Započet ćemo naše razmatranje ove teme proučavanjem koncepta razlomka kao cjeline, što će nam dati potpunije razumijevanje značenja običnog razlomka. Navedimo glavne pojmove i njihovu definiciju, proučimo temu u geometrijskoj interpretaciji, t.j. na koordinatnoj liniji, a također definirati popis osnovnih radnji s razlomcima.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Dionice cjeline
Zamislite objekt koji se sastoji od nekoliko, potpuno jednakih dijelova. Na primjer, to može biti naranča, koja se sastoji od nekoliko identičnih kriški.
Definicija 1
Udio u cjelini ili udio je svaki od jednakih dijelova koji čine cijeli objekt.
Očito, udjeli mogu biti različiti. Da biste jasno objasnili ovu tvrdnju, zamislite dvije jabuke, od kojih je jedna izrezana na dva jednaka dijela, a druga na četiri. Jasno je da će veličina rezultirajućih udjela za različite jabuke varirati.
Dionice imaju svoje nazive, koji ovise o broju dionica koje čine cijeli predmet. Ako stavka ima dva dijela, tada će svaki od njih biti definiran kao jedan drugi dio ove stavke; kada se objekt sastoji od tri dijela, onda je svaki od njih jedna trećina i tako dalje.
Definicija 2
Pola- jedan drugi dio predmeta.
Treći- jedna trećina predmeta.
Četvrtina- jedna četvrtina predmeta.
Kako bi se skratio zapis, uvedena je sljedeća oznaka za dionice: polovina - 1 2 ili 1 / 2 ; treći - 1 3 ili 1 / 3 ; jedna četvrtina udjela 1 4 ili 1/4 i tako dalje. Češće se koriste unosi s vodoravnom trakom.
Koncept udjela prirodno se širi od objekata do veličina. Dakle, možete koristiti dijelove metra (jedna trećina ili stoti dio) za mjerenje malih predmeta, kao jednu od jedinica duljine. Udjeli drugih količina mogu se primijeniti na sličan način.
Obični razlomci, definicija i primjeri
Za opisivanje broja dionica koriste se obični razlomci. Razmotrimo jednostavan primjer koji će nas približiti definiciji običnog razlomka.
Zamislite naranču koja se sastoji od 12 kriški. Svaka dionica će tada biti - jedna dvanaestina ili 1/12. Dva udjela - 2/12; tri dionice - 3/12 itd. Svih 12 dijelova ili cijeli broj bi izgledali ovako: 12 / 12 . Svaki od unosa korištenih u primjeru je primjer običnog razlomka.
Definicija 3
Obični razlomak je zapis obrasca m n ili m / n , gdje su m i n bilo koji prirodni brojevi.
Prema ovoj definiciji, primjeri običnih razlomaka mogu biti unosi: 4 / 9, 1134, 91754. I ovi unosi: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 nisu obični razlomci.
Brojnik i nazivnik
Definicija 4brojnik obični razlomak m n ili m / n je prirodan broj m .
nazivnik obični razlomak m n ili m / n je prirodan broj n .
Oni. brojnik je broj iznad crte običnog razlomka (ili lijevo od kose crte), a nazivnik je broj ispod crte (desno od kose crte).
Što znače brojnik i nazivnik? Nazivnik običnog razlomka pokazuje od koliko se dionica sastoji jedna stavka, a brojnik nam daje informaciju o tome koliko se takvih udjela smatra. Na primjer, obični razlomak 7 54 nam ukazuje da se određeni objekt sastoji od 54 udjela, a za razmatranje smo uzeli 7 takvih udjela.
Prirodni broj kao razlomak s nazivnikom 1
Nazivnik običnog razlomka može biti jednak jedan. U ovom slučaju, moguće je reći da je predmet (vrijednost) koji se razmatra nedjeljiv, da je nešto cjelovito. Brojnik u takvom razlomku će pokazati koliko je takvih predmeta uzeto, t.j. obični razlomak oblika m 1 ima značenje prirodnog broja m . Ova izjava služi kao opravdanje za jednakost m 1 = m .
Zapišimo posljednju jednakost ovako: m = m 1 . Dat će nam priliku da koristimo bilo koji prirodni broj u obliku običnog razlomka. Na primjer, broj 74 je običan razlomak oblika 74 1 .
Definicija 5
Svaki prirodni broj m može se napisati kao običan razlomak, gdje je nazivnik jedan: m 1 .
Zauzvrat, bilo koji obični razlomak oblika m 1 može se predstaviti prirodnim brojem m .
Razlomak kao znak dijeljenja
Gornji prikaz danog objekta kao n udjela nije ništa drugo nego podjela na n jednakih dijelova. Kada se predmet podijeli na n dijelova, imamo priliku podijeliti ga na n ljudi - svatko dobiva svoj dio.
U slučaju kada u početku imamo m identičnih objekata (svaki podijeljen na n dijelova), tada se tih m objekata može jednako podijeliti na n ljudi, dajući svakom od njih po jedan udio od svakog od m objekata. U ovom slučaju svaka će osoba imati m dionica 1 n , a m dionica 1 n dat će običan razlomak m n . Stoga se obični razlomak m n može koristiti za predstavljanje podjele m stavki među n ljudi.
Rezultirajuća izjava uspostavlja vezu između običnih razlomaka i dijeljenja. A taj se odnos može izraziti na sljedeći način : moguće je označavati liniju razlomka kao znak dijeljenja, t.j. m/n=m:n.
Uz pomoć običnog razlomka možemo napisati rezultat dijeljenja dva prirodni brojevi. Na primjer, dijeljenje 7 jabuka s 10 ljudi bit će napisano kao 7 10: svaka će osoba dobiti sedam desetina.
Jednaki i nejednaki obični razlomci
Logična radnja je usporediti obične razlomke, jer je očito da je, na primjer, 1 8 jabuke različito od 7 8 .
Rezultat usporedbe običnih razlomaka može biti: jednak ili nejednak.
Definicija 6
Jednaki obični razlomci su obični razlomci a b i c d , za koje vrijedi jednakost: a d = b c .
Nejednaki obični razlomci- obični razlomci a b i c d , za koje ne vrijedi jednakost: a · d = b · c.
Primjer jednakih razlomaka: 1 3 i 4 12 - budući da je jednakost 1 12 \u003d 3 4 istinita.
U slučaju kada se pokaže da razlomci nisu jednaki, obično je potrebno i saznati koji je od zadanih razlomaka manji, a koji veći. Da bi se odgovorilo na ova pitanja, obični razlomci se uspoređuju tako da se dovedu do zajedničkog nazivnika, a zatim se uspoređuju brojnici.
Razlomci brojeva
Svaki razlomak je zapis razlomka broja, koji je zapravo samo “ljuska”, vizualizacija semantičkog opterećenja. Ali ipak, radi praktičnosti, kombiniramo koncepte razlomka i razlomka, jednostavno govoreći - razlomak.
Svi razlomci, kao i svaki drugi broj, imaju svoju jedinstvenu lokaciju koordinatni snop: postoji korespondencija jedan prema jedan između razlomaka i točaka koordinatne zrake.
Da bismo pronašli točku na koordinatnoj zraci, koja označava razlomak m n , potrebno je odgoditi m segmenata u pozitivnom smjeru od ishodišta koordinata, od kojih će duljina svake biti 1 n ulomak jediničnog segmenta. Segmenti se mogu dobiti dijeljenjem jednog segmenta na n identičnih dijelova.
Kao primjer, označimo točku M na koordinatnoj zraci, koja odgovara razlomku 14 10 . Duljina segmenta, čiji su krajevi točka O, a najbliža točka označena malim potezom, jednaka je 1 10 ulomaka jediničnog segmenta. Točka koja odgovara razlomku 14 10 nalazi se na udaljenosti od ishodišta koordinata na udaljenosti od 14 takvih segmenata.
Ako su razlomci jednaki, t.j. odgovaraju istom razlomku, tada ti razlomci služe kao koordinate iste točke na koordinatnoj zraci. Na primjer, koordinate u obliku jednakih razlomaka 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 odgovaraju istoj točki na koordinatnoj zraci, koja se nalazi na udaljenosti od trećine jediničnog segmenta, odgođena od porijeklo u pozitivnom smjeru.
Ovdje djeluje isti princip kao i kod cijelih brojeva: na horizontalnoj koordinatnoj zraci usmjerenoj udesno, točka kojoj odgovara veliki razlomak bit će smještena desno od točke kojoj odgovara manji razlomak. I obrnuto: točka, čija je koordinata manji ulomak, nalazit će se lijevo od točke, što odgovara većoj koordinati.
Pravi i nepravilni razlomci, definicije, primjeri
Podjela razlomaka na prave i neprave temelji se na usporedbi brojnika i nazivnika unutar istog razlomka.
Definicija 7
Ispravan razlomak je običan razlomak u kojem je brojnik manji od nazivnika. To jest, ako je nejednakost m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojnik veći ili jednak nazivniku. To jest, ako je nejednakost undefined istinita, tada je obični razlomak m n nepravilan.
Evo nekoliko primjera: - pravi razlomci:
Primjer 1
5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;
Nepravilni razlomci:
Primjer 2
13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .
Također je moguće dati definiciju pravih i nepravih razlomaka, na temelju usporedbe razlomka s jedinicom.
Definicija 8
Ispravan razlomak je običan razlomak koji je manji od jedan.
Nepravilan razlomak je običan razlomak jednak ili veći od jedan.
Na primjer, razlomak 8 12 je točan, jer 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 i 14 14 = 1.
Idemo malo dublje u razmišljanje zašto se razlomci u kojima je brojnik veći ili jednak nazivniku nazivaju "nepravilnim".
Razmotrimo nepravilni razlomak 8 8: on nam govori da je uzeto 8 dijelova objekta koji se sastoji od 8 dijelova. Dakle, od raspoloživih osam dionica možemo sastaviti cijeli objekt, t.j. zadani razlomak 8 8 u biti predstavlja cijeli objekt: 8 8 \u003d 1. Razlomci u kojima su brojnik i nazivnik jednaki u potpunosti zamjenjuju prirodni broj 1.
Razmotrimo i razlomke u kojima brojnik prelazi nazivnik: 11 5 i 36 3 . Jasno je da razlomak 11 5 označava da od njega možemo napraviti dva cijela predmeta i da će i dalje biti jedna petina. Oni. razlomak 11 5 je 2 objekta i još 1 5 od njega. Zauzvrat, 36 3 je razlomak, što u biti znači 12 cijelih objekata.
Ovi primjeri nam omogućuju da to zaključimo nepravilni razlomci moguće je zamijeniti prirodnim brojevima (ako je brojnik djeljiv nazivnikom bez ostatka: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) ili zbrojem prirodnog broja i pravilnog razlomka (ako brojnik nije djeljivo nazivnikom bez ostatka: 11 5 \u003d 2 + 1 5). Vjerojatno se zbog toga takvi razlomci nazivaju "nepravilnim".
I ovdje se susrećemo s jednom od najvažnijih brojčanih vještina.
Definicija 9
Izdvajanje cjelobrojnog dijela iz nepravilnog razlomka je nepravilan razlomak zapisan kao zbroj prirodnog broja i pravilnog razlomka.
Također imajte na umu da postoji bliska veza između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva.
Pozitivni i negativni razlomci
Gore smo rekli da svaki obični razlomak odgovara pozitivnom razlomku. Oni. obični razlomci su pozitivni razlomci. Primjerice, razlomci 5 17 , 6 98 , 64 79 su pozitivni, a kada je potrebno naglasiti “pozitivnost” razlomka, piše se znakom plus: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .
Ako običnom razlomku dodijelimo znak minus, tada će rezultirajući zapis biti zapis negativnog razlomka, a u ovom slučaju govorimo o negativnim razlomcima. Na primjer, - 8 17 , - 78 14 itd.
Pozitivni i negativni razlomci m n i - m n su suprotni brojevi. Na primjer, razlomci 7 8 i - 7 8 su suprotni.
Pozitivni razlomci, kao i svaki pozitivni brojevi općenito, znače zbrajanje, promjenu prema gore. Zauzvrat, negativni ulomci odgovaraju potrošnji, promjeni u smjeru smanjenja.
Ako uzmemo u obzir koordinatni pravac, vidjet ćemo da se negativni razlomci nalaze lijevo od referentne točke. Točke kojima odgovaraju razlomci, koje su suprotne (m n i - m n), nalaze se na istoj udaljenosti od ishodišta koordinata O, ali duž različite strane od nje.
Ovdje također posebno govorimo o razlomcima zapisanim u obliku 0 n . Takav je razlomak jednak nuli, t.j. 0 n = 0 .
Rezimirajući sve navedeno, došli smo do najvažnijeg pojma racionalnih brojeva.
Definicija 10
Racionalni brojevi je skup pozitivnih razlomaka, negativnih razlomaka i razlomaka oblika 0 n .
Radnje s razlomcima
Navedimo osnovne operacije s razlomcima. Općenito, njihova je bit ista kao i odgovarajuće operacije s prirodnim brojevima
- Usporedba razlomaka - o ovoj smo akciji raspravljali gore.
- Zbrajanje razlomaka - rezultat zbrajanja običnih razlomaka je običan razlomak (u određenom slučaju sveden na prirodan broj).
- Oduzimanje razlomaka je radnja, suprotna od zbrajanja, kada se nepoznati razlomak odredi iz jednog poznatog razlomka i zadanog zbroja razlomaka.
- Množenje razlomaka – ova radnja se može opisati kao pronalaženje razlomka iz razlomka. Rezultat množenja dvaju običnih razlomaka je običan razlomak (u određenom slučaju jednak prirodnom broju).
- Podjela razlomaka - akcija, recipročna vrijednost množenja, kada odredimo razlomak kojim je potrebno zadani pomnožiti da bi se dobio poznati umnožak dvaju razlomaka.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Dio jedinice ili više njezinih dijelova naziva se prosti ili obični razlomak. Broj jednakih dijelova na koje je jedinica podijeljena naziva se nazivnik, a broj uzetih dijelova naziva se brojnik. Razlomak se piše kao:
U ovom slučaju, a je brojnik, b je nazivnik.
Ako je brojnik manji od nazivnika, tada je razlomak manji od 1 i naziva se pravi razlomak. Ako je brojnik veći od nazivnika, tada je razlomak veći od 1, tada se razlomak naziva nepravilan razlomak.
Ako su brojnik i nazivnik razlomka jednaki, tada je razlomak jednak.
1. Ako se brojnik može podijeliti nazivnikom, tada je ovaj razlomak jednak kvocijentu dijeljenja:
Ako se dijeljenje izvodi s ostatkom, tada se ovaj nepravilni razlomak može predstaviti mješovitim brojem, na primjer:
Tada je 9 nepotpuni kvocijent (cijeli dio mješovitog broja),
1 - ostatak (brojnik razlomka),
5 je nazivnik.
Za pretvaranje mješovitog broja u razlomak, cijeli broj mješovitog broja pomnožite s nazivnikom i dodajte brojnik razlomaka.
Dobiveni rezultat bit će brojnik običnog razlomka, a nazivnik će ostati isti.
Radnje s razlomcima
Ekspanzija frakcija. Vrijednost razlomka se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim brojem koji nije nula.
na primjer:
Smanjenje frakcije. Vrijednost razlomka se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik podijele s istim brojem koji nije nula.
na primjer: 
Usporedba razlomaka. Od dva razlomka s istim brojnikom, veći je onaj s manjim nazivnikom:
Od dva razlomka s istim nazivnicima veći je onaj s većim brojnikom:
Za usporedbu razlomaka koji imaju različite brojnike i nazivnike potrebno ih je proširiti, odnosno dovesti do zajedničkog nazivnika. Razmotrimo, na primjer, sljedeće razlomke: 
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Ako su nazivnici razlomaka isti, tada je za zbrajanje razlomaka potrebno zbrojiti njihove brojnike, a da bismo oduzeli razlomke potrebno im je oduzeti brojnike. Dobiveni zbroj ili razlika bit će brojnik rezultata, dok će nazivnik ostati isti. Ako su nazivnici razlomaka različiti, prvo morate svesti razlomke na zajednički nazivnik. Kod zbrajanja mješovitih brojeva posebno se zbrajaju njihovi cjelobrojni i razlomčki dijelovi. Prilikom oduzimanja mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u oblik nepravilnih razlomaka, zatim oduzeti jedan od drugoga, a zatim ponovno dovesti rezultat, ako je potrebno, u oblik mješovitog broja.
Množenje razlomaka. Da biste pomnožili razlomke, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi proizvod podijeliti s drugim.
Podjela razlomaka. Da biste broj podijelili razlomkom, morate taj broj pomnožiti s njegovom recipročnom vrijednosti.
Decimal je rezultat dijeljenja jedan sa deset, sto, tisuću, itd. dijelovi. Prvo se upisuje cijeli dio broja, a zatim se decimalna točka stavlja s desne strane. Prva znamenka iza decimalne točke znači broj desetinki, druga - broj stotinki, treća - broj tisućinki itd. Brojevi iza decimalne točke nazivaju se decimalna mjesta.
Na primjer: 
Decimalna svojstva
Svojstva:
- Decimalni razlomak se ne mijenja ako se desno dodaju nule: 4,5 = 4,5000.
- Decimalni razlomak se ne mijenja ako se uklone nule koje se nalaze na kraju decimalnog razlomka: 0,0560000 = 0,056.
- Decimala se povećava na 10, 100, 1000 i tako dalje. puta, ako pomaknete decimalni zarez na jedan, dva, tri, itd. pozicije desno: 4,5 45 (razlomak se povećao 10 puta).
- Decimala se smanjuje za 10, 100, 1000 itd. puta, ako pomaknete decimalni zarez na jedan, dva, tri, itd. pozicije lijevo: 4,5 0,45 (razlomak se smanjio 10 puta).
Periodična decimala sadrži beskonačno ponavljajuću grupu znamenki koja se naziva period: 0,321321321321…=0,(321)
Operacije s decimalama
Zbrajanje i oduzimanje decimala vrši se na isti način kao zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva, samo trebate napisati odgovarajuća decimalna mjesta jedno ispod drugog.
Na primjer:
Množenje decimalnih razlomaka provodi se u nekoliko faza:
- Pomnožiti decimale kao cijeli brojevi, zanemarujući decimalni zarez.
- Primjenjuje se pravilo: broj decimalnih mjesta u proizvodu jednak je zbroju decimalnih mjesta u svim faktorima.
na primjer:
Zbroj brojeva decimalnih mjesta u faktorima je: 2+1=3. Sada morate izbrojati 3 znamenke od kraja rezultirajućeg broja i staviti decimalni zarez: 0,675.
Podjela decimala. Dijeljenje decimale cijelim brojem: ako je dividenda manji djelitelj, tada trebate upisati nulu u cjelobrojni dio kvocijenta i nakon nje staviti decimalni zarez. Zatim, ne uzimajući u obzir decimalni zarez dividende, dodajte sljedeću znamenku razlomka u njegov cijeli broj i ponovno usporedite dobiveni cijeli broj dividende s djeliteljem. Ako je novi broj opet manji od djelitelja, operacija se mora ponoviti. Ovaj postupak se ponavlja sve dok rezultirajuća dividenda ne bude veća od djelitelja. Nakon toga se vrši dijeljenje kao za cijele brojeve. Ako je dividenda veća ili jednaka djelitelju, prvo podijelimo njegov cijeli broj, rezultat dijeljenja upišemo u kvocijent i stavimo decimalni zarez. Nakon toga, dijeljenje se nastavlja, kao u slučaju cijelih brojeva.
Dijeljenje jednog decimalnog razlomka u drugi: prvo se decimalne točke u djelitelju i djelitelju prenose brojem decimalnih mjesta u djelitelju, odnosno činimo djelitelj cijelim brojem i izvode se gore opisane radnje.
Da bi se decimalni razlomak pretvorio u obični, potrebno je kao brojnik uzeti broj iza decimalne točke, a za nazivnik uzeti k-ti stepen desetice (k je broj decimalnih mjesta). Cijeli dio različit od nule sačuvan je u običnom razlomku; nulti cijeli broj je izostavljen.
Na primjer: 
Da biste obični razlomak pretvorili u decimalu, potrebno je brojnik podijeliti nazivnikom u skladu s pravilima dijeljenja.
Postotak je stoti dio jedinice, na primjer: 5% znači 0,05. Omjer je količnik dijeljenja jednog broja drugim. Proporcija je jednakost dvaju omjera.
Na primjer:
Glavno svojstvo omjera: umnožak krajnjih članova omjera jednak je umnošku njegovih srednjih članova, odnosno 5x30 = 6x25. Dvije međusobno zavisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako omjer njihovih veličina ostane nepromijenjen (koeficijent proporcionalnosti).
Tako se otkrivaju sljedeće aritmetičke operacije.
Na primjer:
Skup racionalnih brojeva uključuje pozitivne i negativne brojeve (cijeli i razlomak) i nulu. Više precizna definicija racionalni brojevi, prihvaćeni u matematici, sljedeći: broj se naziva racionalnim ako se može predstaviti kao običan nesvodljivi razlomak oblika:, gdje su a i b cijeli brojevi.
Za negativan broj apsolutna vrijednost (modulus) je pozitivan broj dobiven promjenom predznaka iz "-" u "+"; za pozitivan broj a nula je sam broj. Za označavanje modula broja koriste se dvije ravne crte unutar kojih je napisan ovaj broj, na primjer: |–5|=5.
Svojstva apsolutne vrijednosti
Neka je zadan modul broja 
, za koje vrijede svojstva: 
Monom je umnožak dva ili više faktora, od kojih je svaki ili broj, ili slovo, ili snaga slova: 3 x a x b. Koeficijent se najčešće naziva samo brojčani faktor. Za monomi se kaže da su slični ako su isti ili se razlikuju samo po koeficijentima. Stupanj monoma je zbroj eksponenata svih njegovih slova. Ako među zbrojem monoma ima sličnih, onda se zbroj može svesti na više običan prizor: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Ova operacija se naziva prisila sličnih pojmova ili zagrada.
Polinom je algebarski zbroj monoma. Stupanj polinoma je najveći od stupnjeva monoma uključenih u zadani polinom.
Postoje sljedeće formule za skraćeno množenje:
Metode faktoringa:
Algebarski razlomak je izraz oblika , gdje A i B mogu biti broj, monom, polinom.
Ako su dva izraza (numerički i abecedni) povezana znakom "=", onda se kaže da čine jednakost. Svaka istinska jednakost, važeća za sve dopuštene numeričke vrijednosti slova koja su u njoj uključena, naziva se identitetom.
Jednadžba je doslovna jednakost koja vrijedi za određene vrijednosti slova uključenih u nju. Ta se slova nazivaju nepoznanicama (varijable), a njihove vrijednosti, pri kojima data jednadžba postaje identitet, nazivaju se korijenima jednadžbe.
Riješiti jednadžbu znači pronaći sve njezine korijene. Za dvije ili više jednadžbi kaže se da su ekvivalentne ako imaju iste korijene.
- nula je bila korijen jednadžbe;
- Jednadžba ima samo konačan broj korijena.
Glavne vrste algebarskih jednadžbi:
Linearna jednadžba ima ax + b = 0:
- ako je a x 0, postoji jedan korijen x = -b/a;
- ako je a = 0, b ≠ 0, nema korijena;
- ako je a = 0, b = 0, korijen je bilo koji realan broj.
Jednadžba xn = a, n N:
- ako je n neparan broj, ima pravi korijen jednak a/n za bilo koje a;
- ako je n paran broj, tada za 0 ima dva korijena.
Glavni identične transformacije: zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim; prijenos članova jednadžbe s jedne strane na drugu s suprotnim predznacima; množenje ili dijeljenje oba dijela jednadžbe istim izrazom (brojem) koji nije nula.
Linearna jednadžba s jednom nepoznatom je jednadžba oblika: ax+b=0, gdje su a i b poznati brojevi, a x je nepoznata vrijednost.
Sustavi dvoje linearne jednadžbe s dvije nepoznanice imaju oblik:
Gdje su a, b, c, d, e, f dati brojevi; x, y su nepoznati.
Brojevi a, b, c, d - koeficijenti za nepoznanice; e, f - slobodni članovi. Rješenje ovog sustava jednadžbi može se pronaći pomoću dvije glavne metode: metode zamjene: iz jedne jednadžbe izražavamo jednu od nepoznanica kroz koeficijente, a drugu nepoznatu, a zatim je zamjenjujemo u drugu jednadžbu, rješavajući posljednju jednadžbu , prvo nađemo jednu nepoznanicu, zatim nađenu vrijednost zamjenjujemo u prvu jednadžbu i nađemo drugu nepoznanicu; metoda zbrajanja ili oduzimanja jedne jednadžbe od druge.
Operacije s korijenima:
Aritmetika korijen n-tog stupanj od nenegativnog broja a naziva se nenegativnim brojem, n-ti stupanjšto je jednako a. algebarski korijen n-ti stupanj iz zadanog broja naziva se skup svih korijena iz tog broja.
Iracionalni brojevi, za razliku od racionalnih, ne mogu se predstaviti kao obični nesvodljivi razlomak oblika m/n, gdje su m i n cijeli brojevi. To su brojevi novog tipa koji se mogu izračunati s bilo kojom preciznošću, ali se ne mogu zamijeniti racionalnim brojem. Mogu se pojaviti kao rezultat geometrijskih mjerenja, na primjer: omjer duljine dijagonale kvadrata i duljine njegove stranice jednak je.
Kvadratna jednadžba je algebarska jednadžba drugog stupnja ax2+bx+c=0, gdje su a, b, c dati brojčani ili abecedni koeficijenti, x je nepoznanica. Ako sve članove ove jednadžbe podijelimo s a, kao rezultat dobivamo x2+px+q=0 - reducirana jednadžba p=b/a, q=c/a. Njegovi korijeni nalaze se po formuli: 
Ako je b2-4ac>0 tada postoje dva različita korijena, b2-4ac=0 tada postoje dva jednaka korijena; b2-4ac Jednadžbe koje sadrže module
Glavne vrste jednadžbi koje sadrže module:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, gdje su f(x), g(x), fk(x), gk(x) zadane funkcije.
U matematici, razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Prema obliku pisanja, razlomci se dijele na obične (primjer \frac (5) (8)) i decimalne (na primjer, 123,45).
Definicija. Obični razlomak (ili prosti razlomak)
Obični (prosti) razlomak je broj oblika \pm\frac(m)(n) gdje su m i n prirodni brojevi. Broj m se zove brojnik ovaj razlomak, a broj n je njegov nazivnik.
Vodoravna ili kosa crta označava znak podjele, tj. \frac(m)(n)=()^m/n=m:n
Obični razlomci se dijele na dvije vrste: pravilne i nepravilne.
Definicija. Pravilni i nepravilni razlomci
ispravan Razlomak se naziva ako je modul brojnika manji od modula nazivnika. Na primjer, \frac(9)(11) , jer 9
Pogrešno Razlomak se naziva ako je modul brojnika veći ili jednak modulu nazivnika. Ovaj razlomak je racionalni broj, modul veći od ili jednak jedan. Primjer bi bili razlomci \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)
Uz nepravilan razlomak postoji još jedan zapis za broj koji se naziva mješoviti razlomak (mješoviti broj). Takav razlomak nije običan.
Definicija. miješana frakcija(mješoviti broj)
miješana frakcija naziva se razlomak zapisan kao cijeli broj i pravi razlomak i shvaća se kao zbroj tog broja i razlomka. Na primjer, 2\frac(5)(7)
(zapisano kao mješoviti broj) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (nije zapisano kao nepravilan razlomak)
Razlomak je samo prikaz broja. Isti broj može odgovarati različite frakcije, i obični i decimalni. Oblikujmo znak jednakosti dvaju običnih razlomaka.
Definicija. Znak jednakosti razlomaka
Dva razlomka \frac(a)(b) i \frac(c)(d) su jednak, ako je a\cdot d=b\cdot c . Na primjer, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) budući da je 2\cdot12=3\cdot8
Iz specificirani znak slijedi osnovno svojstvo razlomka.
Nekretnina. Osnovno svojstvo razlomka
Ako se brojnik i nazivnik danog razlomka pomnože ili podijele s istim brojem koji nije jednak nuli, dobit će se razlomak jednak zadanoj jedinici.
\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0
Koristeći osnovno svojstvo razlomka, možete dati razlomak zamijeniti drugim razlomkom koji je jednak zadanom, ali s manjim brojnikom i nazivnikom. Ova zamjena naziva se redukcija frakcije. Na primjer, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (ovdje su brojnik i nazivnik prvo podijeljeni s 2, a zatim s još 2). Razlomak se može smanjiti ako i samo ako mu se brojnik i nazivnik ne isključuju. primarni brojevi. Ako su brojnik i nazivnik danog razlomka međusobno prosti, tada se razlomak ne može reducirati, na primjer, \frac(3)(4) je nesmanjiv razlomak.
Pravila za pozitivne razlomke:
Od dva razlomka s istim nazivnicima veći je razlomak čiji je brojnik veći. Na primjer \frac(3)(15)
Od dva razlomka s istim brojnicima veći je razlomak čiji je nazivnik manji. Na primjer, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .
Da biste usporedili dva razlomka s različitim brojnicima i nazivnicima, morate oba razlomka pretvoriti tako da im nazivnici postanu isti. Ova transformacija naziva se svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Razlomci
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Razlomci u srednjoj školi nisu jako neugodni. Za sada. Sve dok ne naiđete na eksponente s racionalnim eksponentima i logaritmima. I tamo…. Pritisnete, pritisnete kalkulator i on prikazuje cijeli semafor nekih brojeva. Moraš misliti svojom glavom, kao u trećem razredu.
Pozabavimo se razlomcima, konačno! Pa koliko se u njima možeš zbuniti!? Štoviše, sve je jednostavno i logično. Tako, što su razlomci?
Vrste razlomaka. Transformacije.
Razlomci se događaju tri vrste.
1. Uobičajeni razlomci , Na primjer:
Ponekad umjesto vodoravne crte stavljaju kosu crtu: 1/2, 3/4, 19/5, pa i tako dalje. Ovdje ćemo često koristiti ovaj pravopis. Poziva se gornji broj brojnik, niži - nazivnik. Ako stalno brkate ove nazive (dešava se ...), recite sebi izraz s izrazom: " Zzzzz zapamtiti! Zzzzz nazivnik – van zzzz u!" Gledaj, sve će se pamtiti.)
Crtica, koja je vodoravna, koja je koso, znači podjela gornji broj (brojnik) na donji broj (nazivnik). I to je to! Umjesto crtice, sasvim je moguće staviti znak podjele - dvije točke.
Kada je podjela moguća u potpunosti, to se mora učiniti. Dakle, umjesto razlomka "32/8" mnogo je ugodnije napisati broj "4". Oni. 32 je jednostavno podijeljeno sa 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Ne govorim o razlomku "4/1". Što je također samo "4". A ako se ne podijeli u potpunosti, ostavljamo ga kao razlomak. Ponekad morate učiniti obrnuto. Napravite razlomak od cijelog broja. Ali više o tome kasnije.
2. Decimale , Na primjer:
Upravo u ovom obliku bit će potrebno zapisati odgovore na zadatke "B".
3. mješoviti brojevi , Na primjer:
Mješoviti brojevi se praktički ne koriste u srednjoj školi. Za rad s njima, moraju se pretvoriti u obične frakcije. Ali svakako morate znati kako to učiniti! A onda će se takav broj naići u slagalici i objesiti ... Ispočetka. Ali sjećamo se ovog postupka! Malo niže.
Najsvestraniji obični razlomci. Počnimo s njima. Usput, ako u razlomku ima svih vrsta logaritama, sinusa i drugih slova, to ništa ne mijenja. U smislu da sve radnje s razlomcima ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima!
Osnovno svojstvo razlomka.
Pa, idemo! Prije svega, iznenadit ću vas. Cijelu raznolikost transformacija razlomaka osigurava jedno svojstvo! Tako se to zove osnovno svojstvo razlomka. Zapamtiti: Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (podijele) s istim brojem, razlomak se neće promijeniti. Oni:
Jasno je da možeš dalje pisati, dok ne budeš plav u licu. Nemojte dopustiti da vas zbune sinusi i logaritmi, njima ćemo se dalje baviti. Glavna stvar koju treba razumjeti je da su svi ti različiti izrazi isti razlomak . 2/3.
I trebamo, sve te transformacije? I kako! Sad ćete se i sami uvjeriti. Prvo, upotrijebimo osnovno svojstvo razlomka za kratice frakcija. Čini se da je stvar elementarna. Brojnik i nazivnik podijelimo istim brojem i to je to! Nemoguće je pogriješiti! Ali... čovjek je kreativno biće. Svugdje možete pogriješiti! Pogotovo ako morate smanjiti ne razlomak poput 5/10, već razlomak sa svim vrstama slova.
Kako pravilno i brzo smanjiti razlomke bez nepotrebnog rada možete pronaći u posebnom odjeljku 555.
Normalan učenik se ne trudi podijeliti brojnik i nazivnik istim brojem (ili izrazom)! Samo precrtava sve isto odozgo i odozdo! Ovdje se skriva tipična greška, blooper ako želiš.
Na primjer, trebate pojednostaviti izraz:
Nema se o čemu razmišljati, odozgo precrtavamo slovo "a", a odozdo dvojku! dobivamo:
Sve je točno. Ali stvarno ste podijelili cjelina brojnik i cjelina nazivnik "a". Ako ste navikli samo prekrižiti, onda, u žurbi, možete precrtati "a" u izrazu
i dobiti opet
Što bi bilo kategorički pogrešno. Jer ovdje cjelina brojnik na "a" već nije podijeljeno! Ovaj se ulomak ne može smanjiti. Inače, takva je skraćenica, hm... ozbiljan izazov učitelju. Ovo se ne oprašta! Zapamtiti? Prilikom redukcije potrebno je podijeliti cjelina brojnik i cjelina nazivnik!
Smanjenje razlomaka uvelike čini život lakšim. Negdje ćete dobiti razlomak, na primjer 375/1000. I kako sada raditi s njom? Bez kalkulatora? Pomnoži, reci, zbroji, kvadrira!? A ako niste previše lijeni, ali pažljivo smanjite za pet, pa čak i za pet, pa čak ... dok se smanjuje, ukratko. Dobivamo 3/8! Mnogo ljepše, zar ne?
Osnovno svojstvo razlomka omogućuje pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto bez kalkulatora! Ovo je važno za ispit, zar ne?
Kako pretvoriti razlomke iz jednog oblika u drugi.
Lako je s decimalama. Kako se čuje, tako se i piše! Recimo 0,25. To je nula točka, dvadeset pet stotinki. Dakle, pišemo: 25/100. Smanjujemo (dijelimo brojnik i nazivnik s 25), dobivamo uobičajeni razlomak: 1/4. Sve. Događa se, a ništa se ne smanjuje. Kao 0.3. Ovo je tri desetine, t.j. 3/10.
Što ako cijeli brojevi nisu nula? U redu je. Zapišite cijeli razlomak bez ikakvih zareza u brojniku, a u nazivniku - ono što se čuje. Na primjer: 3.17. Ovo su tri cijele, sedamnaest stotinki. U brojnik zapišemo 317, a u nazivnik 100. Dobivamo 317/100. Ništa se ne smanjuje, znači sve. Ovo je odgovor. Elementarni Watson! Iz svega navedenog, koristan zaključak: bilo koji decimalni razlomak može se pretvoriti u obični razlomak .
No, obrnuta pretvorba, obično u decimalni, neki ne mogu bez kalkulatora. Ali morate! Kako ćete napisati odgovor na ispitu!? Pažljivo čitamo i svladavamo ovaj proces.
Što je decimalni razlomak? Ona ima u nazivniku stalno vrijedi 10 ili 100 ili 1000 ili 10000 i tako dalje. Ako vaš uobičajeni razlomak ima takav nazivnik, nema problema. Na primjer, 4/10 = 0,4. Ili 7/100 = 0,07. Ili 12/10 = 1,2. A ako je u odgovoru na zadatak odjeljka "B" ispalo 1/2? Što ćemo napisati kao odgovor? Decimale su obavezne...
Sječamo se osnovno svojstvo razlomka ! Matematika vam povoljno omogućuje da pomnožite brojnik i nazivnik istim brojem. Usput, za bilo koga! Osim nule, naravno. Iskoristimo ovu značajku u našu korist! S čim se nazivnik može pomnožiti, t.j. 2 tako da postane 10, ili 100, ili 1000 (manje je bolje, naravno...)? 5, očito. Slobodno pomnožite nazivnik (ovo je nas potrebno) s 5. Ali, tada se i brojnik mora pomnožiti s 5. To je već matematika zahtjeva! Dobivamo 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. To je sve.
Međutim, nailaze se svakakvi nazivnici. Na primjer, razlomak 3/16 će pasti. Probaj, smisli s čime pomnožiti 16 da dobiješ 100, ili 1000... Ne radi? Tada možete jednostavno podijeliti 3 sa 16. U nedostatku kalkulatora, morat ćete dijeliti u kutu, na komadu papira, kako su učili u osnovnim razredima. Dobivamo 0,1875.
A ima i jako loših nazivnika. Na primjer, razlomak 1/3 ne može se pretvoriti u dobru decimalu. I na kalkulatoru i na komadu papira, dobivamo 0,3333333 ... To znači da je 1/3 u točan decimalni razlomak ne prevodi. Baš kao 1/7, 5/6 i tako dalje. Mnogi od njih su neprevodivi. Otuda još jedan koristan zaključak. Ne pretvara se svaki obični razlomak u decimalu. !
Usput, ovo korisne informacije za samotestiranje. U odjeljku "B" kao odgovor, trebate zapisati decimalni razlomak. I dobili ste, na primjer, 4/3. Ovaj se razlomak ne pretvara u decimalni. To znači da ste negdje usput pogriješili! Vrati se, provjeri rješenje.
Dakle, razvrstani obični i decimalni razlomci. Ostaje se pozabaviti mješovitim brojevima. Za rad s njima, sve ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke. Kako to učiniti? Možete uhvatiti učenika šestog razreda i pitati ga. Ali neće uvijek biti pri ruci učenik šestog razreda... Morat ćemo to sami. Nije teško. Pomnožite nazivnik razlomaka s cijelim dijelom i dodajte brojnik razlomaka. Ovo će biti brojnik običnog razlomka. Što je s nazivnikom? Nazivnik će ostati isti. Zvuči komplicirano, ali je zapravo prilično jednostavno. Pogledajmo primjer.
Dopustite u problem koji ste s užasom vidjeli broj:
Mirno, bez panike, razumijemo. Cijeli dio je 1. Jedan. Razlomak je 3/7. Stoga je nazivnik razlomaka 7. Ovaj nazivnik bit će nazivnik običnog razlomka. Brojimo brojilac. Pomnožimo 7 s 1 (cijeli dio) i dodamo 3 (brojnik razlomaka). Dobivamo 10. Ovo će biti brojnik običnog razlomka. To je sve. U matematičkom zapisu izgleda još jednostavnije:
Jasno? Onda osigurajte svoj uspjeh! Pretvori u obične razlomke. Trebali biste dobiti 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.
Obrnuta operacija - pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj - rijetko je potrebna u srednjoj školi. Pa, ako... A ako - ne u srednjoj školi - možete pogledati u poseban odjeljak 555. Usput, na istom ćete mjestu naučiti o nepravilnim razlomcima.
Pa, skoro sve. Sjetili ste se vrsta razlomaka i razumjeli kao pretvoriti ih iz jedne vrste u drugu. Ostaje pitanje: zašto učini to? Gdje i kada primijeniti ovo duboko znanje?
Ja odgovaram. Svaki primjer sugerira potrebne radnje. Ako u primjeru obične razlomke, decimale i parne mješoviti brojevi, sve pretvaramo u obične razlomke. Uvijek se može. Pa ako je napisano nešto poput 0,8 + 0,3, onda mislimo da je tako, bez ikakvog prijevoda. Zašto nam je potreban dodatni posao? Odabiremo rješenje koje je prikladno nas !
Ako je zadatak pun decimalnih razlomaka, ali hm ... nekakvi zli, idite na obične, pokušajte! Gledaj, sve će biti u redu. Na primjer, morate kvadrirati broj 0,125. Nije tako lako ako niste izgubili naviku kalkulatora! Ne samo da trebate množiti brojeve u stupcu, već i razmisliti o tome gdje umetnuti zarez! Meni to sigurno ne ide na pamet! A ako idete na običan razlomak?
0,125 = 125/1000. Smanjujemo za 5 (ovo je za početak). Dobivamo 25/200. Još jednom na 5. Dobivamo 5/40. Oh, smanjuje se! Povratak na 5! Dobivamo 1/8. Lako kvadratirajte (u vašem umu!) i dobijete 1/64. Sve!
Sumirajmo ovu lekciju.
1. Postoje tri vrste razlomaka. Obični, decimalni i mješoviti brojevi.
2. Decimale i mješoviti brojevi stalno može se pretvoriti u obične razlomke. Obrnuti prijevod ne uvijek dostupno.
3. Izbor vrste razlomaka za rad sa zadatkom ovisi upravo o ovom zadatku. U prisutnosti različiti tipovi razlomaka u jednom zadatku, najpouzdanije je prijeći na obične razlomke.
Sada možete vježbati. Najprije pretvorite ove decimalne razlomke u obične:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Trebali biste dobiti ovakve odgovore (u neredu!):
Na ovome ćemo završiti. U ovoj lekciji osvježili smo pamćenje ključne točke po razlomcima. Događa se, međutim, da nema ničeg posebnog za osvježavanje...) Ako je netko potpuno zaboravio, ili ga još nije savladao... Oni mogu otići u poseban odjeljak 555. Sve osnove su tamo detaljno opisane. Mnogi odjednom razumjeti sve počinju. I razlomke rješavaju u hodu).
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.
Ovaj članak je o obični razlomci. Ovdje ćemo se upoznati s pojmom razlomka cjeline, što će nas dovesti do definicije običnog razlomka. Zatim ćemo se zadržati na prihvaćenom zapisu za obične razlomke i navesti primjere razlomaka, recimo o brojniku i nazivniku razlomka. Nakon toga dat ćemo definicije točnih i netočnih, pozitivnih i negativnih razlomaka, a također ćemo razmotriti položaj razlomaka na koordinatnoj zraci. U zaključku navodimo glavne radnje s razlomcima.
Navigacija po stranici.
Dionice cjeline
Prvo predstavljamo dijeliti koncept.
Pretpostavimo da imamo neki objekt sastavljen od nekoliko apsolutno identičnih (odnosno jednakih) dijelova. Radi jasnoće, možete zamisliti, na primjer, jabuku izrezanu na nekoliko jednakih dijelova, ili naranču koja se sastoji od nekoliko jednakih kriški. Svaki od tih jednakih dijelova koji čine cijeli predmet naziva se udio u cjelini ili jednostavno dionice.
Imajte na umu da su udjeli različiti. Objasnimo ovo. Recimo da imamo dvije jabuke. Prvu jabuku prerežemo na dva jednaka dijela, a drugu na 6 jednakih dijelova. Jasno je da će se udio prve jabuke razlikovati od udjela druge jabuke.
Ovisno o broju udjela koji čine cijeli objekt, ti udjeli imaju svoja imena. Hajdemo analizirati podijeliti imena. Ako se predmet sastoji od dva dijela, bilo koji od njih naziva se jednim drugim dijelom cijelog objekta; ako se objekt sastoji od tri dijela, onda se bilo koji od njih naziva jednim trećim dijelom i tako dalje.
Jedan drugi ritam ima poseban naziv - pola. Jedna trećina se zove treći, i jedan četverostruk - četvrtina.
Radi kratkoće, sljedeće oznake udjela. Jedna druga dionica označava se kao ili 1/2, jedna treća dionica - kao ili 1/3; jedna četvrtina udjela - like ili 1/4, i tako dalje. Imajte na umu da se oznaka s vodoravnom trakom češće koristi. Da bismo konsolidirali gradivo, navedimo još jedan primjer: natuknica označava sto šezdeset i sedmi dio cjeline.
Koncept udjela prirodno se proteže od objekata do veličina. Na primjer, jedna od mjera duljine je metar. Za mjerenje duljina manjih od metra mogu se koristiti razlomci metra. Tako možete koristiti, na primjer, pola metra ili desetinku ili tisućiti dio metra. Slično se primjenjuju i udjeli ostalih količina.
Obični razlomci, definicija i primjeri razlomaka
Za opisivanje se koristi broj dionica obični razlomci. Navedimo primjer koji će nam omogućiti da pristupimo definiciji običnih razlomaka.
Neka se naranča sastoji od 12 dijelova. Svaka dionica u ovom slučaju predstavlja jednu dvanaestinu cijele naranče, odnosno . Označimo dva otkucaja kao , tri otkucaja kao , i tako dalje, 12 otkucaja kao . Svaki od ovih unosa naziva se običan razlomak.
Sada dajmo generalku definicija običnih razlomaka.
Izražena definicija običnih razlomaka omogućuje nam da donesemo primjeri običnih razlomaka: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . A evo i zapisa 
ne odgovaraju glasnoj definiciji običnih razlomaka, odnosno nisu obični razlomci.
Brojnik i nazivnik
Radi praktičnosti razlikujemo u običnim razlomcima brojnik i nazivnik.
Definicija.
Brojač obični razlomak (m / n) je prirodan broj m.
Definicija.
Nazivnik obični razlomak (m / n) je prirodan broj n.
Dakle, brojnik se nalazi iznad crte razlomaka (lijevo od kose crte), a nazivnik ispod crte razlomka (desno od kose crte). Na primjer, uzmimo običan razlomak 17/29, brojnik ovog razlomka je broj 17, a nazivnik je broj 29.
Ostaje raspraviti značenje sadržano u brojniku i nazivniku običnog razlomka. Nazivnik razlomka pokazuje od koliko se dionica sastoji jedna stavka, brojnik, pak, označava broj takvih udjela. Na primjer, nazivnik 5 razlomka 12/5 znači da se jedan predmet sastoji od pet dijelova, a brojnik 12 znači da se uzima 12 takvih dijelova.
Prirodni broj kao razlomak s nazivnikom 1
Nazivnik običnog razlomka može biti jednak jedan. U ovom slučaju možemo pretpostaviti da je predmet nedjeljiv, drugim riječima, to je nešto cjelovito. Brojnik takvog razlomka pokazuje koliko je cijelih predmeta uzeto. Dakle, obični razlomak oblika m/1 ima značenje prirodnog broja m. Ovako smo potkrijepili jednakost m/1=m .
Prepišimo posljednju jednakost ovako: m=m/1 . Ova nam jednakost omogućuje da bilo koji prirodni broj m predstavimo kao običan razlomak. Na primjer, broj 4 je razlomak 4/1, a broj 103498 je razlomak 103498/1.
Tako, bilo koji prirodni broj m može se predstaviti kao obični razlomak s nazivnikom 1 kao m/1 , a svaki obični razlomak oblika m/1 može se zamijeniti prirodnim brojem m.
Razlomak kao znak dijeljenja
Prikaz izvornog objekta u obliku n dionica nije ništa drugo nego podjela na n jednakih dijelova. Nakon što je stavka podijeljena na n dionica, možemo je podijeliti na n ljudi - svaki će dobiti jedan dio.
Ako u početku imamo m identičnih objekata, od kojih je svaki podijeljen na n udjela, onda možemo jednako podijeliti tih m objekata na n ljudi, dajući svakoj osobi po jedan dio od svakog od m objekata. U ovom slučaju, svaka osoba će imati m dionica 1/n, a m dionica 1/n daje obični razlomak m/n. Dakle, obični razlomak m/n može se koristiti za predstavljanje podjele m stavki među n ljudi.
Tako smo dobili eksplicitnu vezu između običnih razlomaka i dijeljenja (vidi opću ideju dijeljenja prirodnih brojeva). Ovaj odnos se izražava na sljedeći način: Prečka razlomka može se shvatiti kao znak dijeljenja, odnosno m/n=m:n.
Uz pomoć običnog razlomka možete napisati rezultat dijeljenja dva prirodna broja za koja se dijeljenje ne provodi cijelim brojem. Na primjer, rezultat dijeljenja 5 jabuka s 8 osoba može se napisati kao 5/8, odnosno svaki će dobiti pet osminki jabuke: 5:8=5/8.
Jednaki i nejednaki obični razlomci, usporedba razlomaka
Prilično prirodno djelovanje je usporedba običnih razlomaka, jer je jasno da se 1/12 naranče razlikuje od 5/12, a 1/6 jabuke je isto što i druga 1/6 ove jabuke.
Kao rezultat usporedbe dvaju običnih razlomaka, dobiva se jedan od rezultata: razlomci su ili jednaki ili nisu jednaki. U prvom slučaju imamo jednaki obični razlomci, a u drugom nejednaki obični razlomci. Dajmo definiciju jednakih i nejednakih običnih razlomaka.
Definicija.
jednak, ako je jednakost a d=b c istinita.
Definicija.
Dva obična razlomka a/b i c/d nejednak, ako jednakost a d=b c nije zadovoljena.
Evo nekoliko primjera jednakih razlomaka. Na primjer, obični razlomak 1/2 jednak je razlomku 2/4, budući da je 1 4=2 2 (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjere množenja prirodnih brojeva). Radi jasnoće, možete zamisliti dvije identične jabuke, prva je izrezana na pola, a druga - na 4 dijela. Očito je da je dvije četvrtine jabuke 1/2 dionice. Drugi primjeri jednakih običnih razlomaka su razlomci 4/7 i 36/63, te par razlomaka 81/50 i 1620/1000.
A obični razlomci 4/13 i 5/14 nisu jednaki, jer je 4 14=56 i 13 5=65, odnosno 4 14≠13 5. Drugi primjer nejednakih običnih razlomaka su razlomci 17/7 i 6/4.
Ako se pri usporedbi dva obična razlomka pokaže da nisu jednaki, možda ćete morati saznati koji od ovih običnih razlomaka manji drugi, i koji više. Da bismo to saznali, koristi se pravilo za usporedbu običnih razlomaka, čija je bit dovesti uspoređene razlomke na zajednički nazivnik, a zatim usporediti brojnike. Detaljne informacije o ovoj temi prikupljene su u članku usporedba razlomaka: pravila, primjeri, rješenja.
Razlomci brojeva
Svaki razlomak je zapis razlomak broj. To jest, razlomak je samo "ljuska" razlomka, njegova izgled, a cjelokupno semantičko opterećenje sadržano je upravo u razlomku. Međutim, radi sažetosti i praktičnosti, koncept razlomka i razlomka se kombiniraju i jednostavno nazivaju razlomak. Ovdje je prikladno parafrazirati poznatu izreku: kažemo razlomak – mislimo na razlomak, kažemo razlomak – mislimo na razlomak.
Razlomci na koordinatnoj gredi
Svi frakcijski brojevi koji odgovaraju običnim razlomcima imaju svoje jedinstveno mjesto na , to jest, postoji korespondencija jedan prema jedan između razlomaka i točaka koordinatne zrake.
Da bismo došli do točke koja odgovara razlomku m / n na koordinatnoj zraci, potrebno je odgoditi m segmenata od ishodišta u pozitivnom smjeru, čija je duljina 1 / n jediničnog segmenta. Takvi se segmenti mogu dobiti dijeljenjem jednog segmenta na n jednakih dijelova, što se uvijek može učiniti pomoću šestara i ravnala.
Na primjer, pokažimo točku M na koordinatnoj zraci, koja odgovara razlomku 14/10. Duljina segmenta s krajevima u točki O i točki koja joj je najbliža, označena malom crticom, iznosi 1/10 jediničnog segmenta. Točka s koordinatom 14/10 udaljena je od ishodišta za 14 takvih segmenata.
Jednaki razlomci odgovaraju istom razlomku, odnosno jednaki razlomci su koordinate iste točke na koordinatnoj zraci. Na primjer, jedna točka odgovara koordinatama 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na koordinatnoj zraci, budući da su svi napisani razlomci jednaki (nalazi se na udaljenosti od polovine jediničnog segmenta, odgođeno od ishodište u pozitivnom smjeru).
Na horizontalnoj i desno usmjerenoj koordinatnoj zraci, točka čija je koordinata veliki razlomak nalazi se desno od točke čija je koordinata manji razlomak. Slično, točka s manjom koordinatom leži lijevo od točke s većom koordinatom.
Pravi i nepravilni razlomci, definicije, primjeri
Među običnim frakcijama ima pravilni i nepravilni razlomci. Ova podjela u osnovi ima usporedbu brojnika i nazivnika.
Dajmo definiciju pravih i nepravilnih običnih razlomaka.
Definicija.
Ispravan razlomak je običan razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika, odnosno ako je m Definicija.
Nepravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojnik veći ili jednak nazivniku, odnosno, ako je m≥n, tada je obični razlomak nepravilan. Evo nekoliko primjera pravih razlomaka: 1/4 , , 32 765/909 003 . Doista, u svakom od napisanih običnih razlomaka brojnik je manji od nazivnika (ako je potrebno, pogledajte članak usporedbu prirodnih brojeva), pa su po definiciji točni. A evo primjera nepravilnih razlomaka: 9/9, 23/4,. Doista, brojnik prvog od zapisanih običnih razlomaka jednak je nazivniku, a u preostalim razlomcima brojnik je veći od nazivnika. Postoje i definicije pravih i nepravilnih razlomaka temeljene na usporedbi razlomaka s jedinicom. Definicija. ispravan ako je manji od jedan. Definicija. Obični razlomak se zove krivo, ako je ili jednako jedan ili veće od 1 . Dakle, obični razlomak 7/11 je točan, budući da je 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1. Razmislimo o tome kako obični razlomci s brojnikom većim ili jednakim nazivniku zaslužuju takav naziv - "pogrešan". Uzmimo za primjer nepravilni razlomak 9/9. Ovaj razlomak znači da se uzima devet dijelova predmeta koji se sastoji od devet dijelova. Odnosno, od raspoloživih devet dionica možemo sastaviti cijeli predmet. To jest, nepravilni razlomak 9/9 u biti daje cijeli objekt, to jest, 9/9=1. Općenito, nepravilni razlomci s brojnikom jednakim nazivniku označavaju jedan cijeli objekt, a takav se razlomak može zamijeniti prirodnim brojem 1. Sada razmotrite nepravilne razlomke 7/3 i 12/4. Sasvim je očito da od ovih sedam trećina možemo napraviti dva cijela objekta (jedan cijeli objekt je 3 udjela, a za sastavljanje dva cijela objekta treba nam 3 + 3 = 6 dionica) i još će biti jedna trećina udjela. Odnosno, nepravilni razlomak 7/3 u biti znači 2 stavke, pa čak i 1/3 udjela takve stavke. A od dvanaest četvrtina možemo napraviti tri cijela predmeta (tri predmeta s po četiri dijela). To jest, razlomak 12/4 u biti znači 3 cijela objekta. Razmatrani primjeri dovode nas do sljedećeg zaključka: nepravilni razlomci mogu se zamijeniti ili prirodnim brojevima, kada se brojnik u potpunosti podijeli nazivnikom (na primjer, 9/9=1 i 12/4=3), ili zbroj prirodni broj i pravi razlomak, kada brojnik nije jednako djeljiv nazivnikom (na primjer, 7/3=2+1/3). Možda je upravo to ono što nepravilni razlomci zaslužuju takvo ime - "pogrešno". Posebno je zanimljiv prikaz nepravilnog razlomka kao zbroja prirodnog broja i pravilnog razlomka (7/3=2+1/3). Taj se proces naziva izdvajanjem cijelog broja iz nepravilnog razlomka i zaslužuje zasebno i pažljivije razmatranje. Također je vrijedno napomenuti da postoji vrlo blizak odnos između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva. Svaki obični razlomak odgovara pozitivnom razlomku (vidi članak pozitivni i negativni brojevi). Odnosno, obični razlomci jesu pozitivni razlomci. Na primjer, obični razlomci 1/5, 56/18, 35/144 su pozitivni razlomci. Kada je potrebno naglasiti pozitivnost razlomka, tada se ispred njega stavlja znak plus, na primjer, +3/4, +72/34. Ako stavite znak minus ispred običnog razlomka, tada će ovaj unos odgovarati negativnom razlomku. U ovom slučaju može se govoriti o negativni razlomci. Evo nekoliko primjera negativnih razlomaka: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Pozitivni i negativni razlomci m/n i −m/n suprotni su brojevi. Na primjer, razlomci 5/7 i −5/7 su suprotni razlomci. Pozitivni razlomci, kao i pozitivni brojevi općenito, označavaju povećanje, prihod, promjenu neke vrijednosti naviše itd. Negativni razlomci odgovaraju trošku, dugu, promjeni bilo koje vrijednosti u smjeru smanjenja. Na primjer, negativni razlomak -3/4 može se tumačiti kao dug čija je vrijednost 3/4. Na vodoravnoj i desnoj strani negativni razlomci nalaze se lijevo od referentne točke. Točke koordinatnog pravca čije su koordinate pozitivni ulomak m/n i negativni ulomak −m/n nalaze se na istoj udaljenosti od ishodišta, ali na suprotnim stranama točke O . Ovdje je vrijedno spomenuti razlomke oblika 0/n. Ti su razlomci jednaki broju nula, odnosno 0/n=0 . Pozitivni razlomci, negativni razlomci i razlomci 0/n kombiniraju se da tvore racionalne brojeve. Jednu radnju s običnim razlomcima - uspoređivanje razlomaka - već smo razmotrili gore. Definirane su još četiri aritmetike operacije s razlomcima- zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka. Zadržimo se na svakom od njih. Opća bit radnji s razlomcima slična je suštini odgovarajućih radnji s prirodnim brojevima. Povucimo analogiju. Množenje razlomaka može se smatrati radnjom u kojoj se iz razlomka nalazi razlomak. Da pojasnimo, uzmimo primjer. Pretpostavimo da imamo 1/6 jabuke i da trebamo uzeti 2/3. Dio koji trebamo rezultat je množenja razlomaka 1/6 i 2/3. Rezultat množenja dvaju običnih razlomaka je običan razlomak (koji je u određenom slučaju jednak prirodnom broju). Nadalje preporučamo da proučite podatke članka množenje razlomaka - pravila, primjere i rješenja. Bibliografija.Pozitivni i negativni razlomci
Radnje s razlomcima
