Suprotni brojevi, definicija, primjeri. Suprotni brojevi - Hipermarket znanja

Predmet

Vrsta lekcije

proučavanje i primarno usvajanje novog gradiva

Ciljevi lekcije

Upoznajte definicije pozitivnih i negativnih, suprotnih brojeva

Pronađi suprotne brojeve pri rješavanju vježbi, pri rješavanju jednadžbi

Razvijanje - razvijati učeničku pažnju, ustrajnost, ustrajnost, logično mišljenje, matematički govor.

Odgojno - kroz nastavu njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, međusobnog pomaganja, neovisnosti.

Ciljevi lekcije

Saznajte što su suprotni brojevi

Naučite koristiti ovaj koncept prilikom rješavanja problema

Provjerite sposobnost učenika da rješavaju probleme.

Plan učenja

1. Uvod.

2. Teorijski dio

3. Praktični dio.

4. Domaća zadaća.

5. Zanimljivosti

Uvod

Pogledajte slike i opišite jednom riječju koja je razlika u njima.

Slike pokazuju suprotnosti.

su dva broja jednaka po apsolutnoj vrijednosti, ali imaju različiti znakovi, npr. 5 i -5.

Teorijski dio

Prvo, sjetimo se što je negativni brojevi. Izgled video:

Točke s koordinatama 5 i -5 jednako su udaljene od točke O i smještene su uzduž različite strane od nje. Da biste došli od točke O do ovih točaka, morate prijeći iste udaljenosti, ali u suprotnim smjerovima. Zovu se brojevi 5 i -5 suprotni brojevi: 5 je suprotno od -5, a -5 je suprotno od 5.

Zovu se dva broja koja se međusobno razlikuju samo znakovima suprotni brojevi.

Na primjer, 35 i -35 bit će suprotni brojevi, budući da je broj 35 \u003d +35, što znači da se brojevi 35 i -35 razlikuju samo u znakovima. Suprotni brojevi će također biti 0,8 i -0,8, ¾ i -¾.

Svojstva suprotnih brojeva

jedan). Za svaki broj postoji samo jedan suprotan broj.

2). Broj 0 je suprotan samom sebi.

3). Suprotnost a naziva se -a. Ako je a = -7,8, tada je -a = 7,8; ako je a = 8,3, tada je -a = -8,3; ako je a = 0, tada je -a = 0.

4). Unos "-(-15)" znači suprotno od -15. Budući da je suprotnost -15 15, onda je -(-15) = 15. Općenito -(-a) = a.

Zovu se prirodni brojevi, njihovi suprotni brojevi i nula cijeli brojevi.

suprotan broj n" u odnosu na broj n je broj koji, kada se doda n, daje nulu.

n + n" = 0

Ova se jednakost može prepisati na sljedeći način:

n + n" - n = 0 - n ili n" = − n

Tako, suprotni brojevi imaju iste module, ali suprotne predznake.

U skladu s tim, broj suprotan broju n označava se − n. Kada je broj pozitivan, tada će njegov suprotni broj biti negativan, i obrnuto.

1. Navedite primjere suprotnih brojeva.

2. Nacrtajte ih na koordinatnoj liniji.

3. Što je suprotno od -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Praktični dio

Primjer

1) Označite točke A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5,2), F(5,2), G(-6) na koordinatnoj liniji , H( 7). 2) Među tim točkama pronađite i označite one koje su simetrične u odnosu na točku O (0). Što se može reći o koordinatama simetričnih točaka?

Točke simetrične u odnosu na točku O(0): A(2) i B(-2), E(-5.2) i F(5.2)

Simetrične koordinate točke su brojevi koji se razlikuju samo predznakom. Takvi brojevi se nazivaju suprotan.

Označite na koordinatnoj liniji točke A (-3), B (+6), C (+4,2), D (+3), E (-4,2), F (-6) Što se može reći o ovim brojevima?

Od brojeva 15; 2,5; - 2,5; - osamnaest; 0; 45; - 45 biraju: a) prirodne brojeve; b) cijeli brojevi; c) negativni brojevi; d) pozitivni brojevi; e) suprotni brojevi.

1) Zapiši broj nasuprot broju a.

2) Navedite broj nasuprot broju a, ako:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a \u003d 3.4.

1) Zapamtite što unos znači: - (- a).

2) Zamijenite * takvim brojem da dobijete točnu jednakost: a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.

Domaća zadaća

jedan). Popuni tablicu:

2). Pronađite: a) -m,

ako je m = -8,

ako je m = -16

ako je -k = 27

ako je -k = -35

ako je c = 41

ako je c = -3,6

3). Koliko se parova suprotnih brojeva nalazi između brojeva -7,2 i 3,6. Označite na koordinatnoj liniji.

4). Saznajte ime izvrsnog francuskog znanstvenika:

Znate li gdje u Svakidašnjica susrećemo li pozitivne i negativne brojeve?

Popis korištenih izvora

1. Matematička enciklopedija (u 5 svezaka). - M.: Sovjetska enciklopedija, 2002. - T. 1.
2. "Najnoviji školski vodič" "KUĆA XXI stoljeće" 2008
3. Sažetak lekcije na temu " Suprotni brojevi" Autor: Petrova V.P., učiteljica matematike (5-9. razred), Kijev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Udžbenik za srednju školu

§ 1 Pojam pozitivnog broja

U ovoj lekciji naučit ćete koji se brojevi nazivaju suprotnosti, kako pronaći suprotni broj, a također i što su cijeli i racionalni brojevi.

Počnimo s praktični rad. Na koordinatnoj liniji označite točke A(2) i B(-2). One su simetrične i središte simetrije ovih točaka je ishodište O(0), budući da je udaljenost OA=OB.

Vidimo da su koordinate točaka koje su simetrične u odnosu na ishodište brojevi koji se razlikuju samo predznakom. Takvi brojevi se nazivaju suprotnosti.

Postoji još jedna definicija suprotnih brojeva. Koji su moduli brojeva 2 i -2? Jednako 2. Dakle, suprotni brojevi su brojevi koji imaju iste module, ali se razlikuju po predznaku.

Za označavanje broja nasuprot danom broju koristite znak minus koji je napisan ispred zadanog broja. To jest, suprotnost od a zapisuje se kao −a. Na primjer, broj 0,24 je suprotan broju −0,24, broj -25 je suprotan broju −(−25), ali broj -25 na koordinatnoj liniji je suprotan od 25, što znači -(-25) = 25. Iz ovoga slijedi da je -( -a) = a i a = -(-a).

§ 2 Svojstva suprotnih brojeva

Izdvojimo neka svojstva suprotnih brojeva.

Broj nasuprot pozitivnom broju je negativan, a broj nasuprot negativnom broju je pozitivan. To je razumljivo, budući da su točke koordinatnog pravca koje odgovaraju suprotnim brojevima na suprotnim stranama ishodišta.

Ako je broj a suprotan broju b, tada je b suprotan a - to slijedi iz svojstva simetrije točaka na koordinatnoj liniji.

Pogledajmo koordinatni pravac. Koliko se točaka može označiti na koordinatnoj liniji koje su simetrične zadanoj s obzirom na ishodište? Samo jedan. To znači da za svaki broj postoji samo jedan suprotan broj.

Samo je jedan broj suprotan sebi - to je broj 0, budući da je 0 = -0 (dakle, nije uobičajeno pisati -0).

Brojevi sa zajedničko obilježje formiraju skup (ili grupu), svaki skup ima svoje ime.

Podsjetimo da se brojevi koje koristimo u brojanju nazivaju prirodni brojevi, oni čine skup prirodnih brojeva.

Svaki prirodni broj ima svoj suprotni broj. Prirodni brojevi, njihovi suprotni brojevi i broj 0 nazivaju se cijeli brojevi.

Frakcijski brojevi također mogu biti pozitivni ili negativni. Svi cijeli brojevi i svi razlomci nazivaju se racionalnim brojevima. Kažu i da zajedno čine set racionalni brojevi.

Izdvojimo još dvije skupine brojeva. Uzmimo koordinatni pravac. Uklonimo li dio ravne na kojoj se nalaze negativni brojevi, nastaje zraka sa pozitivni brojevi a početna točka je 0. Preostali brojevi nazivaju se nenegativni, odnosno brojevi koji su veći ili jednaki 0. Dakle, nepozitivni brojevi su svi negativni brojevi, a broj 0, odnosno brojevi koji su manji ili jednak 0.

Danas smo naučili što su suprotni, cjelobrojni, racionalni, nenegativni, nepozitivni brojevi, naučili smo pronaći broj suprotan zadanom.

Popis korištene literature:

Matematika.6. razred: planovi nastave za udžbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-sastavljač L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike obrazovne ustanove. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
Priručnik za matematiku - http://lyudmilanik.com.ua
Priručnik za studente u Srednja škola http://shkolo.ru

Definicija suprotnih brojeva

Definicija suprotnih brojeva:

Kaže se da su dva broja suprotna ako se razlikuju samo po znakovima.

Primjeri suprotnih brojeva

Primjeri suprotnih brojeva.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Odavde je jasno kako pronaći broj suprotan zadanom: samo promijenite predznak broja.

Suprotnost od 3 je broj minus tri.

Primjer. Brojevi su suprotni podacima.

Zadano: brojevi 1; 5; osam; devet.

Pronađite brojeve suprotne od zadanih.

Da biste riješili ovaj zadatak, jednostavno promijenite predznake zadanih brojeva:

Napravimo tablicu suprotnih brojeva:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Broj suprotan nuli

Suprotnost nuli je sama nula.

Dakle, suprotnost od 0 je 0.

Suprotni cijeli brojevi

Suprotni cijeli brojevi razlikuju se samo po predznacima.

Primjeri suprotnih cijelih brojeva.

10 -10
20 -20
125 -125

Par suprotnih brojeva

Kada ljudi govore o suprotnim brojevima, uvijek misle na par suprotnih brojeva.

Broj je suprotan drugom broju. A svaki broj ima samo jedan suprotan broj.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima

Brojevi suprotni prirodnim brojevima negativni su cijeli brojevi.

Napravimo tablicu suprotnih brojeva za prvih pet prirodnih brojeva:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Zbroj suprotnih brojeva

Zbroj suprotnih brojeva je nula. Uostalom, suprotni brojevi razlikuju se samo po predznaku.

U ovom članku ćemo proučiti suprotni brojevi. Ovdje ćemo odgovoriti na pitanje koji se brojevi nazivaju suprotnostima, pokazati kako se označava broj suprotan danom broju i navesti primjere. Navest ćemo i glavne rezultate koji su karakteristični za suprotne brojeve.

Navigacija po stranici.

Definicija suprotnih brojeva

Dobiti ideju o suprotnim brojevima pomoći će nam.

Na koordinatnoj liniji označavamo neku točku M, različitu od ishodišta. Do točke M možemo doći sukcesivno odgađajući od ishodišta u smjeru točke M jedan segment, kao i njegov deseti, stoti i tako dalje udjele. Ako odvojimo isti broj jediničnih segmenata i njegovih udjela u suprotnom smjeru, doći ćemo do druge točke, označimo je slovom N. Navedimo primjer koji ilustrira naše postupke (vidi sliku ispod). Da bismo došli do točke M na koordinatnoj liniji, u negativnom smjeru odvajamo dva jedinična segmenta i 4 segmenta koji čine desetinu jedinice. Sada ostavimo na stranu dva pojedinačna segmenta i 4 segmenta koji čine desetinu jednog segmenta u pozitivnom smjeru. Tako dobivamo točku N.

Gotovo smo spremni prihvatiti definiciju suprotnih brojeva, ostaje samo raspraviti nekoliko nijansi.

Znamo da svaka točka koordinatnog pravca odgovara jednom realnom broju, dakle, i točka M i točka N odgovaraju nekim realnim brojevima. Dakle, brojevi koji odgovaraju točkama M i N nazivaju se suprotni.

Zasebno, mora se reći o točki O - ishodištu. Točka O odgovara broju 0 . Broj nula se smatra suprotnim samom sebi.

Sada možemo glas definicija suprotnih brojeva.

Definicija.

Dva broja nazivaju se suprotnim ako se točke koje odgovaraju tim brojevima na koordinatnoj liniji mogu postići odvajanjem istog broja jediničnih segmenata od ishodišta u suprotnim smjerovima, kao i razlomaka jediničnog segmenta, broj 0 je suprotan od sebe.

Zapis suprotnih brojeva i primjeri

Vrijeme je za ulazak zapis za suprotne brojeve.

Donesimo primjeri suprotnih brojeva. Par brojeva 17 i −17 (ili −17 i 17) primjer je suprotnih cijelih brojeva. Brojevi i su suprotni racionalni brojevi. Drugi primjeri suprotnih racionalnih brojeva su parovi brojeva 5.126 i −5.126. kao i 0,(1201) i −0,(1201) . Ostaje navesti nekoliko suprotnih primjera

Razmotrimo takav primjer. Potrebno je uzastopno izračunati: .

Možete preurediti brojeve koji se zbrajaju, a zatim oduzeti preostale: .

Ali to nije uvijek zgodno. Na primjer, možemo izračunati stanje stvari u nekom skladištu i trebamo znati međurezultat.

Radnje možete izvoditi u nizu: .

To znamo, što znači da će rezultat biti oduzimanje od broja. To znači da je potrebno oduzeti, ali ne još ni od čega. Kada postoji nešto od čega treba oduzeti, oduzmite:

Ali možemo "prevariti" i odrediti . Stoga ćemo predstaviti novi objekt - negativni brojevi.

Već smo izveli takvu operaciju - u prirodi, na primjer, broj "" također nije postojao, ali smo uveli takav objekt kako bismo olakšali snimanje radnji.

Zamislite da nam je naloženo izdavanje i primanje lopti u sportskom skladištu. Moramo voditi evidenciju. Možete napisati riječima:

Izdano , Prihvaćeno , Izdano , Prihvaćeno , ... (Vidi sliku 1.)

Riža. 1. Računovodstvo

Slažete se, ako trebate izdavati i primati više puta dnevno, tada snimanje nije baš zgodno.

List možete podijeliti u dva stupca, jedan - Prihvaćen, drugi - Izdano. (Vidi sliku 2.)

Riža. 2. Pojednostavljeni zapis

Upis je postao kraći. Ali ovdje je problem: kako razumjeti koliko je loptica oduzeto (ili dano) u bilo kojem trenutku?

Za pisanje možemo koristiti sljedeće razmatranje: kada izdajemo kuglice iz skladišta, njihov se broj u skladištu smanjuje, a kada primamo povećava se.

Ali kako napisati "dao loptu"? Možete unijeti takav objekt: .

Ovaj objekt nam omogućuje da matematički zabilježimo kretanje loptica redoslijedom kojim su se dogodile:

Razmotrimo još jedan primjer.

Na račun vašeg telefona rubalja. Išli ste na internet i koštalo je rubalja. Ispalo je dug od rubalja. Operater bi mogao zapisati ovako: "klijent duguje rubalja." Stavili ste rublje. Operater je odbio dug. Ispalo je na račun rubalja.

Ali prikladno je zabilježiti i transakcije i novac na računu pomoću znakova "" i "". (Vidi sliku 3.)

Riža. 3. Zgodno snimanje

Upisujemo negativan broj kako bismo zapisali rezultat oduzimanja većeg broja od manjeg: .

Dodavanje negativnog broja isto je kao i oduzimanje: .

Kako bismo razlikovali negativne brojeve od pozitivnih brojeva s kojima smo se ranije bavili, dogovorili smo se ispred njih staviti znak minus: .

Biste li mogli bez njih? Da, možete. U svakom konkretnu situaciju koristili bismo riječi "natrag", "u dugovima" i tako dalje. Ali one bi, ove riječi, bile drugačije.

I tako imamo univerzalni prikladan alat. Jedan za sve takve slučajeve.

Možemo povući analogiju s automobilom. Sastoji se od veliki broj dijelovi, od kojih mnogi nisu potrebni pojedinačno, ali zajedno omogućuju vožnju. Isto tako i negativni brojevi - alat koji zajedno s drugim matematičkim alatima olakšava izračunavanje i pojednostavljuje rješavanje i bilježenje mnogih problema.

Dakle, uveli smo novi objekt - negativne brojeve. Za što se koriste u životu?

Prvo, prisjetimo se uloga pozitivnih brojeva:

Količina: npr. drvo, litre mlijeka. (Vidi sliku 4.)

Riža. 4. Količina

Redoslijed: Na primjer, kuće su numerirane pozitivnim brojevima. (Vidi sliku 5.)

Riža. 5. Naručivanje

Ime: npr. broj igrača. (Vidi sliku 6.)

Riža. 6. Broj kao ime

Pogledajmo sada funkcije negativnih brojeva:

Označavanje količine koja nedostaje. Broj nije negativan. Ali negativan broj se koristi da pokaže da se iznos oduzima. Na primjer, možemo izliti iz boce i napisati to kao . (Vidi sliku 7.)

Riža. 7. Označavanje količine koja nedostaje

Naručivanje. Ponekad je tijekom numeriranja odabrana nula i trebate numerirati objekte s obje strane nule. Na primjer, katovi koji se nalaze ispod -th, u podrumu. (Vidi sliku 8.) Ili temperatura koja je ispod odabrane nule. (Vidi sliku 9.)

Riža. 8. Kat ispod th, u suterenu

Riža. devet. Negativni brojevi na skali termometra

Ali ipak, glavna svrha negativnih brojeva je alat za pojednostavljenje matematičkih izračuna.

Ali da negativni brojevi postanu ovakvi zgodan alat, potrebno je:

Negativna temperatura je ona koja je ispod nule, ispod nule. Ali što je nulta temperatura? Za mjerenje, snimanje temperature potrebno je odabrati mjernu jedinicu i referentnu točku. I jedno i drugo je dogovor. Koristimo Celzijevu ljestvicu nazvanu po znanstveniku koji ju je predložio. (Vidi sliku 10.)

Riža. 10. Anders Celzijus

Ovdje je točka smrzavanja vode odabrana kao referentna točka. Sve ispod je označeno negativnu vrijednost. (Vidi sliku 11.)

Riža. jedanaest.

Ali jasno je da ako uzmemo drugu referentnu točku, drugu nulu, tada negativna temperatura u Celzijusu može biti pozitivna na ovoj drugoj ljestvici. I tako se događa. U fizici se široko koristi Kelvinova ljestvica. Slično je Celzijevoj ljestvici, samo se vrijednost najniže moguće temperature bira kao nula (nema niže). Ova vrijednost se naziva "apsolutna nula". U Celzijusu je to otprilike. (Vidi sliku 12.)

Riža. 12. Dvije ljestvice

Odnosno, u Kelvinovoj skali uopće nema negativnih vrijednosti.

Da, naše ljeto .

I mraz .

Odnosno, negativna temperatura je konvencija, dogovor ljudi da je tako nazovu.

Krenimo od nule. Nula zauzima poseban položaj među brojevima.

Kao što smo već raspravljali, radi naše praktičnosti, možemo označiti oduzimanje sedam kao negativan broj. Budući da znači oduzimanje, ostavljamo znak "" kao njegov znak. Nazovimo novi broj.

To jest, "" je broj koji zbraja nulu: . I to bilo kojim redoslijedom. Ovo je definicija negativnog (ili suprotnog) broja.

Za svaki broj koji smo prethodno proučavali uvodimo novi broj, negativan, čiji je predznak minus ispred njega. Odnosno, za svaki prethodni broj pojavio se njegov negativni blizanac. Takvi blizanci nazivaju se suprotnim brojevima. (Vidi sliku 13.)

Riža. 13. Suprotni brojevi

Dakle, definicija: dva se broja nazivaju suprotnim brojevima, čiji je zbroj jednak nuli.

Izvana se razlikuju samo u znaku "".

Ako ispred varijabli stoji znak "", na primjer, što to znači? To ne znači da je ta vrijednost negativna. Znak minus znači da je ta vrijednost suprotna broju: . Koji je od ovih brojeva pozitivan, a koji negativan, ne znamo.

Ako tada .

Ako (negativan broj), onda (pozitivan broj).

Što je suprotno od nule? To već znamo.

Ako se bilo kojem broju doda nula, uključujući nulu, tada se izvorni broj neće promijeniti. To jest, zbroj dviju nula jednak je nuli: . Ali brojevi čiji je zbroj nula su suprotni. Dakle, nula je suprotna samoj sebi.

Dakle, dali smo definiciju negativnih brojeva, saznali zašto su potrebni.

Hajdemo sada malo vremena posvetiti tehnologiji. Za sada, moramo naučiti kako pronaći njegovu suprotnost za bilo koji broj: