, nažalost, nikako ne može pojednostaviti.\(\bullet\) Umnožak/količnik kvadratnog korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda/količnika, t.j. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uvjetom da oba dijela jednakosti imaju smisla)
Primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene velikih brojeva rastavljanjem na faktore.
Razmotrimo primjer. Pronađite \(\sqrt(44100)\) . Budući da je \(44100:100=441\) , tada je \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti, broj \(441\) je djeljiv s \(9\) (budući da je zbroj njegovih znamenki 9 i djeljiv je s 9), dakle, \(441:9=49\) , odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Tako smo dobili: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako unositi brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (skraćenica za izraz \(5\cdot \sqrt2\) ). Budući da je \(5=\sqrt(25)\) , onda \
Također imajte na umu da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Zašto je to? Objasnimo primjerom 1). Kao što ste već shvatili, ne možemo nekako pretvoriti broj \(\sqrt2\) . Zamislite da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa drugo nego \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\) ). A znamo da je to jednako četiri takva broja \(a\) , odnosno \(4\sqrt2\) .
Činjenica 4.
\(\bullet\) Često se kaže “ne može se izdvojiti korijen” kada nije moguće riješiti se znaka \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) prilikom pronalaženja vrijednosti nekog broja. Na primjer, možete ukorijeniti broj \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali izdvojiti korijen iz broja \(3\) , odnosno pronaći \(\sqrt3\) , nemoguće je, jer ne postoji takav broj koji bi na kvadrat dao \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itd. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj "pi", približno jednak \(3,14\)), \(e\) (ovaj broj se zove Eulerov broj, približno jednak \(2) ,7\) ) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će svaki broj biti racionalan ili iracionalan. A zajedno svi racionalni i svi iracionalni brojevi tvore skup tzv skup realnih (realnih) brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da se svi brojevi koje trenutno poznajemo nazivaju realnim brojevima.
Činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od točke \(a\) do \(0\) na realnom crta. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) jednaki su 3, budući da su udaljenosti od točaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) jednake isto i jednako \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, tada \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, tada \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul "jede" minus, a pozitivne brojeve, kao i broj \(0\) , modul ostavlja nepromijenjen.
ALI ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako imate nepoznanicu \(x\) (ili neku drugu nepoznatu) pod znakom modula, na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo je li pozitivna, jednaka nuli ili negativna, tada riješiti se modula ne možemo. U ovom slučaju ovaj izraz ostaje takav: \(|x|\) . \(\bullet\) Važe sljedeće formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( osiguran) a\geqslant 0\]Često se čini sljedeća greška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) ista stvar. To vrijedi samo kada je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda to nije točno. Dovoljno je razmotriti takav primjer. Uzmimo broj \(-1\) umjesto \(a\). Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (jer je nemoguće pod znakom korijena staviti negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pozornost na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\desno)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\)
;
\(\fantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Budući da je \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tada je \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se izvuče korijen iz broja koji je u nekom stupnju, ovaj stupanj se prepolovi.
Primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije postavljen, ispada da je korijen broja jednak \(-25 \) ; ali sjećamo se, što, po definiciji korijena, to ne može biti: kada vadimo korijen, uvijek bismo trebali dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (budući da bilo koji broj na paran stepen nije negativan)
Činjenica 6.
Kako usporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Točno za kvadratne korijene: ako je \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) usporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo transformiramo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, od \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Između kojih se cijelih brojeva nalazi \(\sqrt(50)\) ?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Usporedite \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Pretpostavimo \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(poravnano) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat oba dijela))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netočnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila pogrešna i \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Imajte na umu da dodavanje određenog broja objema stranama nejednakosti ne utječe na njezin predznak. Množenje/dijeljenje oba dijela nejednadžbe pozitivnim brojem također ne utječe na njezin predznak, ali množenje/dijeljenje s negativnim brojem obrće predznak nejednadžbe!
Obje strane jednadžbe/nejednadžbe mogu se kvadrirati SAMO AKO su obje strane nenegativne. Na primjer, u nejednadžbi iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednadžbi \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Imajte na umu da \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \end(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam kada uspoređujete brojeve! \(\bullet\) Da biste iz nekog velikog broja koji nije u tablici kvadrata izvukli korijen (ako je izvučen) prvo morate odrediti između kojih se "stotina" nalazi, pa između kojih "desetica", a zatim odredi posljednju znamenku ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmite \(\sqrt(28224)\) . Znamo da \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) i tako dalje. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Stoga je \(\sqrt(28224)\) između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se "desetica" nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\) ). Također iz tablice kvadrata znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Stoga je broj \(\sqrt(28224)\) između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju znamenku. Prisjetimo se koji jednoznamenkasti brojevi pri kvadriranju daju na kraju \ (4 \) ? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Stoga će \(\sqrt(28224)\) završiti s 2 ili 8. Provjerimo ovo. Pronađite \(162^2\) i \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stoga \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Za adekvatno rješavanje ispita iz matematike, prije svega, potrebno je proučiti teorijsko gradivo koje uvodi brojne teoreme, formule, algoritme itd. Na prvi pogled može se činiti da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena lako i razumljivo za učenike bilo koje razine osposobljenosti, zapravo je prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronaći osnovne formule za ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.
Zašto je toliko važno učiti teoriju u matematici, ne samo za one koji izlaze na ispit?
- Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog gradiva iz matematike korisno je za svakoga tko želi dobiti odgovore na širok spektar pitanja vezanih uz poznavanje svijeta. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. Upravo se to odražava u znanosti kroz koju je moguće razumjeti svijet.
- Jer razvija intelekt. Proučavajući priručne materijale za ispit iz matematike, kao i rješavajući razne probleme, osoba uči logično razmišljati i zaključivati, pravilno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije, donošenja zaključaka.
Pozivamo Vas da osobno ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.
imate li ovisnost o kalkulatoru? Ili mislite da je, osim pomoću kalkulatora ili pomoću tablice kvadrata, vrlo teško izračunati npr.
Događa se da su školarci vezani za kalkulator i čak pomnože 0,7 s 0,5 pritiskom na drage gumbe. Kažu, dobro, još uvijek znam izračunati, ali sada ću uštedjeti vrijeme ... Bit će ispit ... onda ću se napeti ...
Dakle, činjenica je da će na ispitu ionako biti dosta “napetih trenutaka”... Kako kažu, voda nosi kamen. Dakle, na ispitu te sitnice, ako ih ima puno, mogu srušiti...
Minimizirajmo broj mogućih problema.
Uzimanje kvadratnog korijena velikog broja
Sada ćemo govoriti samo o slučaju kada je rezultat vađenja kvadratnog korijena cijeli broj.
Slučaj 1
Dakle, trebamo svakako (na primjer, kada računamo diskriminanta) izračunati kvadratni korijen od 86436.
Rastavit ćemo broj 86436 na proste faktore. Dijelimo s 2, dobivamo 43218; opet dijelimo s 2, - dobivamo 21609. Broj nije djeljiv s još 2. No, budući da je zbroj znamenki djeljiv s 3, onda je i sam broj djeljiv s 3 (općenito govoreći, može se vidjeti da je djeljiv i s 9). . Još jednom podijelimo s 3, dobivamo 2401. 2401 nije potpuno djeljivo s 3. Nije djeljivo s pet (ne završava s 0 ili 5).
Sumnjamo na djeljivost sa 7. Doista, a ,
Dakle, puni red!
Slučaj 2
Trebamo izračunati. Nezgodno je djelovati na isti način kao što je gore opisano. Pokušavam faktorizirati...
Broj 1849 nije potpuno djeljiv sa 2 (nije paran) ...
Nije potpuno djeljiv s 3 (zbroj znamenki nije višekratnik 3) ...
Nije potpuno djeljiv s 5 (zadnja znamenka nije 5 ili 0) ...
Nije potpuno djeljiv sa 7, nije djeljiv sa 11, nije djeljiv sa 13 ... Pa koliko će nam trebati da ovako prođemo kroz sve proste brojeve?
Raspravimo se malo drugačije.
mi to razumijemo
Suzili smo potragu. Sada razvrstavamo brojeve od 41 do 49. Štoviše, jasno je da, budući da je zadnja znamenka broja 9, onda se vrijedi zaustaviti na opcijama 43 ili 47 - samo će ti brojevi, kada su na kvadrat, dati posljednju znamenku 9.
Pa, ovdje se već, naravno, zaustavljamo na 43. Doista,
p.s. Kako, dovraga, pomnožimo 0,7 s 0,5?
Trebali biste pomnožiti 5 sa 7, zanemarujući nule i znakove, a zatim odvojiti, idući s desna na lijevo, dvije decimale. Dobivamo 0,35.
