1.1. Iz povijesti nastanka kvadratne jednadžbe

Algebra je nastala u vezi s rješavanjem raznih problema korištenjem jednadžbi. Obično je u zadacima potrebno pronaći jednu ili više nepoznanica, a poznavati rezultate nekih radnji izvršenih na željenim i zadanim veličinama. Takvi se problemi svode na rješavanje jedne ili sustava više jednadžbi, na pronalaženje željenih uz pomoć algebarskih operacija nad zadanim veličinama. Algebra proučava opća svojstva djelovanja na veličine.

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi bile su poznate još prije 4000 godina u starom Babilonu.

Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina zemljišta i zemljani radovi vojne prirode, kao i s razvojem same astronomije i matematike. Babilonci su znali rješavati kvadratne jednadžbe oko 2000. pr. Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinopisnim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Usprkos visoka razina razvoj algebre u Babilonu, u klinopisnim tekstovima ne postoji pojam negativnog broja i uobičajene metode rješenja kvadratnih jednadžbi.

Diofantova aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavni niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih formuliranjem jednadžbi. različitih stupnjeva.

Prilikom sastavljanja jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 2. "Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96."

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov proizvod bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovica njihovog zbroja, tj. .10 + x. Drugi je manji, tj. 10 - x. Razlika između njih je 2x. Odatle jednadžba:

(10+x)(10-x)=96,

Stoga je x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12, drugi je 8. Rješenje x = - 2 za Diofanta ne postoji, budući da je grčka matematika znala samo pozitivni brojevi.

Ako riješimo ovaj problem, odabirom jednog od nepoznatih brojeva kao nepoznatog, možemo doći do rješenja jednadžbe:

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe.

Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednadžbama već se nalaze u astronomskoj raspravi "Aryabhattam", koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski učenjak, Brahmagupta (7. stoljeće), izložio je opće pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

ax 2 + bx \u003d c, a> 0. (1)

U jednadžbi (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo u biti se podudara s našim.

U Indiji su javna natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce zasjaji zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII stoljeća. Bhaskara.

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednadžbi.

Jednadžba koja odgovara problemu 3 je:

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = - 768

i, da dovršimo lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodamo 32 2 objema stranicama, a zatim dobijemo:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Al-Khwarizmijeve kvadratne jednadžbe

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 = bx.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. sjekira 2 = c.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. sjekira \u003d c.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = bx.

5) "Kvadrati i korijeni jednaki su broju", tj. sjekira 2 + bx \u003d c.

6) “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c == ax 2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao upotrebu negativni brojevi, članovi svake od ovih jednadžbi su dodaci, a ne oduzeti. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor opisuje metode rješavanja ovih jednadžbi, koristeći tehnike al-jabr i al-muqabela. Njegova se odluka, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa ne uzima u obzir nulu. rješenje, vjerojatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Prilikom rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Uzmimo primjer.

Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen "(što znači korijen jednadžbe x 2 + 21 \u003d 10x).

Rješenje: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od umnoška, ​​ostane 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Al-Khwarizmijeva rasprava je prva knjiga koja je do nas došla, u kojoj je sustavno prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule za njihovo rješavanje.

Kvadratne jednadžbe u Europi XII-XVII stoljeća.

Oblici za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu Al-Khwarizmija u Europi prvi put su opisani u "Knjizi Abacusa", napisanoj 1202. godine. Talijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje problema i prvi je u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova je knjiga pridonijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz ove knjige preneseni su u gotovo sve europske udžbenike 14.-17. stoljeća. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik x 2 + bx \u003d c sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulirao je u Europi 1544. godine M. Stiefel.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opći pogled Viet ima, ali Viet je prepoznao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. uzeti u obzir, osim pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII stoljeću. zahvaljujući djelima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi traje moderan izgled..

Podrijetlo algebarskih metoda za rješavanje praktičnih problema vezano je za znanost drevni svijet. Kao što je poznato iz povijesti matematike, značajan dio problema matematičke prirode, koje su rješavali egipatski, sumerski, babilonski prepisivači-računala (XX-VI st. pr. Kr.), imao je proračunski karakter. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima se željena vrijednost neke veličine određivala nekim neizravnim uvjetima koji su zahtijevali, s naše suvremene točke gledišta, formulaciju jednadžbe ili sustava jednadžbi. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Kasnije su se počeli stvarati začeci algebarskih reprezentacija. Na primjer, babilonski kalkulatori uspjeli su riješiti probleme koji se mogu smanjiti u smislu moderna klasifikacija na jednadžbe drugog stupnja. Stvorena je metoda rješavanja tekstualnih zadataka koja je kasnije poslužila kao osnova za isticanje algebarske komponente i njezino samostalno proučavanje.

Ovo istraživanje je već provedeno u drugom razdoblju, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X st. n.e.), koji su izdvojili karakteristične radnje kojima su jednadžbe svedene na standardni pogled redukcija sličnih članova, prijenos članova iz jednog dijela jednadžbe u drugi s promjenom predznaka. A onda su europski matematičari renesanse, kao rezultat dugog traženja, stvorili jezik moderne algebre, korištenje slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prijelazu iz 16. 17. stoljeća. Algebra kao specifičan dio matematike, koji ima svoj predmet, metodu, područja primjene, već je formirana. Njegov daljnji razvoj, do našeg vremena, sastojao se u poboljšanju metoda, proširenju primjene, razjašnjavanju pojmova i njihovih veza s pojmovima drugih grana matematike.

Dakle, s obzirom na važnost i prostranost materijala povezanog s pojmom jednadžbe, njegovo proučavanje u suvremenoj metodologiji matematike povezano je s tri glavna područja njezina nastanka i funkcioniranja.

UVOD

Jednadžbe u školskom tečaju algebre zauzimaju vodeće mjesto. Njihovom proučavanju posvećuje se više vremena nego bilo kojoj drugoj temi školskog kolegija matematike. Snaga teorije jednadžbi je u tome što ona nema samo teorijsko značenje za poznavanje prirodnih zakona, već služi i u specifične praktične svrhe. Većina problema o prostornim oblicima i kvantitativnim odnosima stvarnog svijeta svodi se na rješavanje različitih vrsta jednadžbi. Ovladavajući načinima njihovog rješavanja, ljudi pronalaze odgovore razna pitanja iz znanosti i tehnologije (promet, poljoprivreda, industrija, komunikacije itd.). Također, za formiranje sposobnosti rješavanja jednadžbi od velike je važnosti samostalan rad učenika u učenju rješavanja jednadžbi. Prilikom proučavanja bilo koje teme, jednadžbe se mogu koristiti kao učinkovito sredstvo za konsolidaciju, produbljivanje, ponavljanje i proširenje teorijskih znanja, za razvoj kreativne matematičke aktivnosti učenika.

U suvremenom svijetu jednadžbe se široko koriste u raznim granama matematike, u rješavanju važnih primijenjenih problema. Ovu temu karakterizira velika dubina izlaganja i bogatstvo veza uspostavljenih uz njezinu pomoć u učenju, logična valjanost izlaganja. Stoga zauzima izuzetan položaj u nizu jednadžbi. Studenti počinju proučavati temu „Kvadratni trinomi” nakon što su već stekli određeno iskustvo, posjedujući prilično veliku zalihu algebarskih i općih matematičkih koncepata, pojmova i vještina. U velikoj mjeri, upravo na gradivu ove teme potrebno je sintetizirati gradivo vezano uz jednadžbe, implementirati načela historicizma i pristupačnosti.

Relevantnost Tema je potreba implementacije načela historicizma i nedostatak materijala za provedbu toga na temu "Rješenje kvadratnih jednadžbi".

Problem istraživanja: identificiranje povijesne građe za učenje rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Cilj: formiranje ideja o radu na kvadratnim jednadžbama na nastavi matematike, odabir skupa satova s ​​elementima historicizma na temu "Kvadrične jednadžbe".

Predmet proučavanja: rješavanje kvadratnih jednadžbi u 8. razredu korištenjem elemenata historicizma.

Predmet studija: kvadratne jednadžbe i izrada lekcija o učenju rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću povijesnog materijala.

Zadaci:

izvršiti analizu znanstvene i metodološke literature o problemu istraživanja;

analizirati školske udžbenike i u njima istaknuti mjesto učenja rješavanja kvadratnih jednadžbi;

pokupiti skup lekcija o rješavanju kvadratnih jednadžbi pomoću povijesnog materijala.

Metode istraživanja:

analiza literature na temu "Rješenje kvadratnih jednadžbi";

promatranje učenika tijekom sata na temu "Rješavanje kvadratnih jednadžbi";

izbor gradiva: nastava na temu "Rješavanje kvadratnih jednadžbi" pomoću povijesne reference.

§ 1. Iz povijesti nastanka kvadratnih jednadžbi

Algebra je nastala u vezi s rješavanjem raznih problema korištenjem jednadžbi. Obično je u zadacima potrebno pronaći jednu ili više nepoznanica, a poznavati rezultate nekih radnji izvršenih na željenim i zadanim veličinama. Takvi se problemi svode na rješavanje jedne ili sustava više jednadžbi, na pronalaženje željenih uz pomoć algebarskih operacija nad zadanim veličinama. Algebra proučava opća svojstva djelovanja na veličine.

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi bile su poznate još prije 4000 godina u starom Babilonu.

Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Babilonci su znali rješavati kvadratne jednadžbe oko 2000. pr. Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinopisnim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Unatoč visokoj razini razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općenite metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Diofantova aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavni niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih formuliranjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Prilikom sastavljanja jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 2. "Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96."

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov proizvod bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovica njihovog zbroja, tj.
. Drugi je manji, t.j.
. Razlika između njih
. Odatle jednadžba:

Odavde
. Jedan od željenih brojeva je 12, drugi je 8. Rješenje
jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako riješimo ovaj problem, odabirom jednog od nepoznatih brojeva kao nepoznatog, možemo doći do rješenja jednadžbe:

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe.

Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednadžbama već se nalaze u astronomskoj raspravi "Aryabhattam", koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), iznio je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

(1)

U jednadžbi (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo u biti se podudara s našim.

U Indiji su javna natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce zasjaji zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII stoljeća. Bhaskara.

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednadžbi.

Jednadžba koja odgovara problemu 3 je:

Bhaskara piše pod krinkom:

i, kako bi dovršio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 na obje strane, dobivajući tada:

Al-Khwarizmijeve kvadratne jednadžbe

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih na sljedeći način:

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su zbrajanja, a ne oduzimanja. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor opisuje metode rješavanja ovih jednadžbi, koristeći tehnike al-jabr i al-muqabela. Njegova se odluka, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa ne uzima u obzir nulu. rješenje, vjerojatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Prilikom rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Uzmimo primjer.

Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (što znači korijen jednadžbe
).

Rješenje: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od umnoška, ​​ostane 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Al-Khwarizmijeva rasprava je prva knjiga koja je do nas došla, u kojoj je sustavno prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule za njihovo rješavanje.

Kvadratne jednadžbe u EuropiXII- XVIIu.

Oblici za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu Al-Khwarizmija u Europi prvi put su opisani u "Knjizi Abacusa", napisanoj 1202. godine. Talijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova je knjiga pridonijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz ove knjige preneseni su u gotovo sve europske udžbenike 14.-17. stoljeća. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik
sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulirao je u Europi 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opću derivaciju formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. uzeti u obzir, osim pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII stoljeću. zahvaljujući djelima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima suvremeni oblik.

Podrijetlo algebarskih metoda za rješavanje praktičnih problema povezano je sa znanošću antičkog svijeta. Kao što je poznato iz povijesti matematike, značajan dio problema matematičke prirode, koje su rješavali egipatski, sumerski, babilonski prepisivači-računala (XX-VI st. pr. Kr.), imao je proračunski karakter. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima se željena vrijednost neke veličine određivala nekim neizravnim uvjetima koji su zahtijevali, s naše suvremene točke gledišta, formulaciju jednadžbe ili sustava jednadžbi. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Kasnije su se počeli stvarati začeci algebarskih reprezentacija. Na primjer, babilonski kalkulatori uspjeli su riješiti probleme koji se, sa stajališta moderne klasifikacije, svode na jednadžbe drugog stupnja. Stvorena je metoda rješavanja tekstualnih zadataka koja je kasnije poslužila kao osnova za isticanje algebarske komponente i njezino samostalno proučavanje.

Ovo istraživanje je već provedeno u neko drugo doba, najprije od arapskih matematičara (VI-X st. n.e.), koji su izdvojili karakteristične radnje kojima su jednadžbe svedene na standardni oblik, redukciju sličnih članova, prijenos pojmova iz jednog dijela jednadžba na drugu s promjenom predznaka. A onda su europski matematičari renesanse, kao rezultat dugog traženja, stvorili jezik moderne algebre, korištenje slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prijelazu iz 16. 17. stoljeća. Algebra kao specifičan dio matematike, koji ima svoj predmet, metodu, područja primjene, već je formirana. Njegov daljnji razvoj, do našeg vremena, sastojao se u poboljšanju metoda, proširenju primjene, razjašnjavanju pojmova i njihovih veza s pojmovima drugih grana matematike.

Dakle, s obzirom na važnost i prostranost materijala povezanog s pojmom jednadžbe, njegovo proučavanje u suvremenoj metodologiji matematike povezano je s tri glavna područja njezina nastanka i funkcioniranja.

Kovalčuk Kiril

Projekt Kvadratne jednadžbe kroz stoljeća i zemlje upoznaje učenike s matematičarima čija su otkrića temelj znanstveni i tehnološki napredak, razvija interes za matematiku kao predmet na temelju upoznavanja s povijesnim gradivom, širi vidike učenika, potiče njihovu spoznajnu aktivnost i kreativnost.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite sebi račun ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Dizajnerski rad učenika 8. razreda MOU srednje škole br. 17 iz sela Borisovka Kovalchuk Kirill Glava Mulyukova G.V.

Kvadratne jednadžbe kroz stoljeća i zemlje

Svrha projekta: Upoznati studente sa znanstvenicima matematike čija su otkrića temelj znanstvenog i tehnološkog napretka. Pokažite značaj rada znanstvenika za razvoj geometrije i fizike.??????????? Pokažite primjenu znanstvenih otkrića u životu. Razvijati interes za matematiku kao predmet na temelju poznavanja povijesne građe. Proširiti vidike učenika, potaknuti njihovu kognitivnu aktivnost i kreativnost

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvoga, već i drugog stupnja, još u antičko doba, bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina kopna, s razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe uspjele su riješiti oko 2000 g. pr. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednadžbi iznesena u babilonskim tekstovima u biti se podudaraju s suvremenim, ali tim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općenite metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

. (oko 365. - 300. pr. Kr.) - starogrčki matematičar, autor prvih teorijskih rasprava o matematici koje su došle do nas. Euklid, ili Euklid

Euklid Početak Gdje se Nil spaja s morem, U drevnoj vrućoj zemlji piramida, živio je grčki matematičar - Znalac, Mudri Euklid. Geometriju je učio, Geometriju je predavao. Napisao je veliko djelo. Ova knjiga se zove "Počeci".

Euklid 3. st. pr Euklid je rješavao kvadratne jednadžbe geometrijskom metodom. Evo jednog od zadataka iz starogrčke rasprave: “Postoji grad s granicom u obliku kvadrata sa stranom nepoznate veličine, u sredini svake strane nalaze se vrata. Na udaljenosti od 20bu (1bu=1,6m) od sjevernih vrata nalazi se stup. Ako idete ravno od južnih vrata 14bu, zatim skrenete na zapad i prođete kroz još 1775bu, možete vidjeti stup. Pitanje je: s koje strane granice grada? »

Da bismo odredili nepoznatu stranu kvadrata, dobivamo kvadratnu jednadžbu x ² +(k+l)x-2kd =0 . U ovom slučaju, jednadžba izgleda kao x² +34x-71000=0, odakle je x=250bu l x d k

Kvadratne jednadžbe u Indiji Problemi s kvadratnim jednadžbama također se nalaze u astronomskoj raspravi "Aryabhattam", koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta, iznio je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik: ax² +bx=c , a>0 U staroj Indiji javna su natjecanja u rješavanju teških problema bila široko rasprostranjena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce zasjaji zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.”

Jedan od zadataka poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća Bhaskare. Žustro jato majmuna Pojevši do mile volje, zabavilo se. Osmi dio njih na trgu sam se zabavljao na čistini. I dvanaest uz lijane... Počeli su skakati viseći... Koliko je majmuna bilo, Reci mi, u ovom jatu?.

Odluka. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, zatim D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 \u003d, x 1 \u003d 48, x 2 \u003d 16. Odgovor. Bilo je 16 ili 48 majmuna. Hajdemo to riješiti.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe je više puta "ponovno otkrivana". Jedna od prvih izvođenja ove formule koja je preživjela do danas pripada indijskom matematičaru Brahmagupti. Srednjoazijski znanstvenik al-Khwarizmi u raspravi "Kitab al-dzherb wal-muqabala" dobio je ovu formulu odabirom punog kvadrata.

Kako je al-Khwarizmi riješio ovu jednadžbu. Napisao je: “Pravilo je sljedeće: udvostručite broj korijena, x = 2x 5 dobijete pet u ovom zadatku, 5 pomnožite s ovim jednako tome, bit će dvadeset i pet, 5 5 = 25 dodajte ovo na trideset devet , 25 + 39 će biti šezdeset četiri , 64 uzeti korijen iz ovoga, bit će osam, 8 i oduzeti od ove polovine broja korijena, tj. pet, 8-5 će ostati tri - ovo i 3 će biti korijen trga koji ste tražili. Što je s drugim korijenom? Drugi korijen nije pronađen jer negativni brojevi nisu bili poznati. x 2 +10 x = 39

Kvadratne jednadžbe u Europi 13.-17. stoljeća. Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al-Khorezmija u Europi prvi su put iznesene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike iz obje zemlje islama i Drevna grčka, razlikuje se i po potpunosti i po jasnoći izlaganja. Autor je samostalno razvio neka nova algebarska rješenja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova je knjiga pridonijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi problemi iz "Knjige računala" prešli su u gotovo sve europske udžbenike 16.-17. stoljeća. i djelomično 18.

François Viet - najveći matematičar 16. stoljeća

Prije F. Viete, rješenje kvadratne jednadžbe provodilo se prema vlastitim pravilima u obliku vrlo dugih verbalnih razmišljanja i opisa, prilično glomaznih radnji. Ni sama jednadžba se nije mogla zapisati, to je zahtijevalo prilično dug i složen verbalni opis. On je skovao pojam "koeficijent". Predložio je da se tražene vrijednosti označe samoglasnicima, a podaci suglasnicima. Zahvaljujući simbolici Viete, možete napisati kvadratnu jednadžbu u obliku: ax 2 + bx + c \u003d 0. Teorem: Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, preuzetom iz suprotan znak, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Unatoč činjenici da se ovaj teorem zove "Vietin teorem", bio je poznat i prije njega, a on ga je samo pretočio u moderni oblik. Vieta se naziva "ocem algebre"

Čovječanstvo je prešlo dug put od neznanja do znanja, neprestano zamjenjujući nepotpuno i nesavršeno znanje na ovom putu sve potpunijim i savršenijim znanjem. Završna riječ

Mi živimo u početkom XXI stoljeća, starina privlači. Kod naših predaka uočavamo prije svega ono što im nedostaje s modernog gledišta, a obično ne primjećujemo ono što nedostaje nama samima u usporedbi s njima.

Ne zaboravimo na njih...

Hvala na pažnji!

Još ne postoji HTML verzija djela.

Slični dokumenti

Povijest razvoja formula za korijene kvadratnih jednadžbi. Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu. Diofantovo rješenje kvadratnih jednadžbi. Kvadratne jednadžbe u Indiji, Horezmiji i Europi u 13. - 17. stoljeću. Vietin teorem, moderna algebarska notacija.

test, dodano 27.11.2010


Povijest kvadratnih jednadžbi: jednadžbe u starom Babilonu i Indiji. Formule za paran koeficijent na x. Kvadratne jednadžbe određene prirode. Vietin teorem za polinome viših stupnjeva. Proučavanje bikvadratnih jednadžbi. Bit Cordanove formule.

sažetak, dodan 09.05.2009


Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u povijesti matematike. Komparativna analiza tehnologije razne načine rješenja jednadžbi drugog stupnja, primjeri njihove primjene. Kratka teorija rješavanje kvadratnih jednadžbi, sastavljanje knjige zadataka.

sažetak, dodan 18.12.2012


Važnost matematike u našem životu. Povijest računa. Razvoj metoda računalne matematike u današnje vrijeme. Korištenje matematike u drugim znanostima, uloga matematičkog modeliranja. Stanje matematičkog obrazovanja u Rusiji.

članak, dodan 01.05.2010


grčka matematika. Srednji vijek i renesansa. Počeci moderne matematike. Moderna matematika. Matematika se ne temelji na logici, već na zdravoj intuiciji. Problemi temelja matematike su filozofski.

sažetak, dodan 06.09.2006


Povijest razvoja matematičke znanosti u Europi od 6. do 14. stoljeća, njezini predstavnici i dostignuća. Razvoj matematike u renesansi. Stvaranje literalnog računa, djelatnost Françoisa Viete. Poboljšanja u računalstvu u kasnom 16. - početkom 16. stoljeća

prezentacija, dodano 20.09.2015


Pregled razvoja europske matematike u XVII-XVIII stoljeću. Neravnomjeran razvoj europske znanosti. Analitička geometrija. Izrada matematičke analize. Znanstvena škola Leibniz. opće karakteristike znanosti u 18. stoljeću. Pravci razvoja matematike.

prezentacija, dodano 20.09.2015


Razdoblje rađanja matematike (do 7.-5. st. pr. Kr.). Vrijeme matematike konstanti (7.-5. st. pr. Kr. - XVII. st. n.e.). Matematika varijabli (XVII-XIX st.). Suvremeno razdoblje razvoja matematike. Značajke računalne matematike.

prezentacija, dodano 20.09.2015


Postignuća starogrčkih matematičara koji su živjeli između 6. stoljeća pr. i 5. st. poslije Krista. Značajke početnog razdoblja razvoja matematike. Uloga pitagorejske škole u razvoju matematike: Platon, Eudoks, Zenon, Demokrit, Euklid, Arhimed, Apolonije.

test, dodano 17.09.2010


Povijest nastanka matematike kao znanosti. Razdoblje elementarne matematike. Razdoblje stvaranja matematike varijabli. Izrada analitičke geometrije, diferencijalnog i integralnog računa. Razvoj matematike u Rusiji u XVIII-XIX stoljeću.

Predstavnici raznih civilizacija: drevni Egipt, Drevni Babilon, Stara Grčka, Drevna Indija, Drevna Kina, Srednjovjekovni istok, Europa ovladao tehnikama rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Po prvi put, matematičari starog Egipta uspjeli su riješiti kvadratnu jednadžbu. Jedan od matematičkih papirusa sadrži problem:

"Pronađi stranice polja koje ima oblik pravokutnika, ako je njegova površina 12, a - duljine su jednake širini." "Duljina polja je 4", piše na papirusu.

Prošla su tisućljeća, negativni brojevi su ušli u algebru. Rješavajući jednadžbu x² = 16, dobivamo dva broja: 4, -4.

Naravno, u egipatskom problemu uzeli bismo X = 4, budući da duljina polja može biti samo pozitivna vrijednost.

Izvori koji su došli do nas ukazuju na to da su neki posjedovali drevni znanstvenici uobičajeni trikovi rješavanje zadataka s nepoznatim veličinama. Pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi, izneseno u babilonskim tekstovima, u biti je isto kao i moderno, ali nije poznato kako su Babilonci "došli do ove točke". Ali u gotovo svim pronađenim papirusima i klinopisnim tekstovima dati su samo problemi s rješenjima. Svoje numeričke izračune autori su tek povremeno opskrbljivali podlim komentarima poput: “Gledaj!”, “Učini to!”, “Utvrdio si da je dobro!”.

Grčki matematičar Diofant napisao je i riješio kvadratne jednadžbe. Njegova "Aritmetika" ne sadrži sustavan prikaz algebre, ali sadrži sustavni niz zadataka, popraćenih objašnjenjima i riješenih sastavljanjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Zadaci za sastavljanje kvadratnih jednadžbi nalaze se već u astronomskoj raspravi "Aria-bhatiam", koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Ariabhatta.

Drugi indijski znanstvenik Brahmagupta (7. stoljeće) iznio je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi oblika ax² + bx = c.

U staroj Indiji javna su natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce zasjaji zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII stoljeća. Bhaskara:

Žustro jato majmuna

Dobro jesti, zabavljati se.

Osmi dio njih na trgu se zabavljao na čistini.

I dvanaest uz trsove... počeše skakati, visjeti...​

Koliko je majmuna bilo

Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednadžbi.

Najstariji kineski matematički tekstovi koji su došli do nas potječu s kraja 1. stoljeća pr. PRIJE KRISTA. U II stoljeću. PRIJE KRISTA. Matematika u devet knjiga je napisana. Kasnije, u 7. stoljeću, uvršten je u zbirku "Deset klasičnih rasprava", koja se proučavala mnoga stoljeća. Rasprava "Matematika u devet knjiga" objašnjava kako izdvojiti Korijen koristeći formulu za kvadrat zbroja dvaju brojeva.

Metoda je nazvana "tian-yuan" (doslovno - "nebeski element") - kako su Kinezi označavali nepoznatu količinu.​

Prvi priručnik za rješavanje problema, koji je postao nadaleko poznat, djelo je bagdadskog učenjaka iz 9. stoljeća. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" - s vremenom se pretvorila u dobro poznatu riječ "algebra", a sam rad al-Khwarizmija postao je polazna točka u razvoju nauke o rješavanju jednadžbi. Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi šest vrsta jednadžbi, izražavajući ih na sljedeći način:

-kvadrata jednakih korijena, to je ah ² = bx;

-kvadrati jednaki broj, to je ah ² = c;

-korijeni su jednaki broju, odnosno ax = c;

-kvadrati i brojevi jednaki su korijenima, to je ah ²+ c \u003d bx;

-kvadrati i korijeni jednaki su broju, to je ah ² + bx \u003d c;

-korijeni i brojevi su kvadratni, tj. bx + c = ax ²;

Traktat al-Khwarizmija prva je knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sustavno prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule za njihovo rješenje.

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al-Khwarizmija u Europi prvi su put izložene u Knjizi Abacusa koju je 1202. napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova je knjiga pridonijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz knjige Abacus bili su uključeni u gotovo sve europske udžbenike 16.-17. stoljeća. i dio 18. stoljeća.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik x ² + bx \u003d c, sa svim mogućim kombinacijama znakova koeficijenata b i c, formulirao je u Europi tek 1544. godine M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali je također prepoznao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. uzeti u obzir uz pozitivne i negativne korijene. Tek u 17. stoljeću, zahvaljujući djelima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi dobiva suvremeni oblik.

​

​