Što su obični razlomci. Što je brojni razlomak

Proučavajući kraljicu svih znanosti - matematiku, svi se u nekom trenutku susreću s razlomcima. Iako ovaj koncept (poput samih vrsta razlomaka ili matematičke operacije s njima) prilično je jednostavan, s njim se mora pažljivo postupati, jer u stvaran život izvan škole bit će vrlo korisno. Dakle, osvježimo svoje znanje o razlomcima: što je to, čemu služi, koje vrste razlomaka postoje i kako napraviti razne aritmetičke operacije.

Njezino Veličanstvo frakcija: što je to

Razlomci u matematici su brojevi, od kojih se svaki sastoji od jednog ili više dijelova jedinice. Takvi se razlomci nazivaju i obični, ili jednostavni. U pravilu se pišu kao dva broja, koja su odvojena vodoravnom ili kosom crtom, naziva se "razlomkom". Na primjer: ½, ¾.

Gornji ili prvi od ovih brojeva je brojnik (pokazuje koliko je razlomaka broja uzeto), a donji ili drugi je nazivnik (pokazuje na koliko dijelova je jedinica podijeljena).

Razlomka zapravo funkcionira kao znak dijeljenja. Na primjer, 7:9=7/9

Tradicionalno obični razlomci manje od jedan. Dok decimale mogu biti veće od njega.

Čemu služe razlomci? Da, za sve, jer u stvarnom svijetu nisu svi brojevi cijeli brojevi. Primjerice, dvije su učenice u kafeteriji zajedno kupile jednu ukusnu čokoladicu. Kad su se spremali podijeliti desert, sreli su prijateljicu i odlučili je počastiti i njom. Međutim, sada je potrebno pravilno podijeliti čokoladicu, s obzirom da se sastoji od 12 kvadrata.

Djevojke su isprva htjele podijeliti sve ravnopravno, a onda bi svaka dobila po četiri komada. No, nakon što su dobro razmislili, odlučili su počastiti svoju djevojku, ne 1/3, već 1/4 čokolade. A budući da učenice nisu dobro proučavale razlomke, nisu uzele u obzir da bi u takvoj situaciji kao rezultat toga imale 9 komada koji su vrlo loše podijeljeni na dva. Ovaj prilično jednostavan primjer pokazuje koliko je važno znati točno pronaći dio broja. Ali u životu je mnogo više takvih slučajeva.

Vrste razlomaka: obični i decimalni

Svi matematički razlomci podijeljeni su na dvije velike znamenke: obične i decimalne. Značajke prvog od njih opisane su u prethodnom odlomku, pa je sada vrijedno obratiti pozornost na drugi.

Decimala je pozicijski zapis razlomka broja koji je fiksiran slovom odvojenim zarezom, bez crtice ili kose crte. Na primjer: 0,75, 0,5.

Zapravo, decimalni razlomak je identičan običnom, međutim, njegov nazivnik je uvijek jedan iza kojeg slijede nule - otuda i njegov naziv.

Broj koji prethodi decimalnom zarezu je cijeli broj, a sve iza decimalne točke je razlomak. Bilo koji prosti razlomak može se pretvoriti u decimalni. Dakle, decimalni razlomci navedeni u prethodnom primjeru mogu se napisati kao obični: ¾ i ½.

Vrijedi napomenuti da i decimalni i obični razlomci mogu biti i pozitivni i negativni. Ako im prethodi "-" zadani razlomak negativan, ako je "+" - onda pozitivan.

Podvrste običnih frakcija

Postoje takve vrste jednostavnih razlomaka.

Podvrste decimalnog razlomka

Za razliku od jednostavnog, decimalni razlomak je podijeljen na samo 2 vrste.

• Konačna - dobila je ime zbog činjenice da iza decimalne točke ima ograničen (konačni) broj znamenki: 19,25.
• Beskonačni razlomak je broj s beskonačnim brojem znamenki iza decimalne točke. Na primjer, kada se 10 podijeli s 3, rezultat je beskonačni razlomak 3,333…

Zbrajanje razlomaka

Izvođenje raznih aritmetičkih manipulacija s razlomcima je malo teže nego s običnim brojevima. Međutim, naučite li osnovna pravila, rješavanje bilo kojeg primjera s njima neće biti teško.

Na primjer: 2/3+3/4. Najmanji zajednički višekratnik za njih bit će 12, stoga je potrebno da ovaj broj bude u svakom nazivniku. Da bismo to učinili, pomnožimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 4, ispada 8/12, radimo isto s drugim članom, ali samo množimo s 3 - 9/12. Sada možete jednostavno riješiti primjer: 8/12+9/12= 17/12. Dobiveni razlomak je netočna vrijednost jer je brojnik veći od nazivnika. Može se i treba pretvoriti u ispravnu mješovitu dijeljenjem 17:12 = 1 i 5/12.

Ako se zbrajaju mješoviti razlomci, prvo se radnje izvode s cijelim brojevima, a zatim s razlomcima.

Ako primjer sadrži decimalni razlomak i obični razlomak, potrebno je da oba postanu jednostavna, zatim ih dovedite u isti nazivnik i zbrojite. Na primjer 3.1+1/2. Broj 3.1 može se napisati kao miješana frakcija 3 i 1/10 ili kao netočno - 31/10. Zajednički nazivnik za pojmove bit će 10, tako da morate pomnožiti brojnik i nazivnik 1/2 s 5 zauzvrat, ispada 5/10. Tada možete lako sve izračunati: 31/10+5/10=35/10. Dobiveni rezultat je nepravilan kontraktibilni razlomak, dovodimo ga u normalni oblik, smanjujući ga za 5: 7/2=3 i 1/2, ili decimalni - 3,5.

Prilikom zbrajanja 2 decimale važno je da iza decimalne točke bude isti broj znamenki. Ako to nije slučaj, samo trebate dodati potreban iznos nule, jer se u decimalnim razlomcima to može učiniti bezbolno. Na primjer, 3,5+3,005. Da biste riješili ovaj zadatak, morate prvom broju dodati 2 nule, a zatim zauzvrat: 3.500 + 3.005 = 3.505.

Oduzimanje razlomaka

Prilikom oduzimanja razlomaka vrijedi učiniti isto kao i kod zbrajanja: smanjiti na zajednički nazivnik, oduzeti jedan brojnik od drugog, ako je potrebno, pretvoriti rezultat u mješoviti razlomak.

Na primjer: 16/20-5/10. Zajednički nazivnik bit će 20. Trebate dovesti drugi razlomak na ovaj nazivnik, pomnoživši oba njegova dijela s 2, dobit ćete 10/20. Sada možete riješiti primjer: 16/20-10/20= 6/20. Međutim, ovaj rezultat vrijedi za reducibilne razlomke, pa je vrijedno podijeliti oba dijela s 2 i rezultat je 3/10.

Množenje razlomaka

Dijeljenje i množenje razlomaka - puno više jednostavnim koracima nego zbrajanje i oduzimanje. Činjenica je da pri obavljanju ovih zadataka nema potrebe tražiti zajednički nazivnik.

Da biste pomnožili razlomke, samo trebate naizmjenično pomnožiti oba brojnika zajedno, a zatim oba nazivnika. Smanjite rezultirajući rezultat ako je razlomak smanjena vrijednost.

Na primjer: 4/9x5/8. Nakon naizmjeničnog množenja, rezultat je 4x5/9x8=20/72. Takav se razlomak može smanjiti za 4, pa je konačni odgovor u primjeru 5/18.

Kako podijeliti razlomke

Dijeljenje razlomaka je također jednostavna radnja, zapravo se još uvijek svodi na njihovo množenje. Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, trebate okrenuti drugi i pomnožiti s prvim.

Na primjer, dijeljenje razlomaka 5/19 i 5/7. Da biste riješili primjer, trebate zamijeniti nazivnik i brojnik drugog razlomka i pomnožiti: 5/19x7/5=35/95. Rezultat se može smanjiti za 5 - ispada 7/19.

Ako razlomak trebate podijeliti prostim brojem, tehnika je malo drugačija. U početku je vrijedno napisati ovaj broj kao nepravilan razlomak, a zatim podijeliti prema istoj shemi. Na primjer, 2/13:5 treba napisati kao 2/13:5/1. Sada morate okrenuti 5/1 i pomnožiti rezultirajuće razlomke: 2/13x1/5= 2/65.

Ponekad morate podijeliti miješane razlomke. Morate se nositi s njima, kao i s cijelim brojevima: pretvorite ih u nepravilne razlomke, okrenite djelitelj i sve pomnožite. Na primjer, 8 ½: 3. Pretvaranje svega u nepravilne razlomke: 17/2: 3/1. Nakon toga slijedi okretanje 3/1 i množenje: 17/2x1/3= 17/6. Sada biste trebali prevesti pogrešan razlomak u pravi - 2 cijela broja i 5/6.

Dakle, nakon što ste shvatili što su razlomci i kako s njima možete izvoditi razne aritmetičke operacije, morate pokušati ne zaboraviti na to. Na kraju krajeva, ljudi su uvijek skloniji nešto podijeliti na dijelove nego dodati, pa morate to znati napraviti kako treba.

Govoreći o matematici, ne može se ne sjetiti razlomaka. Njihovom proučavanju posvećuje se puno pažnje i vremena. Sjetite se koliko ste primjera morali riješiti da biste naučili određena pravila za rad s razlomcima, kako ste zapamtili i primijenili glavno svojstvo razlomka. Koliko je samo živaca potrošeno da se pronađe zajednički nazivnik, pogotovo ako je u primjerima bilo više od dva člana!

Prisjetimo se što je to, te malo osvježimo pamćenje o osnovnim informacijama i pravilima za rad s razlomcima.

Definicija razlomaka

Krenimo od onog najvažnijeg – definicija. Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više jediničnih dijelova. Razlomak se piše kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom crtom. U ovom slučaju gornji (ili prvi) se naziva brojnik, a donji (drugi) nazivnik.

Vrijedi napomenuti da nazivnik pokazuje na koliko je dijelova jedinica podijeljena, a brojnik prikazuje broj udjela ili uzetih dijelova. Često su razlomci, ako su točni, manji od jedan.

Pogledajmo sada svojstva ovih brojeva i osnovna pravila koja se koriste pri radu s njima. Ali prije nego što analiziramo nešto kao što je "osnovno svojstvo racionalni razlomak Razgovarajmo o vrstama frakcija i njihovim značajkama.

Što su razlomci

Postoji nekoliko vrsta takvih brojeva. Prije svega, to su obični i decimalni. Prvi su tip zapisa koji smo već označili pomoću vodoravne ili kose crte. Druga vrsta razlomaka označava se takozvanom pozicijskom notacijom, kada se najprije navede cijeli dio broja, a zatim, nakon decimalne točke, naznači se razlomak.

Ovdje je vrijedno napomenuti da se u matematici i decimalni i obični razlomci jednako koriste. Glavno svojstvo razlomka vrijedi samo za drugu opciju. Osim toga, u običnim razlomcima, ispravan i pogrešne brojke. Za prvi je brojnik uvijek manji od nazivnika. Također imajte na umu da je takav razlomak manji od jedinice. U nepravilnom razlomku, naprotiv, brojnik je veći od nazivnika, a sam je veći od jedan. U ovom slučaju iz njega se može izdvojiti cijeli broj. U ovom članku razmotrit ćemo samo obične razlomke.

Svojstva frakcija

Bilo koja pojava, kemijska, fizička ili matematička, ima svoje karakteristike i svojstva. Frakcijski brojevi nisu iznimka. Imaju jednu važnu značajku, uz pomoć koje je moguće izvršiti određene operacije na njima. Koje je glavno svojstvo razlomka? Pravilo kaže da ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože ili podijele s istim racionalnim brojem, dobit ćemo novi razlomak čija će vrijednost biti jednaka izvornoj vrijednosti. To jest, množenjem dva dijela razlomka broja 3/6 s 2, dobivamo novi razlomak 6/12, dok će oni biti jednaki.

Na temelju ovog svojstva možete smanjiti razlomke, kao i odabrati zajedničke nazivnike za određeni par brojeva.

Operacije

Iako nam se razlomci čine složenijima, oni također mogu izvoditi osnovne matematičke operacije, kao što su zbrajanje i oduzimanje, množenje i dijeljenje. Osim toga, postoji takva specifična akcija kao što je smanjenje frakcija. Naravno, svaka se od ovih radnji izvodi prema određenim pravilima. Poznavanje ovih zakona olakšava rad s razlomcima, što ga čini lakšim i zanimljivijim. Zato ćemo dalje razmotriti osnovna pravila i algoritam radnji pri radu s takvim brojevima.

Ali prije nego što govorimo o takvim matematičkim operacijama kao što su zbrajanje i oduzimanje, analizirat ćemo takvu operaciju kao svođenje na zajednički nazivnik. Ovdje će vam dobro doći znanje o tome koje osnovno svojstvo razlomka postoji.

Zajednički nazivnik

Da biste broj sveli na zajednički nazivnik, prvo morate pronaći najmanji zajednički višekratnik od dva nazivnika. tj najmanji broj, koji je istovremeno djeljiv s oba nazivnika bez ostatka. Najlakši način da pronađete LCM (najmanji zajednički višekratnik) je da upišete u red za jedan nazivnik, zatim za drugi i među njima pronađete odgovarajući broj. U slučaju da se LCM ne pronađe, odnosno ovi brojevi nemaju zajednički višekratnik, treba ih pomnožiti, a dobivenu vrijednost treba smatrati LCM.

Dakle, pronašli smo LCM, sada moramo pronaći dodatni množitelj. Da biste to učinili, morate naizmjenično podijeliti LCM na nazivnike razlomaka i zapisati dobiveni broj preko svakog od njih. Zatim pomnožite brojnik i nazivnik s dobivenim dodatnim faktorom i zapišite rezultate kao novi razlomak. Ako sumnjate da je broj koji ste primili jednak prethodnom, sjetite se glavnog svojstva razlomka.

Dodatak

Idemo sada izravno na matematičke operacije nad razlomcima. Počnimo s najjednostavnijim. Postoji nekoliko opcija za dodavanje razlomaka. U prvom slučaju oba broja imaju isti nazivnik. U ovom slučaju ostaje samo zbrojiti brojnike. Ali nazivnik se ne mijenja. Na primjer, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Ako razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na zajednički i tek onda izvršiti zbrajanje. Kako to učiniti, razgovarali smo s vama malo više. U ovoj će situaciji dobro doći glavno svojstvo razlomka. Pravilo će vam omogućiti da brojeve dovedete do zajedničkog nazivnika. Vrijednost se neće promijeniti ni na koji način.

Alternativno, može se dogoditi da se frakcija pomiješa. Tada biste prvo trebali zbrojiti cijele dijelove, a zatim one razlomke.

Množenje

Ne zahtijeva nikakve trikove, a za izvođenje ove radnje nije potrebno poznavati osnovno svojstvo razlomka. Dovoljno je najprije zajedno pomnožiti brojnike i nazivnike. U tom slučaju, umnožak brojnika postat će novi brojnik, a umnožak nazivnika će postati novi nazivnik. Kao što vidite, ništa komplicirano.

Jedino što se od vas traži je poznavanje tablice množenja, kao i pažnja. Osim toga, nakon što dobijete rezultat, svakako provjerite može li se taj broj smanjiti ili ne. O tome kako smanjiti razlomke ćemo govoriti malo kasnije.

Oduzimanje

Izvođenje treba voditi istim pravilima kao i kod dodavanja. Dakle, u brojevima s istim nazivnikom dovoljno je brojnik oduzetog oduzeti od brojnika minusa. U slučaju da razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na zajednički i zatim izvesti ovu operaciju. Kao i kod analognog slučaja zbrajanja, morat ćete koristiti glavno svojstvo algebarski razlomak, kao i vještine pronalaženja LCM i zajedničkih djelitelja za razlomke.

Podjela

I posljednja, najzanimljivija operacija pri radu s takvim brojevima je podjela. Prilično je jednostavan i ne uzrokuje posebne poteškoće čak i za one koji ne razumiju kako raditi s razlomcima, posebno za izvođenje operacija zbrajanja i oduzimanja. Kod dijeljenja vrijedi pravilo množiti sa recipročan. Glavno svojstvo razlomka, kao u slučaju množenja, neće se koristiti za ovu operaciju. Pogledajmo pobliže.

Prilikom dijeljenja brojeva, dividenda ostaje nepromijenjena. Djelitelj je obrnut, tj. brojnik i nazivnik su obrnuti. Nakon toga, brojevi se međusobno množe.

Smanjenje

Dakle, već smo ispitali definiciju i strukturu razlomaka, njihove vrste, pravila operacija na zadanim brojevima i otkrili glavno svojstvo algebarskog razlomka. Sada razgovarajmo o takvoj operaciji kao smanjenje. Smanjenje razlomka je proces njegovog pretvaranja – dijeljenje brojnika i nazivnika istim brojem. Dakle, frakcija se smanjuje bez promjene njegovih svojstava.

Obično, kada izvodite matematičku operaciju, trebate pažljivo pogledati rezultat dobiven na kraju i saznati je li moguće smanjiti rezultirajući razlomak ili ne. Zapamtite da je konačni rezultat uvijek zapisan kao razlomak koji ne zahtijeva smanjenje.

Ostale operacije

Konačno, napominjemo da smo naveli daleko od svih operacija nad razlomcima, spominjući samo one najpoznatije i potrebne. Razlomci se također mogu uspoređivati, pretvarati u decimale i obrnuto. Ali u ovom članku nismo razmatrali ove operacije, budući da se u matematici one provode mnogo rjeđe od onih koje smo dali gore.

nalazima

Razgovarali smo o razlomcima i operacijama s njima. Analizirali smo i glavnu imovinu, ali napominjemo da smo sva ta pitanja usputno razmatrali. Dali smo samo najpoznatija i korištena pravila, dali smo najvažnije, po našem mišljenju, savjete.

Svrha ovog članka je osvježiti informacije koje ste zaboravili o razlomcima, a ne dati nove informacije i "napunite" svoju glavu beskrajnim pravilima i formulama, koje vam, najvjerojatnije, neće biti korisne.

Nadamo se da vam je materijal predstavljen u članku jednostavno i sažeto postao koristan.

Želite li se osjećati kao saper? Onda je ova lekcija za vas! Jer sada ćemo proučavati razlomke - to su tako jednostavni i bezopasni matematički objekti koji nadmašuju ostatak tečaja algebre u svojoj sposobnosti da "vade mozak".

Glavna opasnost od razlomaka je da se javljaju u stvarnom životu. Po tome se razlikuju npr. od polinoma i logaritama, koji se nakon ispita mogu položiti i lako zaboraviti. Stoga se materijal predstavljen u ovoj lekciji, bez pretjerivanja, može nazvati eksplozivnim.

Numerički razlomak (ili jednostavno razlomak) je par cijelih brojeva napisanih kroz kosu crtu ili horizontalnu traku.

Razlomci napisani kroz horizontalnu traku:

Isti razlomci napisani kosom crtom:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Obično se razlomci pišu kroz vodoravnu crtu - s njima je lakše raditi, a i izgledaju bolje. Broj napisan na vrhu naziva se brojnik razlomka, a broj napisan na dnu naziva se nazivnik.

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak s nazivnikom 1. Na primjer, 12 = 12/1 je razlomak iz gornjeg primjera.

Općenito, možete staviti bilo koji cijeli broj u brojnik i nazivnik razlomka. Jedino ograničenje je da nazivnik mora biti različit od nule. Zapamtite dobro staro pravilo: "Ne možete podijeliti s nulom!"

Ako je nazivnik i dalje nula, razlomak se naziva neodređenim. Takav zapis nema smisla i ne može sudjelovati u izračunima.

Osnovno svojstvo razlomka

Razlomci a /b i c /d nazivaju se jednakima ako je ad = bc.

Iz ove definicije proizlazi da se isti razlomak može napisati na različite načine. Na primjer, 1/2 = 2/4 jer je 1 4 = 2 2. Naravno, postoji mnogo razlomaka koji nisu međusobno jednaki. Na primjer, 1/3 ≠ 5/4 jer je 1 4 ≠ 3 5.

Postavlja se razumno pitanje: kako pronaći sve razlomke jednake danom? Odgovor dajemo u obliku definicije:

Glavno svojstvo razlomka je da se brojnik i nazivnik mogu pomnožiti s istim brojem koji nije nula. To će rezultirati razlomkom jednakim zadanom.

Ovo je vrlo važno svojstvo - zapamtite ga. Uz pomoć osnovnog svojstva razlomka mnogi se izrazi mogu pojednostaviti i skratiti. U budućnosti će se stalno "izlaziti" u obliku raznih svojstava i teorema.

Netočni razlomci. Odabir cijelog dijela

Ako je brojnik manji od nazivnika, takav se razlomak naziva pravim. Inače (to jest, kada je brojnik veći ili barem jednak nazivniku), razlomak se naziva nepravilan razlomak i u njemu se može razlikovati cijeli broj.

Cjelobrojni dio ispisuje se kao veliki broj ispred razlomka i izgleda ovako (označeno crvenom bojom):

Da biste cijeli dio izolirali u nepravilan razlomak, trebate slijediti tri jednostavna koraka:

1. Pronađite koliko puta nazivnik stane u brojnik. Drugim riječima, pronađite maksimalni cijeli broj koji će, kada se pomnoži s nazivnikom, i dalje biti manji od brojnika (u ekstremnom slučaju jednak). Ovaj broj će biti cijeli broj, pa ga pišemo ispred;
2. Pomnožite nazivnik s cijelim dijelom pronađenim u prethodnom koraku i oduzmite rezultat od brojnika. Rezultirajući "stub" naziva se ostatak dijeljenja, uvijek će biti pozitivan (u ekstremnim slučajevima, nula). Zapisujemo ga u brojnik novog razlomka;
3. Nazivnik prepisujemo nepromijenjen.

Pa, je li teško? Na prvi pogled može biti teško. Ali potrebno je malo vježbe – i to ćete učiniti gotovo verbalno. Za sada pogledajte primjere:

Zadatak. Odaberite cijeli dio u zadanim razlomcima:

U svim primjerima cijeli je dio označen crvenom bojom, a ostatak dijeljenja zelenom bojom.

Obratite pažnju na posljednji razlomak, gdje se ispostavilo da je ostatak dijeljenja jednak nuli. Ispada da je brojnik potpuno podijeljen nazivnikom. To je sasvim logično, jer je 24: 6 \u003d 4 oštra činjenica iz tablice množenja.

Ako je sve učinjeno ispravno, brojnik novog razlomka će nužno biti manji od nazivnika, t.j. razlomak postaje točan. Također napominjem da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, prije nego što napišete odgovor. Inače, možete značajno zakomplicirati izračune.

Prijelaz u nepravilan razlomak

Postoji i inverzna operacija, kada se riješimo cijelog dijela. To se naziva prijelaz nepravilnih razlomaka i mnogo je češći jer je s nepravilnim razlomcima puno lakše raditi.

Prijelaz na nepravilan razlomak također se vrši u tri koraka:

1. Cjelobrojni dio pomnožite nazivnikom. Rezultat može biti prilično velike brojke, ali ne treba nam biti neugodno;
2. Dobiveni broj dodajte brojniku izvornog razlomka. Rezultat upiši u brojnik nepravilnog razlomka;
3. Prepiši nazivnik - opet bez promjene.

Evo konkretnih primjera:

Zadatak. Pretvori u nepravilan razlomak:

Radi jasnoće, cijeli je dio ponovno označen crvenom bojom, a brojnik izvornog razlomka je zelenom bojom.

Razmotrimo slučaj kada brojnik ili nazivnik razlomka sadrži negativan broj. Na primjer:

U principu, u tome nema ništa kriminalno. Međutim, rad s takvim frakcijama može biti nezgodan. Stoga je u matematici uobičajeno minuse vaditi kao znak razlomka.

To je vrlo lako učiniti ako zapamtite pravila:

1. Plus puta minus jednako je minus. Stoga, ako je u brojniku negativan broj, a u nazivniku pozitivan (ili obrnuto), slobodno prekrižite minus i stavite ga ispred cijelog razlomka;
2. "Dva negativnosti čine potvrdno". Kada je minus i u brojniku i u nazivniku, jednostavno ih prekrižimo - nije potrebna dodatna radnja.

Naravno, ova pravila se mogu primijeniti i u suprotnom smjeru, t.j. možete dodati minus ispod znaka razlomka (najčešće - u brojniku).

Namjerno ne razmatramo slučaj "plus na plus" - s njim je, mislim, ionako sve jasno. Pogledajmo kako ova pravila funkcioniraju u praksi:

Zadatak. Izvadite minuse od četiri gore napisana razlomka.

Obratite pažnju na zadnji razlomak: ispred njega već ima znak minus. Međutim, “spaljuje” se po pravilu “minus puta minus daje plus”.

Također, nemojte pomicati minuse u razlomcima s istaknutim cijelim dijelom. Ti se razlomci prvo pretvaraju u neispravne - a tek onda počinju računati.

Obični razlomak

četvrtine

1. Urednost. a i b postoji pravilo koje vam omogućuje da između njih jedinstveno identificirate jedan i samo jedan od tri odnosa: "< », « >' ili ' = '. Ovo pravilo se zove pravilo narudžbe i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a i b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nenegativno, i b- negativan, dakle a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   zbrajanje razlomaka

2. operacija zbrajanja. Za sve racionalne brojeve a i b postoji tzv pravilo zbrajanja c. Međutim, sam broj c pozvao iznos brojevima a i b i označava se , a proces pronalaženja takvog broja se zove zbrajanje. Pravilo zbrajanja ima sljedeći pogled: .
3. operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a i b postoji tzv pravilo množenja, što ih stavlja u korespondenciju s nekim racionalnim brojem c. Međutim, sam broj c pozvao raditi brojevima a i b i označava se , a naziva se i postupak pronalaženja takvog broja množenje. Pravilo množenja je sljedeće: .
4. Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b i c ako a manji b i b manji c, onda a manji c, i ako a jednaki b i b jednaki c, onda a jednaki c. 6435">Komutativnost zbrajanja. Zbroj se ne mijenja mijenjanjem mjesta racionalnih članova.
5. Asocijativnost zbrajanja. Redoslijed kojim se zbrajaju tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
6. Prisutnost nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se zbroji.
7. Prisutnost suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se zbroji daje 0.
8. Komutativnost množenja. Promjenom mjesta racionalnih čimbenika proizvod se ne mijenja.
9. Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
10. Prisutnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
11. Prisutnost recipročnosti. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj koji, kada se pomnoži, daje 1.
12. Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje. Operacija množenja je u skladu s operacijom zbrajanja kroz zakon distribucije:
13. Povezanost relacije narudžbe s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da će njihov zbroj premašiti a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatna svojstva

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne temelje izravno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na temelju zadanih osnovnih svojstava ili izravno definicijom neki matematički objekt. Takav dodatna svojstva Mnogo. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Postavite brojivost

Numeracija racionalnih brojeva

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Za to je dovoljno dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, tj. uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva.

Najjednostavniji od ovih algoritama je sljedeći. Sastavlja se beskonačna tablica običnih razlomaka, na svakom i-ti red u svakoj j th stupac koji je razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tablice numerirani od jedan. Ćelije tablice su označene , gdje i- broj retka tablice u kojoj se ćelija nalazi, i j- broj stupca.

Rezultirajućom tablicom upravlja "zmija" prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se traže od vrha do dna i sljedeća pozicija se odabire prema prvom podudaranju.

U procesu takve premosnice, svaki novi racionalni broj dodjeljuje se sljedećem prirodni broj. To jest, razlomcima 1 / 1 dodjeljuje se broj 1, razlomcima 2 / 1 - broj 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je jednakost s jedinicom najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika razlomka.

Slijedeći ovaj algoritam, mogu se nabrojati svi pozitivni racionalni brojevi. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva, jednostavno dodijelivši svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. Da. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihovo sjedinjenje je također prebrojivo svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa s konačnim.

Tvrdnja o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zbunjenost, jer se na prvi pogled stječe dojam da je mnogo veći od skupa prirodnih brojeva. Zapravo, to nije tako, a ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trokuta nije izražena nikakvim racionalnim brojem

Racionalni brojevi oblika 1 / n u cjelini n mogu se mjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara varljiv dojam da racionalni brojevi mogu općenito mjeriti bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Iz Pitagorinog teorema poznato je da se hipotenuza pravokutnog trokuta izražava kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih kateta. Da. duljina jednakokračne hipotenuze pravokutni trokut s jednom nogom jednak je, tj. broju čiji je kvadrat 2.

Ako pretpostavimo da je broj predstavljen nekim racionalnim brojem, onda postoji takav cijeli broj m i to takav prirodan broj n, što je, osim toga, razlomak nesvodljiv, tj. brojevi m i n su jednoznačni.

Ako tada , tj. m 2 = 2n 2. Dakle, broj m 2 je paran, ali je umnožak dva neparna broja neparan, što znači da je sam broj m također jasno. Dakle, postoji prirodan broj k, tako da je broj m može se predstaviti kao m = 2k. Kvadrat broja m U tom smislu m 2 = 4k 2 ali s druge strane m 2 = 2n 2 znači 4 k 2 = 2n 2 , ili n 2 = 2k 2. Kao što je ranije prikazano za broj m, što znači da je broj n- točno kao m. Ali tada nisu međusobno prosti, budući da su oba djeljiva na pola. Dobivena kontradikcija dokazuje da to nije racionalan broj.

Razlomci se do danas smatraju jednim od najtežih odjeljaka matematike. Povijest frakcija ima više od jednog tisućljeća. Sposobnost podjele cjeline na dijelove nastala je na teritoriju drevni Egipt i Babilona. S godinama su se operacije koje se izvode s frakcijama usložnjavale, mijenjao se oblik njihovog snimanja. Svaki je imao svoje karakteristike u "odnosu" s ovom granom matematike.

Što je razlomak?

Kad je postalo potrebno cjelinu podijeliti na dijelove bez dodatni napor, zatim su postojali razlomci. Povijest razlomaka neraskidivo je povezana s rješavanjem utilitarnih problema. Sam izraz "razlomak" ima arapske korijene i dolazi od riječi koja znači "razbiti, podijeliti". Od davnina se malo toga promijenilo u tom smislu. Moderna definicija je sljedeća: razlomak je dio ili zbroj dijelova jedinice. Sukladno tome, primjeri s razlomcima predstavljaju sekvencijalno izvođenje matematičkih operacija s razlomcima brojeva.

Danas postoje dva načina za njihovo snimanje. nastao u drugačije vrijeme: prvi su stariji.

Došao iz antičkih vremena

Po prvi put su počeli djelovati s frakcijama na teritoriju Egipta i Babilona. Pristup matematičara dviju država imao je značajne razlike. Međutim, početak je tu i tamo bio isti. Prvi razlomak je bio pola ili 1/2. Zatim je došla četvrtina, trećina i tako dalje. Prema arheološkim iskapanjima, povijest nastanka frakcija ima oko 5 tisuća godina. Po prvi put, dijelovi broja pronađeni su u egipatskim papirusima i na babilonskim glinenim pločama.

Drevni Egipt

Vrste običnih frakcija danas uključuju tzv. Oni su zbroj nekoliko članova oblika 1/n. Brojnik je uvijek jedan, a nazivnik prirodan broj. Takvi razlomci pojavili su se, koliko god bilo teško pogoditi, u starom Egiptu. Prilikom izračunavanja svih udjela pokušali su ih zapisati u obliku takvih zbroja (npr. 1/2 + 1/4 + 1/8). Samo su razlomci 2/3 i 3/4 imali zasebne oznake, a ostali su podijeljeni u pojmove. Postojale su posebne tablice u kojima su razlomci broja bili predstavljeni kao zbroj.

Najstarija poznata referenca na takav sustav nalazi se u Rhindinom matematičkom papirusu, datiranom na početak drugog tisućljeća pr. Uključuje tablicu razlomaka i matematički problemi s rješenjima i odgovorima predstavljenim kao zbroji razlomaka. Egipćani su znali zbrajati, dijeliti i množiti razlomke broja. Razlomci u dolini Nila ispisani su hijeroglifima.

Predstavljanje razlomka broja kao zbroj pojmova oblika 1/n, karakteristično za stari Egipat, koristili su matematičari ne samo u ovoj zemlji. Sve do srednjeg vijeka egipatske frakcije su se koristile u Grčkoj i drugim državama.

Razvoj matematike u Babilonu

Matematika je izgledala drugačije u babilonskom kraljevstvu. Povijest nastanka razlomaka ovdje je izravno povezana sa značajkama naslijeđenog brojevnog sustava drevna država naslijeđena od svoje prethodnice, sumersko-akadske civilizacije. Tehnika izračuna u Babilonu bila je prikladnija i savršenija nego u Egiptu. Matematika je u ovoj zemlji rješavala mnogo širi spektar problema.

Danas se o dostignućima Babilonaca može suditi prema preživjelim glinenim pločama ispunjenim klinastim pismom. Zbog karakteristika materijala do nas su došli u u velikom broju. Prema nekima u Babilonu, prije Pitagore je otkriven poznati teorem, koji nedvojbeno svjedoči o razvoju znanosti u ovoj drevnoj državi.

Razlomci: povijest razlomaka u Babilonu

Brojevni sustav u Babilonu bio je seksagezimalni. Svaka nova kategorija razlikovala se od prethodne za 60. Taj se sustav očuvao u moderni svijet za označavanje vremena i kutova. Razlomci su također bili seksagezimalni. Za snimanje su korištene posebne ikone. Kao iu Egiptu, primjeri razlomaka sadržavali su zasebne simbole za 1/2, 1/3 i 2/3.

Babilonski sustav nije nestao s državom. Razlomke napisane u 60. sustavu koristili su drevni i arapski astronomi i matematičari.

Drevna grčka

Povijest običnih razlomaka nije mnogo obogaćena drevna grčka. Stanovnici Helade vjerovali su da matematika treba raditi samo s cijelim brojevima. Stoga se izrazi s razlomcima na stranicama starogrčkih rasprava praktički nisu pojavili. Međutim, pitagorejci su dali određeni doprinos ovoj grani matematike. Razlomke su shvaćali kao omjere ili proporcije, a smatrali su i jedinicu nedjeljivom. Pitagora i njegovi učenici gradili su opća teorija razlomke, naučili izvesti sve četiri računske operacije, kao i uspoređivati ​​razlomke dovodeći ih do zajedničkog nazivnika.

sveto Rimsko Carstvo

Rimski sustav razlomaka bio je povezan s mjerom težine koja se naziva "magarac". Podijeljen je na 12 dionica. 1/12 assa zvala se unca. Bilo je 18 naziva za razlomke. Ovo su neki od njih:

polu - polovica assa;

sextante - šestina assa;

polu-unca - pola unce ili 1/24 magarca.

Nepogodnost takvog sustava bila je nemogućnost predstavljanja broja kao razlomka s nazivnikom 10 ili 100. Rimski matematičari su poteškoću prevladali korištenjem postotaka.

Pisanje običnih razlomaka

U antici su se razlomci već pisali na poznat način: jedan broj preko drugog. Međutim, postojala je jedna značajna razlika. Brojnik je bio ispod nazivnika. Po prvi put su se razlomci počeli pisati na ovaj način u staroj Indiji. Arapi su počeli koristiti moderni način za nas. Ali nijedan od tih naroda nije koristio vodoravnu crtu za razdvajanje brojnika i nazivnika. Prvi put se pojavljuje u spisima Leonarda iz Pize, poznatijeg kao Fibonacci, 1202. godine.

Kina

Ako je povijest nastanka običnih razlomaka započela u Egiptu, onda su se decimale prvi put pojavile u Kini. U Nebeskom Carstvu počeli su se koristiti od otprilike 3. stoljeća pr. Povijest decimalnih razlomaka započela je kineskim matematičarem Liu Huijem, koji je predložio da ih se koristi za vađenje kvadratnog korijena.

U 3. stoljeću nakon Krista, decimalni razlomci u Kini su se počeli koristiti za izračunavanje težine i volumena. Postupno su počeli prodirati sve dublje u matematiku. U Europi su, međutim, decimale ušle u upotrebu mnogo kasnije.

Al-Kashi iz Samarkanda

Bez obzira na kineske prethodnike, decimalne razlomke otkrio je astronom al-Kashi iz stari Grad Samarkand. Živio je i radio u 15. stoljeću. Znanstvenik je svoju teoriju iznio u raspravi "Ključ aritmetike", koja je objavljena 1427. godine. Al-Kashi je predložio korištenje novi oblik zapisi o razlomcima. I cijeli i razlomački dijelovi sada su napisani u jednom retku. Samarkandski astronom nije koristio zarez da ih odvoji. Napisao je cijeli broj i razlomak različite boje koristeći crnu i crvenu tintu. Ponekad je al-Kashi također koristio okomitu liniju da ih razdvoji.

Decimale u Europi

Nova vrsta razlomaka počela se pojavljivati ​​u djelima europskih matematičara od 13. stoljeća. Treba napomenuti da nisu bili upoznati s djelima al-Kashija, kao ni s izumom Kineza. Decimalni razlomci pojavili su se u spisima Jordana Nemorarija. Tada su se koristili već u 16. st. Francuski znanstvenik napisao je Matematički kanon, koji je sadržavao trigonometrijske tablice. U njima je Viet koristio decimalne razlomke. Kako bi odvojio cijeli broj i razlomak, znanstvenik je koristio okomitu liniju, kao i različite veličine font.

Međutim, to su bili samo posebni slučajevi znanstvene upotrebe. Za rješavanje svakodnevnih problema decimalni razlomci u Europi počeli su se koristiti nešto kasnije. To se dogodilo zahvaljujući nizozemskom znanstveniku Simonu Stevinu krajem 16. stoljeća. Objavio je matematičko djelo Deseta 1585. godine. U njemu je znanstvenik iznio teoriju korištenja decimalnih razlomaka u aritmetici, u monetarnom sustavu te za određivanje mjera i težina.

Točka, točka, zarez

Stevin također nije koristio zarez. Odvojio je dva dijela razlomka pomoću zaokružene nule.

Prvi put zarez je odvojio dva dijela decimalnog razlomka tek 1592. godine. U Engleskoj je, međutim, umjesto toga korištena točka. U Sjedinjenim Državama decimalni razlomci se i dalje pišu na ovaj način.

Jedan od inicijatora upotrebe oba interpunkcijska znaka za odvajanje cijelih i razlomaka bio je škotski matematičar John Napier. Svoj je prijedlog iznio 1616-1617. Zarez je koristio i njemački znanstvenik

Razlomci u Rusiji

Na ruskom tlu, prvi matematičar koji je zacrtao podjelu cjeline na dijelove bio je novgorodski monah Kirik. Godine 1136. napisao je djelo u kojem je ocrtao metodu "računanja godina". Kirik se bavio pitanjima kronologije i kalendara. U svom je radu naveo i podjelu sata na dijelove: kvinte, dvadeset pete i tako dalje.

Podjela cjeline na dijelove korištena je pri izračunu iznosa poreza u XV-XVII stoljeću. Korištene su operacije zbrajanja, oduzimanja, dijeljenja i množenja s razlomcima.

Sama riječ "frakcija" pojavila se u Rusiji u VIII stoljeću. Dolazi od glagola "zgnječiti, podijeliti na dijelove". Naši su preci koristili posebne riječi za imenovanje razlomaka. Na primjer, 1/2 je označeno kao pola ili pola, 1/4 - četiri, 1/8 - pola sata, 1/16 - pola sata i tako dalje.

Potpuna teorija razlomaka, koja se ne razlikuje mnogo od suvremene, predstavljena je u prvom udžbeniku aritmetike, koji je 1701. napisao Leonty Filippovič Magnitsky. "Aritmetika" se sastojala od nekoliko dijelova. Autor detaljnije govori o razlomcima u odjeljku “O brojevima izlomljenih linija ili s razlomcima”. Magnitsky daje operacije s "razbijenim" brojevima, njihove različite oznake.

Danas su razlomci još uvijek među najtežim dijelovima matematike. Povijest razlomaka također nije bila jednostavna. različitih naroda ponekad neovisno jedni o drugima, a ponekad posudivši iskustvo svojih prethodnika, dolazili su do potrebe uvođenja, ovladavanja i korištenja razlomaka broja. Doktrina o razlomcima uvijek je izrasla iz praktičnih opažanja i zahvaljujući hitnim problemima. Trebalo je podijeliti kruh, označiti jednake parcele zemljište, obračunavanje poreza, mjerenje vremena i tako dalje. Značajke uporabe razlomaka i matematičkih operacija s njima ovisile su o brojevnom sustavu u stanju i o opća razina razvoj matematike. Na ovaj ili onaj način, nakon više od tisuću godina, dio algebre posvećen razlomcima brojeva formirao se, razvio i danas se uspješno koristi za razne potrebe, kako praktične tako i teorijske.