Kako zamijeniti izraz s identično jednakim. Transformacije identiteta

Razmotrimo dvije jednakosti:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Ova jednakost vrijedi za bilo koju vrijednost varijable a. Raspon valjanih vrijednosti za tu jednakost bit će cijeli skup realnih brojeva.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ova nejednakost vrijedi za sve vrijednosti varijable a, osim za a jednako nuli. Raspon prihvatljivih vrijednosti za ovu nejednakost bit će cijeli skup realnih brojeva, osim nule.

O svakoj od ovih jednakosti može se tvrditi da će ona vrijediti za bilo koju dopuštene vrijednosti varijable a. Takve se jednadžbe u matematici nazivaju identiteta.

Koncept identiteta

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve dopuštene vrijednosti varijabli. Ako se u ovu jednakost umjesto varijabli umetnu bilo koja valjana vrijednost, tada treba dobiti ispravnu numeričku jednakost.

Vrijedi napomenuti da su prave brojčane jednakosti također identiteti. Identiteti će, na primjer, biti svojstva radnji na brojevima.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Ako su dva izraza za bilo koje dopuštene varijable jednaka, tada se takvi izrazi pozivaju identično jednaki. U nastavku su neki primjeri identično jednakih izraza:

1. (a 2) 4 i a 8;

2. a*b*(-a^2*b) i -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) i x 10 .

Uvijek možemo zamijeniti jedan izraz s bilo kojim drugim izrazom koji je identično jednak prvom. Takva zamjena bit će identična transformacija.

Primjeri identiteta

Primjer 1: Jesu li sljedeće jednakosti jednake:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Neće svi od gore navedenih izraza biti identiteti. Od tih jednakosti, samo 1,2 i 3 jednakosti su identiteti. Koje god brojeve u njih zamijenimo, umjesto varijabli a i b, ipak dobivamo točne brojčane jednakosti.

Ali 4 jednakost više nije identitet. Jer neće za sve dopuštene vrijednosti ova jednakost biti ispunjena. Na primjer, s vrijednostima a = 5 i b = 2, dobivate sljedeći rezultat:

Ova jednakost nije istinita, jer broj 3 nije jednak broju -3.

§ 2. Identitetski izrazi, identitet. Transformacija identiteta izraza. Dokaz o identitetu

Nađimo vrijednosti izraza 2(x - 1) 2x - 2 za zadane vrijednosti varijable x. Rezultate zapisujemo u tablicu:

Može se zaključiti da su vrijednosti izraza 2(x - 1) 2x - 2 za svaku zadanu vrijednost varijable x jednake jedna drugoj. Prema distributivnom svojstvu množenja s obzirom na oduzimanje 2(x - 1) = 2x - 2. Stoga će za bilo koju drugu vrijednost varijable x vrijednost izraza 2(x - 1) 2x - 2 također biti jednake jedna drugoj. Takvi se izrazi nazivaju identično jednaki.

Na primjer, izrazi 2x + 3x i 5x su sinonimi, jer za svaku vrijednost varijable x ti izrazi dobivaju iste vrijednosti(ovo proizlazi iz distributivnog svojstva množenja s obzirom na zbrajanje, budući da je 2x + 3x = 5x).

Razmotrimo sada izraze 3x + 2y i 5xy. Ako je x = 1 i b = 1, tada su odgovarajuće vrijednosti ovih izraza jednake jedna drugoj:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Međutim, možete odrediti vrijednosti x i y za koje vrijednosti ovih izraza neće biti jednake jedna drugoj. Na primjer, ako je x = 2; y = 0, dakle

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Posljedično, postoje takve vrijednosti varijabli za koje odgovarajuće vrijednosti izraza 3x + 2y i 5xy nisu međusobno jednake. Stoga izrazi 3x + 2y i 5xy nisu identično jednaki.

Na temelju prethodnog, identiteti su posebno jednakosti: 2(x - 1) = 2x - 2 i 2x + 3x = 5x.

Identitet je svaka jednakost koja bilježi poznata svojstva radnji na brojeve. Na primjer,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Postoje i jednakosti kao što su identiteti:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ako smanjimo slične članove u izrazu -5x + 2x - 9, dobivamo da je 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. U ovom slučaju kažu da je izraz 5x + 2x - 9 zamijenjen izrazom 7x - 9, što mu je identično.

Identične transformacije izraza s varijablama izvode se primjenom svojstava operacija na brojeve. Konkretno, identične transformacije s otvaranjem zagrada, konstrukcijom sličnih pojmova i slično.

Identične transformacije potrebno je izvršiti prilikom pojednostavljivanja izraza, odnosno zamjene nekog izraza izrazom koji mu je identično jednak, a koji bi trebao biti kraći.

Primjer 1. Pojednostavite izraz:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Da bi se dokazalo da je jednakost identitet (drugim riječima, da bi se dokazao identitet, koristi se identitetska transformacija izraza.

Identitet možete dokazati na jedan od sljedećih načina:

• izvršiti identične transformacije njegove lijeve strane, svodeći je na taj način na oblik desne strane;
• izvršiti identične transformacije njegove desne strane, svodeći je na taj način na oblik lijeve strane;
• izvršiti identične transformacije oba njegova dijela, podižući tako oba dijela na iste izraze.

Primjer 2. Dokažite identitet:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Razvoj

1) Transformirajmo lijevu stranu ove jednakosti:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - x- 5 - 11 = x - 16.

Identičnim transformacijama izraz na lijevoj strani jednakosti sveden je na oblik desne strane i time dokazano da je ta jednakost identitet.

2) Transformirajmo desnu stranu ove jednakosti:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Identičnim transformacijama desna strana jednakosti svedena je na oblik lijeve strane i time dokazano da je ta jednakost identitet.

3) U ovom slučaju, prikladno je pojednostaviti i lijevi i desni dio jednakosti i usporediti rezultate:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Identičnim transformacijama lijevi i desni dio jednakosti svedeni su na isti oblik: 26x - 44. Dakle, ova jednakost je identitet.

Koji se izrazi nazivaju identičnimi? Navedite primjer identičnih izraza. Koja se jednakost naziva identitetom? Navedite primjer identiteta. Što se naziva transformacija identiteta izraza? Kako dokazati identitet?

1. (Usmeno) Ili postoje izrazi identično jednaki:

1) 2a + a i 3a;

2) 7x + 6 i 6 + 7x;

3) x + x + x i x 3;

4) 2(x - 2) i 2x - 4;

5) m - n i n - m;

6) 2a ∙ r i 2p ∙ a?

1. Jesu li izrazi identično jednaki:

1) 7x - 2x i 5x;

2) 5a - 4 i 4 - 5a;

3) 4m + n i n + 4m;

4) a + a i a 2;

5) 3 (a - 4) i 3a - 12;

6) 5m ∙ n i 5m + n?

1. (Verbalno) Je li identitet jednakosti:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Otvorene zagrade:

1. Otvorene zagrade:

1. Smanjite slične pojmove:

1. Navedite nekoliko izraza identični izrazi 2a + 3a.
2. Pojednostavite izraz koristeći permutirajuća i konjunktivna svojstva množenja:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Pojednostavite izraz:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Verbalno) Pojednostavite izraz:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Smanjite slične pojmove:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Otvorite zagrade i smanjite slične pojmove:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) ako je x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 ako je a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ako je m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y ako je x = -1, y = 1.

1. Pojednostavite izraz i pronađite njegovu vrijednost:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4) ako je x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ako je v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ako je a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n ako je m = 1,8; n = -0,9.

1. Dokazati identitet:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Dokazati identitet:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Duljina jedne od stranica trokuta je cm, a duljina svake druge dvije stranice je 2 cm veća od nje. Napišite opseg trokuta kao izraz i pojednostavite izraz.
2. Širina pravokutnika je x cm, a duljina je 3 cm veća od širine. Napišite opseg pravokutnika kao izraz i pojednostavite izraz.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Proširite zagrade i pojednostavite izraz:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

1. Dokazati identitet:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Dokazati identitet:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Dokazati da je vrijednost izraza

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) ne ovisi o vrijednosti varijable.

1. Dokažite da je za bilo koju vrijednost varijable vrijednost izraza

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

je isti broj.

1. Dokaži da je zbroj tri uzastopna parna broja djeljiv sa 6.
2. Dokažite da ako je n prirodan broj, tada je vrijednost izraza -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) paran broj.

Vježbe za ponavljanje

1. Legura mase 1,6 kg sadrži 15% bakra. Koliko kg bakra sadrži ova legura?
2. Koliki je postotak njezinog broja 20:

1) kvadrat;

1. Turist je hodao 2 sata, a vozio se biciklom 3 sata. Ukupno je turist prešao 56 km. Pronađite brzinu kojom je turist vozio bicikl ako je 12 km/h veća od brzine kojom je išao.

Zanimljivi zadaci za lijene učenike

1. Na gradskom nogometnom prvenstvu sudjeluje 11 ekipa. Svaka ekipa igra po jednu utakmicu s ostalima. Dokažite da u bilo kojem trenutku natjecanja postoji momčad koja je odigrala paran broj utakmica ili još nije odigrala niti jednu.

Tijekom proučavanja algebre naišli smo na pojmove polinoma (npr. ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ i tako dalje) i algebarskog razlomka (npr. $\frac(x+5)(x) )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ itd.) Sličnost ovih koncepata je da i u polinomima i u algebarskim razlomcima postoje varijable i brojevne vrijednosti, aritmetičke radnje: zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje Razlika između ovih pojmova je u tome što se dijeljenje varijablom ne izvodi u polinomima, a dijeljenje varijablom može se izvesti u algebarskim razlomcima.

I polinomi i algebarski razlomci se u matematici nazivaju racionalnim algebarskim izrazima. Ali polinomi su cjelobrojni racionalni izrazi, a algebarski frakcijski izrazi su frakcijski racionalni izrazi.

Moguće je dobiti cijeli algebarski izraz iz frakcijsko racionalnog izraza korištenjem identične transformacije, koja će u ovom slučaju biti glavno svojstvo razlomka - redukcija razlomaka. Provjerimo to u praksi:

Primjer 1

Transformiraj:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Riješenje: Ova frakcijska-racionalna jednadžba se može transformirati korištenjem osnovnog svojstva poništavanja razlomka, t.j. dijeleći brojnik i nazivnik istim brojem ili izrazom koji nije $0$.

Ovaj se razlomak ne može odmah smanjiti, potrebno je pretvoriti brojnik.

Transformiramo izraz u brojnik razlomka, za to koristimo formulu za kvadrat razlike: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Razlomak ima oblik

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\lijevo(x-2\desno)(x-2))(x-2)\]

Sada vidimo da postoji zajednički faktor u brojniku i nazivniku - to je izraz $x-2$, na kojem ćemo smanjiti razlomak

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\lijevo(x-2\desno)(x-2))(x-2)=x-2\]

Nakon redukcije, dobili smo da je izvorni frakcijski-racionalni izraz $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ postao polinom $x-2$, tj. cijeli racionalan.

Sada obratimo pažnju na činjenicu da se izrazi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ i $x-2\ $ mogu smatrati identičnima ne za sve vrijednosti varijable, jer da bi postojao frakcijski-racionalni izraz i bila moguća redukcija polinomom $x-2$, nazivnik razlomka ne bi trebao biti jednak $0$ (kao i faktor za koji smanjujemo. U ovom primjeru, nazivnik i faktor su isti, ali to nije uvijek tako).

Vrijednosti varijable za koje će postojati algebarski razlomak nazivaju se valjane vrijednosti varijable.

Na nazivnik razlomka stavljamo uvjet: $x-2≠0$, zatim $x≠2$.

Dakle, izrazi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ i $x-2$ su identični za sve vrijednosti varijable osim $2$.

Definicija 1

identično jednaki izrazi su oni koji su jednaki za sve moguće vrijednosti varijable.

Identična transformacija je svaka zamjena izvornog izraza identično jednakim. Takve transformacije uključuju izvođenje radnji: zbrajanje, oduzimanje, množenje, vađenje zajedničkog faktora iz zagrade, dovođenje algebarskih razlomaka u zajednički nazivnik, smanjenje algebarskih razlomaka, dovođenje poput pojmova itd. Mora se uzeti u obzir da brojne transformacije, poput redukcije, redukcije sličnih pojmova, mogu promijeniti dopuštene vrijednosti varijable.

Tehnike koje se koriste za dokazivanje identiteta

Pretvorite lijevu stranu identiteta u desnu ili obrnuto pomoću transformacije identiteta

Svedite oba dijela na isti izraz koristeći identične transformacije

Prenesite izraze iz jednog dijela izraza u drugi i dokažite da je rezultirajuća razlika jednaka $0$

Koju od gore navedenih metoda koristiti za dokazivanje zadanog identiteta ovisi o izvornom identitetu.

Primjer 2

Dokažite identitet $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Riješenje: Za dokazivanje ovog identiteta koristimo se prvom od navedenih metoda, naime transformirat ćemo lijevu stranu identiteta sve dok ne bude jednaka desnoj.

Razmotrimo lijevu stranu identiteta: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- to je razlika dvaju polinoma. U ovom slučaju, prvi polinom je kvadrat zbroja tri člana. Za kvadriranje zbroja nekoliko članova koristimo formulu:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Da bismo to učinili, moramo pomnožiti broj s polinomom. Podsjetimo da za to moramo pomnožiti zajednički faktor izvan zagrada sa svakim članom polinoma u zagradama. Tada dobivamo:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Sada se vratimo na izvorni polinom, on će poprimiti oblik:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Imajte na umu da se ispred zagrade nalazi znak "-", što znači da kada se zagrade otvore, svi znakovi koji su bili u zagradama su obrnuti.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ako donesemo slične pojmove, onda dobivamo da se monomi $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ i $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ međusobno poništavaju, t.j. njihov je zbroj jednak $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Dakle, identičnim transformacijama dobili smo identičan izraz na lijevoj strani izvornog identiteta

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Imajte na umu da rezultirajući izraz pokazuje da je izvorni identitet istinit.

Imajte na umu da su u izvornom identitetu sve vrijednosti varijable dopuštene, što znači da smo identitet dokazali pomoću identičnih transformacija, a vrijedi za sve dopuštene vrijednosti varijable.

Dobivši ideju o identitetima, logično je prijeći na upoznavanje. U ovom članku ćemo odgovoriti na pitanje što su identično jednaki izrazi, a također ćemo na primjerima otkriti koji su izrazi identično jednaki, a koji nisu.

Navigacija po stranici.

Što su identično jednaki izrazi?

Definicija identično jednakih izraza data je paralelno s definicijom identiteta. To se događa na satu algebre u 7. razredu. U udžbeniku algebre za 7 razreda, autor Yu. N. Makarychev daje sljedeću formulaciju:

Definicija.

su izrazi čije su vrijednosti jednake za sve vrijednosti varijabli uključenih u njih. Numerički izrazi koji odgovaraju istim vrijednostima također se nazivaju identično jednaki.

Ova se definicija koristi do klase 8, vrijedi za cjelobrojne izraze, budući da imaju smisla za sve vrijednosti varijabli uključenih u njih. A u 8. razredu određena je definicija identično jednakih izraza. Objasnimo s čime je to povezano.

U 8. razredu počinje proučavanje drugih vrsta izraza, koji, za razliku od cjelobrojnih izraza, možda nemaju smisla za neke vrijednosti varijabli. Zbog toga je potrebno uvesti definicije dopuštenih i nevažećih vrijednosti varijabli, kao i raspon dopuštenih vrijednosti ODV varijable, te kao rezultat toga pojasniti definiciju identično jednakih izraza.

Definicija.

Pozivaju se dva izraza čije su vrijednosti jednake za sve dopuštene vrijednosti njihovih varijabli identično jednaki izrazi. Za dva brojevna izraza koji imaju istu vrijednost također se kaže da su identično jednaka.

U ovoj definiciji identično jednakih izraza, vrijedno je pojasniti značenje izraza "za sve dopuštene vrijednosti varijabli uključenih u njih". To podrazumijeva sve takve vrijednosti varijabli za koje oba identično jednaka izraza istovremeno imaju smisla. Ova će ideja biti razjašnjena u sljedećem odjeljku razmatranjem primjera.

Definicija identično jednakih izraza u udžbeniku A. G. Mordkovicha data je malo drugačije:

Definicija.

Identični jednaki izrazi su izrazi na lijevoj i desnoj strani identiteta.

U značenju se ova i prethodna definicija podudaraju.

Primjeri identično jednakih izraza

Definicije uvedene u prethodnom pododjeljku omogućuju nam da donesemo primjeri identično jednakih izraza.

Počnimo s identično jednakim brojčanim izrazima. Brojčani izrazi 1+2 i 2+1 identično su jednaki jer odgovaraju jednakim vrijednostima 3 i 3. Izrazi 5 i 30:6 također su identično jednaki, kao i izrazi (2 2) 3 i 2 6 (vrijednosti zadnjih izraza jednake su zbog ). Ali numerički izrazi 3+2 i 3−2 nisu identično jednaki, jer odgovaraju vrijednostima 5 i 1, ali nisu jednaki.

Sada dajemo primjere identično jednakih izraza s varijablama. To su izrazi a+b i b+a . Doista, za bilo koje vrijednosti varijabli a i b, pisani izrazi uzimaju iste vrijednosti (što slijedi iz brojeva). Na primjer, s a=1 i b=2 imamo a+b=1+2=3 i b+a=2+1=3 . Za sve ostale vrijednosti varijabli a i b također ćemo dobiti jednake vrijednosti ovih izraza. Izrazi 0·x·y·z i 0 također su identično jednaki za sve vrijednosti varijabli x, y i z. Ali izrazi 2 x i 3 x nisu identično jednaki, jer, na primjer, pri x=1 njihove vrijednosti nisu jednake. Doista, za x=1, izraz 2 x je 2 1=2, a izraz 3 x je 3 1=3.

Kada se područja dopuštenih vrijednosti varijabli u izrazima poklapaju, kao, na primjer, u izrazima a+1 i 1+a, ili a b 0 i 0, ili i, i vrijednosti ovih izraza su jednake za sve vrijednosti varijabli iz ovih područja, onda je ovdje sve jasno - ovi izrazi su identično jednaki za sve dopuštene vrijednosti varijabli uključenih u njih. Dakle, a+1≡1+a za bilo koji a , izrazi a b 0 i 0 su identično jednaki za bilo koje vrijednosti varijabli a i b , a izrazi i su identično jednaki za sve x iz ; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 240 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Nakon što smo se pozabavili pojmom identiteta, možemo prijeći na proučavanje identično jednakih izraza. Svrha ovog članka je objasniti što je to i na primjerima pokazati koji će izrazi biti identično jednaki drugima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identični jednaki izrazi: definicija

Pojam identično jednakih izraza obično se proučava zajedno sa pojmom identiteta u okviru školskog tečaja algebre. Evo osnovne definicije preuzete iz jednog udžbenika:

Definicija 1

identično jednaki međusobno će postojati takvi izrazi čije će vrijednosti biti iste za sve moguće vrijednosti varijabli uključenih u njihov sastav.

Također, takvi se brojčani izrazi smatraju identično jednakim, što će odgovarati istim vrijednostima.

Ovo je prilično široka definicija, koja će vrijediti za sve cjelobrojne izraze, čije se značenje ne mijenja kada se mijenjaju vrijednosti varijabli. Međutim, kasnije je potrebno pojasniti ovu definiciju, jer osim cijelih brojeva, postoje i druge vrste izraza koji neće imati smisla s određenim varijablama. To dovodi do koncepta dopuštenosti i nedopustivosti određenih vrijednosti varijabli, kao i potrebe za određivanjem raspona dopuštenih vrijednosti. Formulirajmo rafiniranu definiciju.

Definicija 2

Identični jednaki izrazi su oni izrazi čije su vrijednosti jednake jedna drugoj za sve važeće vrijednosti varijabli uključenih u njihov sastav. Numerički izrazi bit će međusobno identično jednaki, pod uvjetom da su vrijednosti iste.

Izraz "za sve dopuštene vrijednosti varijabli" označava sve one vrijednosti varijabli za koje će oba izraza imati smisla. Ovu poziciju ćemo objasniti kasnije, kada dajemo primjere identično jednakih izraza.

Također možete odrediti sljedeću definiciju:

Definicija 3

Identični jednaki izrazi su izrazi koji se nalaze u istom identitetu s lijeve i desne strane.

Primjeri izraza koji su međusobno identično jednaki

Koristeći gore navedene definicije, razmotrite nekoliko primjera takvih izraza.

Počnimo s brojčanim izrazima.

Primjer 1

Dakle, 2 + 4 i 4 + 2 će biti identično jednaki jedan drugome, budući da će njihovi rezultati biti jednaki (6 i 6).

Primjer 2

Na isti način, izrazi 3 i 30 su identično jednaki: 10 , (2 2) 3 i 2 6 (da biste izračunali vrijednost posljednjeg izraza, morate znati svojstva stupnja).

Primjer 3

Ali izrazi 4 - 2 i 9 - 1 neće biti jednaki, jer su njihove vrijednosti različite.

Prijeđimo na primjere doslovnih izraza. A + b i b + a bit će identično jednaki, a to ne ovisi o vrijednostima varijabli (jednakost izraza u ovom slučaju određena je komutativnim svojstvom zbrajanja).

Primjer 4

Na primjer, ako je a 4, a b 5, rezultati će i dalje biti isti.

Drugi primjer identično jednakih izraza sa slovima je 0 · x · y · z i 0 . Bez obzira na vrijednosti varijabli u ovom slučaju, kada se pomnože s 0, dat će 0. Nejednaki izrazi su 6 x i 8 x jer neće biti jednaki ni za jedan x.

U slučaju da će se rasponi dopuštenih vrijednosti varijabli podudarati, na primjer, u izrazima a + 6 i 6 + a ili a b 0 i 0, ili x 4 i x, i vrijednostima izraza sami će biti jednaki za sve varijable, tada se takvi izrazi smatraju identično jednakima. Dakle, a + 8 = 8 + a za bilo koju vrijednost a, i a · b · 0 = 0, jer množenje bilo kojeg broja s 0 rezultira 0. Izrazi x 4 i x bit će identično jednaki za bilo koji x iz intervala [ 0 , + ∞) .

Ali opseg valjane vrijednosti u jednom izrazu može se razlikovati od opsega drugog.

Primjer 5

Na primjer, uzmimo dva izraza: x − 1 i x - 1 · x x . Za prvi od njih raspon prihvatljivih vrijednosti x bit će cijeli skup realnih brojeva, a za drugi skup svih realnih brojeva, osim nule, jer ćemo tada dobiti 0 u nazivniku, a takva podjela nije definirana. Ova dva izraza imaju zajednički raspon, formiran presjekom dva odvojena raspona. Može se zaključiti da će oba izraza x - 1 · x x i x − 1 imati smisla za sve realne vrijednosti varijabli, osim za 0 .

Osnovno svojstvo razlomka također nam omogućuje da zaključimo da će x - 1 x x i x - 1 biti jednaki za svaki x koji nije 0 . To znači da će ti izrazi biti međusobno identično jednaki na općem rasponu dopuštenih vrijednosti, a za bilo koji realni x ne može se govoriti o identičnoj jednakosti.

Ako jedan izraz zamijenimo drugim koji mu je identično jednak, tada se taj proces naziva transformacija identiteta. Ovaj koncept je vrlo važan, a o njemu ćemo detaljno govoriti u zasebnom članku.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter