“, odnosno jednadžbe prvog stupnja. U ovoj lekciji ćemo istražiti što je kvadratna jednadžba i kako to riješiti.

Što je kvadratna jednadžba

Važno!

Stupanj jednadžbe određen je najvišim stupnjem do kojeg stoji nepoznata.

Ako je a maksimalni stupanj, u kojem se nalazi nepoznanica - " 2", Dakle, imate kvadratnu jednadžbu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Važno! Opći oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" i "c" - dati brojevi.

• "a" - prvi ili viši koeficijent;
• "b" - drugi koeficijent;
• "c" je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c" Morate usporediti svoju jednadžbu s općim oblikom kvadratne jednadžbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednadžbama.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednadžba	Izgledi
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearne jednadžbe za rješenja kvadratne jednadžbe poseban formula za pronalaženje korijena.

Zapamtiti!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0". To jest, samo "0" treba ostati na desnoj strani;
• koristite formulu za korijenje:

Uzmimo primjer da shvatimo kako primijeniti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Riješimo kvadratnu jednadžbu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Jednadžba "x 2 - 3x - 4 = 0" već je svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, trebamo se samo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednadžbu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uz njegovu pomoć rješava se svaka kvadratna jednadžba.

U formuli "x 1; 2 \u003d" korijenski izraz se često zamjenjuje
"b 2 − 4ac" na slovo "D" i naziva se diskriminantnim. Pojam diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji „Što je diskriminant“.

Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c". Najprije dovedemo jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijenje.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada u kvadratnim jednadžbama nema korijena. Ova situacija se događa kada se u formuli ispod korijena pojavi negativan broj.

S ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednadžbu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenjem diskriminanta
- korištenjem Vietinog teorema (ako je moguće).

Štoviše, odgovor se prikazuje točan, a ne približan.
Na primjer, za jednadžbu \(81x^2-16x-1=0\), odgovor je prikazan u ovom obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ umjesto ovoga: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Ovaj program Može biti korisno za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo angažirati učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili jednostavno želite to učiniti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unijeti kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog broja točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale dakle: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može djelovati kao brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Kad uđete brojčani razlomak Brojnik je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cjelobrojni dio je odvojen od razlomka ampersandom: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odlučiti

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript vam je onemogućen u pregledniku.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sek...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odlučuješ što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njezini korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednadžbi
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ima oblik
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednadžbi a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve se jednadžbe nazivaju kvadratne jednadžbe.

Definicija.
kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je presjek.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a \neq 0 \), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednadžba.

Imajte na umu da se kvadratna jednadžba naziva i jednadžba drugog stupnja, budući da je njezina lijeva strana polinom drugog stupnja.

Kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent pri x 2 jednak 1 se zove reducirana kvadratna jednadžba. Na primjer, dane kvadratne jednadžbe su jednadžbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednadžba naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednadžbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri vrste:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Razmotrimo rješenje jednadžbi svake od ovih vrsta.

Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), njen slobodni član se prenosi na desnu stranu i oba dijela jednadžbe dijele se s a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Strelica desno x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Budući da je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako je \(-\frac(c)(a)>0 \), tada jednadžba ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) faktorizirajte njenu lijevu stranu i dobijete jednadžbu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \lijevo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno. \)

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 \u003d 0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Kvadratnu jednadžbu rješavamo u opći pogled a kao rezultat dobivamo formulu korijena. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednadžbu ax 2 +bx+c=0

Podijelivši oba njegova dijela s a, dobivamo ekvivalentnu reduciranu kvadratnu jednadžbu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Ovu jednadžbu transformiramo isticanjem kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Strelica desno \levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Strelica desno \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Strelica desno x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Strelica desno \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Korijenski izraz se zove diskriminanta kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - razlikovač). Označava se slovom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći zapis diskriminanta, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)

Očito je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, ovisno o vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili bez korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule , preporučljivo je učiniti sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i usporediti ga s nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu korijena, ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadana kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbroj korijena je 7, a umnožak 10. Vidimo da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu uzetom iz suprotan znak, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom s suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Oni. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\lijevo\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatan vodič (2019)

U pojmu "kvadratna jednadžba" ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednadžba mora nužno sadržavati varijablu (isti X) u kvadratu, a istovremeno ne smije biti X-ova u trećem (ili većem) stupnju.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješenje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Riješite se nazivnika i svaki član jednadžbe pomnožite sa

Pomaknimo sve na lijevu stranu i rasporedimo članove silaznim redoslijedom potencija x

Sada možemo s povjerenjem reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je izvorno bila u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Strašno? Četvrti i drugi stupanj ... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4

Čini se da jest, ali pogledajmo pobliže. Pomaknimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadratna;
4. nije kvadratna;
5. nije kvadratna;
6. kvadrat;
7. nije kvadratna;
8. kvadrat.

Matematičari uvjetno dijele sve kvadratne jednadžbe u sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Nepotpune su jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat !!! Inače, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednadžba.

Zašto su smislili takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva je podjela posljedica metoda rješavanja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi – one su puno jednostavnije!

Nepotpune kvadratne jednadžbe su sljedećih vrsta:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj su jednadžbi koeficijent i slobodni član jednaki.

1. i. Budući da znamo uzeti kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, onda dobivamo dva korijena. Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar je da uvijek trebate znati i zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje izvaditi korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako izvaditi korijenje?

Odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Jao! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednadžba

nema korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika gdje je

Rješavanje punih kvadratnih jednadžbi je malo kompliciranije (samo malo) od navedenih.

Zapamtiti, bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti pomoću diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Ostale metode pomoći će vam da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo svladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način vrlo je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen Posebna pažnja nacrtaj korak. Diskriminant () nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. To ukazuje da jednadžba nema korijena.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

Korak 3

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

Odgovor: nema korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju smanjene (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba je jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova je jednadžba prikladna za rješenje pomoću Vietinog teorema, jer .

Zbroj korijena jednadžbe je, t.j. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sustav:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Jednadžba se reducira, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. SREDNJA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi, štoviše.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, a - slobodan član.

Zašto? Jer ako, jednadžba će odmah postati linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj se jednadžba stolice naziva nepotpuna. Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednadžbi:

I. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svakog od ovih podtipova.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Tako:

ako, tada jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednadžba

nema korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Odluka:

Faktoriziramo lijevu stranu jednadžbe i pronađemo korijene:

Odgovor:

Metode za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u formuli korijena? Ali diskriminant može biti negativan. Što uraditi? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, tada jednadžba ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali u stvari, jedan korijen:

  Takvi korijeni nazivaju se dvostrukim korijenima.

• Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. To ukazuje da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguće različit iznos korijenje? Okrenimo se na geometrijski smisao kvadratna jednadžba. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s osi x (os). Parabola možda uopće ne prelazi os ili je može presijecati u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietin teorem

Korištenje Vietinog teorema vrlo je jednostavno: samo trebate odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu, uzetom s suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo na zadane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Odluka:

Ova je jednadžba prikladna za rješenje pomoću Vietinog teorema, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Odaberimo takve parove brojeva, čiji je umnožak jednak, i provjerimo je li njihov zbroj jednak:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Odluka:

Odaberemo takve parove brojeva koji daju u umnošku, a zatim provjerimo je li njihov zbroj jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Odluka:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbroj korijena je razlike njihovih modula.

Odabiremo takve parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Budući da njihov zbroj mora biti jednak, tada korijen koji je manji po apsolutnoj vrijednosti mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Odluka:

Jednadžba se reducira, što znači:

Slobodni je član negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijeni i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Odluka:

Jednadžba se reducira, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Odabiremo takve parove brojeva, čiji je umnožak jednak:

Očito su korijeni brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno - izmišljati korijene usmeno, umjesto brojanja ovog gadnog diskriminanta. Pokušajte koristiti Vietin teorem što je češće moguće.

Ali Vieta teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Kako bi vam bilo isplativo koristiti ga, morate radnje dovesti do automatizma. A za to riješi još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminant! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir započinjemo s proizvodom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naš omiljeni Vietin teorem: zbroj bi trebao ispasti, ali je proizvod jednak.

Ali budući da ne bi trebalo biti, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve pojmove prenijeti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

Da, stani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u zadanim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

Fino. Tada je zbroj korijena jednak umnošku.

Ovdje je lakše pokupiti: uostalom - prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni termin je negativan. Što je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih znakova. A sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, već proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što prvo treba učiniti? Tako je, dajte jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj mora biti jednak, što znači da će s minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

da rezimiram:

1. Vietin se teorem koristi samo u zadanim kvadratnim jednadžbama.
2. Koristeći Vieta teorem, korijene možete pronaći odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije data ili nije pronađen prikladan par faktora slobodnog člana, onda nema cjelobrojnih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljaju kao članovi iz formula skraćenog množenja - kvadrat zbroja ili razlike - tada se nakon promjene varijabli jednadžba može prikazati kao nepotpuna kvadratna jednadžba tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Odluka:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Odluka:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća li vas ni na što? To je diskriminator! Upravo tako je dobivena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznanica, su koeficijenti kvadratne jednadžbe, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako i, jednadžba ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazite nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, tada jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminanta

1) Donosimo jednadžbu na standardni pogled: ,

2) Izračunajte diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, tada jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika, gdje je) jednak je, a umnožak korijena jednak, t.j. , a.

2.3. Rješenje punog kvadrata

Neki matematički problemi zahtijevaju sposobnost izračunavanja vrijednosti kvadratnog korijena. Ovi problemi uključuju rješavanje jednadžbi drugog reda. U ovom članku predstavljamo učinkovita metoda izračuni kvadratni korijeni i koristiti ga pri radu s formulama korijena kvadratne jednadžbe.

Što je kvadratni korijen?

U matematici ovaj koncept odgovara simbolu √. Povijesni podaci govore da se prvi put počeo koristiti oko prve polovice 16. stoljeća u Njemačkoj (prvo njemačko djelo o algebri Christopha Rudolfa). Znanstvenici vjeruju da je ovaj simbol transformirano latinsko slovo r (radix znači "korijen" na latinskom).

Korijen bilo kojeg broja jednak je takvoj vrijednosti, čiji kvadrat odgovara izrazu korijena. U jeziku matematike ova će definicija izgledati ovako: √x = y ako je y 2 = x.

korijen od pozitivan broj(x > 0) je također pozitivan broj (y > 0), ali ako uzmete korijen negativnog broja (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Evo dva jednostavna primjera:

√9 = 3 jer je 3 2 = 9; √(-9) = 3i budući da je i 2 = -1.

Heronova iterativna formula za pronalaženje vrijednosti kvadratnog korijena

Gore navedeni primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju pojavljivati ​​već pri pronalaženju vrijednosti korijena za bilo koju vrijednost koja se ne može predstaviti kao kvadrat prirodni broj, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da je u praksi potrebno pronaći korijene za necijele brojeve: na primjer √(12,15), √(8,5) i tako dalje.

U svim gore navedenim slučajevima treba koristiti posebnu metodu za izračun kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje u Taylorov niz, podjela po stupcu i neke druge. Od svega poznate metode Možda je najjednostavniji i najučinkovitiji korištenje Heronove iterativne formule, koja je također poznata kao babilonska metoda za određivanje kvadratnog korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim izračunima).

Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena ima sljedeći pogled:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdje je lim n->∞ (a n) => x.

Dešifrirajmo ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebate uzeti neki broj a 0 (može biti proizvoljan, međutim, da biste brzo dobili rezultat, trebali biste ga odabrati tako da (a 0) 2 bude što bliže x. Zatim ga zamijenite u navedenu formulu za izračun kvadratnog korijena i dobijete novi broj a 1, koji će već biti bliži željenoj vrijednosti. Nakon toga potrebno je u izraz zamijeniti 1 i dobiti 2. Ovaj postupak treba ponavljati sve dok dobiva se potrebna točnost.

Primjer primjene Heronove iterativne formule

Gore opisani algoritam za dobivanje kvadratnog korijena nekog zadanog broja može zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće za mnoge, ali u stvarnosti se sve ispostavi da je mnogo jednostavnije, budući da se ova formula vrlo brzo konvergira (pogotovo ako je odabran dobar broj a 0) .

Navedimo jednostavan primjer: potrebno je izračunati √11. Odaberemo 0 = 3, budući da je 3 2 = 9, što je bliže 11 nego 4 2 = 16. Zamjenom u formulu, dobivamo:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) = 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) = 3,31662.

Nema smisla nastavljati s izračunima, jer smo otkrili da se 2 i 3 počinju razlikovati tek na 5. decimalu. Dakle, bilo je dovoljno primijeniti formulu samo 2 puta da se izračuna √11 s točnošću od 0,0001.

Trenutno se za izračun korijena široko koriste kalkulatori i računala, no korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu točnu vrijednost.

Jednadžbe drugog reda

Razumijevanje što je kvadratni korijen i sposobnost izračunavanja koristi se pri rješavanju kvadratnih jednadžbi. Ove jednadžbe su jednakosti s jednom nepoznanicom, čiji je opći oblik prikazan na donjoj slici.

Ovdje su c, b i a neki brojevi, a a ne smije biti jednak nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući i jednake nuli.

Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se njezinim korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Budući da jednadžba koja se razmatra ima 2. red (x 2), onda za nju ne može biti više korijena od dva broja. Kasnije ćemo u članku razmotriti kako pronaći ove korijene.

Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe (formula)

Ova metoda rješavanja razmatrane vrste jednakosti također se naziva univerzalna ili metoda kroz diskriminant. Može se primijeniti na bilo koje kvadratne jednadžbe. Formula za diskriminant i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:

Iz njega se može vidjeti da korijeni ovise o vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednadžbe. Štoviše, izračun x 1 razlikuje se od izračuna x 2 samo po predznaku ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b 2 - 4ac, nije ništa drugo nego diskriminant razmatrane jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe igra važnu ulogu jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je nula, tada će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, onda jednadžba ima dva realna korijena, i konačno, negativan diskriminant vodi do dva kompleksna korijena x 1 i x 2.

Vietin teorem ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda

Krajem 16. stoljeća, jedan od utemeljitelja moderne algebre, Francuz, proučavajući jednadžbe drugog reda, uspio je dobiti svojstva njezinih korijena. Matematički se mogu napisati ovako:

x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.

Obje jednakosti svatko može lako dobiti, a za to je potrebno samo izvršiti odgovarajuće matematičke operacije s korijenima dobivenim pomoću formule s diskriminantom.

Kombinacija ova dva izraza s pravom se može nazvati drugom formulom korijena kvadratne jednadžbe, koja omogućuje pogađanje njezinih rješenja bez korištenja diskriminanta. Ovdje treba napomenuti da iako su oba izraza uvijek valjana, zgodno ih je koristiti za rješavanje jednadžbe samo ako se može faktorizirati.

Zadatak učvršćivanja stečenog znanja

Mi ćemo odlučiti matematički problem, u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uvjeti zadatka su sljedeći: trebate pronaći dva broja kojima je umnožak -13, a zbroj 4.

Ovaj uvjet odmah podsjeća na Vietin teorem, koristeći formule za zbroj kvadratnih korijena i njihovog proizvoda, pišemo:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Uz pretpostavku da je a = 1, tada je b = -4 i c = -13. Ovi koeficijenti nam omogućuju sastavljanje jednadžbe drugog reda:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Koristimo formulu s diskriminantom, dobivamo sljedeće korijene:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Odnosno, zadatak se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68 = 4 * 17, a zatim, koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobivamo: √68 = 2√17.

Sada koristimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a 0 \u003d 4, zatim:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) = 4,1231.

Nema potrebe izračunati 3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju samo za 0,02. Dakle, √68 = 8,246. Zamijenivši ga u formulu za x 1,2, dobivamo:

x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 i x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.

Kao što vidite, zbroj pronađenih brojeva je stvarno jednak 4, ali ako pronađete njihov umnožak, tada će biti jednak -12,999, što zadovoljava uvjet problema s točnošću od 0,001.

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

1.6 O Vietinom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina zemljišta i zemljani radovi vojne prirode, kao i s razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe uspjele su riješiti oko 2000 g. pr. e. Babilonci.

Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinopisnim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Usprkos visoka razina razvoj algebre u Babilonu, u klinopisnim tekstovima ne postoji pojam negativnog broja i uobičajene metode rješenja kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe.

Diofantova aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavni niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih formuliranjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Prilikom sastavljanja jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov umnožak bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovica njihovog zbroja, tj. 10+x, drugi je manji, t.j. 10-ih godina. Razlika između njih 2x .

Odatle jednadžba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , drugo 8 . Odluka x = -2 jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, doći ćemo do rješenja jednadžbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednadžbe već se nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski učenjak, Brahmagupta (7. stoljeće), izložio je opće pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednadžbi (1) koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptino pravilo u biti se podudara s našim.

U staroj Indiji javna su natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce zasjaji zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razigrano jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se ...

Osmi dio njih na kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabava na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednadžbi (slika 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = -768

i, kako bi dovršio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, zbraja obje strane 32 2 , uzimajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", t.j. sjekira 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", t.j. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", t.j. sjekira 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni jednaki su broju", t.j. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", t.j. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khorezmija, koji je izbjegavao korištenje negativni brojevi, članovi svake od ovih jednadžbi su zbrojevi, a ne oduzeti. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor opisuje metode rješavanja ovih jednadžbi, koristeći metode al-jabr i al-muqabela. Njegove se odluke, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našima. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti npr. da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Khorezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što ono nije važno u konkretnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim i geometrijske dokaze, koristeći određene numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (uz pretpostavku korijena jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od umnoška, ​​ostane 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, vi dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al - Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sustavno navedena klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al - Khorezmija u Europi prvi su put iznesene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako zemlje islama tako i Drevna grčka, razlikuje se i po potpunosti i po jasnoći izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje problema i prvi je u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova je knjiga pridonijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abacus" prošli su u gotovo sve europske udžbenike 16. - 17. stoljeća. a dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , s formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opću derivaciju formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Uzmite u obzir, osim pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII stoljeću. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, način rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinom teoremu

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, koji nosi ime Vieta, formulirao je prvi put 1591. na sljedeći način: „Ako B + D pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki NA i jednaki D ».

Da biste razumjeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio nepoznato (naš x), samoglasnici NA, D- koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre Vietina formulacija iznad znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednadžbi općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio ujednačenost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolika Viete još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznavao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednadžbi razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne su jednadžbe temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe pronaći široka primjena pri rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednadžbi. Svi znamo rješavati kvadratne jednadžbe od škole (8. razred) do mature.