Pravokutnik je prije svega geometrijski ravna figura. Sastoji se od četiri točke koje su međusobno povezane s dva para jednakih odsječaka koji se sijeku okomito samo u tim točkama.
Pravokutnik je određen kroz paralelogram. Drugim riječima, pravokutnik je paralelogram čiji su svi kutovi pravi kutovi, odnosno jednaki 90 stupnjeva. U euklidskoj geometriji, ako geometrijski lik ima 3 od 4 kuta jednakih 90 stupnjeva, tada je četvrti kut automatski jednak 90 stupnjeva i takav se lik može nazvati pravokutnikom. Iz definicije paralelograma jasno je da je pravokutnik mnogo varijanti ove figure na ravnini. Iz toga slijedi da svojstva paralelograma vrijede i za pravokutnik. Na primjer: u pravokutniku su suprotne stranice jednake duljine. Prilikom konstruiranja dijagonale u pravokutniku, ona će podijeliti lik na dva identična trokuta. Ovo je osnova Pitagorine teoreme, koja kaže da je kvadrat hipotenuze u
imati jednake dužine; 3 – svi kutovi su jednaki 90 stupnjeva. Ako je ispunjen barem jedan uvjet, lik se može nazvati pravokutnikom. Jedinstveni državni ispit za profil u matematici. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!
Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.
Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.
Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.
Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješenje složeni zadaci 2 dijela Jedinstvenog državnog ispita.
Definicija.
Pravokutnik je četverokut s dva suprotne strane su jednaki i sva su četiri kuta jednaka.Pravokutnici se međusobno razlikuju samo po omjeru duge i kraće stranice, ali su sva četiri kuta prava, odnosno 90 stupnjeva.
Dulja stranica pravokutnika naziva se duljina pravokutnika, a onaj kratki - širina pravokutnika.
Stranice pravokutnika su ujedno i njegove visine.
Osnovna svojstva pravokutnika
Pravokutnik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.
1. Nasuprotne stranice pravokutnika imaju jednake duljine, odnosno jednake su:
AB = CD, BC = AD
2. Nasuprotne stranice pravokutnika su paralelne:
3. Susjedne stranice pravokutnika uvijek su okomite:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Sva četiri kuta pravokutnika su ravna:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Zbroj kutova pravokutnika je 360 stupnjeva:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Dijagonale pravokutnika imaju jednake duljine:
7. Zbroj kvadrata dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata stranica:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Svaka dijagonala pravokutnika dijeli pravokutnik na dva jednaka lika, odnosno pravokutna trokuta.
9. Dijagonale pravokutnika sijeku se iu sjecištu dijele na pola:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Točka sjecišta dijagonala naziva se središtem pravokutnika, a također je i središtem opisane kružnice
11. Dijagonala pravokutnika je promjer opisane kružnice
12. Uvijek možete opisati krug oko pravokutnika, jer je zbroj suprotnih kutova 180 stupnjeva:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Krug se ne može upisati u pravokutnik čija duljina nije jednaka njegovoj širini, jer zbrojevi nasuprotnih stranica nisu međusobno jednaki (krug se može upisati samo u poseban slučaj pravokutnik – kvadrat).
Stranice pravokutnika
Definicija.
Duljina pravokutnika je duljina duljeg para njegovih stranica. Širina pravokutnika je duljina kraćeg para njegovih stranica.Formule za određivanje duljina stranica pravokutnika
1. Formula za stranicu pravokutnika (duljina i širina pravokutnika) kroz dijagonalu i drugu stranicu:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Formula za stranicu pravokutnika (duljina i širina pravokutnika) kroz površinu i drugu stranicu:
| b = dcos | β |
| 2 |
Dijagonala pravokutnika
Definicija.
Dijagonalni pravokutnik Svaki segment koji povezuje dva vrha suprotnih kutova pravokutnika naziva se.Formule za određivanje duljine dijagonale pravokutnika
1. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći dvije stranice pravokutnika (putem Pitagorinog teorema):
d = √ a 2 + b 2
2. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranicu:
4. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice:
d = 2R
5. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu promjera opisane kružnice:
d = D o
6. Formula za dijagonalu pravokutnika koja koristi sinus kuta uz dijagonalu i duljinu stranice nasuprot ovom kutu:
8. Formula za dijagonalu pravokutnika kroz sinus oštar kut između dijagonala i površine pravokutnika
d = √2S: grijeh β
Opseg pravokutnika
Definicija.
Opseg pravokutnika je zbroj duljina svih stranica pravokutnika.Formule za određivanje duljine opsega pravokutnika
1. Formula za opseg pravokutnika s dvije stranice pravokutnika:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Formula za opseg pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranicu:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Formula za opseg pravokutnika pomoću dijagonale i bilo koje stranice:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Formula za opseg pravokutnika pomoću polumjera opisane kružnice i bilo koje stranice:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Formula za opseg pravokutnika koristeći promjer opisane kružnice i bilo koje stranice:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Površina pravokutnika
Definicija.
Površina pravokutnika naziva se prostor ograničen stranicama pravokutnika, odnosno unutar opsega pravokutnika.Formule za određivanje površine pravokutnika
1. Formula za površinu pravokutnika s dvije strane:
S = a b
2. Formula za površinu pravokutnika pomoću perimetra i bilo koje strane:
5. Formula za površinu pravokutnika pomoću polumjera opisane kružnice i bilo koje strane:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Formula za površinu pravokutnika pomoću promjera opisane kružnice i bilo koje strane:
S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2
Oko pravokutnika opisana kružnica
Definicija.
Kružnica opisana oko pravokutnika je kružnica koja prolazi kroz četiri vrha pravokutnika čije središte leži u sjecištu dijagonala pravokutnika.Formule za određivanje polumjera kruga opisanog oko pravokutnika
1. Formula za polumjer kružnice opisane oko pravokutnika kroz dvije stranice:
Lekcija na temu "Pravokutnik i njegova svojstva"
Ciljevi lekcije:
Ponoviti pojam pravokutnika na temelju znanja koje su učenici stekli u nastavi matematike od 1. do 6. razreda.
Razmotrimo svojstva pravokutnika kao posebne vrste paralelograma.
Razmotrimo posebno svojstvo pravokutnika.
Pokažite primjenu svojstava na rješavanje problema.
Napredak lekcije.
ja Oorganizacijski trenutak.
Obavijestite svrhu lekcije, temu lekcije. (slajd 1)
IIUčenje novog gradiva.
· Ponovite:
1. Koji se lik naziva paralelogram?
2. Koja svojstva ima paralelogram? (slajd 2)
● Uvesti pojam pravokutnika.
Koji se paralelogram može nazvati pravokutnikom?
Definicija: Pravokutnik je paralelogram u kojem su svi kutovi pravi.(slajd 3)
To znači da budući da je pravokutnik paralelogram, on ima sva svojstva paralelograma. Budući da pravokutnik ima drugačije ime, mora imati vlastito svojstvo (slajd 4).
● Aktivnost učenika (samostalno): Istražite stranice, kutove i dijagonale paralelograma i pravokutnika, rezultate upisujući u tablicu.
Paralelogram | Pravokutnik |
|
Dijagonale |
Izvedite zaključak: Dijagonale pravokutnika su jednake.
● Ovaj izlaz je privatno vlasništvo pravokutnika:
Teorema. D Dijagonale pravokutnika su jednake.(slajdovi 5)
Dokaz:
1) Razmotrimo ∆ ACD i ∆ ABD:
a) ADC = https://pandia.ru/text/78/059/images/image005_65.jpg" width="120" height="184 src="> 
a) b) 
181">
2. Odredite stranice pravokutnika znajući da mu je opseg 24 cm.
1)ACD - pravokutni, CAD = 30°,
znači CD = 0,5AC = 6 cm.
2) AB = CD = 6 cm.
3) U pravokutniku su dijagonale jednake i sjecištem ih dijeli popola, tj. AO = BO = 6 cm.
4) p (aov) = AO + VO + AB = 6 +6+ 6 = 18cm.
Odgovor: 18 cm.
IV Sažimanje lekcije.
Pravokutnik ima sljedeća svojstva:
1. Zbroj kutova pravokutnika je 360°.
2. Nasuprotne stranice pravokutnika su jednake.
3. Dijagonale pravokutnika sijeku se iu sjecištu dijele popola.
4. Simetrala kuta pravokutnika odsijeca od njega jednakokračni trokut.
5. Dijagonale pravokutnika su jednake.
V domaća zadaća.
Str. 45, pitanja 12,13. br. 000, 401 a), 404 (slajd 16)
Kod kuće sami razmislite o znaku pravokutnika.
Ciljevi lekcije
Konsolidirati znanje učenika o temi pravokutnik;
Nastaviti upoznavanje učenika s definicijama i svojstvima pravokutnika;
Naučiti učenike koristiti stečeno znanje o ovoj temi pri rješavanju problema;
Razvijati interes za predmet matematike, pažnju, logično razmišljanje;
Razvijati sposobnost samoanalize i discipline.
Ciljevi lekcije
Ponoviti i učvrstiti znanje učenika o konceptu kao što je pravokutnik, nadovezujući se na znanje stečeno u prethodnim razredima;
Nastaviti poboljšavati znanje učenika o svojstvima i karakteristikama pravokutnika;
Nastaviti razvijati vještine u procesu rješavanja zadataka;
Probuditi interes za nastavu matematike;
Njegujte interes za egzaktne znanosti i pozitivan stav prema nastavi matematike.
Plan lekcije
1. Teorijski dio, opći podaci, definicije.
2. Ponavljanje teme “Pravokutnici”.
3. Svojstva pravokutnika.
4. Oznake pravokutnika.
5. Zanimljivosti iz života trokuta.
6. Zlatni pravokutnik, opći pojmovi.
7. Pitanja i zadaci.
Što je pravokutnik
U prethodnim ste razredima već proučavali teme o pravokutnicima. Sada osvježimo pamćenje i prisjetimo se kakav je to lik koji se zove pravokutnik.
Pravokutnik je paralelogram čija su četiri kuta prava i jednaka 90 stupnjeva.
Pravokutnik je geometrijski lik koji se sastoji od 4 stranice i četiri prava kuta.
Nasuprotne stranice pravokutnika uvijek su jednake.
Ako razmatramo definiciju pravokutnika prema euklidskoj geometriji, onda da bi se četverokut smatrao pravokutnikom, potrebno je da u tom geometrijskom liku budu barem tri kuta prava. Iz ovoga slijedi da će četvrti kut također biti devedeset stupnjeva.
Iako je jasno da kada zbroj kutova četverokuta nema 360 stupnjeva, tada ova figura nije pravokutnik.
Ako pravilan pravokutnik ima sve strane jednake jedna drugoj, onda se takav pravokutnik zove kvadrat.
U nekim slučajevima kvadrat može djelovati kao romb ako takav romb, osim jednakih stranica, ima sve prave kutove.
Da bi se dokazala uključenost bilo koje geometrijske figure u pravokutnik, dovoljno je da ta geometrijska figura ispunjava barem jedan od ovih zahtjeva:
1. kvadrat dijagonale ove figure mora biti jednak zbroju kvadrata 2 stranice koje imaju zajedničku točku;
2. dijagonale geometrijskog lika moraju biti iste duljine;
3. svi kutovi geometrijskog lika moraju biti jednaki devedeset stupnjeva.
Ako ovi uvjeti ispunjavaju barem jedan zahtjev, tada imate pravokutnik.
Pravokutnik u geometriji je glavna osnovna figura, koja ima mnogo podvrsta, sa svojim vlastitim posebna svojstva i karakteristike.
Vježba: Ime geometrijski oblici, koji se odnose na pravokutnike.
Pravokutnik i njegova svojstva
Sada se prisjetimo svojstava pravokutnika:
Sve dijagonale pravokutnika su jednake;
Pravokutnik je paralelogram s paralelnim suprotnim stranicama;
Stranice pravokutnika također će biti njegove visine;
Pravokutnik ima jednake suprotne stranice i kutove;
Kružnica se može opisati oko bilo kojeg pravokutnika, a dijagonala pravokutnika bit će jednaka promjeru opisane kružnice.
Dijagonale pravokutnika dijele ga na 2 jednakog trokuta;
Prema Pitagorinom teoremu, kvadrat dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata njegove 2 nesuprotne stranice;
Vježba:
1. Pravokutnik ima dvije mogućnosti u kojima se može podijeliti na 2 jednaka pravokutnika. U bilježnicu nacrtajte dva pravokutnika i podijelite ih tako da dobijete 2 jednaka pravokutnika.
2. Nacrtajte krug oko pravokutnika čiji će promjer biti jednak dijagonali pravokutnika.
3. Može li se u pravokutnik upisati krug tako da dodiruje sve njegove stranice, ali pod uvjetom da taj pravokutnik nije kvadrat?
Pravokutni znakovi
Paralelogram će biti pravokutnik pod uvjetom:
1. ako mu je barem jedan kut prav;
2. ako su mu sva četiri kuta prava;
3. ako su suprotne strane jednake;
4. ako su najmanje tri kuta prava;
5. ako su mu dijagonale jednake;
6. ako je kvadrat dijagonale jednak zbroju kvadrata nesuprotnih stranica.
Zanimljivo je znati
Jeste li znali da ako nacrtate simetrale uglova u pravokutniku koji ima neravne susjedne stranice, onda kada se one sijeku, dobit ćete pravokutnik.
Ali ako nacrtana simetrala pravokutnika siječe jednu od njegovih stranica, tada ona od tog pravokutnika odsijeca jednakokračni trokut.
Jeste li znali da je i prije nego što je Maljevič naslikao svoj izvanredni “Crni kvadrat”, 1882. godine, na izložbi u Parizu, predstavljena slika Paula Bila na čijem platnu je prikazan crni pravokutnik osebujnog naziva “Bitka crnaca u tunel”.
Ova ideja s crnim pravokutnikom inspirirala je druge kulturnjake. Francuski pisac i humorist Alphonse Allais objavio je cijeli niz svojih djela i s vremenom se pojavio pravokutni krajolik u radikalnoj crvenoj boji pod nazivom "Berba rajčica na obalama Crvenog mora od strane apoplektičnih kardinala", koji također nije imao nikakvu sliku.
Vježbajte
1. Navedite svojstvo koje je svojstveno samo pravokutniku?
2. Koja je razlika između proizvoljnog paralelograma i pravokutnika?
3. Je li točno da svaki pravokutnik može biti paralelogram? Ako je to tako, dokažite zašto?
4. Nabroji četverokute koji su pravokutnici.
5. Navedite svojstva pravokutnika.
Povijesna činjenica
Euklidov pravokutnik
Jeste li znali da je Euklidov pravokutnik, koji se naziva zlatnim rezom, dugo bio za svaku građevinu vjerskog značaja savršena i proporcionalna osnova za gradnju u ono doba. Uz njegovu pomoć izgrađena je većina renesansnih građevina i klasičnih hramova u staroj Grčkoj.
"Zlatni" pravokutnik obično se naziva geometrijski pravokutnik, omjer veće stranice prema manjoj strani jednak je zlatnom rezu.
Ovaj omjer stranica ovog pravokutnika bio je 382 prema 618, odnosno približno 19 prema 31. Euklidov pravokutnik je u to vrijeme bio najsvrsishodniji, najprikladniji, sigurniji i pravilniji pravokutnik od svih geometrijski oblici. Zbog ove karakteristike, euklidski pravokutnik, ili njegove aproksimacije, korišten je u cijelom tekstu. Koristio se u kućama, slikama, namještaju, prozorima, vratima pa čak i knjigama.
Među Navajo Indijancima, pravokutnik se uspoređivao sa ženskim oblikom, jer se smatrao uobičajenim, standardni obrazac kuća, simbolizirajući ženu koja posjeduje ovu kuću.
Predmeti > Matematika > Matematika 8.r
