Korijen od 2 do 3 stepena. Korijen kocke (vađenje bez kalkulatora)

Ako imate pri ruci kalkulator, vađenje kubnog korijena bilo kojeg broja neće biti problem. Ali ako nemate kalkulator, ili ako samo želite impresionirati druge, kockasti korijen možete napraviti ručno. Većini ljudi će se ovdje opisani proces činiti prilično kompliciranim, ali s praksom će vađenje kockastih korijena postati puno lakše. Prije nego počnete čitati ovaj članak, sjetite se osnovnih matematičkih operacija i izračuna s brojevima u kocki.

Koraci

1. dio

Zapišite zadatak. Ručno vađenje korijena kocke slično je dugoj podjeli, ali s nekim nijansama. Najprije zapišite zadatak u određenom obliku.

• Zapišite broj iz kojeg želite uzeti kubni korijen. Podijelite broj u skupine od tri znamenke i počnite brojati s decimalnim zarezom. Na primjer, trebate uzeti kubni korijen od 10. Napišite ovaj broj ovako: 10, 000 000. Dodatne nule dizajniran za poboljšanje točnosti rezultata.
• Blizu i iznad broja nacrtajte znak korijena. Zamislite to kao vodoravne i okomite linije koje crtate kada dijelite u stupac. Jedina razlika je oblik dvaju znaka.
• Stavite decimalni zarez iznad vodoravne crte. Učinite to neposredno iznad decimalne točke izvornog broja.

1. Zapamtite rezultate cuing cijelih brojeva. Oni će se koristiti u izračunima.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Pronađite prvu znamenku odgovora. Odaberite cjelobrojnu kocku koja je najbliža, ali manja od prve skupine od tri znamenke.

   • U našem primjeru prva skupina od tri znamenke je broj 10. Pronađite najveću kocku koja je manja od 10. Ova kocka je 8, a kubni korijen od 8 je 2.
   • Iznad vodoravne crte iznad broja 10 upišite broj 2. Zatim zapišite vrijednost operacije 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 ispod 10. Nacrtajte crtu i oduzmite 8 od 10 (kao kod normalnog dugog dijeljenja). Rezultat je 2 (ovo je prvi ostatak).
   • Dakle, pronašli ste prvu znamenku odgovora. Razmislite je li ovaj rezultat dovoljno točan. U većini slučajeva, ovo će biti vrlo grub odgovor. Kockirajte rezultat da saznate koliko je blizu izvornom broju. U našem primjeru: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, što nije jako blizu 10, pa je potrebno nastaviti proračune.

3. Pronađite sljedeću znamenku u odgovoru. Prvom ostatku pripišite drugu skupinu od tri znamenke i povucite okomitu crtu lijevo od rezultirajućeg broja. Uz pomoć primljenog broja pronaći ćete drugu znamenku odgovora. U našem primjeru, prvom ostatku (2) treba dodijeliti drugu grupu od tri znamenke (000) da bi se dobio broj 2000.

   • Lijevo od okomite crte napisat ćete tri broja čiji je zbroj jednak nekom prvom faktoru. Ostavite prazna mjesta za ove brojeve, a između njih stavite znakove plus.

4. Pronađite prvi član (od tri). U prvi prazan prostor upišite rezultat množenja broja 300 s kvadratom prve znamenke odgovora (piše se iznad predznaka korijena). U našem primjeru, prva znamenka odgovora je 2, dakle 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Upišite 1200 u prvi prazan prostor. Prvi član je 1200 (plus još dva broja za pronalaženje).

   Pronađite drugu znamenku odgovora. Saznajte s kojim brojem trebate pomnožiti 1200 tako da rezultat bude blizu, ali ne veći od 2000. Ovaj broj može biti samo 1, budući da je 2 * 1200 = 2400, što je više od 2000. Napišite 1 (druga znamenka odgovora) iza 2 i decimalne točke iznad predznaka korijena.

   Pronađite drugi i treći član (od tri). Množilac se sastoji od tri broja (članova), od kojih ste prvi već pronašli (1200). Sada moramo pronaći preostala dva pojma.

   • Pomnožite 3 s 10 i za svaku znamenku odgovora (napisane su iznad znaka korijena). U našem primjeru: 3*10*2*1 = 60. Dodajte ovaj rezultat na 1200 i dobit ćete 1260.
   • Na kraju kvadrirajte posljednju znamenku svog odgovora. U našem primjeru posljednja znamenka odgovora je 1, dakle 1^2 = 1. Dakle, prvi faktor je zbroj sljedećih brojeva: 1200 + 60 + 1 = 1261. Napišite ovaj broj lijevo od okomite trake .

5. Pomnožite i oduzmite. Pomnožite posljednju znamenku odgovora (u našem primjeru to je 1) s pronađenim faktorom (1261): 1 * 1261 = 1261. Napišite ovaj broj ispod 2000 i oduzmite ga od 2000. Dobit ćete 739 (ovo je drugi ostatak ).

6. Razmislite je li odgovor koji dobijete dovoljno točan. Učinite to svaki put nakon što završite još jedno oduzimanje. Nakon prvog oduzimanja, odgovor je bio 2, što nije točan rezultat. Nakon drugog oduzimanja, odgovor je 2,1.

   • Da biste provjerili točnost svog odgovora, izrežite ga u kocke: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Ako mislite da je odgovor dovoljno točan, ne morate nastaviti računanje; inače, napravite još jedno oduzimanje.

7. Pronađite drugi množitelj. Da biste vježbali svoje izračune i dobili točniji rezultat, ponovite gore navedene korake.

   • Drugom ostatku (739) dodajte treću skupinu od tri znamenke (000). Dobit ćete broj 739000.
   • Pomnožite 300 s kvadratom broja koji je napisan iznad znaka korijena (21): 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Pronađite treću znamenku odgovora. Saznajte s kojim brojem trebate pomnožiti 132300 tako da rezultat bude blizu, ali ne veći od 739000. Ovaj broj je 5: 5 * 132200 = 661500. Napišite 5 (treća znamenka odgovora) iza 1 iznad korijena znak.
   • Pomnožite 3 s 10 s 21 i posljednjom znamenkom odgovora (napisane su iznad znaka korijena). U našem primjeru: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Na kraju kvadrirajte posljednju znamenku svog odgovora. U našem primjeru posljednja znamenka odgovora je 5, dakle 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Dakle, drugi množitelj je: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Pomnožite posljednju znamenku svog odgovora s drugim faktorom. Nakon što ste pronašli drugi množitelj i treću znamenku odgovora, postupite na sljedeći način:

   • Pomnožite posljednju znamenku odgovora s pronađenim množiteljem: 135475*5 = 677375.
   • Oduzmite: 739000-677375 = 61625.
   • Razmislite je li odgovor koji dobijete dovoljno točan. Da biste to učinili, izrežite ga u kocke: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Zapišite odgovor. Rezultat napisan iznad znaka korijena je odgovor na dvije decimale. U našem primjeru, kubni korijen od 10 je 2,15. Provjerite svoj odgovor kockom: 2,15^3 = 9,94, što je otprilike 10. Ako trebate više preciznosti, nastavite s izračunom (kao što je gore opisano).

   2. dio

   Ekstrakcija kubnog korijena metodom procjena

   1. Koristite brojčane kocke za određivanje gornje i donje granice. Ako trebate izdvojiti kubni korijen gotovo bilo kojeg broja, pronađite kocke (nekih brojeva) koje su blizu zadanog broja.

      • Na primjer, trebate uzeti kubni korijen od 600. Budući da 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) i 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), tada kubni korijen od 600 leži između 8 i 9. Stoga upotrijebite 512 i 729 kao gornju i donju granicu za svoj odgovor.

   2. Procijenite drugi broj. Prvi broj ste pronašli zahvaljujući poznavanju kocke cijelih brojeva. Sada pretvorite cijeli broj u decimal, dodajući mu (nakon decimalne točke) neki broj od 0 do 9. Potrebno je pronaći decimalni razlomak čija će kocka biti bliska, ali manja od izvornog broja.

      • U našem primjeru, broj 600 je između brojeva 512 i 729. Na primjer, prvom pronađenom broju (8) dodajte broj 5. Dobit ćete broj 8,5.
   3. • U našem primjeru: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.)

   4. Usporedi kocku dobivenog broja s izvornim brojem. Ako je kocka dobivenog broja veća od izvornog broja, pokušajte procijeniti manji broj. Ako je kocka dobivenog broja mnogo manja od izvornog broja, procijenite velike brojke sve dok kocka jednog od njih ne premaši izvorni broj.

      • U našem primjeru: 8 , 5 3 (\displaystyle 8,5^(3))> 600. Dakle, procijenite donji broj 8.4. Izrežite ovaj broj u kockice i usporedite ga s izvornim brojem: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8,4*8,4*8,4=592,7). Ovaj rezultat je manji od izvornog broja. Dakle, vrijednost kubnog korijena od 600 leži između 8,4 i 8,5.

   5. Procijenite sljedeći broj kako biste poboljšali točnost odgovora. Za svaki broj koji ste zadnji procijenili dodajte broj od 0 do 9 dok ne dobijete točan odgovor. U svakom krugu evaluacije morate pronaći gornju i donju granicu između kojih se nalazi izvorni broj.

      • U našem primjeru: 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8,4^(3)=592,7) i 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8.5^(3)=614.1). Izvorni broj 600 je bliži 592 nego 614. Stoga posljednjem broju koji ste procijenili dodajte broj koji je bliži 0 nego 9. Na primjer, ovaj broj je 4. Dakle, kockirajte broj 8,44.

   6. Ako je potrebno, procijenite drugi broj. Usporedi kocku dobivenog broja s izvornim brojem. Ako je kocka dobivenog broja veća od izvornog broja, pokušajte procijeniti manji broj. Ukratko, trebate pronaći dva broja čije su kocke nešto veće i nešto manje od izvornog broja.

      • U našem primjeru 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2). Ovo je malo veće od izvornog broja, pa procijenite drugi (manji) broj, kao što je 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07). Dakle, vrijednost kubnog korijena od 600 leži između 8,43 i 8,44.

   7. Slijedite opisani postupak dok ne dobijete odgovor koji je točan na vaše zadovoljstvo. Procijenite sljedeći broj, usporedite ga s izvornim, a zatim procijenite drugi broj ako je potrebno i tako dalje. Imajte na umu da svaka dodatna znamenka nakon decimalne točke povećava točnost odgovora.

      • U našem primjeru, kocka broja 8,43 manja je od 1 od izvornog broja. Ako trebate više preciznosti, kockirajte broj 8,434 i dobijete to 8 , 434 3 = 599 , 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), odnosno rezultat je manji od 0,1 od izvornog broja.

N-ti korijen broja x je nenegativan broj z koji, kada se podigne na n-ti stepen, postaje x. Definicija korijena uključena je u popis osnovnih aritmetičkih operacija s kojima se upoznajemo u djetinjstvu.

Matematička notacija

“Korijen” dolazi od latinske riječi radix i danas se riječ “radikal” koristi kao sinonim za ovaj matematički pojam. Od 13. stoljeća matematičari su operaciju vađenja korijena označavali slovom r vodoravnom crtom iznad radikalnog izraza. U 16. stoljeću uvedena je oznaka V koja je postupno zamijenila znak r, ali je vodoravna crta sačuvana. Lako je tipkati u tiskari ili pisati rukom, ali se u elektroničkom izdavaštvu i programiranju proširilo slovna oznaka korijen - sqrt. Ovako ćemo u ovom članku označiti kvadratne korijene.

Korijen

Kvadratni radikal broja x je broj z koji, kada se pomnoži sam sa sobom, postaje x. Na primjer, ako pomnožimo 2 s 2, dobit ćemo 4. Dva je u ovom slučaju kvadratni korijen od četiri. Pomnožite 5 s 5, dobivamo 25 i sada već znamo vrijednost izraza sqrt(25). Možemo pomnožiti i -12 s -12 i dobiti 144, a radikalno 144 će biti i 12 i -12. Očito, kvadratni korijeni mogu biti i pozitivni i negativni brojevi.

Za rješavanje je važan osebujni dualizam takvih korijena kvadratne jednadžbe, pa kada tražite odgovore u takvim problemima, morate navesti oba korijena. Prilikom rješavanja algebarskih izraza koriste se aritmetički kvadratni korijeni, odnosno samo njihove pozitivne vrijednosti.

Brojevi čiji su kvadratni korijeni cijeli brojevi nazivaju se savršeni kvadrati. Postoji cijeli niz takvih brojeva, čiji početak izgleda ovako:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Kvadratni korijeni drugih brojeva su iracionalni brojevi. Na primjer, sqrt(3) = 1,73205080757... i tako dalje. Ovaj broj je beskonačan i nije periodičan, što uzrokuje određene poteškoće u izračunavanju takvih radikala.

Školski tečaj matematike kaže da ne možete uzeti kvadratni korijen iz negativnih brojeva. Kako učimo u srednjoškolskom kolegiju matematičke analize, to se može i treba učiniti - za to su potrebni kompleksni brojevi. Međutim, naš je program dizajniran za izdvajanje stvarnih vrijednosti korijena, tako da ne izračunava radikale parnog stupnja iz negativnih brojeva.

kockasti korijen

Kubični radikal broja x je broj z koji, kada se pomnoži sam sa sobom tri puta, daje broj x. Na primjer, ako pomnožimo 2 × 2 × 2, dobit ćemo 8. Dakle, dva je kubni korijen od osam. Pomnožite četiri puta sam po sebi i dobijete 4 × 4 × 4 = 64. Očito, četiri je kubni korijen od 64. Postoji beskonačan niz brojeva čiji su kubni radikali cijeli brojevi. Njegov početak izgleda ovako:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Za ostale brojeve, kubni korijeni su iracionalni brojevi. Za razliku od kvadratnih radikala, kubni korijeni, kao i svaki neparni korijen, mogu se uzeti iz negativnih brojeva. Sve je u brojevima manje od nule. Minus po minus daje plus – pravilo poznato iz školske klupe. Minus puta plus čini minus. Ako negativne brojeve pomnožite neparan broj puta, tada će i rezultat biti negativan, stoga izdvojite neparni radikal iz negativan broj ništa nas ne sprječava.

Međutim, program kalkulatora radi drugačije. Zapravo, vađenje korijena je podizanje na inverznu snagu. Smatra se da kvadratni korijen raste na stepen 1/2, a kocka - 1/3. Formula za podizanje na stepen 1/3 može se obrnuti i izraziti kao 2/6. Rezultat je isti, ali je nemoguće izdvojiti takav korijen iz negativnog broja. Dakle, naš kalkulator izračunava aritmetički korijeni samo od pozitivnih brojeva.

N-ti korijen

Takav okićen način izračunavanja radikala omogućuje vam da iz bilo kojeg izraza odredite korijene bilo kojeg stupnja. Možete izdvojiti peti korijen kocke broja ili 19. radikal broja u 12. Sve je to elegantno implementirano kao eksponencijalnost na stepen 3/5 odnosno 12/19.

Razmotrimo primjer

Kvadratna dijagonala

Iracionalnost dijagonale kvadrata bila je poznata starim Grcima. Suočili su se s problemom izračunavanja dijagonale ravnog kvadrata, budući da je njegova duljina uvijek proporcionalna kvadratnom korijenu od dva. Formula za određivanje duljine dijagonale izvedena je iz i u konačnici ima oblik:

d = a × sqrt(2).

Odredimo kvadratni radikal od dva pomoću našeg kalkulatora. Unesite vrijednost 2 u ćeliju "Broj (x)", a također i u ćeliju "Power (n)" 2. Kao rezultat, dobivamo izraz sqrt (2) = 1,4142. Dakle, za grubu procjenu dijagonale kvadrata, dovoljno je njegovu stranu pomnožiti s 1,4142.

Zaključak

Potraga za radikalom standardna je aritmetička operacija, bez koje su znanstveni ili projektantski izračuni neophodni. Naravno, ne trebamo određivati ​​korijene za rješavanje svakodnevnih problema, ali naš online kalkulator svakako će dobro doći školarcima ili studentima da provjere zadaću iz algebre ili računice.

Prilikom rješavanja nekih tehničkih problema može biti potrebno izračunati korijen treći stupanj. Ponekad se ovaj broj naziva i kubnim korijenom. korijen treći stupanj od zadanog broja naziva se takav broj čija je kocka (treći stupanj) jednaka zadanom. To jest, ako je y korijen treći stupanj brojeva x, tada mora biti zadovoljen sljedeći uvjet: y?=x (x je jednako y kocki).

Trebat će vam

• kalkulator ili računalo

Uputa

• Za izračunavanje korijena treći stupanj koristiti kalkulator. Poželjno je da ovo nije običan kalkulator, već kalkulator koji se koristi za inženjerske izračune. Međutim, čak ni na takvom kalkulatoru nećete pronaći poseban gumb za vađenje korijena treći stupanj. Stoga upotrijebite funkciju za podizanje broja na stepen. Vađenje korijena treći stupanj odgovara podizanju na stepen od 1/3 (jedna trećina).
• Da biste povećali broj na stepen 1/3, utipkajte sam broj na tipkovnici kalkulatora. Zatim pritisnite tipku "eksponencijal". Takav gumb, ovisno o vrsti kalkulatora, može izgledati kao xy (y - u obliku superscripta). Budući da većina kalkulatora nema mogućnost rada s običnim (ne-decimalnim) razlomcima, umjesto broja 1/3 upišite njegovu približnu vrijednost: 0,33. Da biste dobili veću točnost izračuna, potrebno je povećati broj "trojki", na primjer, birati 0,33333333333333. Zatim pritisnite gumb "=".
• Za izračunavanje korijena treći stupanj na računalu koristite standardni Windows kalkulator. Postupak je potpuno sličan onome opisanom u prethodnom stavku upute. Jedina razlika je u označavanju gumba za eksponiranje. Na "računalnom" kalkulatoru to izgleda kao x ^ y.
• Ako korijen treći stupanj Ako morate sustavno izračunavati, upotrijebite MS Excel. Za izračunavanje korijena treći stupanj u Excelu unesite znak "=" u bilo koju ćeliju, a zatim odaberite ikonu "fx" - umetanje funkcije. U prozoru koji se pojavi, na popisu "Odaberite funkciju" odaberite redak "DEGREE". Kliknite gumb U redu. U novootvorenom prozoru unesite u redak "Broj" vrijednost broja iz kojeg želite izdvojiti korijen. U redak "Stupanj" unesite broj "1/3" i kliknite "U redu". Željena vrijednost kubnog korijena iz izvornog broja pojavit će se u ćeliji tablice.

Koliko je ljutih riječi izgovoreno protiv njega? Ponekad se čini da je kockasti korijen nevjerojatno drugačiji od kvadrata. Zapravo, razlika nije tako velika. Pogotovo ako shvatite da su to samo posebni slučajevi zajedničkog korijena n-tog stupnja.

Ali s njegovim vađenjem može biti problema. Ali najčešće su povezani s glomaznošću izračuna.

Što trebate znati o korijenu proizvoljnog stupnja?

Prvo, definicija ovog koncepta. Korijen n-tog stupnja nekog "a" je broj koji, kada se podigne na stepen n, daje izvorno "a".

Štoviše, u korijenima postoje parni i neparni stupnjevi. Ako je n paran, tada korijenski izraz može biti samo nula ili pozitivan broj. U suprotnom, neće biti pravog odgovora.

Kada je stupanj neparan, postoji rješenje za bilo koju vrijednost "a". Može biti negativan.

Drugo, korijenska funkcija se uvijek može napisati kao stupanj, čiji je pokazatelj razlomak. Ponekad je ovo vrlo zgodno.

Na primjer, "a" na stepen od 1/n bit će samo n-ti korijen od "a". U ovom slučaju, baza stupnja je uvijek veća od nule.

Slično, "a" na stepen n / m će biti predstavljen kao m-ti korijen od "a n".

Treće, za njih vrijede sve radnje s ovlastima.

• Mogu se umnožiti. Zatim se eksponenti zbrajaju.
• Korijeni se mogu podijeliti. Stupnjevi će se morati oduzeti.
• I povisiti na potenciju. Zatim ih treba umnožiti. Odnosno, stupanj koji je bio, do onog do kojeg su podignuti.

Koje su sličnosti i razlike između kvadratnog i kubnog korijena?

Slični su, kao braća i sestre, samo im je diploma drugačija. I princip njihovog izračuna je isti, razlika je samo u tome koliko se puta broj mora pomnožiti sam sa sobom da bi se dobio korijenski izraz.

Nešto više je spomenuta značajna razlika. Ali neće škoditi ponoviti. Kvadrat se izdvaja samo iz nenegativnog broja. Iako nije teško izračunati kubni korijen negativne vrijednosti.

Vađenje kubnog korijena na kalkulatoru

Svatko je to učinio za kvadratni korijen barem jednom. Ali što ako je stupanj "3"?

Na konvencionalnom kalkulatoru postoji samo gumb za kvadratni, ali ne i kubični. Ovdje će pomoći jednostavno nabrajanje brojeva koji se sami po sebi množe tri puta. Imate korijenski izraz? Dakle, ovo je odgovor. Nije uspjelo? Podigni se opet.

A što je s inženjerskim oblikom kalkulatora u računalu? Ura, ovdje je kockasti korijen. Možete jednostavno pritisnuti ovu tipku i program će vam dati odgovor. Ali to nije sve. Ovdje možete izračunati korijen ne samo od 2 i 3 stupnja, već i bilo kojeg proizvoljnog. Jer postoji gumb koji ima "y" u stupnju korijena. Odnosno, nakon pritiska na ovu tipku, morat ćete unijeti još jedan broj, koji će biti jednak stupnju korijena, a tek onda "=".

Ručno vađenje kockastog korijena

Ova metoda je potrebna kada kalkulator nije pri ruci ili se ne može koristiti. Zatim, da biste izračunali kubni korijen broja, morat ćete se potruditi.

Prvo provjerite je li puna kocka dobivena iz neke cjelobrojne vrijednosti. Možda je ispod korijena 2, 3, 5 ili 10 na treći stepen?

1. Mentalno podijelite korijenski izraz u skupine od tri znamenke od decimalne točke. Najčešće je potreban frakcijski dio. Ako ne, onda dodajte nule.
2. Odredite broj čija je kocka manja od cjelobrojnog dijela izraza radikala. Napišite ga u međuodgovoru iznad znaka korijena. I ispod ove grupe stavite njegovu kocku.
3. Izvršite oduzimanje.
4. Ostatku pripišite prvu skupinu znamenki nakon decimalne točke.
5. U nacrtu zapišite izraz: a 2 * 300 * x + a * 30 * x 2 + x 3. Ovdje je "a" srednji odgovor, "x" je broj koji je manji od rezultirajućeg ostatka s brojevima koji su mu dodijeljeni.
6. Broj "x" mora biti napisan iza decimalne točke srednjeg odgovora. I napišite vrijednost cijelog ovog izraza ispod ostatka koji se uspoređuje.
7. Ako je točnost dovoljna, zaustavite izračune. U suprotnom se morate vratiti na točku broj 3.

Ilustrativan primjer izračunavanja kubnog korijena

To je potrebno jer opis može izgledati komplicirano. Slika ispod pokazuje kako izdvojiti kubni korijen od 15 sa stotinkama preciznosti.

Jedina poteškoća koju ova metoda ima je što se svakim korakom brojevi višestruko povećavaju i postaje sve teže brojati u stupcu.

1. 15> 2 3, pa je 8 napisano ispod cijelog broja, a 2 iznad korijena.
2. Nakon oduzimanja osam od 15, ostatak je 7. Moraju mu se pripisati tri nule.
3. a \u003d 2. Dakle: 2 2 * 300 * x + 2 * 30 * x 2 + x 3< 7000, или 1200 х + 60 х 2 + х 3 < 7000.
4. Metoda odabira pokazuje da je x = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
5. Oduzimanje daje 1176, a broj 4 se pojavio iznad korijena.
6. Ostatku dodijelite tri nule.
7. a \u003d 24. Zatim 172800 x + 720 x 2 + x 3< 1176000.
8. x = 6. Procjena izraza daje rezultat 1062936. Ostatak: 113064, preko korijena 6.
9. Ponovno dodijelite nule.
10. a \u003d 246. Nejednakost ispada ovako: 18154800x + 7380x 2 + x 3< 113064000.
11. x \u003d 6. Izračuni daju broj: 109194696, Ostatak: 3869304. Iznad korijena 6.

Odgovor je broj: 2,466. Budući da se odgovor mora dati na stotinke, mora se zaokružiti: 2,47.

Neobičan način vađenja kockastog korijena

Može se koristiti kada je odgovor cijeli broj. Zatim se kockasti korijen ekstrahira proširenjem radikalnog izraza u neparne izraze. Štoviše, takvih bi pojmova trebao biti najmanji mogući broj.

Na primjer, 8 je predstavljeno zbrojem 3 i 5. A 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Odgovor će biti broj koji je jednak broju pojmova. Dakle, kubni korijen od 8 bit će jednak dva, a od 64 - četiri.

Ako se ispod korijena nalazi 1000, tada će njegovo proširenje u pojmove biti 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Ukupno ima 10 pojmova. Ovo je odgovor.

Iz veliki broj bez kalkulatora, to smo već sredili. U ovom članku ćemo pogledati kako izvaditi kockasti korijen (korijen trećeg stupnja). Imajte na umu da govorimo o prirodnim brojevima. Što mislite koliko je vremena potrebno za usmeno izračunavanje takvih korijena kao što su:

Poprilično, a ako vježbate dva ili tri puta po 20 minuta, onda možete izvući bilo koji takav korijen za 5 sekundi oralno.

*Treba napomenuti da je riječ o takvim brojevima ispod korijena, koji su rezultat dizanja prirodnih brojeva od 0 do 100 u kocku.

Mi to znamo:

Dakle, broj a koji ćemo pronaći je prirodni broj od 0 do 100. Pogledajte tablicu kocki ovih brojeva (rezultati podizanja na treći stepen):

Možete jednostavno izdvojiti kubni korijen bilo kojeg broja u ovoj tablici. Što trebate znati?

1. Ovo su kocke višestruke od deset:

Čak bih rekao da su to “lijepe” brojke, lako se pamte. Lako je naučiti.

2. Ovo je svojstvo brojeva kada se množe.

Njegova bit leži u činjenici da kada se određeni broj podigne na treći stepen, rezultat će imati singularnost. Što?

Na primjer, neka kocka 1, 11, 21, 31, 41, itd. Možete pogledati tablicu.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

Odnosno, kada kockujemo broj s jedinicom na kraju, uvijek ćemo završiti s brojem s jedinicom na kraju.

Kada kockirate broj koji završava na 2, rezultat će uvijek biti broj koji završava na 8.

Pokažimo korespondenciju u tablici za sve brojeve:

Dovoljno je poznavati dvije predstavljene točke.

Razmotrimo primjere:

Izdvojite kubni korijen od 21952.

Ovaj broj je u rasponu od 8000 do 27000. To znači da se rezultat korijena nalazi u rasponu od 20 do 30. Broj 29952 završava s 2. Ova opcija je moguća samo kada je broj s osmicom na kraju kockasti. Dakle, korijenski rezultat je 28.

Izdvojite kubni korijen od 54852.

Ovaj broj je u rasponu od 27000 do 64000. To znači da se rezultat korijena nalazi u rasponu od 30 do 40. Broj 54852 završava s 2. Ova opcija je moguća samo kada je broj s osmicom na kraju kockasti. Dakle, korijenski rezultat je 38.

Izdvojite kubni korijen od 571787.

Ovaj broj je u rasponu od 512000 do 729000. To znači da se rezultat korijena nalazi u rasponu od 80 do 90. Broj 571787 završava sa 7. Ova opcija je moguća samo kada je broj s trojkom na kraju kockasti. Dakle, korijenski rezultat je 83.

Izdvojite kubni korijen od 614125.

Ovaj broj je u rasponu od 512000 do 729000. To znači da se rezultat korijena nalazi u rasponu od 80 do 90. Broj 614125 završava s 5. Ova opcija je moguća samo kada je broj s pet na kraju kockasti. Dakle, korijenski rezultat je 85.

Mislim da sada možete lako izdvojiti kubni korijen broja 681472.

Naravno, vađenje takvog korijena usmeno zahtijeva malo vježbe. Ali nakon što ste vratili dvije naznačene tablete na papir, u svakom slučaju možete lako izvaditi takav korijen u roku od jedne minute.

Nakon što ste pronašli rezultat, svakako ga provjerite (podignite ga na treći stupanj). * Množenje stupcem nije poništeno 😉

Na samom USE-u nema problema s takvim "ružnim" korijenima. Na primjer, trebate izdvojiti kubni korijen od 1728. Mislim da vam to sada nije problem.

Ako znate neke zanimljive metode računanja bez kalkulatora, pošaljite ih, objavit ću u dogledno vrijeme.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.