Kako pronaći najveći višestruki djelitelj. Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika: metode, primjeri pronalaženja LCM-a

Lancinova Aisa

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite sebi račun ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Zadaci za GCD i LCM brojeva Rad učenika 6. razreda MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Nadzornik Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učiteljica matematike str. Kamišovo, 2013

Primjer pronalaženja GCD brojeva 50, 75 i 325. 1) Razložimo brojeve 50, 75 i 325 na proste faktore. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 dijele se bez ostatka brojevi a i b nazivaju se najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva.

Primjer pronalaženja LCM-a brojeva 72, 99 i 117. 1) Faktorizirajmo brojeve 72, 99 i 117. Napiši čimbenike uključene u proširenje jednog od brojeva 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 i dodajte im faktore koji nedostaju preostalih brojeva. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Pronađite umnožak rezultirajućih faktora. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odgovor: LCM (72, 99 i 117) = 10296 Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva a i b naziva se najmanji prirodni broj koji je višekratnik a i b.

List kartona ima oblik pravokutnika čija je duljina 48 cm, a širina 40 cm. Ovaj list mora se bez otpada izrezati na jednake kvadrate. Koji su najveći kvadrati koji se mogu dobiti iz ovog lista i koliko? Rješenje: 1) S = a ∙ b je površina pravokutnika. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². je površina kartona. 2) a - stranica kvadrata 48: a - broj kvadrata koji se mogu položiti duž duljine kartona. 40: a - broj kvadrata koji se mogu položiti po širini kartona. 3) GCD (40 i 48) \u003d 8 (cm) - strana kvadrata. 4) S \u003d a² - površina jednog kvadrata. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - površina jednog kvadrata. 5) 1960: 64 = 30 (broj kvadrata). Odgovor: 30 kvadrata sa stranicom od 8 cm svaki. Zadaci za GCD

Kamin u sobi mora biti položen završnim pločicama u obliku kvadrata. Koliko će pločica biti potrebno za kamin od 195 ͯ 156 cm i koje su najveće dimenzije pločice? Rješenje: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S površine kamina. 2) GCD (195 i 156) = 39 (cm) - strana pločice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - površina 1 pločice. 4) 30420: = 20 (komada). Odgovor: 20 pločica dimenzija 39 ͯ 39 (cm). Zadaci za GCD

Okućnica veličine 54 ͯ 48 m duž perimetra mora biti ograđena, za to je u pravilnim razmacima potrebno staviti betonski stupovi. Koliko stupova se mora donijeti za gradilište i na kojoj će maksimalnoj udaljenosti stupovi stajati jedan od drugog? Rješenje: 1) P = 2(a + b) – perimetar mjesta. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 i 48) \u003d 6 (m) - udaljenost između stupova. 3) 204: 6 = 34 (stupovi). Odgovor: 34 stupa, na udaljenosti od 6 m. Zadaci za GCD

Od 210 bordo, 126 bijelih, 294 crvene ruže prikupljeni su buketi, a u svakom buketu jednak je broj ruža iste boje. Koji najveći broj buketi od ovih ruža i koliko ruža svake boje ima u jednom buketu? Rješenje: 1) GCD (210, 126 i 294) = 42 (buketi). 2) 210: 42 = 5 ( bordo ruže). 3) 126: 42 = 3 (bijele ruže). 4) 294: 42 = 7 (crvene ruže). Odgovor: 42 buketa: 5 bordo, 3 bijele, 7 crvenih ruža u svakom buketu. Zadaci za GCD

Tanja i Maša su kupile isti broj poštanski setovi. Tanya je platila 90 rubalja, a Masha 5 rubalja. više. Koliko košta jedan set? Koliko je setova svaki kupio? Rješenje: 1) Maša je platila 90 + 5 = 95 (rubalji). 2) GCD (90 i 95) = 5 (rubalji) - cijena 1 seta. 3) 980: 5 = 18 (setovi) - kupila je Tanya. 4) 95: 5 = 19 (setovi) - Maša je kupila. Odgovor: 5 rubalja, 18 kompleta, 19 kompleta. Zadaci za GCD

U lučkom gradu počinju tri turistička putovanja brodom, od kojih prvi traje 15 dana, drugi - 20, a treći - 12 dana. Vraćajući se u luku, brodovi istog dana ponovno kreću na plovidbu. Iz luke su danas na sve tri rute krenuli motorni brodovi. Za koliko dana će prvi put zajedno otploviti? Koliko će putovanja svaki brod napraviti? Rješenje: 1) NOC (15.20 i 12) = 60 (dana) - vrijeme sastanka. 2) 60: 15 = 4 (putovanja) - 1 brod. 3) 60: 20 = 3 (plovidba) - 2 motorna broda. 4) 60: 12 = 5 (plovidba) - 3 motorna broda. Odgovor: 60 dana, 4 leta, 3 leta, 5 letova. Zadaci za NOO

Maša je u trgovini kupila jaja za Medvjeda. Na putu do šume shvatila je da je broj jaja djeljiv sa 2,3,5,10 i 15. Koliko je jaja kupila Maša? Rješenje: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (jaja) Odgovor: Maša je kupila 30 jaja. Zadaci za NOO

Potrebno je napraviti kutiju s četvrtastim dnom za slaganje kutija dimenzija 16 ͯ 20 cm Koja bi trebala biti najkraća strana četvrtastog dna da kutije čvrsto stane u kutiju? Rješenje: 1) NOC (16 i 20) = 80 (kutije). 2) S = a ∙ b je površina 1 kutije. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - površina dna 1 kutije. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - kvadratna površina dna. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - dimenzije kutije. Odgovor: 160 cm je stranica kvadratnog dna. Zadaci za NOO

Uz cestu od točke K postavljeni su električni stupovi svakih 45 m. Odlučeno je da se ti stupovi zamijene drugim, postavljajući ih na udaljenosti od 60 m jedan od drugog. Koliko je stupova bilo i koliko će stajati? Rješenje: 1) NOK (45 i 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - postojali su stupovi. 3) 180: 60 = 3 - postojali su stupovi. Odgovor: 4 stupa, 3 stupa. Zadaci za NOO

Koliko vojnika maršira na mimohodu ako marširaju u formaciji od 12 ljudi u koloni i mijenjaju se u kolonu od 18 ljudi u koloni? Rješenje: 1) NOO (12 i 18) = 36 (ljudi) - marširaju. Odgovor: 36 osoba. Zadaci za NOO

Online kalkulator omogućuje brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Pronađite GCD i NOC

GCD i NOC pronađeni: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• U slučaju unosa netočnih znakova, polje za unos bit će istaknuto crvenom bojom
• pritisnite gumb "Pronađi GCD i NOC"

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmacima, točkama ili zarezima
• Duljina unesenih brojeva nije ograničena, pa pronalaženje gcd i lcm dugih brojeva neće biti teško

Što je NOD i NOK?

Najveći zajednički djelitelj od nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od izvornih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOO.

Kako provjeriti je li broj djeljiv s drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost po nekima od njih i njihovim kombinacijama.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Znak djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, tada je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Odluka: pogledajte posljednju znamenku: 8 znači da je broj djeljiv s dva.

2. Znak djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 3. Dakle, da biste utvrdili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako se zbroj znamenki pokazao vrlo velikim, možete ponoviti isti postupak opet.
Primjer: utvrditi je li broj 34938 djeljiv s 3.
Odluka: brojimo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljivo s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.

3. Znak djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv s 5 kada mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: utvrditi je li broj 34938 djeljiv s 5.
Odluka: pogledajte posljednju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.

4. Znak djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Odluka: izračunavamo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljivo s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Najviše na jednostavan način izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva je pronaći sve moguće djelitelje tih brojeva i odabrati najveći od njih.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Faktoriziramo oba broja: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo umnožak ovih faktora: 1 2 2 \u003d 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dvaju brojeva. Prvi način je da možete ispisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći GCD ovih brojeva. Razmotrimo samo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Pronađite umnožak brojeva 28 i 36: 28 36 = 1008
2. Već je poznato da je gcd(28, 36) 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se pronaći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj rastavljaju na proste faktore, zatim se pronalazi umnožak zajedničkih faktora primarni čimbenici ove brojke. Također, da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, možete koristiti sljedeći odnos: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik brojeva: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo, faktorizirajmo brojeve: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2 .
3. Njihov proizvod će dati gcd: 1 2 2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: za ovo prvo pronađemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Pronaći NOO svih tri broja, trebate pronaći gcd(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , gcd = 1 2 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Počnimo proučavati najmanji zajednički višekratnik dva ili više brojeva. U odjeljku ćemo dati definiciju pojma, razmotriti teorem koji uspostavlja odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja te navesti primjere rješavanja problema.

Uobičajeni višekratnici - definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo uobičajeni višekratnici cijelih brojeva koji nisu nula.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih zadanih brojeva. Zapravo, to je bilo koji cijeli broj koji se može podijeliti s bilo kojim od zadanih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gore navedenoj definiciji za broj 12, zajednički višekratnici su 3 i 2. Također će broj 12 biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 zajednički su višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istodobno, zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3 bit će brojevi 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 i broj bilo kojih drugih.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem para, a nisu djeljivi drugim, onda takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16 , − 27 , 5009 , 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva koji nisu nula.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti u odnosu na suprotni brojevi, onda ispada da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik ovih brojeva na isti način kao i broj - k . To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Je li moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik se može pronaći za bilo koje cijele brojeve.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dano k cijeli brojevi a 1, a 2, …, a k. Broj koji dobijemo tijekom množenja brojeva a 1 a 2 … a k prema svojstvu djeljivosti, podijelit će se sa svakim od faktora koji su bili uključeni u izvorni proizvod. To znači da je umnožak brojeva a 1, a 2, …, a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ti cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajednički višekratnici. Zapravo, njihov broj je beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k . Tada će umnožak brojeva k · z , gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z . S obzirom da je broj brojeva beskonačan, tada je broj zajedničkih višekratnika beskonačan.

Najmanji zajednički višestruk (LCM) - definicija, simbol i primjeri

Prisjetimo se koncepta najmanji broj iz zadanog skupa brojeva, koje smo razmatrali u odjeljku Usporedba cijelih brojeva. Imajući na umu ovaj koncept, formuliramo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji ima najveći praktični značaj među svim zajedničkim višekratnicima.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik zadanih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj zadanih brojeva. Kratica NOK najčešće se koristi za označavanje pojma u referentnoj literaturi. Skraćenica za najmanji zajednički višestruki broj za brojeve a 1, a 2, …, a k izgledat će kao LCM (a 1, a 2, …, a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik 6 i 7 je 42. Oni. LCM(6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik četiri broja - 2, 12, 15 i 3 bit će jednak 60. Skraćenica će biti LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Ne za sve grupe zadanih brojeva najmanji zajednički višekratnik je očit. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC-a i NOD-a

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj su povezani. Odnos između pojmova utvrđuje se teoremom.

Teorem 1

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku brojeva a i b podijeljenih najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva a i b , odnosno LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Dokaz 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv s a , postoji i neki cijeli broj z , pod kojom je jednakost M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M također djeljivo sa b, pa onda a k podjeljeno sa b.

Ako uvedemo novu oznaku za gcd (a, b) kao d, tada možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d . U ovom slučaju, obje će jednakosti biti međusobno prosti brojevi.

To smo već utvrdili iznad a k podjeljeno sa b. Sada se ovaj uvjet može zapisati na sljedeći način:
a 1 d k podjeljeno sa b 1 d, što je ekvivalentno uvjetu a 1 k podjeljeno sa b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema imovini uzajamni primarni brojevi, ako a 1 i b 1 su međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljivo sa b 1 usprkos činjenici da a 1 k podjeljeno sa b 1, onda b 1 treba podijeliti k.

U ovom slučaju, bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od b1=b:d, onda k = b: d t.

Sada umjesto k staviti u jednakost M = a k izraz oblika b: d t. To nam omogućuje da dođemo do ravnopravnosti M = a b: d t. Na t=1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednak a b: d, pod uvjetom da su brojevi a i b pozitivan.

Dakle, dokazali smo da je LCM (a, b) = a b: GCD (a,b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućuje vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dva ili više zadanih brojeva.

Definicija 3

Teorem ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva isti su kao zajednički višekratnici ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom umnošku.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran je jednakošću M = LCM (a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Budući da su a i b međusobno prosti, onda je gcd (a, b) = 1, dakle, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate sukcesivno pronaći LCM dvaju brojeva.

Teorem 2

Pretvarajmo se to a 1, a 2, …, a k su neki cijeli brojevi pozitivni brojevi. Za izračunavanje LCM m k te brojeve moramo uzastopno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOO(m 2 , a 3) , … , m k = NOO(m k - 1 , a k) .

Dokaz 2

Prvi zaključak prvog teorema o kojem se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo točnost drugog teorema. Rezoniranje se gradi prema sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 i a 2 podudaraju s višekratnicima njihovog LCM-a, zapravo se podudaraju s višekratnicima broja m2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 i a 3 m2 i a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2, …, a k podudaraju sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 i a k, dakle, podudaraju se s višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1, a 2, …, a k je m k.

Dakle, dokazali smo teorem.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Zapisujemo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajemo im faktor 5 koji nedostaje iz proširenja drugog broja. Dobivamo: 2*2*3*5*5=300. Pronađen NOC, tj. ovaj zbroj = 300. Ne zaboravi dimenziju i napiši odgovor:
Odgovor: Mama daje po 300 rubalja.

Definicija GCD-a: Najveći zajednički djelitelj (GCD) prirodni brojevi a i u imenovati najveći prirodni broj c, na što i a, i b podijeljeno bez ostatka. Oni. c je najmanji prirodni broj za koji i a i b su višestruki.

Podsjetnik: Postoje dva pristupa definiciji prirodnih brojeva

• brojevi koji se koriste u: nabrajanju (numeraciji) stavki (prvi, drugi, treći, ...); - u školama, obično.
• označavajući broj stavki (bez pokemona - nula, jedan pokemon, dva pokemona, ...).

Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi nisu prirodni. Neki autori uključuju nulu u skup prirodnih brojeva, drugi ne. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N

Podsjetnik: Djelitelj prirodnog broja a nazovi broj b, u kojoj a podijeljeno bez ostatka. Višestruki prirodni broj b naziva prirodnim brojem a, koji je podijeljen sa b bez traga. Ako broj b- djelitelj brojeva a, onda a višestruko od b. Primjer: 2 je djelitelj od 4, a 4 je višekratnik broja 2. 3 je djelitelj broja 12, a 12 je višekratnik broja 3.
Podsjetnik: Prirodni brojevi nazivaju se prosti ako su bez ostatka djeljivi samo sami sa sobom i s 1. Koprimi su brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj jednak 1.

Definicija kako pronaći GCD u općem slučaju: Da biste pronašli GCD (najveći zajednički djelitelj) Potrebno je nekoliko prirodnih brojeva:
1) Rastaviti ih na proste faktore. (Tabela osnovnih brojeva može biti od velike pomoći za to.)
2) Napišite čimbenike uključene u proširenje jednog od njih.
3) Izbrišite one koji nisu uključeni u proširenje preostalih brojeva.
4) Pomnožite faktore dobivene u stavku 3.).

Zadatak 2 na (NOK): Do nove godine Kolya Puzatov je u gradu kupio 48 hrčaka i 36 lonaca za kavu. Fekla Dormidontova, kao najpoštenija djevojka u razredu, dobila je zadatak da ovu imovinu podijeli na što veći broj poklon setovi za učitelje. Koliki je broj kompleta? Kakav je sastav kompleta?

Primjer 2.1. rješavanje problema nalaženja GCD. Pronalaženje GCD odabirom.
Odluka: Svaki od brojeva 48 i 36 mora biti djeljiv s brojem darova.
1) Napiši djelitelje 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Napiši djelitelje 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Odaberite najveći zajednički djelitelj. Op-la-la! Pronađeno, ovo je broj setova od 12 komada.
3) Podijelimo 48 sa 12, dobijemo 4, podijelimo 36 sa 12, dobijemo 3. Ne zaboravimo dimenziju i napišimo odgovor:
Odgovor: Dobit ćete 12 kompleta od 4 hrčka i 3 posude za kavu u svakom setu.

Razmotrite tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Pronalaženje faktoringom

Prvi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik tako da zadane brojeve razložimo u proste faktore.

Pretpostavimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, svaki od ovih brojeva rastavljamo na proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv s 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da uključuje sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću pojavnu moć i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije jednako djeljiv s 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, trebate ih faktorizirati u proste faktore, zatim uzeti svaki prosti faktor s najvećim eksponentom koji se pojavljuje i pomnožiti te faktore zajedno.

Budući da koprosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov je najmanji zajednički višekratnik jednak umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su međusobno prosti. Tako

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Isto treba učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uklapanjem.

Primjer 1. Kada je najveći od zadanih brojeva jednako djeljiv s drugim zadanim brojevima, tada je LCM tih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika koristi se sljedeći red radnje:

1. Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
2. Zatim pronađite brojeve koji su višestruki najveći broj, pomnoživši ga sa cijeli brojevi uzlaznim redoslijedom i provjeravanjem jesu li preostali zadani brojevi djeljivi s rezultirajućim umnoškom.

Primjer 2. Zadana su tri broja 24, 3 i 18. Odredite najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronađite višekratnike broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i s 3:

24 1 = 24 je djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 2 = 48 - djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 3 \u003d 72 - djeljivo s 3 i 18.

Dakle, LCM(24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim traženjem LCM

Treći način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.

LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljen s njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Pronađite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristi se sljedeći postupak:

1. Prvo se pronađe LCM bilo koja dva od zadanih brojeva.
2. Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg zadanog broja.
3. Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, i tako dalje.
4. Stoga se LCM pretraga nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Nađimo LCM tri zadana broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik od 24 i treći zadani broj - 9. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: gcd (24, 9) = 3. Pomnožite LCM s brojem 9:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8, 9) = 72.