Koji se brojevi nazivaju racionalnim primjerima. Definicija racionalnih brojeva

) su brojevi s pozitivnim ili negativnim predznakom (cijeli i razlomak) i nula. Precizniji koncept racionalnih brojeva zvuči ovako:

racionalni broj- broj koji je predstavljen prostim razlomkom m/n, gdje je brojnik m su cijeli brojevi, a nazivnik n- cijeli brojevi, na primjer 2/3.

Beskonačni neperiodični razlomci NISU uključeni u skup racionalnih brojeva.

a/b, gdje a∈ Z (a pripada cijelim brojevima) b∈ N (b pripada prirodnim brojevima).

Korištenje racionalnih brojeva u stvarnom životu.

NA stvaran život skup racionalnih brojeva koristi se za brojanje dijelova nekih cjelobrojnih djeljivih objekata, Na primjer, kolače ili druge namirnice koje se izrezuju na komade prije konzumiranja ili za grubu procjenu prostornih odnosa proširenih objekata.

Svojstva racionalnih brojeva.

Osnovna svojstva racionalnih brojeva.

1. urednost a i b postoji pravilo koje vam omogućuje jedinstvenu identifikaciju između njih 1-ali i samo jedan od 3 odnosa: “<», «>" ili "=". Ovo pravilo je - pravilo narudžbe i formulirajte to ovako:

2 pozitivna broja a=m a /n a i b=m b /n b povezani istim odnosom kao 2 cijela broja m a⋅ nb i m b⋅ n a;
2 negativna broja a i b povezani istom relacijom kao 2 pozitivna broja |b| i |a|;
kada a pozitivno, i b- negativan, dakle a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacija zbrajanja. Za sve racionalne brojeve a i b tamo je pravilo zbrajanja, što ih stavlja u korespondenciju s određenim racionalnim brojem c. Međutim, sam broj c- Ovo iznos brojevima a i b i označava se kao (a+b) zbrajanje.

Pravilo zbrajanja izgleda ovako:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ P∃ !(a+b)∈ P

3. operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a i b tamo je pravilo množenja, povezuje ih s određenim racionalnim brojem c. Broj c se zove raditi brojevima a i b i označiti (a⋅b), a proces pronalaženja ovog broja se zove množenje.

pravilo množenja izgleda ovako: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koja tri racionalna broja a, b i c ako a manji b i b manji c, onda a manji c, i ako a jednaki b i b jednaki c, onda a jednaki c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutativnost zbrajanja. Od promjene mjesta racionalnih članova, zbroj se ne mijenja.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asocijativnost zbrajanja. Redoslijed zbrajanja 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prisutnost nule. Postoji racionalni broj 0, on čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.

∃ 0 ∈ P∀ a∈ Qa+0=a

8. Prisutnost suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, a zbrajanjem dobije se 0.

∀ a∈ P∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Komutativnost množenja. Promjenom mjesta racionalnih čimbenika proizvod se ne mijenja.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Asocijativnost množenja. Redoslijed množenja 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1, on čuva svaki drugi racionalni broj u procesu množenja.

∃ 1 ∈ P∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Dostupnost recipročni brojevi . Svaki racionalni broj osim nule ima inverzni racionalni broj, množenjem s kojim dobivamo 1 .

∀ a∈ P∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje. Operacija množenja povezana je sa zbrajanjem pomoću zakona distribucije:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Povezivanje relacije narudžbe s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj dodaje se lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Povezanost relacije reda s operacijom množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednakosti mogu se pomnožiti s istim nenegativnim racionalnim brojem.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, lako je uzeti toliko jedinica da će njihov zbroj biti veći a.

Racionalni brojevi

četvrtine

Urednost. a i b postoji pravilo koje vam omogućuje da između njih jedinstveno identificirate jedan i samo jedan od tri odnosa: "< », « >' ili ' = '. Ovo pravilo se zove pravilo narudžbe i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a i b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nenegativno, i b- negativan, dakle a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
zbrajanje razlomaka
operacija zbrajanja. Za sve racionalne brojeve a i b postoji tzv pravilo zbrajanja c. Međutim, sam broj c pozvao iznos brojevima a i b i označava se , a proces pronalaženja takvog broja se zove zbrajanje. Pravilo zbrajanja ima sljedeći pogled: .
operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a i b postoji tzv pravilo množenja, što ih stavlja u korespondenciju s nekim racionalnim brojem c. Međutim, sam broj c pozvao raditi brojevima a i b i označava se , a naziva se i postupak pronalaženja takvog broja množenje. Pravilo množenja je sljedeće: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b i c ako a manji b i b manji c, onda a manji c, i ako a jednaki b i b jednaki c, onda a jednaki c. 6435">Komutativnost zbrajanja. Zbroj se ne mijenja mijenjanjem mjesta racionalnih članova.
Asocijativnost zbrajanja. Redoslijed kojim se zbrajaju tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisutnost nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se zbroji.
Prisutnost suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se zbroji daje 0.
Komutativnost množenja. Promjenom mjesta racionalnih čimbenika proizvod se ne mijenja.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisutnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisutnost recipročnosti. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj koji, kada se pomnoži, daje 1.
Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje. Operacija množenja je u skladu s operacijom zbrajanja kroz zakon distribucije:
Povezanost relacije narudžbe s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da će njihov zbroj premašiti a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatna svojstva

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne temelje izravno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na temelju zadanih osnovnih svojstava ili izravno definicijom neki matematički objekt. Takav dodatna svojstva Mnogo. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Postavite brojivost

Numeracija racionalnih brojeva

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalni brojevi, tj. uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva.

Najjednostavniji od ovih algoritama je sljedeći. Sastavlja se beskonačna tablica običnih razlomaka, na svakom i-ti red u svakoj j th stupac koji je razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tablice numerirani od jedan. Ćelije tablice su označene , gdje i- broj retka tablice u kojoj se ćelija nalazi, i j- broj stupca.

Rezultirajućom tablicom upravlja "zmija" prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se traže od vrha do dna i sljedeća pozicija se odabire prema prvom podudaranju.

U procesu takve premosnice, svaki novi racionalni broj dodjeljuje se sljedećem prirodni broj. To jest, razlomcima 1 / 1 dodjeljuje se broj 1, razlomcima 2 / 1 - broj 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je jednakost s jedinicom najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika razlomka.

Slijedeći ovaj algoritam, mogu se nabrojati svi pozitivni racionalni brojevi. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva, jednostavno dodijelivši svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. Da. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihovo sjedinjenje je također prebrojivo svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa s konačnim.

Tvrdnja o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zbunjenost, jer se na prvi pogled stječe dojam da je mnogo veći od skupa prirodnih brojeva. Zapravo, to nije tako, a ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trokuta nije izražena nikakvim racionalnim brojem

Racionalni brojevi oblika 1 / n u cjelini n mogu se mjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara varljiv dojam da racionalni brojevi mogu općenito mjeriti bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Bilješke

Književnost

I. Kušnir. Priručnik iz matematike za školarce. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: glava. izd. fizika-matematika. lit. izd. "Znanost", 1977
I. L. Hmjelnicki. Uvod u teoriju algebarskih sustava

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010 .

Racionalni brojevi

četvrtine

Urednost. a i b postoji pravilo koje vam omogućuje da između njih jedinstveno identificirate jedan i samo jedan od tri odnosa: "< », « >' ili ' = '. Ovo pravilo se zove pravilo narudžbe i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a i b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nenegativno, i b- negativan, dakle a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
zbrajanje razlomaka
operacija zbrajanja. Za sve racionalne brojeve a i b postoji tzv pravilo zbrajanja c. Međutim, sam broj c pozvao iznos brojevima a i b i označava se , a proces pronalaženja takvog broja se zove zbrajanje. Pravilo zbrajanja ima sljedeći oblik: .
operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a i b postoji tzv pravilo množenja, što ih stavlja u korespondenciju s nekim racionalnim brojem c. Međutim, sam broj c pozvao raditi brojevima a i b i označava se , a naziva se i postupak pronalaženja takvog broja množenje. Pravilo množenja je sljedeće: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b i c ako a manji b i b manji c, onda a manji c, i ako a jednaki b i b jednaki c, onda a jednaki c. 6435">Komutativnost zbrajanja. Zbroj se ne mijenja mijenjanjem mjesta racionalnih članova.
Asocijativnost zbrajanja. Redoslijed kojim se zbrajaju tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisutnost nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se zbroji.
Prisutnost suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se zbroji daje 0.
Komutativnost množenja. Promjenom mjesta racionalnih čimbenika proizvod se ne mijenja.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisutnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisutnost recipročnosti. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj koji, kada se pomnoži, daje 1.
Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje. Operacija množenja je u skladu s operacijom zbrajanja kroz zakon distribucije:
Povezanost relacije narudžbe s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da će njihov zbroj premašiti a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatna svojstva

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne temelje izravno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na temelju zadanih osnovnih svojstava ili izravno definicijom neki matematički objekt. Takvih dodatnih svojstava ima puno. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Postavite brojivost

Numeracija racionalnih brojeva

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Za to je dovoljno dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, tj. uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva.

Rezultirajućom tablicom upravlja "zmija" prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se traže od vrha do dna i sljedeća pozicija se odabire prema prvom podudaranju.

U procesu takvog zaobilaženja, svaki novi racionalni broj dodjeljuje se sljedećem prirodnom broju. To jest, razlomcima 1 / 1 dodjeljuje se broj 1, razlomcima 2 / 1 - broj 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je jednakost s jedinicom najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika razlomka.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trokuta nije izražena nikakvim racionalnim brojem

Bilješke

Književnost

I. Kušnir. Priručnik iz matematike za školarce. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: glava. izd. fizika-matematika. lit. izd. "Znanost", 1977
I. L. Hmjelnicki. Uvod u teoriju algebarskih sustava

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010 .

) su brojevi s pozitivnim ili negativnim predznakom (cijeli i razlomak) i nula. Precizniji koncept racionalnih brojeva zvuči ovako:

racionalni broj- broj koji je predstavljen prostim razlomkom m/n, gdje je brojnik m su cijeli brojevi, a nazivnik n- cijeli brojevi, na primjer 2/3.

Beskonačni neperiodični razlomci NISU uključeni u skup racionalnih brojeva.

a/b, gdje a∈ Z (a pripada cijelim brojevima) b∈ N (b pripada prirodnim brojevima).

Korištenje racionalnih brojeva u stvarnom životu.

U stvarnom životu, skup racionalnih brojeva koristi se za brojanje dijelova nekih cjelobrojnih djeljivih objekata, Na primjer, kolače ili druge namirnice koje se izrezuju na komade prije konzumiranja ili za grubu procjenu prostornih odnosa proširenih objekata.

Svojstva racionalnih brojeva.

Osnovna svojstva racionalnih brojeva.

2 pozitivna broja a=m a /n a i b=m b /n b povezani istim odnosom kao 2 cijela broja m a⋅ nb i m b⋅ n a;
2 negativna broja a i b povezani istom relacijom kao 2 pozitivna broja |b| i |a|;
kada a pozitivno, i b- negativan, dakle a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

Pravilo zbrajanja izgleda ovako:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ P∃ !(a+b)∈ P

pravilo množenja izgleda ovako: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koja tri racionalna broja a, b i c ako a manji b i b manji c, onda a manji c, i ako a jednaki b i b jednaki c, onda a jednaki c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutativnost zbrajanja. Od promjene mjesta racionalnih članova, zbroj se ne mijenja.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asocijativnost zbrajanja. Redoslijed zbrajanja 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prisutnost nule. Postoji racionalni broj 0, on čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.

∃ 0 ∈ P∀ a∈ Qa+0=a

8. Prisutnost suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, a zbrajanjem dobije se 0.

∀ a∈ P∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Komutativnost množenja. Promjenom mjesta racionalnih čimbenika proizvod se ne mijenja.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Asocijativnost množenja. Redoslijed množenja 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1, on čuva svaki drugi racionalni broj u procesu množenja.

∃ 1 ∈ P∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Prisutnost recipročnosti. Svaki racionalni broj osim nule ima inverzni racionalni broj, množenjem s kojim dobivamo 1 .

∀ a∈ P∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje. Operacija množenja povezana je sa zbrajanjem pomoću zakona distribucije:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Povezivanje relacije narudžbe s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj dodaje se lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Povezanost relacije reda s operacijom množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednakosti mogu se pomnožiti s istim nenegativnim racionalnim brojem.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, lako je uzeti toliko jedinica da će njihov zbroj biti veći a.

U ovom pododjeljku dajemo nekoliko definicija racionalnih brojeva. Unatoč razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi kombiniraju cijele brojeve i razlomke, baš kao što cijeli brojevi kombiniraju prirodne brojeve, njihove suprotne brojeve i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomke.

Počnimo s definicije racionalnih brojevašto se doživljava kao najprirodnije.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu zapisati kao pozitivni obični razlomak, negativni zajednički razlomak ili broj nula.

Iz zvučne definicije proizlazi da je racionalni broj:

bilo koji prirodni broj n. Doista, bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1 .

· Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Doista, bilo koji cijeli broj može se napisati ili kao pozitivan zajednički razlomak, ili kao negativan zajednički razlomak, ili kao nula. Na primjer, 26=26/1 , .

Bilo koji obični razlomak (pozitivan ili negativan). To izravno govori data definicija racionalnih brojeva.

Bilo koji mješoviti broj. Doista, uvijek je moguće predstaviti mješoviti broj kao nepravilan zajednički razlomak. Na primjer, i.

· Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak. To je tako jer se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, a 0,(3)=1/3 .

Također je jasno da svaka beskonačna neponavljajuća decimala NIJE racionalan broj, budući da se ne može predstaviti kao obični razlomak.

Sada možemo lako donijeti primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4 ,903 , 100 321 su racionalni brojevi, budući da su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 također su primjeri racionalnih brojeva. Uobičajeni razlomci 4/9 , 99/3 , također su primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su također brojevi.

Gornji primjeri pokazuju da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulirati u kraćem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi imenovati broj koji se može napisati kao razlomak z/n, gdje z je cijeli broj, i n- prirodni broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da šipku razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Na temelju ove definicije dajemo primjere racionalnih brojeva. Brojevi −5 , 0 , 3 , i racionalni su brojevi, budući da se mogu zapisati kao razlomci s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika, odnosno.

Definicija racionalnih brojeva također se može dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu zapisati kao konačna ili beskonačna periodična decimalni razlomak.

Ova definicija je također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a svaki cijeli broj može biti povezan s decimalnim razlomkom s nulama iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi 5 , 0 , −13 , su primjeri racionalnih brojeva, budući da se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 i −7,(18) .

Teoriju ovog odjeljka završavamo sljedećim tvrdnjama:

cijeli i razlomački brojevi (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak je racionalan broj;

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja neki racionalni broj.

Vrh stranice

Zbrajanje pozitivnih racionalnih brojeva je komutativno i asocijativno,

("a, b n Q +) a + b= b + a;

("a, b, c n Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Prije nego što formulirate definiciju množenja pozitivnih racionalnih brojeva, razmotrite sljedeći problem: poznato je da se duljina segmenta X izražava kao razlomak jedinične duljine E, a duljina jediničnog segmenta mjeri se jedinicom E 1 a izražava se kao razlomak. Kako pronaći broj koji će predstavljati duljinu segmenta X, ako ga izmjerite jedinicom za duljinu E 1?

Budući da je X=E, onda je nX=mE, a iz činjenice da je E =E 1 slijedi da je qE=pE 1 . Prvu dobivenu jednakost množimo s q, a drugu s m. Tada (nq)X = (mq)E i (mq)E = (mp)E 1, odakle je (nq)X = (mp)E 1. Ova jednakost pokazuje da je duljina segmenta x na jediničnoj duljini izražava se kao razlomak, pa stoga , =, tj. množenje razlomaka povezano je s prijelazom iz jedne jedinice duljine u drugu pri mjerenju duljine istog segmenta.

Definicija Ako je pozitivan broj a predstavljen razlomkom, a pozitivni racionalni broj b razlomak, tada je njihov umnožak broj a b koji je predstavljen razlomkom.

Množenje pozitivnih racionalnih brojeva komutativno, asocijativno i distributivno s obzirom na zbrajanje i oduzimanje. Dokaz ovih svojstava temelji se na definiciji množenja i zbrajanja pozitivnih racionalnih brojeva, kao i na odgovarajućim svojstvima zbrajanja i množenja prirodnih brojeva.

46. Kao što znate oduzimanje je suprotnost zbrajanju.

Ako je a a i b - pozitivni brojevi, zatim oduzimanje broja b od broja a znači pronaći broj c koji, kada se doda broju b, daje broj a.
a - b = c ili c + b = a
Definicija oduzimanja vrijedi za sve racionalne brojeve. Odnosno, oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva može se zamijeniti zbrajanjem.
Da biste od jednog broja oduzeli drugi, minuendu morate dodati suprotni broj.
Ili, na drugi način, možemo reći da je oduzimanje broja b isti zbrajanje, ali s brojem suprotan broj b.
a - b = a + (- b)
Primjer.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Primjer.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vrijedno je zapamtiti dolje navedene izraze.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Pravila za oduzimanje negativnih brojeva
Oduzimanje broja b je zbrajanje s brojem nasuprot broju b.
Ovo pravilo se čuva ne samo kada se manji broj oduzima od većeg broja, već također dopušta oduzimanje od manjeg broja više, odnosno uvijek možete pronaći razliku dva broja.
Razlika može biti pozitivan broj, negativan broj ili broj nula.
Primjeri oduzimanja negativnih i pozitivni brojevi.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Prikladno je zapamtiti pravilo znaka, koje vam omogućuje smanjenje broja zagrada.
Znak plus ne mijenja predznak broja, pa ako se ispred zagrade nalazi plus, znak u zagradi se ne mijenja.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Znak minus ispred zagrada preokreće predznak broja u zagradi.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Iz jednakosti se vidi da ako se ispred i unutar zagrada nalaze identični znakovi, onda dobivamo “+”, a ako su znakovi različiti, onda dobivamo “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Očuvano je i pravilo predznaka ako u zagradi nije jedan broj, već algebarski zbroj brojeva.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Imajte na umu da ako postoji nekoliko brojeva u zagradama, a ispred zagrada je znak minus, tada se predznaci ispred svih brojeva u ovim zagradama moraju promijeniti.
Da biste zapamtili pravilo znakova, možete napraviti tablicu za određivanje znakova broja.
Pravilo znaka za brojeve + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ili naučite jednostavno pravilo.
Dva negativa čine potvrdno,
Plus puta minus jednako je minus.

Pravila za dijeljenje negativnih brojeva.
Da biste pronašli modul kvocijenta, morate podijeliti modul dividende s modulom djelitelja.
Dakle, da biste podijelili dva broja s istim predznacima, trebate:

Podijelite modul djelitelja s modulom djelitelja;

Stavite znak "+" ispred rezultata.

Primjeri dijeljenja brojeva sa različiti znakovi:

Također možete koristiti sljedeću tablicu da odredite znak kvocijenta.
Pravilo znakova pri dijeljenju
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Prilikom izračunavanja "dugih" izraza, u kojima se pojavljuju samo množenje i dijeljenje, vrlo je prikladno koristiti pravilo znaka. Na primjer, za izračunavanje razlomka
Možete obratiti pažnju da u brojniku postoje 2 znaka "minus", koji će, kada se pomnože, dati "plus". U nazivniku se nalaze i tri znaka minusa koji će, kada se pomnože, dati minus. Stoga će na kraju rezultat biti sa predznakom minus.
Smanjenje frakcije ( daljnje radnje s modulima brojeva) izvodi se na isti način kao i prije:
Kvocijent dijeljenja nule nenultim brojem je nula.
0: a = 0, a ≠ 0
NEMOJTE dijeliti s nulom!
Sva dosad poznata pravila za dijeljenje s jedan vrijede i za skup racionalnih brojeva.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, gdje je a bilo koji racionalni broj.
Ovisnosti između rezultata množenja i dijeljenja, koje su poznate za pozitivne brojeve, također su sačuvane za sve racionalne brojeve (osim za broj nula):
ako je a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ako je a: b = c; a = c × b; b=a:c
Te se ovisnosti koriste za pronalaženje nepoznati množitelj, dividenda i djelitelj (pri rješavanju jednadžbi), kao i za provjeru rezultata množenja i dijeljenja.
Primjer pronalaženja nepoznatog.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2