Što je sinus i kosinus. Sinus, kosinus, tangent, kotangens oštrog kuta. Trigonometrijske funkcije

Pojmovi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa glavne su kategorije trigonometrije - grane matematike, a neraskidivo su povezane s definicijom kuta. Posjedovanje ove matematičke znanosti zahtijeva pamćenje i razumijevanje formula i teorema, kao i razvijeno prostorno mišljenje. Zato trigonometrijski izračuni često uzrokuju poteškoće školarcima i studentima. Da biste ih prevladali, trebali biste se bolje upoznati s trigonometrijskim funkcijama i formulama.

Pojmovi u trigonometriji

Da biste razumjeli osnovne pojmove trigonometrije, prvo morate odlučiti što su pravokutni trokut i kut u kružnici i zašto su svi osnovni trigonometrijski izračuni povezani s njima. Trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva je pravokutni trokut. Povijesno gledano, ovu figuru često su koristili ljudi u arhitekturi, navigaciji, umjetnosti, astronomiji. U skladu s tim, proučavajući i analizirajući svojstva ove figure, ljudi su došli do izračuna odgovarajućih omjera njegovih parametara.

Glavne kategorije povezane s pravokutnim trokutima su hipotenuza i katete. Hipotenuza je stranica trokuta koja je nasuprot pravog kuta. Noge su, odnosno, druge dvije strane. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta je uvijek 180 stupnjeva.

Sferna trigonometrija je dio trigonometrije koji se ne izučava u školi, ali u primijenjenim znanostima poput astronomije i geodezije znanstvenici ga koriste. Značajka trokuta u sfernoj trigonometriji je da uvijek ima zbroj kutova veći od 180 stupnjeva.

Kutovi trokuta

U pravokutnom trokutu, sinus kuta je omjer katete nasuprot željenom kutu i hipotenuze trokuta. Prema tome, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Obje ove vrijednosti uvijek imaju vrijednost manje od jedan, budući da je hipotenuza uvijek duža od kraka.

Tangens kuta je vrijednost jednaka omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka željenog kuta, odnosno sinusa i kosinusa. Kotangens je pak omjer susjednog kraka željenog kuta i suprotnog kakteta. Kotangens kuta također se može dobiti dijeljenjem jedinice s vrijednošću tangente.

jedinični krug

Jedinični krug u geometriji je kružnica čiji je polumjer jednak jedan. Takva se kružnica konstruira u kartezijanskom koordinatnom sustavu, pri čemu se središte kružnice poklapa s ishodišnom točkom, a početni položaj vektora radijusa određen je pozitivnim smjerom osi X (os apscise). Svaka točka kružnice ima dvije koordinate: XX i YY, odnosno koordinate apscise i ordinate. Odabirom bilo koje točke na kružnici u ravnini XX i spuštanjem okomice s nje na os apscise, dobivamo pravokutni trokut formiran polumjerom na odabranu točku (označimo je slovom C), okomicu povučenu na os X (točka presjeka označena je slovom G), a segment os apscise između ishodišta (točka je označena slovom A) i točke presjeka G. Dobiveni trokut ACG je pravokutni trokut upisan u krug, gdje je AG hipotenuza, a AC i GC su katete. Kut između polumjera kružnice AC i segmenta osi apscise s oznakom AG definiramo kao α (alfa). Dakle, cos α = AG/AC. S obzirom da je AC polumjer jedinične kružnice, a jednak je jedan, ispada da je cos α=AG. Slično, sin α=CG.

Osim toga, znajući ove podatke, možete odrediti koordinate točke C na kružnici, budući da cos α = AG, i sin α = CG, što znači da točka C ima zadane koordinate(cos α; sin α). Znajući da je tangent jednak omjeru sinusa i kosinusa, možemo odrediti da je tg α \u003d y / x, i ctg α \u003d x / y. Uzimajući u obzir kutove u negativnom koordinatnom sustavu, može se izračunati da vrijednosti sinusa i kosinusa nekih kutova mogu biti negativne.

Izračuni i osnovne formule

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Razmotrivši bit trigonometrijskih funkcija kroz jedinični krug, možemo izvesti vrijednosti tih funkcija za neke kutove. Vrijednosti su navedene u donjoj tablici.

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Jednadžbe u kojima je pod znakom trigonometrijske funkcije nepoznata vrijednost nazivaju se trigonometrijske. Identiteti s vrijednošću sin x = α, k je bilo koji cijeli broj:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteti s vrijednošću cos x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, h = ±arccos α + 2πk.

Identiteti s vrijednošću tg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiteti s vrijednošću ctg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Izlivene formule

Ova kategorija konstantnih formula označava metode pomoću kojih možete prijeći od trigonometrijskih funkcija oblika do funkcija argumenta, odnosno pretvoriti sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta bilo koje vrijednosti u odgovarajuće pokazatelje kuta interval od 0 do 90 stupnjeva za veću praktičnost izračuna.

Formule za redukcijske funkcije za sinus kuta izgledaju ovako:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kuta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Upotreba gornjih formula moguća je uz dva pravila. Prvo, ako se kut može predstaviti kao vrijednost (π/2 ± a) ili (3π/2 ± a), vrijednost funkcije se mijenja:

• od grijeha do cos;
• od cos do grijeha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrijednost funkcije ostaje nepromijenjena ako se kut može predstaviti kao (π ± a) ili (2π ± a).

Drugo, predznak reducirane funkcije se ne mijenja: ako je u početku bio pozitivan, takav ostaje. Isto vrijedi i za negativne funkcije.

Formule zbrajanja

Ove formule izražavaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa zbroja i razlike dvaju kutova rotacije u smislu njihovih trigonometrijskih funkcija. Kutovi se obično označavaju kao α i β.

Formule izgledaju ovako:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ove formule vrijede za sve kutove α i β.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

Trigonometrijske formule za dvostruke i trostruki kut su formule koje povezuju funkcije kutova 2α i 3α s trigonometrijskim funkcijama kuta α. Izvedeno iz adicijskih formula:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prijelaz sa zbroja na proizvod

Uzimajući u obzir da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), pojednostavljujući ovu formulu, dobivamo identičnost sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Slično, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prijelaz s proizvoda na zbroj

Ove formule slijede iz identiteta za prijelaz zbroja u proizvod:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule redukcije

U tim identitetima kvadrat i kubni stupanj sinus i kosinus mogu se izraziti kao sinus i kosinus prvog stepena višestrukog kuta:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamjena

Univerzalne trigonometrijske zamjenske formule izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta pola kuta.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), dok je x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), gdje je x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), gdje je x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), dok je x \u003d π + 2πn.

Posebni slučajevi

U nastavku su dati pojedini slučajevi najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (k je bilo koji cijeli broj).

Privatno za sinus:

Kosinusni kvocijent:

Privatno za tangentu:

Kotangentni kvocijent:

Teoremi

Teorem sinusa

Postoje dvije verzije teorema - jednostavna i proširena. Teorem jednostavnog sinusa: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. U ovom slučaju, a, b, c su stranice trokuta, a α, β, γ su suprotni kutovi.

Prošireni sinusni teorem za proizvoljni trokut: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. U ovom identitetu, R označava polumjer kružnice u koju je upisan dati trokut.

Kosinusni teorem

Identitet se prikazuje na ovaj način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. U formuli su a, b, c stranice trokuta, a α je kut nasuprot stranice a.

Teorem tangente

Formula izražava odnos između tangenti dvaju kutova i duljine stranica nasuprot njima. Stranice su označene a, b, c, a odgovarajući suprotni kutovi su α, β, γ. Formula teorema tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangentni teorem

Povezuje polumjer kružnice upisane u trokut s duljinom njegovih stranica. Ako su a, b, c stranice trokuta, a A, B, C, redom, njihovi suprotni kutovi, r je polumjer upisane kružnice, a p je poluperimetar trokuta, sljedeći identiteti drži:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Prijave

Trigonometrija nije samo teorijska znanost vezana uz matematičke formule. Njegova svojstva, teoreme i pravila u praksi koriste razne industrije ljudska aktivnost- astronomija, zračna i pomorsku plovidbu, teorija glazbe, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojarstvo, mjerni rad, računalna grafika, kartografija, oceanografija i mnoge druge.

Sinus, kosinus, tangenta i kotangens osnovni su pojmovi trigonometrije, pomoću kojih možete matematički izraziti odnos kutova i duljina stranica u trokutu, te pronaći željene veličine kroz identitete, teoreme i pravila.

Zove se omjer suprotnog kraka i hipotenuze sinus oštar kut pravokutni trokut.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta

Zove se omjer najbližeg kraka i hipotenuze kosinus oštrog kuta pravokutni trokut.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta oštrog kuta pravokutnog trokuta

Zove se omjer suprotne noge i susjedne noge tangenta oštrog kuta pravokutni trokut.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens oštrog kuta pravokutnog trokuta

Omjer susjedne noge i suprotne noge naziva se kotangens oštrog kuta pravokutni trokut.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus proizvoljnog kuta

Naziva se ordinata točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha sinus proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

\sin \alpha=y

Kosinus proizvoljnog kuta

Apscisa točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha naziva se kosinus proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

\cos \alpha=x

Tangenta proizvoljnog kuta

Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens proizvoljnog kuta

Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primjer pronalaženja proizvoljnog kuta

Ako je \alpha neki kut AOM , gdje je M točka na jediničnoj kružnici, onda

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primjer, ako \kut AOM = -\frac(\pi)(4), tada: ordinata točke M je -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je \frac(\sqrt(2))(2) i zato

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \lijevo (\frac(\pi)(4) \desno)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tablica vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa

Vrijednosti glavnih često susrećenih kutova dane su u tablici:

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. U to je vrijeme započeo razvoj trigonometrije drevna grčka. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.

Ovaj je članak posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Objašnjeno je i ilustrirano njihovo značenje u kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražene kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus kuta (sin α) je omjer katete nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens kuta (c t g α) je omjer susjednog kraka prema suprotnom.

Ove definicije dane su za oštar kut pravokutnog trokuta!

Dajemo ilustraciju.

U trokutu ABC s pravim kutom C, sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, tj. funkcije mogu imati bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije odnose se na oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stupnjeva.. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U tom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava.

Početna točka A s koordinatama (1 , 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide u točku A 1 . Definicija je dana kroz koordinate točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kuta rotacije

Sinus kuta rotacije α je ordinata točke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) kuta rotacije

Tangenta kuta rotacije α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) kuta rotacije

Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njezine ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangentom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon rotacije ide u točku s nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran u slučajevima kada ordinata točke nestaje.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus definirani su za sve kutove α.

Tangenta je definirana za sve kutove osim α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta već jasno o čemu je riječ.

Brojevi

Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t naziva se broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radijan.

Na primjer, sinus od 10 π jednaka sinusu kut rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo ga detaljnije.

Bilo koji pravi broj t točka na jediničnoj kružnici stavlja se u korespondenciju sa središtem u ishodištu pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangent i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke.

Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1 , 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara točki do koje će se početna točka pomaknuti ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko kružnice i prođe put t .

Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (sin) broja t

Sinus broja t- ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su u skladu s definicijom danom na početku ovog odjeljka i ne proturječe. Točka na kružnici koja odgovara broju t, podudara se s točkom do koje prolazi početna točka nakon okretanja kroz kut t radijan.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost kuta α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa tog kuta. Kao i svi kutovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore spomenuto, definiran je za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije kuta alfa ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (kutnim argumentom ili numeričkim argumentom) imamo posla.

Vratimo se podacima na samom početku definicija i kutu alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijskim definicijama danim omjerima stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.

Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem na pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i povucimo iz rezultirajuće točke A 1 (x, y) okomito na os x. U rezultirajućem pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y) . Duljina kateta nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice.

U skladu s definicijom iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znači da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Slično se može prikazati kosinus, tangens i kotangens, podudarnost definicija.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U početku su sinus i kosinus nastali zbog potrebe izračunavanja količina u pravokutnim trokutima. Primjećeno je da ako se vrijednost stupnjeve mjere kutova u pravokutnom trokutu ne mijenja, onda omjer stranica, ma koliko se te stranice mijenjale po duljini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni pojmovi sinusa i kosinusa. Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, a kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Teoremi kosinusa i sinusa

Ali kosinus i sinus se mogu koristiti ne samo u pravokutnim trokutima. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog kuta, stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teorem kosinusa i sinusa.

Kosinusni teorem je prilično jednostavan: "Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije strane umanjenom za dvostruki umnožak ovih stranica za kosinus kuta između njih."

Postoje dva tumačenja sinusnog teorema: mala i proširena. Prema malom: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama." Ovaj se teorem često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov je omjer jednak promjeru opisane kružnice."

Derivati

Derivat je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu argumenta. Derivati ​​se koriste u geometriji, te u nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti derivacija trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Izvod sinusa je kosinus, a derivacija kosinusa je sinus, ali sa predznakom minus.

Primjena u matematici

Posebno često se sinusi i kosinusi koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema povezanih s njima.

Pogodnost sinusa i kosinusa očituje se i u tehnologiji. Kutove i stranice bilo je lako procijeniti pomoću kosinusnih i sinusnih teorema, razbijajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri su i, često se baveći izračunima omjera i mjera stupnjeva, utrošili puno vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netablijskih kutova.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže tisuće vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitih kutova. U sovjetsko vrijeme neki su učitelji prisiljavali svoje štićenike da pamte stranice Bradisovih tablica.

Radijan - kutna vrijednost luka, duž duljine jednaka polumjeru ili 57,295779513 ° stupnjeva.

Stupanj (u geometriji) - 1/360. kruga ili 1/90. pravog kuta.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost pi).

Kosinus tablica za kutove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangente (), kotangensa () neraskidivo su povezani s konceptom kuta. Kako bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa) i uvjerili se da „vrag nije tako strašan kao što je naslikan“, krenimo od samog početka i shvatimo koncept kuta.

Pojam kuta: radijan, stupanj

Pogledajmo sliku. Vektor se za određenu količinu "okrenuo" u odnosu na točku. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj bit će injekcija.

Što još trebate znati o pojmu kuta? Pa, jedinice kuta, naravno!

Kut, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stupnjevima i radijanima.

Kut u (jedan stupanj) je središnji kut u krugu, utemeljen na kružnom luku jednakom dijelu kružnice. Dakle, cijeli krug se sastoji od "komada" kružnih lukova, ili je kut opisan kružnicom jednak.

Odnosno, gornja slika prikazuje kut koji je jednak, odnosno, ovaj kut se temelji na kružnom luku veličine opsega.

Kut u radijanima je središnji kut u kružnici, zasnovan na kružnom luku, čija je duljina jednaka polumjeru kružnice. Pa, jeste li razumjeli? Ako ne, pogledajmo sliku.

Dakle, slika prikazuje kut jednak radijanu, to jest, ovaj kut se temelji na kružnom luku čija je duljina jednaka polumjeru kružnice (duljina je jednaka duljini ili polumjeru jednaka dužini lukovi). Dakle, duljina luka se izračunava po formuli:

Gdje je središnji kut u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži kut opisan kružnicom? Da, za to morate zapamtiti formulu za opseg kruga. evo nje:

Pa, sada korelirajmo ove dvije formule i dobijemo da je kut opisan kružnicom jednak. To jest, korelirajući vrijednost u stupnjevima i radijanima, dobivamo to. Odnosno, . Kao što možete vidjeti, za razliku od "stupnjeva", riječ "radijan" je izostavljena, budući da je mjerna jedinica obično jasna iz konteksta.

Koliko je radijana? Tako je!

Shvaćam? Zatim pričvrstite naprijed:

Ima li poteškoća? Onda pogledaj odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens kuta

Dakle, s konceptom kuta shvatio. Ali što je sinus, kosinus, tangent, kotangens kuta? Idemo to shvatiti. Za to će nam pomoći pravokutni trokut.

Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru, ovo je stranica); noge su dvije preostale strane i (one uz pravi kut), štoviše, ako uzmemo u obzir noge u odnosu na kut, tada je noga susjedna noga, a noga suprotna. Dakle, odgovorimo na pitanje: koliki su sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta?

Sinus kuta je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

u našem trokutu.

Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

u našem trokutu.

Tangenta kuta- ovo je omjer suprotne (daleke) noge prema susjednoj (bliskoj).

u našem trokutu.

Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

u našem trokutu.

Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti s čime, morate to jasno razumjeti tangens i kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

kosinus→dodir→dodir→ susjedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens kao omjeri strana trokuta ne ovise o duljinama ovih stranica (pod jednim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta. Po definiciji, iz trokuta: , ali možemo izračunati kosinus kuta iz trokuta: . Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jesi li ga dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut.

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući pojmove stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim. Takav krug se zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se na tome zadržavamo malo detaljnije.

Kao što možete vidjeti, ovaj krug je izgrađen u kartezijanskom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice jednak je jedan, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je radijus).

Svakoj točki kružnice odgovaraju dva broja: koordinata duž osi i koordinata duž osi. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju s predmetnom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmislite o trokutu. Pravokutna je jer je okomita na os.

Čemu je jednako iz trokuta? Tako je. Osim toga, znamo da je polumjer jedinične kružnice, i stoga, . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:

A čemu je jednako iz trokuta? Pa naravno, ! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? A ako to shvaćate i samo su brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinata! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinira! Dakle, poanta.

I što su onda jednaki i? Tako je, poslužimo se odgovarajućim definicijama tangente i kotangensa i dobijemo to, a.

Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u ovaj primjer? Idemo to shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut: kut (kao susjedni kut). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

Pa, kao što možete vidjeti, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinata; te vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Stoga su ovi odnosi primjenjivi na sve rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što će se dogoditi ako ga zakrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa izvanredno, ispast će pod istim kutom određeni iznos, ali samo će to biti negativno. Dakle, pri rotaciji vektora radijusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Je li moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju će, dakle, radijus vektor napraviti jedan potpuni okret i zaustaviti se na poziciji ili.

U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri potpuna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju po ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Slika ispod prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu i tako dalje. Ovaj popis se može nastaviti u nedogled. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, poznavajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koliko su vrijednosti jednake:

Ovdje je jedinični krug koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda idemo to shvatiti. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, počnimo redom: kut u odgovara točki s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Nadalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:

Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavno pamćenje odgovarajućih vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangenta kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa ​​prenose se u skladu sa strelicama, odnosno:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će se podudarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako to razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njezine koordinate) na kružnici, poznavajući koordinate središta kružnice, njezin polumjer i kut rotacije?

Pa, naravno da možete! Iznesemo van opća formula za pronalaženje koordinata točke.

Evo, na primjer, imamo takav krug:

Dano nam je da je točka središte kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke po stupnjevima.

Kao što se može vidjeti na slici, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kružnice, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

Tada imamo to za točku koordinatu.

Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za točku. Tako,

Dakle u opći pogled koordinate točke određene su formulama:

Koordinate središta kruga,

polumjer kruga,

Kut rotacije radijus vektora.

Kao što možete vidjeti, za jediničnu kružnicu koju razmatramo, ove su formule značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a polumjer jednak jedan:

Pa, probajmo ove formule za kušanje, vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?

1. Pronađite koordinate točke na jediničnom krugu dobivene okretanjem točke.

2. Pronađite koordinate točke na jediničnom krugu dobivene rotacijom točke na.

3. Pronađite koordinate točke na jediničnom krugu dobivene okretanjem točke.

4. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!

1.

To se vidi. Ali znamo što odgovara punom okretu Polazna točka. Tako će željena točka biti u istom položaju kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

2. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To se vidi. Znamo što odgovara dvije potpune rotacije početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobivamo:

Dakle, željena točka ima koordinate.

3. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To se vidi. Opišimo razmatrani primjer na slici:

Polumjer čini kutove s osi jednakim i. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake, i utvrdivši da kosinus ovdje uzima negativno značenje, a sinus je pozitivan, imamo:

Više slični primjeri razumjeti pri proučavanju formula za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena točka ima koordinate.

4.

Kut rotacije vektora radijusa (prema uvjetu)

Da bismo odredili odgovarajuće znakove sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost je, odnosno, pozitivna, a vrijednost, odnosno negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađemo koordinate:

Dakle, željena točka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku gdje

Koordinate središta kružnice (u našem primjeru,

Polumjer kruga (prema uvjetu)

Kut rotacije radijus vektora (prema uvjetu).

Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijete:

i - tablične vrijednosti. Pamtimo ih i zamjenjujemo ih u formulu:

Dakle, željena točka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Sinus kuta je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

Kosinus kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

Tangens kuta je omjer suprotne (daleke) noge i susjedne (bliske).

Kotangens kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka i suprotnog (dalekog).