Koliki je sinus alfa. Osnovni trigonometrijski identiteti, njihove formulacije i derivacija

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom Istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ti se proračuni odnose na sfernu trigonometriju, dok se u školskom kolegiju proučava omjer stranica i kuta ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom između stranica i kutova trokuta.

Za vrijeme procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću naše ere, znanje se proširilo od antičkog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncept sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Puno pažnje posvećeno je trigonometriji u djelima velikih antičkih likova poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangent i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorejske hlače, jednake u svim smjerovima", budući da je dokaz dan na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao umnožak sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, tada ćemo dobiti sljedeće formule za tangentu i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se omjer navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se vidi iz slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α bit će sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Kod α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje veličina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; pri izračunavanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije bitna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju radijanskim vrijednostima:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Za razmatranje i usporedbu osnovnih svojstava sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje smještene u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrimo usporednu tablicu svojstava za sinusni val i kosinusni val:

Odrediti je li funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na os OX. Ako su predznaci isti, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoidnog i kosinusnog vala omogućuju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može izvršiti gledanjem u tablice ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangenoida

Grafovi tangentne i kotangensne funkcije značajno se razlikuju od sinusoidnog i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

1. Y = tgx.
2. Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
3. Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangenoida u nastavku teksta.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne doseže.
4. Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Popravi

Uputa

Koristite funkciju arcsinusa za izračunavanje vrijednosti kuta u stupnjevima ako znate vrijednost tog kuta. Ako je a injekcija označeno slovom α, općenito se rješenje može napisati na sljedeći način: α = arcsin(sin(α)).

Ako imate priliku koristiti računalo, za praktične izračune najlakše je koristiti ugrađeni operativni sustav. U posljednje dvije verzije Windowsa možete ga pokrenuti ovako: pritisnite tipku Win, upišite "ka" i pritisnite Enter. U ranijim izdanjima ovog OS-a potražite vezu "Kalkulator" u pododjeljku "Standard" odjeljka "Svi programi" glavnog izbornika sustava.

Nakon pokretanja aplikacije, prebacite je u način rada koji vam omogućuje rad s trigonometrijskim funkcijama. To se može učiniti odabirom retka "Inženjering" u odjeljku "Prikaz" izbornika kalkulatora ili pritiskom na Alt + 2.

Unesite vrijednost sinusa. Prema zadanim postavkama, sučelje kalkulatora nema gumb za izračunavanje arcsinusa. Da biste mogli koristiti ovu funkciju, morate invertirati zadane vrijednosti gumba - kliknite na gumb Inv u prozoru programa. U starijim verzijama ovaj gumb zamjenjuje potvrdni okvir s istom oznakom - označite ga.

Možete koristiti u izračunima i razne usluge, kojih je više nego dovoljno na internetu. Na primjer, idite na stranicu http://planetcalc.com/326/, pomaknite se malo prema dolje i u polje za unos unesite vrijednost sinusa. Za pokretanje postupka izračuna postoji gumb s oznakom Izračunaj - kliknite na njega. Rezultat izračuna naći ćete u prvom retku tablice ispod ovog gumba. Osim arcsinusa, prikazuje i vrijednosti i tangens luka unesene vrijednosti.

Zove se inverzna sinusna trigonometrijska funkcija arcsinus. Može uzeti vrijednosti unutar polovice broja pi, pozitivnih i negativnih, kada se mjeri u radijanima. Kada se mjere u stupnjevima, ove će vrijednosti biti u rasponu od -90° do +90°.

Uputa

Neke "okrugle" vrijednosti ne moraju se izračunavati, lakše ih je zapamtiti. Na primjer: - ako je argument funkcije nula, tada je vrijednost arcsinusa iz njega također nula; - od 1/2 je 30 ° ili 1/6 Pi, ako se mjeri; - arcsinus od -1/2 je jednak do -30° ili -1/6 od pi u ;- arcsin od 1 je 90° ili 1/2 od pi u radijanima;- arcsin od -1 je -90° ili -1/2 od pi u radijanima;

Za mjerenje vrijednosti ove funkcije iz drugih argumenata, najlakši način je korištenje standardnog Windows kalkulatora, ako imate . Za početak otvorite glavni izbornik na gumbu "Start" (ili pritiskom na tipku WIN), idite na odjeljak "Svi programi", a zatim na pododjeljak "Dodatna oprema" i kliknite na stavku "Kalkulator".

Prebacite sučelje kalkulatora na način rada koji vam omogućuje izračunavanje trigonometrijskih funkcija. Da biste to učinili, otvorite odjeljak "Prikaz" u njegovom izborniku i odaberite stavku "Inženjering" ili "Znanstveno" (ovisno o korištenom operativnom sustavu).

Unesite vrijednost argumenta iz kojeg ćete izračunati tangentu luka. To se može učiniti klikom miša na tipke sučelja kalkulatora, ili pritiskom na tipke na , ili kopiranjem vrijednosti (CTRL + C), a zatim je zalijepiti (CTRL + V) u polje za unos kalkulatora.

Odaberite jedinice u kojima želite dobiti rezultat izračuna funkcije. Ispod polja za unos nalaze se tri opcije, od kojih trebate odabrati (klikom mišem) jednu - , radijane ili radove.

Označite potvrdni okvir koji invertuje funkcije naznačene na gumbima sučelja kalkulatora. Uz nju je kratki natpis Inv.

Kliknite gumb za grijeh. Kalkulator će invertirati funkciju koja mu je pridružena, izvršiti izračun i prikazati vam rezultat u zadanim jedinicama.

Slični Videi

O pravokutnom trokutu, kao najjednostavnijem poligonu, razni znanstvenici su svoja znanja iz područja trigonometrije usavršili još u ono vrijeme kada ovo područje matematike nitko nije ni nazvao tom riječju. Stoga danas nije moguće naznačiti autora koji je otkrio uzorke u omjerima duljina stranica i veličina kutova u ovom ravnom geometrijskom liku. Takvi odnosi nazivaju se trigonometrijskim funkcijama i podijeljeni su u nekoliko skupina, od kojih se glavne konvencionalno smatraju "izravnim" funkcijama. Samo dvije funkcije su dodijeljene ovoj skupini, a jedna od njih je sinusna.

Uputa

Po definiciji, u pravokutnom trokutu jedan od kutova je 90°, a zbog činjenice da zbroj njegovih kutova u euklidskoj geometriji mora biti jednak 180°, druga dva kuta su (tj. 90°). Pravilnosti omjera upravo tih kutova i duljina stranica opisuju trigonometrijske funkcije.

Funkcija, nazvana sinusom oštrog kuta, određuje omjer između duljina dviju stranica pravokutnog trokuta, od kojih jedna leži nasuprot ovom oštrom kutu, a druga je uz njega i leži nasuprot pravog kuta. Budući da se strana nasuprot pravog kuta u takvom trokutu zove hipotenuza, a druge dvije su katete, funkcije sinusa mogu se formulirati kao omjer duljina kateta i hipotenuze.

Uz tako jednostavnu definiciju ove trigonometrijske funkcije, postoje i složenije: kroz krug u kartezijanskim koordinatama, kroz nizove, kroz diferencijalne i funkcionalne jednadžbe. Ova funkcija je kontinuirana, odnosno njezini argumenti ("domena definicija") mogu biti bilo koji broj - od beskonačno negativnih do beskonačno pozitivnih. A maksimalne vrijednosti ove funkcije ograničene su rasponom od -1 do +1 - to je "raspon njegovih vrijednosti". Sinus uzima svoju minimalnu vrijednost pod kutom od 270 °, što odgovara 3 / Pi, a maksimum se dobiva pri 90 ° (½ Pi). Vrijednosti funkcije postaju nula na 0°, 180°, 360°, itd. Iz svega ovoga proizlazi da je sinus periodična funkcija i da mu je period jednak 360° ili dvostrukom broju Pi.

Za praktične izračune vrijednosti ove funkcije iz zadanog argumenta, možete ga koristiti - velika većina njih (uključujući softverski kalkulator ugrađen u operativni sustav vašeg računala) ima odgovarajuću opciju.

Slični Videi

Sinus i kosinus- to su izravne trigonometrijske funkcije za koje postoji nekoliko definicija - kroz kružnicu u kartezijanskom koordinatnom sustavu, kroz rješenja diferencijalne jednadžbe, kroz oštre kutove u pravokutnom trokutu. Svaka od ovih definicija omogućuje vam da zaključite odnos između ove dvije funkcije. Sljedeći je možda najjednostavniji način izražavanja kosinus kroz sinus - kroz njihove definicije za oštre kutove pravokutnog trokuta.

Uputa

Izrazite sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta kroz duljine stranica ove figure. Prema definiciji, sinus kuta (α) mora biti omjer duljine stranice (a) nasuprot njoj - kraka - i duljine stranice (c) nasuprot pravog kuta - hipotenuze: sin (α) = a / c.

Pronađite sličnu formulu za kosinus ali isti kut. Po definiciji, ova vrijednost treba biti izražena kao omjer duljine stranice (b) koja se nalazi uz ovaj kut (druga kraka) i duljine stranice (c) koja leži nasuprot pravog kuta: cos (a) \u003d a/c.

Prepišite jednadžbu koja slijedi iz Pitagorinog teorema na način da koristi odnose između kateta i hipotenuze izvedene u prethodna dva koraka. Da biste to učinili, prvo podijelite oba originala ovog teorema (a² + b² = c²) s kvadratom hipotenuze (a² / c² + b² / c² = 1), a zatim prepišite rezultirajuću jednakost u ovom obliku: (a / c)² + (b / c)² = 1.

Zamijenite u rezultirajućem izrazu omjer duljina kateta i hipotenuze s trigonometrijskim funkcijama, na temelju formula prvog i drugog koraka: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Izrazite kosinus iz rezultirajuće jednakosti: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Ovaj se problem može riješiti na opći način.

Ako, osim općeg, trebate dobiti i numerički rezultat, upotrijebite, na primjer, kalkulator ugrađen u operacijski sustav Windows. Veza na njegovo pokretanje u pododjeljku "Standard" odjeljka "Svi programi" OS izbornika. Ova poveznica je sažeto sročena - "Kalkulator". Da biste mogli izračunati trigonometrijske funkcije iz ovog programa, uključite njegovo "inženjersko" sučelje - pritisnite kombinaciju tipki Alt + 2.

Unesite vrijednost sinusa kuta u uvjete i kliknite na gumb sučelja s oznakom x² - ovo će kvadratirati izvornu vrijednost. Zatim na tipkovnici upišite *-1, pritisnite Enter, upišite +1 i ponovno pritisnite Enter - na taj ćete način od jedinice oduzeti kvadrat sinusa. Kliknite na radikalnu tipku ikone da izvučete kvadrat i dobijete konačni rezultat.

Proučavanje trokuta matematičari su provodili nekoliko tisućljeća. Znanost o trokutima - trigonometrija - koristi posebne veličine: sinus i kosinus.

Pravokutni trokut

U početku su sinus i kosinus nastali zbog potrebe izračunavanja količina u pravokutnim trokutima. Primjećeno je da ako se vrijednost stupnjeve mjere kutova u pravokutnom trokutu ne mijenja, onda omjer stranica, ma koliko se te stranice mijenjale po duljini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni pojmovi sinusa i kosinusa. Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, a kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Teoremi kosinusa i sinusa

Ali kosinus i sinus se mogu koristiti ne samo u pravokutnim trokutima. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog kuta, stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teorem kosinusa i sinusa.

Kosinusni teorem je prilično jednostavan: "Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije strane, umanjen za dvostruki umnožak ovih stranica za kosinus kuta između njih."

Postoje dva tumačenja sinusnog teorema: mala i proširena. Prema malom: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama." Ovaj se teorem često proširuje zbog svojstva kružnice opisane oko trokuta: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov je omjer jednak promjeru opisane kružnice."

Derivati

Derivat je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu argumenta. Derivati ​​se koriste u geometriji, te u nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti derivacija trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Izvod sinusa je kosinus, a derivacija kosinusa je sinus, ali sa predznakom minus.

Primjena u matematici

Posebno često se sinusi i kosinusi koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema povezanih s njima.

Pogodnost sinusa i kosinusa očituje se i u tehnologiji. Kutove i stranice bilo je lako procijeniti pomoću kosinusnih i sinusnih teorema, razbijajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri su i, često se baveći izračunima omjera i mjera stupnjeva, utrošili puno vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netablijskih kutova.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže tisuće vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitih kutova. U sovjetsko vrijeme neki su učitelji prisiljavali svoje štićenike da pamte stranice Bradisovih tablica.

Radijan - kutna vrijednost luka, duž duljine jednaka polumjeru ili 57,295779513 ° stupnjeva.

Stupanj (u geometriji) - 1/360. kruga ili 1/90. pravog kuta.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost pi).

Kosinus tablica za kutove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

U ovom članku ćemo pokazati kako definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notaciji, navesti primjere zapisa, dati grafičke ilustracije. Zaključno, povlačimo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u trigonometriji i geometriji.

Navigacija po stranici.

Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Pratimo kako se u školskom kolegiju matematike formira pojam sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa. U nastavi geometrije daje se definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. A kasnije se proučava trigonometrija koja se odnosi na sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije i broja. Dajemo sve ove definicije, dajemo primjere i dajemo potrebne komentare.

Oštar kut u pravokutnom trokutu

Iz kolegija geometrije poznate su definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. Oni su dati kao omjer stranica pravokutnog trokuta. Predstavljamo njihove formulacije.

Definicija.

Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Kosinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne noge i susjedne noge.

Definicija.

Kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne noge i suprotne noge.

Tu je također uvedena oznaka sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa - sin, cos, tg i ctg.

Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C, tada je sinus oštrog kuta A jednak omjeru suprotnog kraka BC i hipotenuze AB, odnosno sin∠A=BC/AB.

Ove definicije vam omogućuju da izračunate vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta iz poznatih duljina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznatih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta, kotangens i duljina jedne od stranica, pronađite duljine ostalih stranica. Na primjer, kada bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC 3, a hipotenuza AB 7, tada bismo mogli izračunati kosinus oštrog kuta A po definiciji: cos∠A=AC/AB=3/7.

Kut rotacije

U trigonometriji počinju šire gledati na kut – uvode pojam kuta rotacije. Kut rotacije, za razliku od oštrog kuta, nije ograničen na okvire od 0 do 90 stupnjeva, kut rotacije u stupnjevima (i u radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.

U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa više nisu akutni kut, već kut proizvoljne veličine – kut rotacije. Zadane su kroz x i y koordinate točke A 1 , u koju prolazi tzv. početna točka A(1, 0) nakon što se zarotira za kut α oko točke O - početka pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava i središte jedinične kružnice.

Definicija.

Sinus kuta rotacijeα je ordinata točke A 1 , odnosno sinα=y .

Definicija.

kosinus kuta rotacijeα naziva se apscisa točke A 1 , odnosno cosα=x .

Definicija.

Tangent kuta rotacijeα je omjer ordinate točke A 1 i njezine apscise, odnosno tgα=y/x .

Definicija.

Kotangens kuta rotacijeα je omjer apscise točke A 1 i njezine ordinate, odnosno ctgα=x/y .

Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut α, budući da uvijek možemo odrediti apscisu i ordinatu točke koja se dobiva rotacijom početne točke za kut α. A tangenta i kotangens nisu definirani ni za jedan kut. Tangenta nije definirana za takve kutove α u kojima početna točka ide u točku s nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1), a to se događa pod kutovima 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Doista, pri takvim kutovima rotacije, izraz tgα=y/x nema smisla, budući da sadrži dijeljenje s nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definiran za takve kutove α kod kojih početna točka ide u točku s nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0) , a to je slučaj za kutove 180° k , k ∈Z (π k rad).

Dakle, sinus i kosinus su definirani za sve kutove rotacije, tangenta je definirana za sve kutove osim 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), a kotangens je za sve kutove osim 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Oznake koje su nam već poznate pojavljuju se u definicijama sin, cos, tg i ctg, također se koriste za označavanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije (ponekad možete pronaći zapis tan i cot koji odgovara tangenti i kotangens). Dakle, sinus kuta rotacije od 30 stupnjeva može se zapisati kao sin30°, zapisi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangentu kuta rotacije −24 stupnja 17 minuta i kotangensu kuta rotacije α . Podsjetimo da se prilikom pisanja radijanske mjere kuta često izostavlja oznaka "rad". Na primjer, kosinus kuta rotacije od tri pi rada obično se označava cos3 π .

U zaključku ovog odlomka, vrijedno je napomenuti da se u govoru o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije često izostavlja izraz "kut rotacije" ili riječ "rotacija". Odnosno, umjesto izraza "sinus kuta rotacije alfa" obično se koristi izraz "sinus kuta alfa", ili još kraće - "sinus alfa". Isto vrijedi i za kosinus, i tangentu i kotangens.

Recimo i da su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu u skladu s definicijama upravo danim za sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. To ćemo potkrijepiti.

Brojevi

Definicija.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije u t radijanima.

Na primjer, kosinus od 8 π je, po definiciji, broj jednak kosinusu kuta od 8 π rad. A kosinus kuta u 8 π rad jednak je jedan, dakle, kosinus broja 8 π jednak je 1.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Sastoji se u tome da je svakom realnom broju t dodijeljena točka jedinične kružnice sa središtem na ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava, a sinus, kosinus, tangenta i kotangens određuju se kroz koordinate te točke. Zaustavimo se na ovome detaljnije.

Pokažimo kako se uspostavlja korespondencija između realnih brojeva i točaka kružnice:

• broju 0 ​​dodjeljuje se početna točka A(1, 0) ;
• pozitivan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se krećemo oko kružnice od početne točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođemo put duljine t;
• negativan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se pomičemo po kružnici od početne točke u smjeru kazaljke na satu i prođemo put duljine |t| .

Prijeđimo sada na definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara točki kružnice A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara točki A 1 (0, 1) ).

Definicija.

Sinus broja t je ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno sint=y.

Definicija.

Kosinus broja t se naziva apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.

Definicija.

Tangent broja t je omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangent broja t je omjer sinusa ovog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/cost .

Definicija.

Kotangens broja t je omjer apscise i ordinate točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je sljedeća: tangent broja t je omjer kosinusa broja t i sinusa broja t : ctgt=cost/sint .

Ovdje napominjemo da se upravo navedene definicije slažu s definicijom danom na početku ovog pododjeljka. Doista, točka jedinične kružnice koja odgovara broju t podudara se s točkom dobivenom rotacijom početne točke kroz kut od t radijana.

Također je vrijedno pojasniti ovu točku. Recimo da imamo sin3 unos. Kako razumjeti je li u pitanju sinus broja 3 ili sinus kuta rotacije od 3 radijana? To je obično jasno iz konteksta, inače vjerojatno nije važno.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Prema definicijama danim u prethodnom paragrafu, svakom kutu rotacije α odgovara dobro definirana vrijednost sinα, kao i vrijednost cosα. Osim toga, svi kutovi rotacije osim 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) odgovaraju vrijednostima tgα, a osim 180° k, k∈Z (π k rad) su vrijednosti ctgα . Stoga su sinα, cosα, tgα i ctgα funkcije kuta α. Drugim riječima, to su funkcije kutnog argumenta.

Slično, možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangent i kotangens numeričkog argumenta. Doista, svaki realni broj t odgovara dobro definiranoj vrijednosti sint , kao i trošku . Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima ctgt.

Funkcije sinus, kosinus, tangent i kotangens se nazivaju osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno da imamo posla s trigonometrijskim funkcijama kutnog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, nezavisnu varijablu možemo smatrati i mjerom kuta (argument kuta) i numeričkim argumentom.

No, škola uglavnom proučava numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i pripadajuće vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako govorimo o funkcijama, onda je preporučljivo razmotriti trigonometrijske funkcije kao funkcije brojčanih argumenata.

Povezivanje definicija iz geometrije i trigonometrije

Ako uzmemo u obzir kut rotacije α od 0 do 90 stupnjeva, tada su podaci u kontekstu trigonometrije definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije u potpunosti u skladu s definicijama sinusa, kosinusa , tangenta i kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu, koji su dati u tečaju geometrije. Potkrijepimo ovo.

Nacrtajte jediničnu kružnicu u pravokutnom Dekartovom koordinatnom sustavu Oxy. Zabilježite početnu točku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za kut α u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, dobit ćemo točku A 1 (x, y) . Ispustimo okomicu A 1 H iz točke A 1 na os Ox.

Lako je vidjeti da je u pravokutnom trokutu kut A 1 OH jednak kutu rotacije α, duljina kraka OH koja je susjedna ovom kutu jednaka je apscisi točke A 1, odnosno |OH | |=x, duljina kraka A 1 H nasuprot kuta jednaka je ordinati točke A 1 , odnosno |A 1 H|=y , a duljina hipotenuze OA 1 jednaka je jedan , budući da je to polumjer jedinične kružnice. Tada je, prema definiciji iz geometrije, sinus oštrog kuta α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotne katete i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . A po definiciji iz trigonometrije, sinus kuta rotacije α jednak je ordinati točke A 1, odnosno sinα=y. To pokazuje da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α za α od 0 do 90 stupnjeva.

Slično, može se pokazati da su definicije kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta α u skladu s definicijama kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije α.

Bibliografija.

1. Geometrija. 7-9 razreda: studije. za opće obrazovanje institucije / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev i drugi]. - 20. izd. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrija: Proc. za 7-9 ćelija. opće obrazovanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Prosvjeta, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra i elementarne funkcije: Udžbenik za učenike 9. razreda srednje škole / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredio doktor fizikalno-matematičkih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. Moskva: Prosveta, 1969.
4. Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosječno škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 14 sati 1. dio: udžbenik za obrazovne ustanove (profilna razina) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dodaj. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; izd. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - I .: Prosvjeta, 2010. - 368 str.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 stanica. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Započinjemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Definirajmo što su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangensa oštrog kuta. Ovo su osnove trigonometrije.

Prisjetite se toga pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva. Drugim riječima, polovica rasklopljenog kuta.

Oštar kut- manje od 90 stupnjeva.

Tup kut- veći od 90 stupnjeva. U odnosu na takav kut, "tupi" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravokutni trokut. Obično se označava pravi kut. Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je strana koja leži nasuprot kuta A.

Kut je označen odgovarajućim grčkim slovom.

Hipotenuza Pravokutni trokut je strana nasuprot pravog kuta.

Noge- strane suprotne oštrim kutovima.

Noga nasuprot kutu zove se suprotan(u odnosu na kut). Druga noga, koja leži na jednoj strani ugla, zove se susjedni.

Sinus Oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Kosinus oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Tangens oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer suprotne noge i susjedne:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangent oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

Kotangens oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka prema suprotnom (ili, ekvivalentno, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pažnju na osnovne omjere za sinus, kosinus, tangent i kotangens, koji su navedeni u nastavku. Oni će nam biti korisni u rješavanju problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i zapisane formule. Ali zašto su nam potrebni sinus, kosinus, tangent i kotangens?

Mi to znamo zbroj kutova bilo kojeg trokuta je.

Znamo odnos između stranke pravokutni trokut. Ovo je Pitagorin teorem: .

Ispada da znajući dva kuta u trokutu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. Dakle, za kutove - njihov omjer, za strane - svoj. Ali što učiniti ako su u pravokutnom trokutu poznati jedan kut (osim pravog) i jedna strana, ali morate pronaći druge strane?

S tim su se ljudi suočavali u prošlosti, praveći karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve strane trokuta.

Sinus, kosinus i tangenta - također se nazivaju trigonometrijske funkcije kuta- dati omjer između stranke i uglovima trokut. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" kutove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tablici. Za odgovarajuće vrijednosti kutova, tangenta i kotangens ne postoje.

Analizirajmo nekoliko problema u trigonometriji iz zadataka Banke FIPI.

1. U trokutu, kut je , . Pronaći .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Ukoliko , .

2. U trokutu, kut je , , . Pronaći .

Pronađimo po Pitagorinom teoremu.

Problem riješen.

Često u problemima postoje trokuti s kutovima i ili s kutovima i . Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!

Za trokut s kutovima i krak nasuprot kutu u jednak je polovica hipotenuze.

Trokut s kutovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.

Razmatrali smo probleme za rješavanje pravokutnih trokuta – odnosno za pronalaženje nepoznatih stranica ili kutova. Ali to nije sve! U varijantama ispita iz matematike postoji mnogo zadataka gdje se pojavljuje sinus, kosinus, tangent ili kotangens vanjskog kuta trokuta. Više o tome u sljedećem članku.

Sinus je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija, čija primjena nije ograničena samo na geometriju. Tablice za izračun trigonometrijskih funkcija, poput inženjerskih kalkulatora, nisu uvijek pri ruci, a izračunavanje sinusa ponekad je potrebno za rješavanje raznih problema. Općenito, izračun sinusa pomoći će u konsolidaciji crtačkih vještina i znanja o trigonometrijskim identitetima.

Igre s ravnalom i olovkom

Jednostavan zadatak: kako pronaći sinus kuta nacrtanog na papiru? Za rješavanje potrebno vam je obično ravnalo, trokut (ili šestar) i olovka. Najjednostavniji način za izračunavanje sinusa kuta je dijeljenje krajnjeg kraka trokuta s pravim kutom s dugom stranom - hipotenuzom. Dakle, najprije morate dovršiti oštar kut na lik pravokutnog trokuta tako da povučete liniju okomitu na jednu od zraka na proizvoljnoj udaljenosti od vrha kuta. Bit će potrebno promatrati kut od točno 90 °, za što nam je potreban klerikalni trokut.

Korištenje kompasa je malo preciznije, ali će trajati dulje. Na jednoj od zraka trebate označiti 2 točke na određenoj udaljenosti, postaviti polumjer na kompasu približno jednak udaljenosti između točaka i nacrtati polukrugove sa središtima u tim točkama dok se te linije ne sijeku. Spajanjem točaka presjeka naših kružnica jedna s drugom, dobivamo strogu okomicu na zraku našeg kuta, ostaje samo produžiti liniju dok se ne siječe s drugom zrakom.

U rezultirajućem trokutu morate ravnalom izmjeriti stranu nasuprot kutu i dugu stranu na jednoj od zraka. Omjer prvog mjerenja prema drugom bit će željena vrijednost sinusa oštrog kuta.

Pronađite sinus za kut veći od 90°

Za tupi kut zadatak nije puno teži. Potrebno je povući zraku iz vrha u suprotnom smjeru pomoću ravnala da formiramo ravnu liniju s jednom od zraka kuta koji nas zanima. S dobivenim oštrim kutom postupite kao što je gore opisano, sinusi susjednih kutova koji zajedno tvore razvijeni kut od 180 ° su jednaki.

Izračunavanje sinusa iz drugih trigonometrijskih funkcija

Također, izračun sinusa je moguć ako su poznate vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija kuta ili barem duljine stranica trokuta. U tome će nam pomoći trigonometrijski identiteti. Pogledajmo uobičajene primjere.

Kako pronaći sinus s poznatim kosinusom kuta? Prvi trigonometrijski identitet, koji dolazi iz Pitagorinog teorema, kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak jedan.

Kako pronaći sinus s poznatim tangentom kuta? Tangenta se dobiva dijeljenjem udaljenog kraka s bližom ili dijeljenjem sinusa s kosinusom. Dakle, sinus će biti umnožak kosinusa i tangente, a kvadrat sinusa će biti kvadrat ovog proizvoda. Zamjenjujemo kvadratni kosinus s razlikom između jedinice i kvadratnog sinusa prema prvom trigonometrijskom identitetu i, jednostavnim manipulacijama, donosimo jednadžbu za izračunavanje kvadratnog sinusa kroz tangentu, odnosno, da biste izračunali sinus, morat ćete iz dobivenog rezultata izdvojiti korijen.

Kako pronaći sinus s poznatim kotangensom kuta? Vrijednost kotangensa se može izračunati dijeljenjem duljine bližeg kraka od kuta kraka s duljinom udaljenog, kao i dijeljenjem kosinusa sa sinusom, odnosno kotangens je inverzna funkcija tangente s obzirom na na broj 1. Da biste izračunali sinus, možete izračunati tangentu pomoću formule tg α \u003d 1 / ctg α i upotrijebiti formulu u drugoj opciji. Također možete izvesti izravnu formulu po analogiji s tangentom, koja će izgledati ovako.

Kako pronaći sinus triju strana trokuta

Postoji formula za pronalaženje duljine nepoznate stranice bilo kojeg trokuta, a ne samo pravokutnog trokuta, s obzirom na dvije poznate stranice pomoću trigonometrijske funkcije kosinusa suprotnog kuta. Ona izgleda ovako.