228. U ovom ćemo poglavlju uglavnom pod označavanjem segmenata AB, AC, itd., razumijevati brojeve koji ih izražavaju.
Znamo (br. 226) da ako su dva segmenta a i b dana geometrijski, onda između njih možemo konstruirati prosječnu proporcionalnu vrijednost. Sada neka segmenti nisu dati geometrijski, već brojevima, tj. pod a i b razumjet ćemo brojeve koji izražavaju 2 data segmenta. Tada će se pronalaženje prosječnog proporcionalnog segmenta svesti na pronalaženje broja x iz omjera a/x = x/b, gdje su a, b i x brojevi. Iz ovog omjera imamo:
x 2 = ab
x = √ab
229. Neka je pravokutni trokut ABC (crtež 224).
Ispustimo okomicu BD iz vrha njezina pravog kuta (∠B pravi kut) na hipotenuzu AC. Tada iz točke 225 znamo:
1) AC/AB = AB/AD i 2) AC/BC = BC/DC.
Odavde dobivamo:
AB 2 = AC AD i BC 2 = AC DC.
Zbrajanjem dobivenih jednakosti u dijelovima dobivamo:
AB 2 + BC 2 \u003d AC AD + AC DC \u003d AC (AD + DC).
tj. kvadrat broja koji izražava hipotenuzu jednak je zbroju kvadrata brojeva koji izražavaju katete pravokutnog trokuta.
Ukratko kažu: Kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta.
Ako rezultirajućoj formuli damo geometrijsku interpretaciju, tada ćemo dobiti Pitagorin teorem koji nam je već poznat (odjeljak 161):
kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na katetama.
Iz jednadžbe AB 2 + BC 2 \u003d AC 2, ponekad morate pronaći nogu pravokutnog trokuta, duž hipotenuze i druge noge. Dobivamo npr.:
AB 2 \u003d AC 2 - BC 2 i, posljedično,
230. Pronađeni brojčani omjer između stranica pravokutnog trokuta omogućuje rješavanje mnogih računskih problema. Riješimo neke od njih:
1. Izračunajte površinu jednakostraničnog trokuta s obzirom na njegovu stranicu.
Neka je ∆ABC (pog. 225) jednakostraničan i neka je svaka njegova strana izražena brojem a (AB = BC = AC = a). Da biste izračunali površinu ovog trokuta, prvo morate saznati njegovu visinu BD, koju ćemo nazvati kroz h. Znamo da u jednakostraničnom trokutu visina BD prepolovi bazu AC, tj. AD = DC = a/2. Dakle, iz pravokutnog trokuta DBC imamo:
BD 2 \u003d BC 2 - DC 2,
h 2 \u003d a 2 - a 2 / 4 \u003d 3a 2 / 4 (izvodimo oduzimanje).
Stoga imamo:
(izvadimo množitelj ispod korijena).
Stoga, nazivajući broj koji izražava površinu našeg trokuta kroz Q i znajući da je površina ∆ABC = (AC BD)/2, nalazimo:
Ovu formulu možemo gledati kao jedan od načina mjerenja površine jednakostraničnog trokuta: trebamo izmjeriti njegovu stranu u linearnim jedinicama, kvadrirati pronađeni broj, pomnožiti rezultirajući broj s √3 i podijeliti s 4 - mi dobiti izraz za površinu u kvadratnim (odgovarajućim) jedinicama.
2. Stranice trokuta su 10, 17 i 21 pravac. singl Izračunaj njegovu površinu.
Spustimo visinu h u našem trokutu (pogl. 226) na veću stranu - ona će sigurno proći unutar trokuta, budući da se u trokutu tupi kut može nalaziti samo nasuprot veće stranice. Tada će se veća strana, = 21, podijeliti na 2 segmenta, od kojih će jedan biti označen s x (vidi crtež) - zatim drugi = 21 - x. Dobijamo dva pravokutna trokuta, od kojih imamo:
h 2 \u003d 10 2 - x 2 i h 2 \u003d 17 2 - (21 - x) 2
Budući da su lijeve strane ovih jednadžbi iste, onda
10 2 - x 2 \u003d 17 2 - (21 - x) 2
Radeći sljedeće dobivamo:
10 2 - x 2 \u003d 289 - 441 + 42x - x 2
Pojednostavljujući ovu jednadžbu, nalazimo:
Tada iz jednadžbe h 2 \u003d 10 2 - x 2 dobivamo:
h 2 = 10 2 - 6 2 \u003d 64
i zbog toga
Tada se pronalazi traženo područje:
Q = (21 8)/2 quad. singl = 84 četvornih metara singl
3. Možete riješiti opći problem:
Kako izračunati površinu trokuta s obzirom na njegove stranice?
Neka su stranice trokuta ABC izražene brojevima BC = a, AC = b i AB = c (grafikon 227). Pretpostavimo da je AC velika strana; tada će visina BD ići unutar ∆ABC. Nazovimo: BD = h, DC = x i tada AD = b - x.
Iz ∆BDC imamo: h 2 = a 2 – x 2 .
Iz ∆ABD imamo: h 2 = c 2 - (b - x) 2 ,
odakle je a 2 - x 2 \u003d c 2 - (b - x) 2.
Rješavajući ovu jednadžbu, sukcesivno dobivamo:
2bx \u003d a 2 + b 2 - c 2 i x \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / 2b.
(Potonji je napisan na temelju toga da se brojnik 4a 2 b 2 - (a 2 + b 2 - c 2) 2 može smatrati jednakošću kvadrata, koju razlažemo na umnožak zbroja i razlike).
Ova formula se transformira uvođenjem perimetra trokuta koji označavamo s 2p, t.j.
Oduzimanjem 2c s obje strane jednadžbe, dobivamo:
a + b + c - 2c = 2p - 2c ili a + b - c = 2(p - c):
Također ćemo pronaći:
c + a - b = 2(p - b) i c - a + b = 2(p - a).
Tada dobivamo:
(p izražava poluopseg trokuta).
Ova formula se može koristiti za izračunavanje površine trokuta s obzirom na njegove tri strane.
231. Vježbe.
232. U § 229 pronašli smo odnos između stranica pravokutnog trokuta. Sličnu ovisnost možete pronaći za stranice (uz dodatak drugog segmenta) kosog trokuta.
Neka je najprije ∆ABC (pogl. 228) takav da je ∠A oštar. Pokušajmo pronaći izraz za kvadrat stranice BC koja leži nasuprot ovom oštrom kutu (slično kao što smo pronašli izraz za kvadrat hipotenuze u § 229).
Konstruirajući BD ⊥ AC, iz pravokutnog trokuta BDC dobivamo:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Zamijenimo BD2 definirajući ga iz ABD-a, odakle imamo:
BD 2 \u003d AB 2 - AD 2,
a segment DC zamjenjuje se AC - AD (očito, DC = AC - AD). Tada dobivamo:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC - AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 - 2AC AD + AD 2
Provodeći redukciju sličnih pojmova, nalazimo:
BC 2 \u003d AB 2 + AC 2 - 2AC AD.
Ova formula glasi: kvadrat stranice trokuta nasuprot oštrom kutu jednak je zbroju kvadrata njegovih drugih dviju stranica, umanjenom za dvostruki umnožak jedne od tih stranica i njezinog segmenta od vrha oštrog kuta do visine.
233. Neka su sada ∠A i ∆ABC (pogl. 229) tupi. Nađimo izraz za kvadrat stranice BC koja leži nasuprot tupom kutu.
Nakon što smo izgradili visinu BD, ona će se sada nalaziti nešto drugačije: na 228 gdje je ∠A oštar, točke D i C nalaze se na istoj strani A, a ovdje, gdje je ∠A tupa, točke D i C će biti koji se nalaze na suprotnim stranama A. Tada iz pravokutnog ∆BDC dobivamo:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Možemo zamijeniti BD2 definirajući ga iz pravokutnog ∆BDA:
BD 2 \u003d AB 2 - AD 2,
a segment DC = AC + AD, što je očito. Zamjenom dobivamo:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Provodeći redukciju sličnih pojmova, nalazimo:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
tj. kvadrat stranice trokuta nasuprot tupog kuta jednak je zbroju kvadrata njegove druge dvije stranice, plus dvostruki umnožak jedne od njih i njegovog segmenta od vrha tupog kuta do visine.
Ova formula, kao i formula iz točke 232, dopušta geometrijsku interpretaciju koju je lako pronaći.
234. Koristeći svojstva paragrafa. 229, 232, 233, možemo, ako su nam dane stranice trokuta u brojevima, saznati ima li ovaj trokut pravi ili tupi kut.
Pravi ili tupi kut u trokutu može se nalaziti samo nasuprot veće stranice, koliki je kut nasuprot njoj, lako je saznati: ovaj kut je oštar, pravi ili tup, ovisno o tome je li kvadrat veće stranice manje od, jednako ili veće od zbroja kvadrata druge dvije strane.
Saznajte postoji li pravi ili tupi kut u sljedećim trokutima, definiranim njihovim stranicama:
1) 15 dm., 13 dm. i 14 dm.; 2) 20, 29 i 21; 3) 11, 8 i 13; 4) 7, 11 i 15.
235. Neka je paralelogram ABCD (crtež 230); konstruirati njegove dijagonale AC i BD i njegove visine BK ⊥ AD i CL ⊥ AD.
Tada ako je ∠A (∠BAD) akutan, onda je ∠D (∠ADC) nužno tup (jer je njihov zbroj = 2d). Iz ∆ABD, gdje se ∠A smatra oštrim, imamo:
BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2AD AK,
a iz ∆ACD, gdje je ∠D tupo, imamo:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Zamijenimo segment AD u posljednjoj formuli s segmentom BC jednakim njemu i DL jednakim njemu AK (DL = AK, budući da je ∆ABK = ∆DCL, što je lako vidjeti). Tada dobivamo:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD AK.
Dodavanjem izraza za BD2 sa zadnjim izrazom za AC 2, nalazimo:
BD 2 + AC 2 \u003d AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
budući da se pojmovi –2AD AK i +2AD AK međusobno poništavaju. Rezultirajuća jednakost se može pročitati:
Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica.
236. Izračunavanje medijana i simetrale trokuta duž njegovih stranica. Neka je medijan BM (tj. AM = MC) konstruiran u trokutu ABC (Pogl. 231). Poznavajući stranice ∆ABC: BC = a, AC = b i AB = c, izračunaj medijan BM.
Nastavljamo BM i odgađamo segment MD = BM. Povezujući D s A i D s C, dobivamo paralelogram ABCD (ovo je lako shvatiti, budući da je ∆AMD = ∆BMC i ∆AMB = ∆DMC).
Pozivajući medijan BM kroz m, dobivamo BD = 2m i tada, koristeći prethodni paragraf, imamo:
237. Izračunavanje polumjera opisanog oko trokuta kružnice. Neka je opisana kružnica O u blizini ∆ABC (Pogl. 233). Konstruirajmo promjer kružnice BD, tetivu AD i visinu trokuta BH.
Tada je ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - kut A je pravi, jer je upisan na temelju promjera BD i ∠D = ∠C, kako je upisano, na temelju jednog luka AB). Stoga imamo:
ili, nazivajući polumjer OB s R, visinu BH sa h, a stranice AB i BC, kao prije, s c i a:
ali je površina ∆ABC = Q = bh/2, odakle je h = 2Q/b.
Prema tome, R = (abc) / (4Q).
U mogućnosti smo (stavka 230 zadatka 3) izračunati površinu trokuta Q na njegovim stranicama. Odavde možemo izračunati R za tri strane trokuta.
238. Proračun polumjera kružnice upisane u trokut. Upišemo u ∆ABC, čije su stranice zadane (pogl. 234), kružnicu O. Povezujući njegovo središte O s vrhovima trokuta i dodirnim točkama D, E i F stranica s kružnicom , nalazimo da polumjeri kružnice OD, OE i OF služe kao visine trokuta BOC, COA i AOB.
Nazivajući polumjer upisane kružnice kroz r, imamo:
Za dva trokuta se kaže da su sukladna ako se mogu preklapati. Slika 1 prikazuje jednake trokute ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trokuta može se superponirati na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su njihovi vrhovi i stranice zajedno upareni. Jasno je da će u ovom slučaju kutovi ovih trokuta biti kombinirani u parovima.
Dakle, ako su dva trokuta jednaka, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta, redom, jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakim trokutima na dotično jednakim stranicama(tj. preklapanje kada se preklapa) leže pod jednakim kutovima i natrag: nasuprot odgovarajuće jednakih kutova leže jednake stranice.
Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, nasuprot jednakih stranica AB i A 1 B 1, leže jednaki kutovi C i C 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.
Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 2).
Dokaz. Razmotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Budući da ∠ A \u003d ∠ A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A 1, a stranice AB i AC su postavljene na zrake A 1 B 1 i A 1 C jedna . Budući da AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tada će se strana AB kombinirati sa stranom A 1 B 1 i stranom AC - sa stranom A 1 C 1; posebno, točke B i B 1 , C i C 1 će se podudarati. Stoga će stranice BC i B 1 C 1 biti poravnate. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.
Teorem 2 dokazuje se slično metodom superpozicije.
Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva uz nju susjedna kuta jednog trokuta jednaki strani i dva uz nju susjedna kuta drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 34).
Komentar. Na temelju teorema 2 utvrđuje se teorem 3.
Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.
Teorem 4 slijedi iz posljednjeg teorema.
Teorem 4. Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan.
Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki ().
Primjer 1 U trokutima ABC i DEF (slika 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koji je kut u trokutu DEF jednak kutu B?
Odluka. Ti su trokuti jednaki u prvom znaku. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokuta ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot odgovarajućih jednakih stranica DE i AC.
Primjer 2 Segmenti AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je središte svakog od njih. Čemu je jednak segment BD ako je odsječak AC 6 m?
Odluka.
Trokuti AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (prema uvjetu).
Iz jednakosti ovih trokuta slijedi jednakost njihovih stranica, tj. AC = BD. Ali budući da je, prema uvjetu, AC = 6 m, onda je BD = 6 m.
Znanost o geometriji nam govori što je trokut, kvadrat, kocka. U suvremenom svijetu ga u školama proučavaju svi bez iznimke. Također, znanost koja izravno proučava što je trokut i koja svojstva ima je trigonometrija. Ona detaljno istražuje sve pojave povezane s podacima. O tome što je trokut danas ćemo govoriti u našem članku. Njihove vrste bit će opisane u nastavku, kao i neke teoreme vezane za njih.
Što je trokut? Definicija
Ovo je ravan poligon. Ima tri ugla, što je jasno iz imena. Također ima tri strane i tri vrha, od kojih su prvi segmenti, a drugi točke. Znajući koliko su dva kuta jednaka, možete pronaći treći tako da od broja 180 oduzmete zbroj prva dva.
Što su trokuti?
Mogu se klasificirati prema različitim kriterijima.
Prije svega, dijele se na oštrokutne, tupokutne i pravokutne. Prvi imaju oštre kutove, odnosno one koji su manji od 90 stupnjeva. Kod tupih kutova jedan od kutova je tup, odnosno onaj koji je jednak više od 90 stupnjeva, druga dva su oštra. Akutni trokuti također uključuju jednakostranične trokute. Takvi trokuti imaju sve stranice i kutove jednake. Svi su jednaki 60 stupnjeva, to se lako može izračunati dijeljenjem zbroja svih kutova (180) s tri.
Pravokutni trokut
Nemoguće je ne govoriti o tome što je pravokutni trokut.
Takav lik ima jedan kut jednak 90 stupnjeva (ravno), odnosno dvije njegove strane su okomite. Druga dva kuta su oštra. Oni mogu biti jednaki, tada će biti jednakokračni. Pitagorin teorem povezan je s pravokutnim trokutom. Uz njegovu pomoć možete pronaći treću stranu, poznavajući prve dvije. Prema ovom teoremu, ako kvadratu jedne noge dodate kvadrat druge, možete dobiti kvadrat hipotenuze. Kvadrat kateta može se izračunati oduzimanjem kvadrata poznate katete od kvadrata hipotenuze. Govoreći o tome što je trokut, možemo se prisjetiti jednakokraka. Ovo je onaj u kojem su dvije stranice jednake, a dva kuta također jednaka.
Što je kateta i hipotenuza?
Noga je jedna od stranica trokuta koja tvori kut od 90 stupnjeva. Hipotenuza je preostala stranica koja je nasuprot pravog kuta. Iz njega se okomica može spustiti na nogu. Omjer susjednog kraka i hipotenuze naziva se kosinus, a suprotan sinus.
- koje su njegove karakteristike?
Pravokutnog je oblika. Njegovi kraci su tri i četiri, a hipotenuza pet. Ako ste vidjeli da su noge ovog trokuta jednake tri i četiri, možete biti sigurni da će hipotenuza biti jednaka pet. Također, prema ovom principu lako se može odrediti da će katet biti jednak tri ako je drugi jednak četiri, a hipotenuza pet. Da biste dokazali ovu tvrdnju, možete primijeniti Pitagorin teorem. Ako su dvije noge 3 i 4, tada je 9 + 16 \u003d 25, korijen od 25 je 5, odnosno hipotenuza je 5. Također, egipatski trokut naziva se pravokutni trokut, čije su stranice 6, 8 i 10 ; 9, 12 i 15 i drugi brojevi s omjerom 3:4:5.
Što bi još mogao biti trokut?
Trokuti također mogu biti upisani i opisani. Lik oko kojeg se opisuje kružnica naziva se upisanim, svi njegovi vrhovi su točke koje leže na kružnici. Opisani trokut je onaj u koji je upisana kružnica. Sve njegove strane su u dodiru s njim u određenim točkama.
Kako je
Površina bilo koje figure mjeri se u kvadratnim jedinicama (kvadratni metri, kvadratni milimetri, kvadratni centimetri, kvadratni decimetri itd.). Ova vrijednost se može izračunati na različite načine, ovisno o vrsti trokuta. Područje bilo kojeg lika s kutovima može se pronaći tako da njegovu stranu pomnožimo s okomicom koja je na nju spuštena iz suprotnog kuta i podijeli ovu figuru s dva. Ovu vrijednost možete pronaći i množenjem dvije strane. Zatim pomnožite ovaj broj sa sinusom kuta između ovih stranica i podijelite s dva. Poznavajući sve strane trokuta, ali ne znajući njegove kutove, područje možete pronaći na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći polovicu perimetra. Zatim naizmjenično oduzimajte različite strane od ovog broja i pomnožite četiri dobivene vrijednosti. Zatim saznajte broj koji je izašao. Površina upisanog trokuta može se naći množenjem svih stranica i dijeljenjem rezultirajućeg broja kojim je opisan oko njega puta četiri.
Područje opisanog trokuta nalazi se na ovaj način: polovicu perimetra pomnožimo s polumjerom kruga koji je u njega upisan. Ako se tada njegovo područje može pronaći na sljedeći način: kvadriramo stranu, pomnožimo rezultirajuću brojku s korijenom od tri, a zatim podijelimo ovaj broj s četiri. Slično, možete izračunati visinu trokuta u kojem su sve strane jednake, za to trebate jednu od njih pomnožiti s korijenom od tri, a zatim podijeliti ovaj broj s dva.
Teoremi o trokutu
Glavni teoremi koji su povezani s ovom slikom su Pitagorin teorem, gore opisani, i kosinus. Drugi (sinus) je da ako podijelite bilo koju stranu sa sinusom kuta suprotnog njoj, možete dobiti polumjer kružnice koja je opisana oko nje, pomnožen s dva. Treći (kosinus) je da ako se zbroj kvadrata dviju stranica oduzme od njihovog proizvoda, pomnoženog s dva i kosinusa kuta koji se nalazi između njih, tada će se dobiti kvadrat treće strane.
Dalijev trokut - što je to?
Mnogi, suočeni s ovim konceptom, isprva misle da je to nekakva definicija u geometriji, ali to uopće nije tako. Dalijev trokut zajednički je naziv za tri mjesta koja su usko povezana sa životom slavnog umjetnika. Njegovi "vrhovi" su kuća u kojoj je živio Salvador Dali, dvorac koji je poklonio svojoj supruzi i muzej nadrealističkih slika. Tijekom obilaska ovih mjesta možete saznati mnogo zanimljivosti o ovom originalnom kreativcu, poznatom u cijelom svijetu.
Najjednostavniji poligon koji se proučava u školi je trokut. Studentima je razumljivije i nailazi na manje poteškoća. Unatoč činjenici da postoje različite vrste trokuta koji imaju posebna svojstva.
Koji se oblik naziva trokut?
Oblikovan od tri točke i odsječaka. Prvi se nazivaju vrhovi, drugi se nazivaju stranicama. Štoviše, sva tri segmenta moraju biti povezana tako da se između njih formiraju uglovi. Otuda i naziv figure "trokut".
Razlike u nazivima u uglovima
Budući da mogu biti oštri, tupi i ravni, vrste trokuta određuju se ovim nazivima. Sukladno tome, postoje tri skupine takvih figura.
- Prvi. Ako su svi kutovi trokuta oštri, onda će se zvati oštar trokut. Sve je logično.
- Drugi. Jedan od kutova je tup, pa je trokut tup. Nigdje lakše.
- Treći. Postoji kut jednak 90 stupnjeva, koji se naziva pravi kut. Trokut postaje pravokutni.
Razlike u nazivima sa strane
Ovisno o značajkama stranica, razlikuju se sljedeće vrste trokuta:
opći slučaj je svestran, u kojem sve strane imaju proizvoljnu duljinu;
jednakokračni, čije dvije strane imaju iste brojčane vrijednosti;
jednakostranična, duljine svih njegovih stranica su jednake.
Ako zadatak ne navodi određenu vrstu trokuta, tada morate nacrtati proizvoljan. U kojem su svi kutovi oštri, a stranice imaju različite duljine.
Svojstva zajednička za sve trokute
- Ako zbrojite sve kutove trokuta, dobit ćete broj jednak 180º. I nije važno kakva je. Ovo pravilo uvijek vrijedi.
- Brojčana vrijednost bilo koje strane trokuta manja je od druge dvije zbrojene. Štoviše, veća je od njihove razlike.
- Svaki vanjski kut ima vrijednost koja se dobiva zbrajanjem dvaju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni. Štoviše, uvijek je veći od susjednog unutarnjeg.
- Najmanja stranica trokuta uvijek je nasuprot najmanjeg kuta. Suprotno tome, ako je stranica velika, tada će kut biti najveći.
Ova svojstva uvijek vrijede, bez obzira na to koje se vrste trokuta razmatraju u problemima. Sve ostalo proizlazi iz specifičnih značajki.
Svojstva jednakokračnog trokuta
- Kutovi uz bazu su jednaki.
- Visina koja je povučena do baze je također medijan i simetrala.
- Visine, medijane i simetrale, koje su izgrađene na stranicama trokuta, međusobno su jednake.
Svojstva jednakostraničnog trokuta
Ako postoji takva brojka, tada će sva svojstva opisana malo gore biti istinita. Zato što će jednakostranična uvijek biti jednakokračna. Ali ne i obrnuto, jednakokračni trokut neće nužno biti jednakostraničan.
- Svi njegovi kutovi su međusobno jednaki i imaju vrijednost od 60º.
- Svaki medijan jednakostraničnog trokuta njegova je visina i simetrala. I svi su jedni drugima jednaki. Za određivanje njihove vrijednosti postoji formula koja se sastoji od umnoška stranice i kvadratnog korijena iz 3 podijeljenog s 2.
Svojstva pravokutnog trokuta
- Zbroj dva oštra kuta iznosi 90º.
- Duljina hipotenuze je uvijek veća od duljine bilo kojeg od kateta.
- Brojčana vrijednost medijana povučena prema hipotenuzi jednaka je njegovoj polovici.
- Noga je jednaka istoj vrijednosti ako leži nasuprot kuta od 30º.
- Visina, koja se povlači od vrha s vrijednošću od 90º, ima određenu matematičku ovisnost o nogama: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / in 2. Ovdje: a, c - noge, n - visina.
Problemi s različitim vrstama trokuta
broj 1. Zadan je jednakokračni trokut. Njegov opseg je poznat i jednak je 90 cm. Potrebno je znati njegove stranice. Kao dodatni uvjet: bočna strana je 1,2 puta manja od baze.
Vrijednost perimetra izravno ovisi o količinama koje je potrebno pronaći. Zbroj sve tri strane dat će 90 cm. Sada se morate sjetiti znaka trokuta, prema kojem je jednakokračan. Odnosno, dvije strane su jednake. Možete napraviti jednadžbu s dvije nepoznanice: 2a + b \u003d 90. Ovdje je a stranica, b je baza.
Vrijeme je za dodatni uvjet. Nakon nje, dobiva se druga jednadžba: b \u003d 1.2a. Ovaj izraz možete zamijeniti prvim. Ispada: 2a + 1,2a \u003d 90. Nakon transformacija: 3,2a \u003d 90. Stoga \u003d 28,125 (cm). Sada je lako otkriti razlog. Najbolje je to učiniti iz drugog uvjeta: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).
Da biste provjerili, možete dodati tri vrijednosti: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). U redu.
Odgovor: stranice trokuta su 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
broj 2. Stranica jednakostraničnog trokuta je 12 cm. Trebate izračunati njegovu visinu.
Odluka. Za traženje odgovora dovoljno je vratiti se na trenutak u kojem su opisana svojstva trokuta. Ovo je formula za pronalaženje visine, medijane i simetrale jednakostraničnog trokuta.
n \u003d a * √3 / 2, gdje je n visina, a strana.
Zamjena i izračun daju sljedeći rezultat: n = 6 √3 (cm).
Ovu formulu nije potrebno pamtiti. Dovoljno je podsjetiti da visina dijeli trokut na dva pravokutna. Štoviše, ispada da je noga, a hipotenuza u njoj je strana izvorne, drugi krak je polovica poznate strane. Sada trebate zapisati Pitagorin teorem i izvesti formulu za visinu.
Odgovor: visina je 6 √3 cm.
broj 3. Zadan je MKR - trokut, 90 stupnjeva u kojem čini kut K. Poznate su stranice MP i KR, jednake su 30 odnosno 15 cm. Trebate saznati vrijednost kuta P.
Odluka. Ako napravite crtež, postaje jasno da je MP hipotenuza. Štoviše, dvostruko je veći od noge CD-a. Opet se trebate obratiti na svojstva. Jedan od njih je samo povezan s kutovima. Iz njega je jasno da je kut KMR-a 30º. Dakle, željeni kut P bit će jednak 60º. To proizlazi iz drugog svojstva koje kaže da zbroj dva oštra kuta mora biti jednak 90º.
Odgovor: kut R je 60º.
broj 4. Trebate pronaći sve kutove jednakokračnog trokuta. Za njega je poznato da je vanjski kut od kuta na bazi 110º.
Odluka. Budući da je dat samo vanjski kut, ovo treba koristiti. Formira se s razvijenim unutarnjim kutom. Dakle, oni zbrajaju do 180º. To jest, kut na bazi trokuta bit će jednak 70º. Budući da je jednakokračan, drugi kut ima istu vrijednost. Ostaje izračunati treći kut. Po svojstvu zajedničkom za sve trokute, zbroj kutova je 180º. Dakle, treći je definiran kao 180º - 70º - 70º = 40º.
Odgovor: kutovi su 70º, 70º, 40º.
broj 5. Poznato je da je u jednakokračnom trokutu kut nasuprot osnovici 90º. Na bazi je označena točka. Segment koji ga povezuje pravim kutom dijeli ga u omjeru 1 prema 4. Morate znati sve kutove manjeg trokuta.
Odluka. Jedan od uglova može se odmah odrediti. Budući da je trokut pravokutni i jednakokračan, oni koji leže u njegovoj bazi bit će 45º, odnosno 90º / 2.
Drugi od njih pomoći će pronaći odnos poznat u stanju. Budući da je jednako 1 do 4, tada su dijelovi na koje je podijeljen samo 5. Dakle, da biste saznali manji kut trokuta, trebate 90º / 5 = 18º. Ostaje saznati treće. Da biste to učinili, od 180º (zbroj svih kutova trokuta) trebate oduzeti 45º i 18º. Izračuni su jednostavni, a ispada: 117º.
Trokut - definicija i opći pojmovi
Trokut je tako jednostavan mnogokut koji se sastoji od tri strane i ima isti broj kutova. Njegove su ravnine ograničene s 3 točke i 3 segmenta koji povezuju ove točke u parovima.
Svi vrhovi bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegovu raznolikost, označeni su velikim latiničnim slovima, a njegove stranice su prikazane odgovarajućim oznakama suprotnih vrhova, samo ne velikim slovima, već malim. Tako, na primjer, trokut s vrhovima označenim A, B i C ima stranice a, b, c.
Ako uzmemo u obzir trokut u euklidskom prostoru, onda je to takav geometrijski lik koji je formiran pomoću tri segmenta koji povezuju tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj crti.
Pažljivo pogledajte gornju sliku. Na njemu su točke A, B i C vrhovi ovog trokuta, a njegovi se segmenti nazivaju stranicama trokuta. Svaki vrh ovog poligona tvori kutove unutar njega.
Vrste trokuta
Prema veličini, kutovima trokuta, oni su podijeljeni u takve vrste kao što su: Pravokutni;
Oštri kut;
tupim.
Pravokutni trokuti su trokuti koji imaju jedan pravi kut, a druga dva oštre kutove.
Oštrokutni trokuti su oni u kojima su svi kutovi oštri.
A ako trokut ima jedan tupi kut, a druga dva kuta su oštra, onda takav trokut pripada tupim kutovima.
Svatko od vas dobro je svjestan da nemaju svi trokuti jednake stranice. A prema duljini njegovih stranica, trokuti se mogu podijeliti na:
jednakokračan;
Jednakostrani;
Svestran.
Zadatak: Nacrtajte različite vrste trokuta. Dajte im definiciju. Koju razliku vidite među njima?
Osnovna svojstva trokuta
Iako se ovi jednostavni poligoni mogu međusobno razlikovati po veličini kutova ili stranica, ali u svakom trokutu postoje osnovna svojstva koja su karakteristična za ovu figuru.
U bilo kojem trokutu:
Zbroj svih njegovih kutova je 180º.
Ako pripada jednakostranični, onda je svaki njegov kut jednak 60º.
Jednakostranični trokut ima međusobno jednake i jednake kutove.
Što je manja stranica mnogokuta, manji je kut nasuprot njemu, i obrnuto, veći je kut nasuprot veće stranice.
Ako su stranice jednake, onda su nasuprot njima jednaki kutovi, i obrnuto.
Ako uzmemo trokut i produžimo njegovu stranu, onda ćemo na kraju formirati vanjski kut. Jednaka je zbroju unutarnjih kutova.
U bilo kojem trokutu, njegova stranica, bez obzira koju odaberete, i dalje će biti manja od zbroja druge 2 stranice, ali više od njihove razlike:
1.a< b + c, a >prije Krista;
2.b< a + c, b >a-c;
3.c< a + b, c >a-b.
Vježbajte
Tablica prikazuje već poznata dva kuta trokuta. Znajući ukupan zbroj svih kutova, pronađite čemu je jednak treći kut trokuta i unesite u tablicu:
1. Koliko stupnjeva ima treći kut?
2. Kojoj vrsti trokuta pripada?
Ekvivalentni trokuti
potpisujem
II znak
III znak
Visina, simetrala i medijan trokuta
Visina trokuta - okomica povučena s vrha figure na njegovu suprotnu stranu, naziva se visinom trokuta. Sve visine trokuta sijeku se u jednoj točki. Točka presjeka sve 3 visine trokuta je njegov ortocentar.
Odsječak povučen iz zadanog vrha i povezuje ga u sredini suprotne strane je medijan. Medijani, kao i visine trokuta, imaju jednu zajedničku točku presjeka, takozvano težište trokuta ili težište.
Simetrala trokuta je segment koji spaja vrh kuta i točku na suprotnoj strani, a također dijeli ovaj kut na pola. Sve simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki, koja se naziva središtem kružnice upisane u trokut.
Segment koji spaja sredine 2 strane trokuta naziva se središnja crta.
Referenca za povijest
Takav lik kao trokut bio je poznat u antičko doba. Ova se figura i njezina svojstva spominju na egipatskim papirusima prije četiri tisuće godina. Nešto kasnije, zahvaljujući Pitagorinom teoremu i Heronovoj formuli, proučavanje svojstva trokuta prešlo je na višu razinu, ali ipak, to se dogodilo prije više od dvije tisuće godina.
U 15.-16. stoljeću započela su mnoga istraživanja o svojstvima trokuta, a kao rezultat toga nastala je znanost kao što je planimetrija, koja je nazvana "nova geometrija trokuta".
Znanstvenik iz Rusije N. I. Lobačevski dao je ogroman doprinos poznavanju svojstava trokuta. Njegova su djela kasnije našla primjenu i u matematici i u fizici i kibernetici.
Zahvaljujući znanju o svojstvima trokuta, nastala je takva znanost kao što je trigonometrija. Pokazalo se potrebnim za osobu u njegovim praktičnim potrebama, budući da je njegova upotreba jednostavno neophodna pri sastavljanju karata, mjerenja područja, pa čak i pri projektiranju raznih mehanizama.
Koji je najpoznatiji trokut? Ovo je, naravno, Bermudski trokut! Ime je dobio 50-ih godina zbog geografskog položaja točaka (vrhova trokuta), unutar kojih su, prema postojećoj teoriji, nastale anomalije povezane s njim. Vrhovi Bermudskog trokuta su Bermuda, Florida i Portoriko.
Zadatak: Koje ste teorije o Bermudskom trokutu čuli?
Znate li da u teoriji Lobačevskog, kada se zbrajaju kutovi trokuta, njihov zbroj uvijek ima rezultat manji od 180º. U Riemannovoj geometriji, zbroj svih kutova trokuta je veći od 180º, dok je u Euklidovim spisima jednak 180 stupnjeva.
Domaća zadaća
Riješite križaljku na zadanu temu
Pitanja u križaljci:
1. Kako se zove okomica povučena iz vrha trokuta na ravnu liniju koja se nalazi na suprotnoj strani?
2. Kako, jednom riječju, možete nazvati zbroj duljina stranica trokuta?
3. Imenuj trokut čije su dvije stranice jednake?
4. Imenuj trokut čiji je kut jednak 90°?
5. Kako se zove veća stranica trokuta?
6. Naziv stranice jednakokračnog trokuta?
7. Uvijek ih ima tri u bilo kojem trokutu.
8. Kako se zove trokut u kojemu je jedan od kutova veći od 90°?
9. Naziv segmenta koji povezuje vrh naše figure sa sredinom suprotne strane?
10. U jednostavnom poligonu ABC veliko slovo A je...?
11. Kako se zove segment koji dijeli kut trokuta na pola.
Pitanja o trokutima:
1. Dajte definiciju.
2. Koliko ima visina?
3. Koliko simetrala ima trokut?
4. Koliki mu je zbroj kutova?
5. Koje vrste ovog jednostavnog poligona poznajete?
6. Imenuj točke trokuta koje se nazivaju divnim.
7. Kojim instrumentom se može mjeriti kut?
8. Ako kazaljke na satu pokazuju 21 sat. Koji kut tvore kazaljke za satove?
9. Pod kojim kutom se osoba okreće ako dobije naredbu "ulijevo", "uokolo"?
10. Koje druge definicije koje poznajete povezane s likom koji ima tri kuta i tri strane?
