Recipročni broj 4. Recipročan broj

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Recipročan broj(recipročan, recipročan) na zadani broj x je broj čije se množenje sa x, daje jedan. Prihvaćen unos: $\backslash frac(1)x$ ili $x^(-1)$. Zovu se dva broja čiji je umnožak jednak jedan međusobno inverzne. Recipročni broj ne treba miješati s inverzna funkcija. Na primjer, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ različita od vrijednosti inverzne kosinusne funkcije - arkkosinusa, koja je označena $\backslash cos^(-1)x$ ili $\backslash arccos\; x$.

Inverzno realnom broju

Oblici složenih brojeva	Broj $(z)$	Obrnuto $\backslash lijevo\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash desno)$
Algebarski	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometrijski	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demonstracija	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Dokaz:
Za algebarske i trigonometrijske oblike koristimo osnovno svojstvo razlomka, množeći brojnik i nazivnik kompleksnim konjugatom:

• Algebarski oblik:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrijski oblik:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Indikativni oblik:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Stoga je pri pronalaženju inverza kompleksnog broja prikladnije koristiti njegov eksponencijalni oblik.

Primjer:

Oblici složenih brojeva	Broj $(z)$	Obrnuto $\backslash lijevo\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash desno)$
Algebarski	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometrijski	$2\; \backslash lijevo\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash desno)$ ili $2\; \backslash lijevo\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash desno)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash lijevo\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash desno)$ ili $\backslash frac(1)(2)\; \backslash lijevo\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash desno)$
Demonstracija	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inverzno imaginarnoj jedinici

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Dakle, dobivamo

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ ili__ $i^(-1)=-i$

Slično za $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ ili __ $-i^(-1)=i$

Napišite recenziju na članak "Obrnuti broj"

Bilješke

vidi također

Izvod koji karakterizira recipročni broj

Tako pričaju priče, a sve je to potpuno nepravedno, u što će se lako uvjeriti svatko tko želi proniknuti u bit stvari.
Rusi nisu tražili bolju poziciju; ali, naprotiv, u svom povlačenju prošli su mnoge položaje koji su bili bolji od Borodina. Nisu se zaustavili ni na jednom od ovih položaja: i zato što Kutuzov nije htio prihvatiti položaj koji nije odabrao, i zato što zahtjev za narodnom bitkom još nije bio dovoljno snažno izražen, i zato što Miloradovič još nije pristupio s milicijom, a i zbog drugih razloga kojih je bezbroj. Činjenica je da su prijašnji položaji bili jači i da borodinski položaj (onaj na kojem se vodila bitka) ne samo da nije jak, nego iz nekog razloga uopće nije položaj veći od bilo kojeg drugog mjesta u Rusko Carstvo, što bi, nagađajući, označavalo pribadačom na karti.
Rusi ne samo da nisu učvrstili položaj Borodinskog polja s lijeve strane pod pravim kutom od ceste (odnosno mjesta gdje se bitka odigrala), nego nikada prije 25. kolovoza 1812. nisu pomislili da bi bitka mogla odvijati na ovom mjestu. O tome svjedoči, kao prvo, činjenica da ne samo 25. na ovom mjestu nije bilo utvrda, nego da, započete 25., nisu dovršene 26.; drugo, položaj Reduta Ševardinskog služi kao dokaz: Reduta Ševardinski, ispred položaja na kojem je bitka zauzeta, nema nikakvog smisla. Zašto je ova reduta bila utvrđena jača od svih ostalih točaka? I zašto su, braneći ga 24. do kasno u noć, iscrpljeni svi napori i izgubljeno šest tisuća ljudi? Za promatranje neprijatelja bila je dovoljna kozačka patrola. Treće, dokaz da položaj na kojem se bitka nije bio predviđen i da reduta Shevardinsky nije bila prednja točka ovog položaja je to što su Barclay de Tolly i Bagration do 25. bili uvjereni da je reduta Shevardinsky lijevi bok položaj i da sam Kutuzov u svom izvješću, napisanom u žaru trenutka nakon bitke, Redutu Ševardinskog naziva lijevim bokom položaja. Mnogo kasnije, kada su izvješća o bici kod Borodina napisana na otvorenom, bilo je (vjerojatno da bi se opravdale pogreške glavnog zapovjednika, koji je morao biti nepogrešiv) izmišljeno nepravedno i čudno svjedočanstvo da je reduta Ševardinski služila kao napredni položaj (dok je to bila samo utvrđena točka lijevog boka) i kao da je bitka kod Borodina prihvaćena od nas na utvrđenom i unaprijed odabranom položaju, a odigrala se na sasvim neočekivanom i gotovo neutvrđenom mjestu.
Stvar je, očito, bila ovakva: položaj je odabran uz rijeku Koloču, koja glavnu cestu prelazi ne pod ravnom linijom, već ispod oštar kut, tako da je lijevi bok bio u Ševardinu, desni je bio kod sela Novy, a centar je bio u Borodinu, na ušću rijeka Kolocha u Voyna. Ovaj položaj, pod okriljem rijeke Koloče, za vojsku čija je svrha zaustaviti neprijatelja koji se kreće Smolenskom cestom prema Moskvi, očigledan je svakome tko pogleda na Borodinsko polje, zaboravljajući kako se bitka odvijala.
Napoleon, odlazeći 24. u Valuev, nije vidio (kako priče kažu) položaj Rusa od Utice do Borodina (nije mogao vidjeti ovaj položaj, jer ga nije bilo) i nije vidio napredni položaj ruske vojske, ali je posrnuo u potjeri za ruskom pozadinom na lijevom krilu ruskog položaja, na reduti Ševardinski, i neočekivano za Ruse, prebacio je trupe preko Koloče. A Rusi su se, ne stigavši ​​ući u opću bitku, svojim lijevim krilom povukli s položaja koji su namjeravali zauzeti i zauzeli novi položaj, koji nije bio predviđen i nije utvrđen. Prešavši na lijevu stranu Koloče, lijevo od ceste, Napoleon je cijelu buduću bitku pomaknuo s desna na lijevo (sa strane Rusa) i prenio je na polje između Utitsa, Semenovsky i Borodina (na ovom polju , koji nema ništa povoljnije za položaj od bilo kojeg drugog polja u Rusiji), a na ovom polju se cijela bitka odigrala 26. god. U grubom obliku, plan za predloženu bitku i bitku koja se odigrala bit će sljedeći:

Da Napoleon nije otišao navečer 24. za Koloču i nije naredio napad na redutu odmah navečer, nego je započeo napad sutradan ujutro, tada nitko ne bi sumnjao da je reduta Ševardinski lijevi bok našeg položaja; i bitka bi se odigrala kako smo očekivali. U tom slučaju vjerojatno bismo još tvrdoglavije branili redotu Ševardino, svoj lijevi bok; napali bi Napoleona u sredini ili desno, a 24. došlo bi do opće bitke na položaju koji je bio utvrđen i predviđen. Ali budući da se napad na naš lijevi bok dogodio u večernjim satima, nakon povlačenja naše pozadinske garde, odnosno odmah nakon bitke kod Gridneve, i budući da ruski vojskovođe nisu htjeli ili nisu imali vremena započeti opću bitku iste 24. navečer, prva i glavna akcija Borodinskog, bitka je izgubljena 24. i, očito, dovela je do gubitka one koja je dana 26.
Nakon gubitka redute Shevardinsky, do jutra 25. našli smo se bez položaja na lijevom boku i bili smo prisiljeni pognuti lijevo krilo i žurno ga bilo gdje ojačati.
Ali ne samo da su ruske trupe 26. kolovoza stajale samo pod zaštitom slabih, nedovršenih utvrda, nedostatak ove situacije dodatno je pojačala činjenica da su ruski vojni čelnici, ne prepoznajući u potpunosti ostvarenu činjenicu (gubitak položaja na lijevom krilu i prijenos cjelokupnog budućeg bojišta s desna na lijevo), ostali su na svom proširenom položaju od sela Novy do Utitsa i kao rezultat toga morali su tijekom bitke pomicati svoje trupe s desna na lijevo. Tako su Rusi tijekom cijele bitke imali protiv svih francuska vojska, usmjeren na naše lijevo krilo, dvostruko najslabije snage. (Akcije Poniatowskog protiv Utice i Uvarova na desnom boku Francuza bile su odvojene akcije od tijeka bitke.)
Dakle, bitka kod Borodina se uopće nije dogodila kako je (pokušavajući sakriti pogreške naših vojskovođa i kao rezultat toga omalovažavati slavu ruske vojske i naroda) opisuju. Borodinska bitka nije se odigrala na odabranom i utvrđenom položaju samo s najslabijim snagama od strane Rusa, a bitku kod Borodina, zbog gubitka Redute Ševardinskog, Rusi su zauzeli na otvorenom, gotovo neutvrđeno područje s dvostruko najslabijim snagama protiv Francuza, odnosno u takvim uvjetima, u kojima je bilo ne samo nezamislivo boriti se deset sati i bitku učiniti neodlučnom, nego je bilo nezamislivo zadržati vojsku od potpunog poraza i bijega. tri sata.

25. ujutro Pierre je napustio Mozhaisk. Na silasku s goleme strme i krivudave planine koja vodi van grada, pokraj katedrale koja je stajala na gori s desne strane, u kojoj je bila služba i evanđelje, Pierre je izašao iz kočije i otišao pješice. Iza njega se spustio na planinu nekakav konjički puk s peselnicima ispred. Prema njemu se dizao voz kola s ranjenicima u jučerašnjem djelu. Vozači seljaci, vičući na konje i šibajući ih bičevima, trčali su s jedne strane na drugu. Kola, na kojima su ležala i sjedila tri i četiri ranjena vojnika, preskakala su kamenje bačeno u obliku pločnika na strmoj padini. Ranjenici, vezani u krpe, blijed, stisnutih usana i namrštenih obrva, držeći se za krevete, skakali su i gurali se u kola. Gotovo s naivnom djetinjom radoznalošću svi su gledali bijeli šešir i Pierreov zeleni frak.

Inverzni - ili recipročni - brojevi nazivaju se par brojeva koji, kada se pomnože, daju 1. Sami po sebi opći pogled brojevi su obrnuti. Karakteristično poseban slučaj recipročni brojevi – par. Inverzi su, recimo, brojevi; .

Kako pronaći recipročnost

Pravilo: trebate podijeliti 1 (jedan) zadanim brojem.

Primjer #1.

Zadan je broj 8. Njegov inverz je 1:8 ili (druga opcija je poželjnija, jer je takav zapis matematički točniji).

Kada se traži recipročnost od obični razlomak, tada ga podijeliti s 1 nije baš zgodno, jer snimanje postaje glomazno. U ovom je slučaju mnogo lakše učiniti drugačije: razlomak se jednostavno okreće, mijenjajući brojnik i nazivnik. Ako je dan točan razlomak, onda se nakon preokreta dobiva nepravilan razlomak, t.j. onaj iz kojeg se može izvući cijeli dio. Da biste to učinili ili ne, morate odlučiti od slučaja do slučaja. Dakle, ako tada morate izvršiti neke radnje s rezultirajućim obrnutim razlomkom (na primjer, množenje ili dijeljenje), onda ne biste trebali odabrati cijeli dio. Ako je rezultirajući razlomak konačni rezultat, onda je možda poželjan odabir cijelog broja.

Primjer #2.

S obzirom na razlomak. Obrnuto tome:.

Ako želite pronaći recipročnu vrijednost od decimalni razlomak, tada biste trebali koristiti prvo pravilo (dijeliti 1 brojem). U ovoj situaciji možete djelovati na jedan od 2 načina. Prvi je jednostavno podijeliti 1 ovim brojem u stupac. Drugi je da formirate razlomak od 1 u brojniku i decimale u nazivniku, a zatim pomnožite brojnik i nazivnik s 10, 100 ili drugim brojem koji se sastoji od 1 i onoliko nula koliko je potrebno da se riješite decimalne točke u nazivniku. Rezultat će biti običan razlomak, što je rezultat. Ako je potrebno, možda ćete ga trebati skratiti, izdvojiti cijeli broj iz njega ili ga pretvoriti u decimalni oblik.

Primjer #3.

Navedeni broj je 0,82. Njegova recipročna je: . Sada smanjimo razlomak i odaberimo cijeli broj: .

Kako provjeriti jesu li dva broja recipročna

Načelo verifikacije temelji se na definiciji recipročnosti. Odnosno, da biste bili sigurni da su brojevi inverzni jedni prema drugima, morate ih pomnožiti. Ako je rezultat jedan, tada su brojevi međusobno inverzni.

Primjer broj 4.

S obzirom na brojeve 0,125 i 8. Jesu li recipročni?

Ispitivanje. Potrebno je pronaći umnožak 0,125 i 8. Radi preglednosti ove brojeve predstavljamo kao obične razlomke: (smanjimo 1. razlomak za 125). Zaključak: brojevi 0,125 i 8 su inverzni.

Svojstva recipročnosti

Svojstvo #1

Recipročna vrijednost postoji za bilo koji broj osim 0.

Ovo ograničenje je zbog činjenice da ne možete dijeliti s 0, a kada se određuje recipročna vrijednost nule, samo će se morati premjestiti na nazivnik, tj. zapravo podijeliti s njim.

Svojstvo #2

Zbroj para recipročnih brojeva nikada nije manji od 2.

Matematički se ovo svojstvo može izraziti nejednakošću: .

Svojstvo #3

Množenje broja s dva recipročna broja jednako je množenju s jednim. Izrazimo to svojstvo matematički: .

Primjer broj 5.

Pronađite vrijednost izraza: 3,4 0,125 8. Budući da su brojevi 0,125 i 8 recipročni (vidi Primjer #4), nema potrebe množiti 3,4 s 0,125, a zatim s 8. Dakle, ovdje je odgovor 3.4.

Sadržaj:

Recipročne vrijednosti su potrebne pri rješavanju svih vrsta algebarskih jednadžbi. Na primjer, ako trebate podijeliti jedan razlomak s drugim, prvi broj pomnožite s recipročnim brojem drugog. Osim toga, recipročne vrijednosti se koriste pri pronalaženju jednadžbe ravne linije.

Koraci

1 Pronalaženje recipročne vrijednosti razlomka ili cijelog broja

1. 1 Nađite recipročnu vrijednost razlomka tako da ga okrenete."Recipročni broj" je definiran vrlo jednostavno. Da biste ga izračunali, jednostavno izračunajte vrijednost izraza "1 ÷ (izvorni broj)". Za razlomak broj, recipročni je drugi razlomak broj koji se može izračunati jednostavnim "obrnutim" razlomkom (zamjenom brojnika i nazivnika).
   • Na primjer, recipročna vrijednost 3/4 je 4 / 3 .
2. 2 Recipročnu vrijednost cijelog broja napiši kao razlomak. I u ovom slučaju, recipročna vrijednost se izračunava kao 1 ÷ (izvorni broj). Za cijeli broj recipročnu vrijednost zapišite kao razlomak, nema potrebe za izračunima i zapišite je kao decimalu.
   • Na primjer, recipročna vrijednost 2 je 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Nalaženje recipročne vrijednosti mješovitog razlomka

1. 1 Što " miješana frakcija". Mješoviti razlomak je broj napisan kao cijeli broj i jednostavan razlomak, na primjer, 2 4 / 5. Pronalaženje recipročne vrijednosti mješovitog razlomka vrši se u dva koraka, opisana u nastavku.
2. 2 Zapišite mješoviti razlomak kao nepravilan razlomak. Naravno, zapamtite da se jedinica može napisati kao (broj) / (isti broj), a razlomci s istim nazivnikom (broj ispod crte) mogu se međusobno zbrajati. Evo kako se to može učiniti za razlomak 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Okrenite razlomak. Kada se mješoviti razlomak zapiše kao nepravilan razlomak, recipročnu vrijednost lako možemo pronaći jednostavnom zamjenom brojnika i nazivnika.
   • Za gornji primjer, recipročna vrijednost bi bila 14/5 - 5 / 14 .

3 Pronalaženje recipročne vrijednosti decimale

1. 1 Ako je moguće, izrazite decimalni dio kao razlomak. Morate znati da se mnoge decimale mogu lako pretvoriti u prosti razlomci. Na primjer, 0,5 = 1/2 i 0,25 = 1/4. Kada broj zapišete kao jednostavan razlomak, recipročnu vrijednost možete lako pronaći jednostavnim okretanjem razlomka.
   • Na primjer, recipročna vrijednost 0,5 je 2 / 1 = 2.
2. 2 Riješite zadatak pomoću dijeljenja. Ako ne možete zapisati decimalu kao razlomak, izračunajte recipročnu vrijednost tako da riješite problem dijeljenjem: 1 ÷ (decimala). Možete ga riješiti pomoću kalkulatora ili preskočiti na sljedeći korak ako želite izračunati vrijednost ručno.
   • Na primjer, recipročna vrijednost od 0,4 izračunava se kao 1 ÷ 0,4.
3. 3 Promijenite izraz da radi s cijelim brojevima. Prvi korak u decimalnom dijeljenju je pomicanje pozicijske točke dok svi brojevi u izrazu ne budu cijeli brojevi. Budući da pomičete pozicijski zarez za isti broj mjesta i u djelitelju i u djelitelju, dobit ćete točan odgovor.
4. 4 Na primjer, uzmete izraz 1 ÷ 0,4 i zapišete ga kao 10 ÷ 4. U ovom slučaju, pomaknuli ste zarez za jedno mjesto udesno, što je isto kao množenje svakog broja s deset.
5. 5 Zadatak riješite tako da brojeve podijelite stupcem. Koristeći dijeljenje stupcem, možete izračunati recipročnu vrijednost broja. Ako podijelite 10 sa 4, trebali biste dobiti 2,5, što je recipročno 0,4.

• Vrijednost negativne recipročne vrijednosti bit će recipročna vrijednost broja pomnoženog s -1. Na primjer, negativna recipročna vrijednost 3/4 je -4/3.
• Recipročan broj ponekad se naziva "recipročnim" ili "recipročnim".
• Broj 1 je recipročan jer je 1 ÷ 1 = 1.
• Nula nema recipročnost jer izraz 1 ÷ 0 nema rješenja.

Zove se par brojeva čiji je umnožak jednak jedan međusobno inverzne.

Primjeri: 5 i 1/5, -6/7 i -7/6, i

Za bilo koji broj a koji nije jednak nuli, postoji inverzno 1/a.

Recipročna vrijednost nule je beskonačnost.

Inverzni razlomci- to su dva razlomka, čiji je umnožak 1. Na primjer, 3/7 i 7/3; 5/8 i 8/5 itd.

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010 .

Pogledajte što je "obrnuti broj" u drugim rječnicima:

Broj čiji je umnožak pomnožen danog broja jednak je jedan. Dva takva broja zovu se recipročni. Takvi su npr. 5 i 1/5, 2/3 i 3/2, itd... Veliki enciklopedijski rječnik

recipročan broj- - [A.S. Goldberg. Engleski ruski energetski rječnik. 2006] Teme energija općenito EN inverzni broj recipročni broj … Priručnik tehničkog prevoditelja

Broj čiji je umnožak pomnožen danog broja jednak je jedan. Dva takva broja zovu se recipročni. To su, na primjer, 5 i 1/5, 2/3 i 3/2, itd. * * * OBRATNI BROJ OBRATNI BROJ, broj čiji je umnožak pomnožen zadanog broja ... enciklopedijski rječnik

Broj čiji je umnožak s danim brojem jednak jedan. Dva takva broja zovu se recipročni. Takvi su, na primjer, 5 i a, nisu jednaki nuli, postoji inverzna ... Velika sovjetska enciklopedija

Broj, umnožak k i zadanog broja jednak je jedan. Zovu se dva takva broja međusobno inverzne. Takvi su npr. 5 i 1/5. 2/3 i 3/2 itd... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Broj (značenja). Broj je temeljni pojam matematike koji se koristi za kvantitativne karakteristike, usporedbu i numeriranje objekata. Nakon što je nastao još u primitivnom društvu iz potreba ... ... Wikipedia

Vidi također: Broj (lingvistika) Broj je apstrakcija koja se koristi za kvantificiranje objekata. Nastao još u primitivnom društvu iz potreba brojanja, koncept broja se promijenio i obogatio i pretvorio u najvažniji matematički ... Wikipedia

Obrnuto kovitlanje vode tijekom otjecanja gotovo je znanstveni mit koji se temelji na pogrešnoj primjeni Coriolisovog efekta na kretanje vode u vrtlogu do kojeg dolazi kada teče u odvodni otvor umivaonika ili kade. Bit mita je da voda ... ... Wikipedia

BROJ, IRACIONALNI, broj koji se ne može izraziti razlomkom. Primjeri uključuju C2 i p broj. Stoga su iracionalni brojevi brojevi s beskonačnim brojem (neperiodičnih) decimalnih mjesta. (Međutim, obrnuto nije... Znanstveno-tehnički enciklopedijski rječnik

Laplaceova transformacija je integralna transformacija koja povezuje funkciju složene varijable (slike) s funkcijom stvarne varijable (izvorne). Uz njegovu pomoć istražuju se svojstva dinamičkih sustava i diferencijalnih i ... Wikipedia

knjige

• Klub sretnih žena, Weaver Fon. 27 žena iz različitim dijelovima svjetlo, međusobno neupoznati, s drugom sudbinom. Nemaju ništa zajedničko, osim jedne stvari - ludo su sretni u braku već više od 25 godina, jer znaju Tajnu... Kada...

Dajemo definiciju i navodimo primjere recipročnih brojeva. Razmislite kako pronaći recipročnu vrijednost prirodnog broja i recipročnu vrijednost običnog razlomka. Uz to zapisujemo i dokazujemo nejednakost koja odražava svojstvo zbroja recipročnih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Recipročni brojevi. Definicija

Definicija. Recipročni brojevi

Recipročni brojevi su oni brojevi čiji proizvod daje jedan.

Ako je a · b = 1, onda možemo reći da je broj a recipročan od broja b, kao što je broj b recipročan broja a.

Najjednostavniji primjer recipročnih brojeva su dvije jedinice. Doista, 1 1 = 1, pa su a = 1 i b = 1 međusobno inverzni brojevi. Drugi primjer su brojevi 3 i 1 3 , - 2 3 i - 3 2 , 6 13 i 13 6 , log 3 17 i log 17 3 . Umnožak bilo kojeg para gornjih brojeva jednak je jedan. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, kao na primjer kod brojeva 2 i 2 3 , tada brojevi nisu međusobno inverzni.

Definicija recipročnih brojeva vrijedi za sve brojeve – prirodne, cjelobrojne, realne i složene.

Kako pronaći recipročnu vrijednost zadanog broja

Razmotrimo opći slučaj. Ako je izvorni broj jednak a , tada će njegov recipročni broj biti zapisan kao 1 a , ili a - 1 . Doista, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Za prirodne brojeve i obične razlomke, pronalaženje recipročne vrijednosti prilično je jednostavno. Moglo bi se čak reći da je očito. U slučaju pronalaženja broja koji je inverzan od iracionalnog ili kompleksnog broja, morat će se napraviti niz izračuna.

Razmotrimo najčešće slučajeve u praksi pronalaženja recipročnosti.

Recipročna vrijednost običnog razlomka

Očito, recipročna vrijednost običnog razlomka a b je razlomak b a . Dakle, pronaći inverzni razlomak broj, razlomak samo treba preokrenuti. Odnosno, zamijenite brojnik i nazivnik.

Prema ovom pravilu, recipročnu vrijednost bilo kojeg običnog razlomka možete napisati gotovo odmah. Dakle, za razlomak 28 57 recipročan će biti razlomak 57 28, a za razlomak 789 256 - broj 256 789.

Recipročna vrijednost prirodnog broja

Recipročnu vrijednost bilo kojeg prirodnog broja možete pronaći na isti način kao recipročnu vrijednost razlomka. Dovoljno je prirodni broj a predstaviti kao običan razlomak a 1 . Tada će njegova recipročna vrijednost biti 1 a . Za prirodni broj 3 ima recipročnu vrijednost od 1 3 , za 666 recipročna vrijednost je 1 666 i tako dalje.

Posebnu pozornost treba obratiti na jedinicu, budući da je jednina, čija je recipročna vrijednost jednaka samoj sebi.

Ne postoje drugi parovi recipročnih brojeva gdje su obje komponente jednake.

Recipročna vrijednost mješovitog broja

Mješoviti broj je oblika a b c . Da biste pronašli njegovu uzajamnost, trebate mješoviti broj predstaviti nepravilan razlomak u strani i odabrati recipročnu vrijednost za rezultirajući razlomak.

Na primjer, pronađimo recipročnu vrijednost od 7 2 5 . Prvo, predstavimo 7 2 5 kao nepravilan razlomak: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Za nepravilni razlomak 37 5 recipročna vrijednost je 5 37 .

Recipročna vrijednost decimale

Decimalni razlomak se također može predstaviti kao obični razlomak. Pronalaženje recipročne vrijednosti decimalnog razlomka broja svodi se na predstavljanje decimalnog razlomka kao običnog razlomka i pronalaženje njegove recipročne vrijednosti.

Na primjer, postoji razlomak 5, 128. Nađimo njegovu uzajamnost. Prvo pretvaramo decimalni u obični razlomak: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Za dobiveni razlomak, recipročna vrijednost će biti razlomak 125641.

Razmotrimo još jedan primjer.

Primjer. Pronalaženje recipročne vrijednosti decimale

Nađite recipročnu vrijednost periodičnog decimalnog razlomka 2 , (18) .

Pretvori decimalni u obični:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Nakon prijevoda možemo lako zapisati recipročnu vrijednost razlomka 24 11. Ovaj će broj očito biti 11 24 .

Za beskonačan decimalni razlomak koji se ne ponavlja, recipročni razlomak se zapisuje kao razlomak s jedinicom u brojniku i samim razlomkom u nazivniku. Na primjer, za beskonačni razlomak 3 , 6025635789 . . . recipročan će biti 1 3 , 6025635789 . . . .

Slično za iracionalni brojevi odgovara neperiodičnoj beskonačni razlomci, recipročne vrijednosti se zapisuju kao razlomci.

Na primjer, recipročna vrijednost π + 3 3 80 je 80 π + 3 3 , a recipročna vrijednost 8 + e 2 + e je 1 8 + e 2 + e.

Recipročni brojevi s korijenima

Ako je oblik dvaju brojeva različit od a i 1 a , tada nije uvijek lako odrediti jesu li brojevi međusobno inverzni. To posebno vrijedi za brojeve koji imaju predznak korijena u svom zapisu, budući da je obično uobičajeno riješiti se korijena u nazivniku.

Okrenimo se praksi.

Odgovorimo na pitanje: jesu li brojevi 4 - 2 3 i 1 + 3 2 recipročni.

Da bismo saznali jesu li brojevi međusobno inverzni, izračunavamo njihov umnožak.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Umnožak je jednak jedan, što znači da su brojevi međusobno inverzni.

Razmotrimo još jedan primjer.

Primjer. Recipročni brojevi s korijenima

Zapiši recipročnu vrijednost 5 3 + 1 .

Možete odmah napisati da je recipročna vrijednost jednaka razlomku 1 5 3 + 1. Međutim, kao što smo već rekli, uobičajeno je riješiti se korijena u nazivniku. Da biste to učinili, pomnožite brojnik i nazivnik s 25 3 - 5 3 + 1 . dobivamo:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Recipročni brojevi s potencijama

Pretpostavimo da postoji broj jednak nekoj potenciji broja a . Drugim riječima, broj a podignut na stepen n. Recipročna vrijednost a n je a - n . Idemo to provjeriti. Doista: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Primjer. Recipročni brojevi s potencijama

Pronađite recipročnu vrijednost 5-3 + 4.

Prema gore navedenom, željeni broj je 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Recipročne vrijednosti s logaritmima

Za logaritam broja a prema bazi b recipročan je broj jednak logaritmu broja b prema bazi a.

log a b i log b a su međusobno recipročni brojevi.

Idemo to provjeriti. Iz svojstava logaritma proizlazi da je log a b = 1 log b a, što znači log a b · log b a.

Primjer. Recipročne vrijednosti s logaritmima

Pronađite recipročnu vrijednost log 3 5 - 2 3 .

Recipročna vrijednost logaritma od 3 prema bazi 3 5 - 2 je logaritam od 3 5 - 2 prema bazi 3.

Recipročna vrijednost kompleksnog broja

Kao što je ranije navedeno, definicija recipročnih brojeva vrijedi ne samo za realne, već i za kompleksne brojeve.

Obično se kompleksni brojevi predstavljaju u algebarskom obliku z = x + i y . Recipročna vrijednost ovoga bit će razlomak

1 x + i y . Radi praktičnosti, ovaj izraz se može skratiti množenjem brojnika i nazivnika s x - i y .

Primjer. Recipročna vrijednost kompleksnog broja

Neka postoji kompleksni broj z = 4 + i . Nađimo recipročnost toga.

Recipročna vrijednost z = 4 + i bit će jednaka 1 4 + i .

Pomnožite brojnik i nazivnik sa 4 - i i dobijete:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Pored svog algebarskog oblika, kompleksni broj se može predstaviti u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku na sljedeći način:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Sukladno tome, recipročni broj će izgledati ovako:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Uvjerimo se u ovo:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Razmotrimo primjere s prikazom kompleksnih brojeva u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku.

Pronađite inverz od 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Uzimajući u obzir da je r = 2 3 , φ = π 6 , zapisujemo recipročni broj

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Primjer. Nađi recipročnu vrijednost kompleksnog broja

Koliki je inverz od 2 · e i · - 2 π 5 .

Odgovor: 1 2 e i 2 π 5

Zbroj recipročnih brojeva. Nejednakost

Postoji teorem o zbroju dva recipročna broja.

Zbroj međusobno recipročnih brojeva

Zbroj dva pozitivna i recipročna broja uvijek je veći ili jednak 2.

Predstavljamo dokaz teorema. Kao što je poznato, za bilo koji pozitivni brojevi a i b aritmetička sredina je veća ili jednaka geometrijskoj sredini. Ovo se može napisati kao nejednakost:

a + b 2 ≥ a b

Ako umjesto broja b uzmemo inverz od a, nejednakost ima oblik:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Donesimo praktični primjer ilustrirajući ovo svojstvo.

Primjer. Pronađite zbroj recipročnih brojeva

Izračunajmo zbroj brojeva 2 3 i njegovu recipročnost.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Kao što teorem kaže, rezultirajući broj je veći od dva.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter