Kako pomnožiti razlomke s cjelinom. Množenje recipročnih razlomaka i brojeva. Kako funkcionira množenje?

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). tj.:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim vas, nemojte tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti drugi(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod zbrajanja, od cijelog broja napravimo razlomak s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često morate imati posla s trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako ovu frakciju dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu kroz dvije točke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjela! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz s desne strane):

Osjeti razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed dijeljenja? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljina horizontalnih crtica. Razvijte oko. A ako nema zagrada ili crtica, poput:

zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama s diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, s 13/15:

Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada se 1 podijeli s bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnuti.

To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno pogrešaka. Imajte na umu praktične savjete, i bit će ih manje (greške)!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja! To nisu uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Obavite sve izračune na ispitu kao cjelovit zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati kad računate u svojoj glavi.

2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka – prijeđite na obične razlomke.

3. Sve razlomke smanjujemo do kraja.

4. Razlomačke izraze na više razina svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.

Ovdje su zadaci koje trebate izvršiti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijeni koliko bi primjera mogao točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (posebno trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

Tako, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve – ponovno smo provjeravali od prvog do posljednjeg. Samo nakon pogledaj odgovore.

Izračunati:

Jeste li se odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretan za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Prošli put smo naučili kako zbrajati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju razmatrati uglavnom množenje.

Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) smanjeni razlomak - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se točno neće dogoditi s množenjem je redukcija na zajednički nazivnik: bez križnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u neispravne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

Plus puta minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ta pravila susrela samo pri zbrajanju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

Prekrižimo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
Ako nema nikakvih minusa, operacija je dovršena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, budući da nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Sve razlomke prevodimo u nepravilne, a zatim minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se prema uobičajenim pravilima. dobivamo:

Podsjetim još jednom da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također obratite pozornost na negativne brojeve: kada se množe, oni su zatvoreni u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim su primjerima crvenom bojom označeni brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slične brojke koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Pogreška nastaje zbog činjenice da se prilikom zbrajanja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, pa ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Ispravno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

) a nazivnik po nazivniku (dobijemo nazivnik proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koji uključuje prirodni broj.

Nije tako strašno kako se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

pretvoriti miješane razlomke u neispravne;
množi brojnike i nazivnike razlomaka;
smanjujemo razlomak;
ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilni razlomak u mješoviti.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Može biti prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Razlomci na više razina.

U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja. Obavite sve izračune pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrtu nego se zbuniti u izračunima u glavi.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka – prijeđite na vrstu običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Donosimo frakcijske izraze na više razina u obične, koristeći dijeljenje na 2 točke.

5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.

U petom stoljeću prije Krista, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahilej trči deset puta brže od kornjače i tisuću koraka je iza nje. Tijekom vremena tijekom kojeg Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve sljedeće generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu je obmana.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. S fizičke točke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči stalnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči tisuću koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup primjereno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nepremostivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, preispitati i riješiti. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strijela je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela počiva na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim trenucima, ali se njima ne može odrediti udaljenost. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u svemiru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za izračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje se ne smiju brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu logiku apsurda. Ovo je razina govornih papiga i dresiranih majmuna, u kojoj um nema riječi "potpuno". Matematičari djeluju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most tijekom ispitivanja mosta bili u čamcu ispod mosta. Ako se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze “pamet, ja sam u kući”, odnosno “matematika proučava apstraktne pojmove”, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Matematiku smo jako dobro učili i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i složimo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzimamo po jedan račun i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Pojašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će zastupnička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Nadalje, počet će uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama – na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar bjesomučno prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...

A sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanosti ovdje nema ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobivamo puno, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višeskup u isto vrijeme. Kako ispravno? I tu matematičar-šaman-šuller vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, uvjerit će nas da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani djeluju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamisliv kao niti jedna cjelina" ili "nezamisliv kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da podučavaju svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. E sad to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. To su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

S gledišta matematike nije bitno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sustavima, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks desno od broja. S velikim brojem od 12345, ne želim se zavaravati, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što možete vidjeti, u različitim brojevnim sustavima, zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare, ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nije samo u brojevima.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome tko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i govori:

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sustavu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Množenje običnih razlomaka

Razmotrimo primjer.

Neka je na tanjuru $\frac(1)(3)$ dio jabuke. Moramo pronaći njegov dio $\frac(1)(2)$. Traženi dio rezultat je množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak.

Množenje dva obična razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka razlomkom je razlomak čiji je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženih razlomaka, a nazivnik jednak umnošku nazivnika:

Primjer 1

Pomnožite obične razlomke $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Odluka.

Upotrijebimo pravilo množenja običnih razlomaka:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Odgovor:$\frac(15)(77)$

Ako se kao rezultat množenja razlomaka dobije poništivi ili nepravilni razlomak, onda ga je potrebno pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Odluka.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kao rezultat, dobili smo reducibilni razlomak (na temelju dijeljenja s $3$. Podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s $3$, dobivamo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Odgovor:$\frac(1)(24).$

Kada množite razlomke, možete smanjiti brojnike i nazivnike da biste pronašli njihov proizvod. U ovom slučaju, brojnik i nazivnik razlomka se rastavljaju na jednostavne faktore, nakon čega se faktori koji se ponavljaju smanjuju i rezultat se nalazi.

Primjer 3

Izračunajte umnožak razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Odluka.

Koristimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očito, brojnik i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu smanjiti za brojeve $2$, $3$ i $5$. Razlažemo brojnik i nazivnik na jednostavne faktore i činimo redukciju:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Odgovor:$\frac(1)(20).$

Prilikom množenja razlomaka može se primijeniti komutativni zakon:

Množenje razlomka prirodnim brojem

Pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $\frac(a)(b)$ običan razlomak, $n$ je prirodan broj.

Primjer 4

Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ s $4$.

Odluka.

Upotrijebimo pravilo množenja običnog razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja za kontraktibilnost razlomka ili za nepravilan razlomak.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ s $3$.

Odluka.

Upotrijebimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Po kriteriju dijeljenja brojem $3$) može se odrediti da se dobiveni razlomak može smanjiti:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Također je bilo moguće smanjiti razlomke zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim proširenjima u proste faktore. U ovom slučaju rješenje se može napisati na sljedeći način:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Odgovor:$1\frac(2)(5).$

Kada množite razlomak prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:

Podjela običnih razlomaka

Operacija dijeljenja je inverzna od množenja i njen rezultat je razlomak s kojim trebate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznati umnožak dvaju razlomaka.