Kako su čvorovi i nokovi povezani? Pronalaženje GCD-a korištenjem Euklidovog algoritma i pomoću faktorizacije prostih slojeva

Da biste naučili pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju ili više brojeva, morate razumjeti što su prirodni, prosti i kompleksni brojevi.

Prirodni broj je bilo koji broj koji se koristi za brojanje cijelih brojeva.

Ako se prirodni broj može podijeliti samo sa sobom i jedinicom, onda se naziva prostim.

Svi prirodni brojevi mogu se podijeliti sami sa sobom i jednim, ali jedini paran prost broj je 2, svi ostali se mogu podijeliti s dva. Stoga samo neparni brojevi mogu biti prosti.

Previše prostih brojeva kompletan popis oni ne postoje. Da biste pronašli GCD, prikladno je koristiti posebne tablice s takvim brojevima.

Većina prirodni brojevi mogu se podijeliti ne samo s jednim, sobom, već i drugim brojevima. Tako se, na primjer, broj 15 može podijeliti s 3 i 5. Svi se oni nazivaju djeliteljima broja 15.

Dakle, djelitelj bilo kojeg A je broj kojim se može podijeliti bez ostatka. Ako broj ima više od dva prirodna djelitelja, naziva se složenim.

Broj 30 ima djelitelje kao što su 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Možete vidjeti da 15 i 30 imaju iste djelitelje 1, 3, 5, 15. Najveći zajednički djelitelj ova dva broja je 15.

Dakle, zajednički djelitelj brojeva A i B je broj kojim ih možete podijeliti u potpunosti. Maksimum se može smatrati maksimumom ukupni broj na koje se mogu podijeliti.

Za rješavanje problema koristi se sljedeći skraćeni natpis:

GCD (A; B).

Na primjer, GCD (15; 30) = 30.

Za zapisivanje svih djelitelja prirodnog broja koristi se oznaka:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

NA ovaj primjer Prirodni brojevi imaju samo jedan zajednički djelitelj. Zovu se koprime, odnosno jedinica je njihov najveći zajednički djelitelj.

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva

Da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, trebate:

Pronađite sve djelitelje svakog prirodnog broja posebno, odnosno razložite ih na faktore (proste brojeve);

Odaberite sve iste faktore za dane brojeve;

Pomnožite ih zajedno.

Na primjer, da biste izračunali najveći zajednički djelitelj 30 i 56, napisali biste sljedeće:

Kako se ne biste zabunili s , prikladno je napisati množitelje pomoću okomitih stupaca. Na lijevoj strani linije trebate postaviti dividendu, a na desnoj - djelitelj. Ispod dividende trebate navesti rezultirajući kvocijent.

Dakle, u desnom stupcu bit će svi čimbenici potrebni za rješenje.

Identični djelitelji (pronađeni faktori) mogu se podvući radi praktičnosti. Treba ih prepisati i pomnožiti i zapisati najveći zajednički djelitelj.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Zaista je tako jednostavno pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva. Uz malo vježbe, to možete učiniti gotovo automatski.

Mnogi djelitelji

Razmotrite sljedeći problem: pronađite djelitelj broja 140. Očito je da broj 140 nema jedan djelitelj, već nekoliko. U takvim slučajevima se kaže da zadatak ima Mnogo rješenja. Nađimo ih sve. Prije svega, razložimo ovaj broj na primarni čimbenici:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Sada možemo lako ispisati sve djelitelje. Počnimo s jednostavnim djeliteljima, odnosno onima koji su prisutni u gornjoj ekspanziji:

Zatim ispisujemo one koji se dobivaju poparnim množenjem prostih djelitelja:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Zatim - oni koji sadrže tri jednostavna djelitelja:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Konačno, ne zaboravimo jedinicu i sam broj koji se može razložiti:

Svi djelitelji koje smo pronašli formiraju se Mnogo djelitelji broja 140, koji se piše pomoću vitičastih zagrada:

Skup djelitelja broja 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Radi lakše percepcije, ovdje smo napisali djelitelje ( skup elemenata) uzlaznim redoslijedom, ali općenito govoreći, to nije potrebno. Uz to uvodimo i kraticu. Umjesto "Skup djelitelja broja 140" napisat ćemo "D (140)". Na ovaj način,

Slično, može se pronaći skup djelitelja za bilo koji drugi prirodni broj. Na primjer, od ekspanzije

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

dobivamo:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Od skupa svih djelitelja treba razlikovati skup prostih djelitelja koji su za brojeve 140 i 105 jednaki:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Valja naglasiti da je kod dekompozicije broja 140 na proste faktore dva prisutna dva puta, dok je u skupu PD(140) samo jedan. Skup PD(140) je, u biti, svi odgovori na problem: "Pronađi prosti faktor broja 140". Jasno je da se isti odgovor ne smije ponoviti više od jednom.

Smanjenje frakcije. Najveći zajednički djelitelj

Razmotrimo razlomak

Znamo da se ovaj razlomak može smanjiti za broj koji je i djelitelj brojnika (105) i djelitelj nazivnika (140). Pogledajmo skupove D(105) i D(140) i zapišimo njihove zajedničke elemente.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Zajednički elementi skupova D(105) i D(140) =

Posljednja jednakost može se napisati kraće, i to:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Ovdje poseban znak "∩" ("torba s rupom prema dolje") samo označava da od dva skupa napisana prema različite strane iz njega trebate odabrati samo uobičajene elemente. Unos "D (105) ∩ D (140)" glasi " križanje setovi Te od 105 i Te od 140.

[Imajte na umu da možete izvoditi razne binarne operacije sa skupovima, gotovo kao s brojevima. Još jedna uobičajena binarna operacija je udruga, što je označeno ikonom "∪" ("torba s rupom gore"). Unija dva skupa uključuje sve elemente oba skupa:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Dakle, saznali smo da je razlomak

može se svesti na bilo koji od brojeva koji pripadaju skupu

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

i ne može se smanjiti ni za jedan drugi prirodni broj. To je sve mogući načini smanjenja (osim nezanimljivog smanjenja za jedan):

Očito je da je najpraktičnije razlomak smanjiti za broj, ako je moguće i veći. U ovom slučaju, to je broj 35, za koji se kaže da je najveći zajednički djelitelj (GCD) brojevi 105 i 140. Ovo se piše kao

gcd (105, 140) = 35.

Međutim, u praksi, ako su nam dana dva broja i trebamo pronaći njihov najveći zajednički djelitelj, uopće ne moramo graditi nikakve skupove. Dovoljno je jednostavno faktorizirati oba broja u proste faktore i podvući one od ovih čimbenika koji su zajednički za obje faktorizacije, na primjer:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Množenjem podcrtanih brojeva (u bilo kojem od proširenja) dobivamo:

gcd (105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Naravno, moguće je da postoji više od dva podvučena čimbenika:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Odavde je jasno da

gcd (168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Posebno treba spomenuti situaciju kada uopće nema zajedničkih čimbenika i nema se što isticati, na primjer:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

U ovom slučaju,

gcd (42, 55) = 1.

Zovu se dva prirodna broja za koja je gcd jednak jedan koprimeran. Ako od takvih brojeva napravite razlomak, npr.

onda je takav razlomak nesvodiv.

Općenito govoreći, pravilo za smanjenje razlomaka može se zapisati na sljedeći način:

Ovdje se pretpostavlja da a i b su prirodni brojevi, a svi razlomci su pozitivni. Ako sada objema stranama ove jednakosti dodijelimo znak minus, dobit ćemo odgovarajuće pravilo za negativne razlomke.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Najmanji zajednički višekratnik

Pretpostavimo da želite izračunati zbroj dvaju razlomaka:

Već znamo kako se nazivnici rastavljaju na proste faktore:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Iz ove dekompozicije odmah slijedi da je, da bi se razlomci doveli u zajednički nazivnik, dovoljno brojnik i nazivnik prvog razlomka pomnožiti s 2 ∙ 2 (umnožak nenaglašenih prostih čimbenika drugog nazivnika), a brojnik i nazivnik drugog razlomka za 3 (“proizvod” nepodcrtani prosti čimbenici prvog nazivnika). Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka postat će jednaki broju koji se može predstaviti na sljedeći način:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Lako je vidjeti da su oba izvorna nazivnika (i 105 i 140) djelitelji broja 420, a broj 420 je, zauzvrat, višekratnik oba nazivnika - a ne samo višekratnik, on je najmanji zajednički višekratnik (NOO) brojevi 105 i 140. Ovo se piše ovako:

LCM (105, 140) = 420.

Gledajući pažljivije proširenje brojeva 105 i 140, vidimo to

105 ∙ 140 = LCM (105, 140) ∙ GCD (105, 140).

Slično, za proizvoljne prirodne brojeve b i d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Sada dovršimo zbrajanje naših razlomaka:

Ali mnogi prirodni brojevi su jednako djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a je prirodan broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni. Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12.

Zajednički djelitelj dva zadana broja a i b je broj kojim su oba data broja djeljiva bez ostatka a i b. Zajednički djelitelj više brojeva (GCD) je broj koji svakom od njih služi kao djelitelj.

Ukratko najveći zajednički djelitelj brojeva a i b su napisane ovako:

Primjer: gcd (12; 36) = 12.

Označavaju se djelitelji brojeva u zapisu rješenja veliko slovo"D".

Primjer:

gcd (7; 9) = 1

Brojevi 7 i 9 imaju samo jedan zajednički djelitelj – broj 1. Takvi brojevi se nazivaju koprimeranchi slam.

Koprosti brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Njihov gcd je 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD), svojstva.

• Glavno svojstvo: najveći zajednički djelitelj m i n je djeljiv s bilo kojim zajedničkim djeliteljem ovih brojeva. Primjer: za brojeve 12 i 18 najveći zajednički djelitelj je 6; djeljiv je sa svim zajedničkim djeliteljima ovih brojeva: 1, 2, 3, 6.
• Korolar 1: skup zajedničkih djelitelja m i n poklapa se sa skupom djelitelja gcd( m, n).
• Posljedica 2: skup zajedničkih višekratnika m i n podudara se sa skupom više LCM-ova ( m, n).

To posebno znači da je za redukciju razlomaka u nesvodljivi oblik potrebno njegov brojnik i nazivnik podijeliti s njihovim gcd.

• Najveći zajednički djelitelj brojeva m i n može se definirati kao najmanji pozitivni element skupa svih njihovih linearnih kombinacija:

te stoga predstavljaju kao linearnu kombinaciju brojeva m i n:

Ovaj omjer se zove Bezoutov omjer, i koeficijenti u i v — bezout koeficijenti. Bézoutovi koeficijenti se učinkovito izračunavaju proširenim Euclidovim algoritmom. Ova izjava je generalizirana na skupove prirodnih brojeva - njeno značenje je da je podskupina grupe koju generira skup ciklična i da je generira jedan element: gcd ( a 1 , a 2 , … , a n).

Izračun najvećeg zajedničkog djelitelja (gcd).

Učinkoviti načini izračunavanja gcd dvaju brojeva su Euklidov algoritam i binarnialgoritam. Osim toga, vrijednost GCD ( m,n) može se lako izračunati ako je poznato kanonsko proširenje brojeva m i n za primarne faktore:

gdje su različiti prosti brojevi i i su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prosti brojevi nisu u proširenju). Zatim gcd ( m,n) i LCM ( m,n) izraženi su formulama:

Ako postoji više od dva broja: , njihov GCD se nalazi prema sljedećem algoritmu:

- ovo je željeni GCD.

Također, kako bi pronašli najveći zajednički djelitelj, možete rastaviti svaki od zadanih brojeva na proste faktore. Zatim zasebno napišite samo one faktore koji su uključeni u sve dane brojeve. Zatim množimo brojeve zapisane među sobom - rezultat množenja je najveći zajednički djelitelj .

Analizirajmo izračun najvećeg zajedničkog djelitelja korak po korak:

1. Rastaviti djelitelje brojeva na proste faktore:

Izračuni se prikladno pišu pomoću okomite trake. Lijevo od retka prvo zapišite dividendu, desno - djelitelj. Dalje u lijevom stupcu zapisujemo vrijednosti privatnog. Objasnimo odmah na primjeru. Faktorizirajmo brojeve 28 i 64 u proste faktore.

2. Podvlačimo iste proste faktore u oba broja:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Pronalazimo umnožak identičnih prostih faktora i zapisujemo odgovor:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Odgovor: GCD (28; 64) = 4

Mjesto GCD-a možete urediti na dva načina: u stupcu (kao što je učinjeno gore) ili "u redu".

Prvi način za pisanje GCD:

Pronađite GCD 48 i 36.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

Drugi način pisanja GCD-a:

Sada napišimo rješenje GCD pretraživanja u retku. Pronađite GCD 10 i 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Ovaj je članak posvećen takvom pitanju kao što je pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja. Prvo ćemo objasniti što je to i dati neke primjere, uvesti definicije najvećeg zajedničkog djelitelja 2, 3 ili više brojeva, nakon čega ćemo se zadržati na općim svojstvima ovaj koncept i dokazati ih.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što su zajednički djelitelji

Da bismo razumjeli što je najveći zajednički djelitelj, prvo formuliramo što je zajednički djelitelj za cijele brojeve.

U članku o višekratnicima i djeliteljima rekli smo da cijeli broj uvijek ima više djelitelja. Ovdje nas zanimaju djelitelji određenog broja cijelih brojeva odjednom, posebno zajednički (identični) za sve. Zapišimo glavnu definiciju.

Definicija 1

Zajednički djelitelj nekoliko cijelih brojeva bit će broj koji može biti djelitelj svakog broja iz navedenog skupa.

Primjer 1

Evo primjera takvog djelitelja: trojka će biti zajednički djelitelj za brojeve - 12 i 9, budući da su jednakosti 9 = 3 · 3 i − 12 = 3 · (− 4) istinite. Brojevi 3 i - 12 imaju druge zajedničke djelitelje, kao što su 1 , - 1 i - 3 . Uzmimo još jedan primjer. Četiri cijela broja 3 , − 11 , − 8 i 19 imat će dva zajednička djelitelja: 1 i - 1 .

Poznavajući svojstva djeljivosti, možemo reći da se svaki cijeli broj može podijeliti s jedan i minus jedan, što znači da će svaki skup cijelih brojeva već imati barem dva zajednička djelitelja.

Također imajte na umu da ako imamo zajednički djelitelj b za nekoliko brojeva, onda se isti brojevi mogu podijeliti s suprotan broj, tj. na - b . U principu, možemo uzeti samo pozitivne djelitelje, tada će svi zajednički djelitelji također biti veći od 0 . Ovaj pristup se također može koristiti, ali potpuno zanemaren negativni brojevi ne slijedi.

Koji je najveći zajednički djelitelj (gcd)

Prema svojstvima djeljivosti, ako je b djelitelj cijelog broja a koji nije jednak 0, tada modul b ne može biti veći od modula a, stoga bilo koji broj koji nije jednak 0 ima konačan broj djelitelja . To znači da će broj zajedničkih djelitelja nekoliko cijelih brojeva, od kojih se barem jedan razlikuje od nule, također biti konačan, a iz cijelog njihovog skupa uvijek možemo odabrati najviše veliki broj(Ranije smo već govorili o konceptu najvećeg i najmanjeg cijelog broja, savjetujemo vam da ponovite ovaj materijal).

U daljnjem razmišljanju, pretpostavit ćemo da će barem jedan od skupa brojeva za koji trebate pronaći najveći zajednički djelitelj biti različit od 0 . Ako su svi jednaki 0, tada njihov djelitelj može biti bilo koji cijeli broj, a budući da ih ima beskonačno mnogo, ne možemo odabrati najveći. Drugim riječima, nemoguće je pronaći najveći zajednički djelitelj za skup brojeva jednak 0.

Prelazimo na formulaciju glavne definicije.

Definicija 2

Najveći zajednički djelitelj više brojeva je najveći cijeli broj koji dijeli sve te brojeve.

U pisanom obliku najveći zajednički djelitelj najčešće se označava skraćenicom GCD. Za dva broja, može se napisati kao gcd (a, b) .

Primjer 2

Koji je primjer GCD-a za dva cijela broja? Na primjer, za 6 i - 15 bilo bi 3 . Potkrijepimo ovo. Najprije zapišemo sve djelitelje od šest: ± 6, ± 3, ± 1, a zatim sve djelitelje od petnaest: ± 15, ± 5, ± 3 i ± 1. Nakon toga biramo uobičajene: to su − 3 , − 1 , 1 i 3 . Od njih morate odabrati najveći broj. Ovo će biti 3.

Za tri ili više brojeva, definicija najvećeg zajedničkog djelitelja bit će prilično ista.

Definicija 3

Najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva je najveći cijeli broj koji dijeli sve te brojeve u isto vrijeme.

Za brojeve a 1, a 2, …, a n djelitelj se prikladno označava kao GCD (a 1, a 2, …, a n). Sama vrijednost djelitelja zapisuje se kao GCD (a 1 , a 2 , …, a n) = b .

Primjer 3

Evo primjera najvećeg zajedničkog djelitelja nekoliko cijelih brojeva: 12 , - 8 , 52 , 16 . Bit će jednako četiri, što znači da možemo napisati da je gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.

Točnost ove tvrdnje možete provjeriti tako da zapišete sve djelitelje ovih brojeva, a zatim odaberete najveći od njih.

U praksi se često dešavaju slučajevi kada je najveći zajednički djelitelj jednak jednom od brojeva. To se događa kada se svi ostali brojevi mogu podijeliti danim brojem (u prvom odlomku članka dali smo dokaz ove tvrdnje).

Primjer 4

Dakle, najveći zajednički djelitelj brojeva 60, 15 i - 45 je 15, budući da je petnaest djeljivo ne samo sa 60 i - 45, već i sam sa sobom, a za sve te brojeve nema većeg djelitelja.

Koprosti brojevi su poseban slučaj. Oni su cijeli brojevi s najvećim zajedničkim djeliteljem 1.

Glavna svojstva GCD i Euklidovog algoritma

Najveći zajednički djelitelj ima neka karakteristična svojstva. Formuliramo ih u obliku teorema i dokazujemo svaki od njih.

Imajte na umu da su ova svojstva formulirana za cijele brojeve veće od nule, a mi uzimamo u obzir samo pozitivne djelitelje.

Definicija 4

Brojevi a i b imaju najveći zajednički djelitelj jednak gcd za b i a, tj. gcd (a, b) = gcd (b, a) . Promjena mjesta brojeva ne utječe na konačni rezultat.

Ovo svojstvo proizlazi iz same definicije GCD i ne treba dokaz.

Definicija 5

Ako se broj a može podijeliti brojem b, tada će skup zajedničkih djelitelja ova dva broja biti sličan skupu djelitelja broja b, odnosno gcd (a, b) = b.

Dokažimo ovu tvrdnju.

Dokaz 1

Ako brojevi a i b imaju zajedničke djelitelje, onda se bilo koji od njih može podijeliti s njima. Istodobno, ako je a višekratnik od b, tada će svaki djelitelj od b također biti djelitelj a , budući da djeljivost ima takvo svojstvo kao što je tranzitivnost. Stoga će svaki djelitelj b biti zajednički za brojeve a i b. To dokazuje da ako možemo podijeliti a s b, tada se skup svih djelitelja oba broja poklapa sa skupom djelitelja jednog broja b. A budući da je najveći djelitelj bilo kojeg broja sam broj, tada će i najveći zajednički djelitelj brojeva a i b biti jednak b, t.j. gcd(a, b) = b. Ako je a = b , tada je gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, npr. gcd (132, 132) = 132.

Koristeći ovo svojstvo, možemo pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva ako se jedan od njih može podijeliti s drugim. Takav djelitelj jednak je jednom od ova dva broja kojim se može podijeliti drugi broj. Na primjer, gcd (8, 24) = 8, jer je 24 višekratnik broja osam.

Definicija 6 Dokaz 2

Pokušajmo dokazati ovo svojstvo. U početku imamo jednakost a = b q + c , a svaki zajednički djelitelj a i b također će dijeliti c , što je objašnjeno odgovarajućim svojstvom djeljivosti. Stoga će svaki zajednički djelitelj b i c podijeliti a . To znači da će se skup zajedničkih djelitelja a i b podudarati sa skupom djelitelja b i c, uključujući i najveći od njih, što znači da je jednakost gcd (a, b) = gcd (b, c) točna.

Definicija 7

Sljedeće svojstvo naziva se Euklidov algoritam. Pomoću njega možete izračunati najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva, kao i dokazati druga svojstva GCD-a.

Prije nego što formulirate svojstvo, savjetujemo vam da ponovite teorem koji smo dokazali u članku o dijeljenju s ostatkom. Prema njemu, djeljivi broj a može se predstaviti kao b q + r, a ovdje je b djelitelj, q je neki cijeli broj (naziva se i nepotpuni kvocijent), a r je ostatak koji zadovoljava uvjet 0 ≤ r ≤ b.

Recimo da imamo dva cijela broja veća od 0 za koje će vrijediti sljedeće jednakosti:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Ove jednakosti završavaju kada r k + 1 postane jednako 0 . To će se sigurno dogoditi, budući da je niz b > r 1 > r 2 > r 3 , … niz opadajućih cijelih brojeva, koji može uključivati ​​samo njihov konačan broj. Dakle, r k je najveći zajednički djelitelj a i b , odnosno r k = gcd (a , b) .

Prije svega, trebamo dokazati da je r k zajednički djelitelj brojeva a i b, a nakon toga da r k nije samo djelitelj, već najveći zajednički djelitelj dvaju zadanih brojeva.

Pogledajmo gornji popis jednakosti, odozdo prema gore. Prema posljednjoj jednakosti,
r k − 1 može se podijeliti s r k . Na temelju ove činjenice, kao i prethodno dokazanog svojstva najvećeg zajedničkog djelitelja, može se tvrditi da se r k − 2 može podijeliti s r k , budući da
r k − 1 je djeljivo s r k i r k je djeljivo s r k .

Treća jednakost odozdo omogućuje nam da zaključimo da se r k − 3 može podijeliti s r k , i tako dalje. Drugi od dna je da je b djeljiv s r k , a prvi je da je a djeljiv s r k . Iz svega ovoga zaključujemo da je r k zajednički djelitelj a i b .

Dokažimo sada da je r k = gcd (a, b) . Što trebam učiniti? Pokažite da će svaki zajednički djelitelj a i b podijeliti r k . Označimo ga r 0 .

Pogledajmo isti popis jednakosti, ali od vrha do dna. Na temelju prethodnog svojstva možemo zaključiti da je r 1 djeljiv s r 0 , što znači da je prema drugoj jednakosti r 2 djeljiv s r 0 . Spuštamo se kroz sve jednakosti i iz posljednje zaključujemo da je r k djeljiv s r 0 . Prema tome, r k = gcd (a, b) .

Razmotrivši ovo svojstvo, zaključujemo da je skup zajedničkih djelitelja a i b sličan skupu djelitelja gcd ovih brojeva. Ova izjava, koja je posljedica Euklidovog algoritma, omogućit će nam izračunavanje svih zajedničkih djelitelja dvaju zadanih brojeva.

Prijeđimo na druga svojstva.

Definicija 8

Ako su a i b cijeli brojevi koji nisu jednaki 0, tada moraju postojati dva druga cijela broja u 0 i v 0 za koje će vrijediti jednakost gcd (a , b) = a · u 0 + b · v 0.

Jednakost dana u iskazu svojstva linearni je prikaz najvećeg zajedničkog djelitelja a i b . Zove se Bezoutov omjer, a brojevi u 0 i v 0 nazivaju se Bezoutovi koeficijenti.

Dokaz 3

Dokažimo ovo svojstvo. Zapisujemo slijed jednakosti prema Euklidovom algoritmu:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Prva nam jednakost govori da je r 1 = a − b · q 1 . Označimo 1 = s 1 i − q 1 = t 1 i prepišemo ovu jednakost kao r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Ovdje će brojevi s 1 i t 1 biti cijeli brojevi. Druga nam jednakost omogućuje da zaključimo da je r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Označimo − s 1 q 2 = s 2 i 1 − t 1 q 2 = t 2 i prepišemo jednakost kao r 2 = s 2 a + t 2 b , gdje će s 2 i t 2 također biti cijeli brojevi. To je zato što su zbroj cijelih brojeva, njihov proizvod i razlika također cijeli brojevi. Na potpuno isti način dobivamo iz treće jednakosti r 3 = s 3 · a + t 3 · b , iz sljedeće r 4 = s 4 · a + t 4 · b, itd. Konačno, zaključujemo da je r k = s k a + t k b za cijeli broj s k i t k . Budući da je r k = GCD (a, b) , označavamo s k = u 0 i t k = v 0. Kao rezultat toga, možemo dobiti linearni prikaz GCD u traženom obliku: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0.

Definicija 9

gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) za bilo koju prirodnu vrijednost m.

Dokaz 4

Ovo svojstvo može se opravdati na sljedeći način. Pomnožite s brojem m obje strane svake jednakosti u Euklidovom algoritmu i dobit ćemo da je gcd (m a , m b) = m r k , a r k je gcd (a , b) . Dakle, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . To je svojstvo najvećeg zajedničkog djelitelja koje se koristi pri pronalaženju GCD metodom faktorizacije.

Definicija 10

Ako brojevi a i b imaju zajednički djelitelj p, tada je gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. U slučaju kada je p = gcd (a, b) dobivamo gcd (a: gcd (a, b) , b: gcd (a, b) = 1, dakle, brojevi a: gcd (a, b) i b : gcd (a, b) su međusobno prosti.

Budući da je a = p (a: p) i b = p (b: p) , onda, na temelju prethodnog svojstva, možemo stvoriti jednakosti oblika gcd (a , b) = gcd (p (a: p) , p (b: p)) = p GCD (a: p, b: p) , među kojima će biti i dokaz dato vlasništvo. Ovu tvrdnju koristimo kada dajemo obični razlomci u nesvodljivi oblik.

Definicija 11

Najveći zajednički djelitelj a 1 , a 2 , …, a k bit će broj d k , koji se može pronaći uzastopnim izračunavanjem gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

Ovo svojstvo je korisno za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja tri ili više brojeva. Pomoću njega ovu radnju možete svesti na operacije s dva broja. Njegova je osnova posljedica Euklidovog algoritma: ako se skup zajedničkih djelitelja a 1 , a 2 i a 3 poklapa sa skupom d 2 i a 3 , tada se poklapa i s djeliteljima d 3 . Djelitelji brojeva a 1 , a 2 , a 3 i a 4 odgovarat će djeliteljima d 3 , što znači da će se podudarati i s djeliteljima d 4 i tako dalje. Na kraju dobivamo da će se zajednički djelitelji brojeva a 1 , a 2 , ... , a k poklapati s djeliteljima d k , a budući da najveći djelitelj broj d k bit će sam ovaj broj, tada će gcd (a 1 , a 2 , …, a k) = d k .

To je sve što bismo htjeli govoriti o svojstvima najvećeg zajedničkog djelitelja.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ovaj članak je o pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja (gcd) dva i više brojevima. Prvo, razmotrite Euclid algoritam, on vam omogućuje da pronađete GCD dva broja. Nakon toga ćemo se zadržati na metodi koja nam omogućuje da izračunamo GCD brojeva kao umnožak njihovih zajedničkih prostih faktora. Zatim ćemo se pozabaviti pronalaženjem najvećeg zajedničkog djelitelja tri ili više brojeva, a također ćemo dati primjere izračunavanja GCD negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Euklidov algoritam za pronalaženje GCD

Imajte na umu da da smo se od samog početka okrenuli tablici prostih brojeva, saznali bismo da su brojevi 661 i 113 prosti, iz čega bismo odmah mogli reći da je njihov najveći zajednički djelitelj 1.

Odgovor:

gcd (661, 113) = 1.

Pronalaženje GCD-a faktoringom brojeva u proste faktore

Razmislite o drugom načinu pronalaženja GCD-a. Najveći zajednički djelitelj može se naći razlaganjem brojeva u proste faktore. Formulirajmo pravilo: GCD od dva cijela broja pozitivni brojevi a i b jednak je umnošku svih zajedničkih prostih čimbenika u proširenjima brojeva a i b u proste faktore.

Navedimo primjer da objasnimo pravilo za pronalaženje GCD. Upoznajmo proširenja brojeva 220 i 600 u proste faktore, oni imaju oblik 220=2 2 5 11 i 600=2 2 2 3 5 5 . Uobičajeni prosti čimbenici uključeni u proširenje brojeva 220 i 600 su 2, 2 i 5. Stoga gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Dakle, ako brojeve a i b razložimo na proste faktore i nađemo umnožak svih njihovih zajedničkih čimbenika, tada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva a i b.

Razmotrimo primjer pronalaženja GCD-a prema najavljenom pravilu.

Primjer.

Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 72 i 96.

Riješenje.

Faktorizirajmo brojeve 72 i 96:

To jest, 72=2 2 2 3 3 i 96=2 2 2 2 2 3 . Uobičajeni prosti faktori su 2, 2, 2 i 3. Dakle, gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Odgovor:

gcd (72, 96) = 24 .

U zaključku ovog odjeljka napominjemo da valjanost gornjeg pravila za pronalaženje gcd proizlazi iz svojstva najvećeg zajedničkog djelitelja, koje kaže da GCD(m a 1, m b 1)=m GCD(a 1, b 1), gdje je m bilo koji pozitivan cijeli broj.

Pronalaženje GCD od tri ili više brojeva

Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja tri ili više brojeva može se svesti na uzastopno pronalaženje gcd dvaju brojeva. To smo spomenuli kada smo proučavali svojstva GCD. Tamo smo formulirali i dokazali teorem: najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva a 1 , a 2 , ..., a k jednak je broju d k , koji se nalazi u sekvencijalnom proračunu 1 , a k)=d k .

Pogledajmo kako izgleda proces pronalaženja GCD nekoliko brojeva razmatrajući rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite najveći zajednički djelitelj četiri broja 78 , 294 , 570 i 36 .

Riješenje.

U ovom primjeru a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Prvo, koristeći Euclid algoritam, odredimo najveći zajednički djelitelj d 2 prva dva broja 78 i 294 . Prilikom dijeljenja dobivamo jednakosti 294=78 3+60 ; 78=60 1+18; 60=18 3+6 i 18=6 3 . Dakle, d2 =GCD(78,294)=6.

Sada izračunajmo d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Opet primjenjujemo Euklidov algoritam: 570=6·95 , dakle, d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Ostaje izračunati d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Budući da je 36 djeljivo sa 6, tada je d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Dakle, najveći zajednički djelitelj četiri zadana broja je d 4 =6 , odnosno gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Odgovor:

gcd (78, 294, 570, 36) = 6 .

Razlaganje brojeva na proste faktore također vam omogućuje da izračunate GCD tri ili više brojeva. U ovom slučaju, najveći zajednički djelitelj nalazi se kao umnožak svih zajedničkih prostih faktora zadanih brojeva.

Primjer.

Izračunajte GCD brojeva iz prethodnog primjera koristeći njihove osnovne faktorizacije.

Riješenje.

Brojeve 78 , 294 , 570 i 36 rastavljamo na proste faktore, dobivamo 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . 3 . Zajednički prosti faktori za sva data četiri broja su brojevi 2 i 3. posljedično, GCD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.