Je li svaki obični razlomak racionalan broj? Što su racionalni brojevi? Što su drugi

U ovom pododjeljku dajemo nekoliko definicija racionalnih brojeva. Usprkos razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi kombiniraju cijele brojeve i razlomke, baš kao što se kombiniraju cijeli brojevi cijeli brojevi, njihovi suprotni brojevi i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomke.

Počnimo s definicije racionalnih brojevašto se doživljava kao najprirodnije.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao pozitivan zajednički razlomak, negativan zajednički razlomak ili broj nula.

Iz zvučne definicije proizlazi da je racionalni broj:

bilo koji prirodni broj n. Doista, bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1 .

· Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Doista, bilo koji cijeli broj može se napisati ili kao pozitivan zajednički razlomak, kao negativan zajednički razlomak ili kao nula. Na primjer, 26=26/1 , .

Bilo koji obični razlomak(pozitivan ili negativan). To izravno govori data definicija racionalnih brojeva.

Bilo koji mješoviti broj. Doista, uvijek je moguće predstaviti mješoviti broj kao nepravilan zajednički razlomak. Na primjer, i.

bilo kakvo finale decimal ili beskonačan periodični razlomak. To je tako jer se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, a 0,(3)=1/3 .

Također je jasno da svaka beskonačna neponavljajuća decimala NIJE racionalan broj, budući da se ne može predstaviti kao obični razlomak.

Sada možemo lako donijeti primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4 ,903 , 100 321 su racionalni brojevi, budući da su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 također su primjeri racionalnih brojeva. Uobičajeni razlomci 4/9 , 99/3 , također su primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su također brojevi.

Iz gornjih primjera može se vidjeti da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulirati u kraćem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi imenovati broj koji se može napisati kao razlomak z/n, gdje z je cijeli broj, i n- prirodni broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da šipku razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Na temelju ove definicije dajemo primjere racionalnih brojeva. Brojevi −5 , 0 , 3 , i racionalni su brojevi, budući da se mogu zapisati kao razlomci s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika, odnosno.

Definicija racionalnih brojeva također se može dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Ova je definicija također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a svaki cijeli broj može biti povezan s decimalnim razlomkom s nulama iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi 5 , 0 , −13 , su primjeri racionalnih brojeva, budući da se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 i −7,(18) .

Teoriju ovog odjeljka završavamo sljedećim tvrdnjama:

cijeli i razlomački brojevi (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak je racionalan broj;

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak je racionalan broj.

Vrh stranice

Zbrajanje pozitivnih racionalnih brojeva je komutativno i asocijativno,

("a, b n Q +) a + b= b + a;

("a, b, c n Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Prije nego što formulirate definiciju množenja pozitivnih racionalnih brojeva, razmotrite sljedeći problem: poznato je da se duljina segmenta X izražava kao razlomak jedinične duljine E, a duljina jediničnog segmenta mjeri se jedinicom E 1 a izražava se kao razlomak. Kako pronaći broj koji će predstavljati duljinu segmenta X, ako ga izmjerite jedinicom za duljinu E 1?

Budući da je X=E, onda je nX=mE, a iz činjenice da je E =E 1 slijedi da je qE=pE 1 . Prvu dobivenu jednakost množimo s q, a drugu s m. Tada (nq)X = (mq)E i (mq)E = (mp)E 1, odakle je (nq)X = (mp)E 1. Ova jednakost pokazuje da je duljina segmenta x na jediničnoj duljini izražava se kao razlomak, pa stoga , =, tj. množenje razlomaka povezano je s prijelazom iz jedne jedinice duljine u drugu pri mjerenju duljine istog segmenta.

Definicija Ako je pozitivan broj a predstavljen razlomkom, a pozitivan racionalni broj b razlomkom, tada se njihov umnožak naziva brojem a b, koji je predstavljen razlomkom.

Množenje pozitivnih racionalnih brojeva komutativno, asocijativno i distributivno s obzirom na zbrajanje i oduzimanje. Dokaz ovih svojstava temelji se na definiciji množenja i zbrajanja pozitivnih racionalnih brojeva, kao i na odgovarajućim svojstvima zbrajanja i množenja prirodnih brojeva.

46. Kao što znate oduzimanje je suprotnost zbrajanju.

Ako je a a i b - pozitivni brojevi, zatim oduzimanje broja b od broja a znači pronaći broj c koji, kada se doda broju b, daje broj a.
a - b = c ili c + b = a
Definicija oduzimanja vrijedi za sve racionalne brojeve. Odnosno, oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva može se zamijeniti zbrajanjem.
Da biste od jednog broja oduzeli drugi, minuendu morate dodati suprotni broj.
Ili, na drugi način, možemo reći da je oduzimanje broja b isti zbrajanje, ali s brojem suprotnim broju b.
a - b = a + (- b)
Primjer.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Primjer.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vrijedno je zapamtiti dolje navedene izraze.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Pravila za oduzimanje negativnih brojeva
Oduzimanje broja b je zbrajanje s brojem nasuprot broju b.
Ovo pravilo se čuva ne samo kada se manji broj oduzima od većeg broja, već također dopušta oduzimanje od manjeg broja više, odnosno uvijek možete pronaći razliku dva broja.
Razlika može biti pozitivan broj, negativan broj ili nula.
Primjeri oduzimanja negativnih i pozitivnih brojeva.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Prikladno je zapamtiti pravilo znaka, koje vam omogućuje smanjenje broja zagrada.
Znak plus ne mijenja predznak broja, pa ako se ispred zagrade nalazi plus, znak u zagradi se ne mijenja.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Znak minus ispred zagrada preokreće predznak broja u zagradi.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Iz jednakosti se vidi da ako se ispred i unutar zagrada nalaze identični znakovi, onda dobivamo “+”, a ako su znakovi različiti, onda dobivamo “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Očuvano je i pravilo predznaka ako u zagradi nije jedan broj, već algebarski zbroj brojeva.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Imajte na umu da ako postoji nekoliko brojeva u zagradama, a ispred zagrada je znak minus, tada se predznaci ispred svih brojeva u ovim zagradama moraju promijeniti.
Da biste zapamtili pravilo znakova, možete napraviti tablicu za određivanje znakova broja.
Pravilo znaka za brojeve + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ili naučite jednostavno pravilo.
Dva negativa čine potvrdno,
Plus puta minus jednako je minus.

Pravila za dijeljenje negativnih brojeva.
Da biste pronašli modul kvocijenta, morate podijeliti modul dividende s modulom djelitelja.
Dakle, da biste podijelili dva broja s istim predznacima, trebate:

Podijelite modul djelitelja s modulom djelitelja;

Stavite znak "+" ispred rezultata.

Primjeri dijeljenja brojeva sa različiti znakovi:

Također možete koristiti sljedeću tablicu da odredite znak kvocijenta.
Pravilo znakova pri dijeljenju
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Prilikom izračunavanja "dugih" izraza u kojima se pojavljuju samo množenje i dijeljenje, vrlo je zgodno koristiti pravilo znaka. Na primjer, za izračunavanje razlomka
Možete obratiti pažnju da u brojniku postoje 2 znaka "minus", koji će, kada se pomnože, dati "plus". U nazivniku se nalaze i tri znaka minusa koji će, kada se pomnože, dati minus. Stoga će na kraju rezultat biti sa predznakom minus.
Smanjenje frakcije ( daljnje radnje s modulima brojeva) izvodi se na isti način kao i prije:
Kvocijent dijeljenja nule nenultim brojem je nula.
0: a = 0, a ≠ 0
NEMOJTE dijeliti s nulom!
Sva dosad poznata pravila za dijeljenje s jedan vrijede i za skup racionalnih brojeva.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, gdje je a bilo koji racionalni broj.
Ovisnosti između rezultata množenja i dijeljenja, poznate za pozitivne brojeve, također su sačuvane za sve racionalne brojeve (osim za broj nula):
ako je a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ako je a: b = c; a = c × b; b=a:c
Te se ovisnosti koriste za pronalaženje nepoznati množitelj, dividenda i djelitelj (pri rješavanju jednadžbi), kao i za provjeru rezultata množenja i dijeljenja.
Primjer pronalaženja nepoznatog.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

Slične informacije.

U ovom članku počet ćemo proučavati racionalni brojevi. Ovdje dajemo definicije racionalnih brojeva, dajemo potrebna objašnjenja i dajemo primjere racionalnih brojeva. Nakon toga ćemo se usredotočiti na to kako odrediti je li dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom pododjeljku dajemo nekoliko definicija racionalnih brojeva. Unatoč razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele i razlomke, kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotne brojeve i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomke.

Počnimo s definicije racionalnih brojevašto se doživljava kao najprirodnije.

Iz zvučne definicije proizlazi da je racionalni broj:

Bilo koji prirodni broj n. Doista, bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Doista, bilo koji cijeli broj može se napisati ili kao pozitivan zajednički razlomak, kao negativan zajednički razlomak ili kao nula. Na primjer, 26=26/1 , .
Bilo koji obični razlomak (pozitivan ili negativan). To izravno govori data definicija racionalnih brojeva.
Bilo koji mješoviti broj. Doista, uvijek je moguće predstaviti mješoviti broj kao nepravilan zajednički razlomak. Na primjer, i .
Bilo koji konačni decimalni ili beskonačni periodični razlomak. To je tako jer se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, , i 0,(3)=1/3 .

Također je jasno da svaka beskonačna neponavljajuća decimala NIJE racionalan broj, budući da se ne može predstaviti kao obični razlomak.

Sada možemo lako donijeti primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100 321 su racionalni brojevi, budući da su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58 , −72 , 0 , −833 333 333 također su primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 također su primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su također brojevi.

Iz gornjih primjera može se vidjeti da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulirati u kraćem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi pozivne brojeve koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da šipku razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, a zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva slijede sljedeće jednakosti i . Dakle, što je dokaz.

Na temelju ove definicije dajemo primjere racionalnih brojeva. Brojevi −5, 0, 3 i racionalni su brojevi, budući da se mogu zapisati kao razlomci s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika.

Definicija racionalnih brojeva također se može dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Na primjer, brojevi 5 , 0 , −13 su primjeri racionalnih brojeva jer se mogu zapisati kao sljedeće decimale 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 i −7,(18) .

Teoriju ovog odjeljka završavamo sljedećim tvrdnjama:

cijeli i razlomački brojevi (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak je neki racionalni broj;
svaki racionalni broj može se predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja neki racionalni broj.

Je li ovaj broj racionalan?

U prethodnom odlomku saznali smo da je svaki prirodni broj, bilo koji cijeli broj, bilo koji obični razlomak, bilo koji mješoviti broj, bilo koji konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućuje da "prepoznajemo" racionalne brojeve iz skupa zapisanih brojeva.

Ali što ako je broj zadan kao neki , ili kao , itd., kako odgovoriti na pitanje, je li dati broj racionalan? U mnogim slučajevima vrlo je teško odgovoriti na njega. Istaknimo neke smjernice za tijek misli.

Ako je broj naveden kao numerički izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke znakove (+, −, · i:), tada je vrijednost ovog izraza racionalan broj. To proizlazi iz definiranja operacija nad racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobivamo racionalni broj 18 .

Ponekad, nakon pojednostavljenja izraza i više složenog tipa, postaje moguće odrediti je li dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, budući da je svaki prirodni broj racionalan. Što je s brojem? Je li to racionalno? Ispada da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz te činjenice kontradiktorno je dat u udžbeniku algebre za 8. razred, naznačenom dolje na popisu literature). Također je dokazano da Korijen iz prirodnog broja je racionalan broj samo u onim slučajevima kada je korijen broj koji je savršeni kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, budući da su 81=9 2 i 1 024=32 2 , a brojevi i nisu racionalni, budući da brojevi 7 i 199 nisu savršeni kvadrati prirodnih brojeva.

Je li broj racionalan ili ne? U ovom slučaju, lako je vidjeti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Je li broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj pod predznakom korijena k-ti stepen nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čiji je peti stepen 121.

Metoda kontradikcije nam omogućuje da dokažemo da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, odnosno pretpostavimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao običan razlomak m/n. Zatim i dati sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, budući da se na njenoj lijevoj strani nalazi neparan broj 5 n , a na desnoj strani je paran broj 2 m . Stoga je naša pretpostavka pogrešna, stoga nije racionalan broj.

Zaključno, valja naglasiti da se pri pojašnjavanju racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od iznenadnih zaključaka.

Na primjer, ne treba odmah tvrditi da je umnožak iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj, to je “kao da je očito”, ali nije dokazano. To postavlja pitanje: “Zašto bi proizvod bio racionalan broj”? A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji umnožak daje racionalni broj:.

Također je nepoznato jesu li brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi, iracionalni stupanjšto je racionalan broj. Za ilustraciju, predstavljamo stupanj oblika , baza ovog stupnja i eksponent nisu racionalni brojevi, već , i 3 je racionalan broj.

Bibliografija.

Matematika. 6. razred: udžbenik. za opće obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., vlč. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

) su brojevi s pozitivnim ili negativnim predznakom (cijeli i razlomak) i nula. Precizniji koncept racionalnih brojeva zvuči ovako:

racionalni broj- broj koji je predstavljen prostim razlomkom m/n, gdje je brojnik m su cijeli brojevi, a nazivnik n- cijeli brojevi, na primjer 2/3.

Beskonačni neperiodični razlomci NISU uključeni u skup racionalnih brojeva.

a/b, gdje a∈ Z (a pripada cijelim brojevima) b∈ N (b pripada prirodnim brojevima).

Korištenje racionalnih brojeva u stvarnom životu.

NA stvaran život skup racionalnih brojeva koristi se za brojanje dijelova nekih cjelobrojnih djeljivih objekata, na primjer, kolače ili druge namirnice koje se izrezuju na komade prije konzumiranja ili za grubu procjenu prostornih odnosa proširenih objekata.

Svojstva racionalnih brojeva.

Osnovna svojstva racionalnih brojeva.

1. urednost a i b postoji pravilo koje vam omogućuje jedinstvenu identifikaciju između njih 1-ali i samo jedan od 3 odnosa: “<», «>" ili "=". Ovo pravilo je - pravilo narudžbe i formulirajte to ovako:

2 pozitivni brojevi a=m a /n a i b=m b /n b povezani istim odnosom kao 2 cijela broja m a⋅ nb i m b⋅ n a;
2 negativni brojevi a i b povezani istom relacijom kao 2 pozitivna broja |b| i |a|;
kada a pozitivno, i b- negativan, dakle a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacija zbrajanja. Za sve racionalne brojeve a i b tamo je pravilo zbrajanja, što ih stavlja u korespondenciju s određenim racionalnim brojem c. Međutim, sam broj c- ovo je iznos brojevima a i b i označava se kao (a+b) zbrajanje.

Pravilo zbrajanja izgleda ovako:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ P∃ !(a+b)∈ P

3. operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a i b tamo je pravilo množenja, povezuje ih s određenim racionalnim brojem c. Broj c se zove raditi brojevima a i b i označiti (a⋅b), a proces pronalaženja ovog broja se zove množenje.

pravilo množenja izgleda ovako: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koja tri racionalna broja a, b i c ako a manje b i b manje c, onda a manje c, što ako a jednaki b i b jednaki c, onda a jednaki c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutativnost zbrajanja. Od promjene mjesta racionalnih članova, zbroj se ne mijenja.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asocijativnost zbrajanja. Redoslijed zbrajanja 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prisutnost nule. Postoji racionalni broj 0, on čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.

∃ 0 ∈ P∀ a∈ Qa+0=a

8. Dostupnost suprotni brojevi . Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, a zbrajanjem dobije se 0.

∀ a∈ P∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Komutativnost množenja. Promjenom mjesta racionalnih čimbenika proizvod se ne mijenja.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Asocijativnost množenja. Redoslijed množenja 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1, on čuva svaki drugi racionalni broj u procesu množenja.

∃ 1 ∈ P∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Dostupnost recipročni brojevi . Svaki racionalni broj osim nule ima inverzni racionalni broj, množenjem s kojim dobivamo 1 .

∀ a∈ P∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje. Operacija množenja povezana je sa zbrajanjem pomoću zakona distribucije:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Povezivanje relacije narudžbe s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj dodaje se lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Povezanost relacije reda s operacijom množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednakosti mogu se pomnožiti s istim nenegativnim racionalnim brojem.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c