Primjeri zbrajanja običnih razlomaka s različitim nazivnicima. Kako oduzimati razlomke s različitim nazivnicima

Bilješka! Prije nego što napišete konačni odgovor, provjerite možete li smanjiti razlomak koji ste dobili.

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima primjeri:

,

,

Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.

Ako je potrebno od jedinice oduzeti točan razlomak, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka čiji je nazivnik jednak nazivniku oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:

Nazivnik razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. jedinicu predstavljamo u obliku nepravilan razlomak 7/7 i oduzmi prema pravilu za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.

Pravila za oduzimanje razlomaka - točno iz cijelog broja (prirodni broj):

• Zadane razlomke, koji sadrže cijeli broj, prevodimo u nepravilne. Dobivamo normalne uvjete (nije važno jesu li različitim nazivnicima), koje smatramo prema gore navedenim pravilima;
• Zatim izračunavamo razliku razlomaka koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
• Izvodimo inverznu transformaciju, odnosno rješavamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli broj u razlomku.

Od cijelog broja oduzmite pravi razlomak: prirodni broj predstavljamo kao mješoviti broj. Oni. uzmemo jedinicu u prirodnom broju i prevedemo je u oblik nepravilnog razlomka, nazivnik je isti kao i kod oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja razlomaka:

U primjeru smo jedinicu zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 napisali mješoviti broj a razlomak je oduzet od razlomka.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.

Pravilo za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke najprije dovesti na najmanji zajednički nazivnik (LCD), a tek nakon toga oduzeti kao kod razlomaka s istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi, koji su nazivnici tih razlomaka.

Pažnja! Ako u konačni razlomak brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, tada se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak najbolje je predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nedovršeno rješenje primjera!

Postupak za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

• pronaći LCM za sve nazivnike;
• stavite dodatne množitelje za sve razlomke;
• pomnožiti sve brojnike s dodatnim faktorom;
• rezultirajuće proizvode zapisujemo u brojnik, potpisujući zajednički nazivnik pod svim razlomcima;
• oduzmi brojnike razlomaka, potpisujući zajednički nazivnik ispod razlike.

Na isti način, zbrajanje i oduzimanje razlomaka provodi se uz prisutnost slova u brojniku.

Oduzimanje razlomaka, primjeri:

Oduzimanje mješovitih razlomaka.

Na oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli se dio oduzima od cijelog broja, a razlomak se oduzima od razlomka.

Prva opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Ako su razlomci isto nazivnici i brojnik razlomka minuenda (oduzimamo od njega) ≥ brojnik razlomkog dijela oduzetog (oduzimamo ga).

Na primjer:

Druga opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Kada su razlomci razne nazivnici. Za početak, razlomke svedemo na zajednički nazivnik, a zatim od cijelog broja oduzmemo cijeli broj, a razlomak od razlomka.

Na primjer:

Treća opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Razlomački dio minuenda manji je od razlomka oduzetog.

Primjer:

Jer razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, najprije obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.

Brojnik razlomčkog dijela minuenda manji je od brojnika razlomka oduzetog.3 < 14. Dakle, uzimamo jedinicu iz cijelog broja i dovodimo ovu jedinicu u oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.

U brojnik s desne strane upisujemo zbroj brojnika, zatim otvaramo zagrade u brojniku s desne strane, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. dobivamo:

Razlomci su obični brojevi, također se mogu zbrajati i oduzimati. Ali zbog činjenice da imaju nazivnik, ovdje su potrebna složenija pravila nego za cijele brojeve.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka s istim nazivnicima. Zatim:

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, zbrojite njihove brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen.

Za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je brojnik drugog oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostaviti nepromijenjen.

Unutar svakog izraza nazivnici razlomaka su jednaki. Po definiciji zbrajanja i oduzimanja razlomaka dobivamo:

Kao što vidite, ništa komplicirano: samo zbrojite ili oduzmite brojnike - i to je to.

Ali čak i u takvim jednostavne radnje ljudi uspijevaju pogriješiti. Najčešće zaborave da se nazivnik ne mijenja. Na primjer, kada ih zbrajaju, oni se također počinju zbrajati, a to je u osnovi pogrešno.

Riješiti se loša navika Dodavanje nazivnika je dovoljno jednostavno. Pokušajte učiniti isto kada oduzimate. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak (odjednom!) će izgubiti svoje značenje.

Zato zapamtite jednom zauvijek: pri zbrajanju i oduzimanju nazivnik se ne mijenja!

Također, mnogi ljudi griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zbrka sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje - plus.

Ovaj problem je također vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojnik - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dva negativa čine potvrdno.

Analizirajmo sve ovo na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju sve je jednostavno, a u drugom ćemo brojiteljima razlomaka dodati minuse:

Što ako su nazivnici različiti

Ne možete izravno zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Barem mi je ova metoda nepoznata. Međutim, izvorni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da nazivnici postanu isti.

Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. Tri od njih su obrađene u lekciji "Dovođenje razlomaka u zajednički nazivnik", pa se ovdje nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika metodom "križno". U drugom ćemo tražiti LCM. Imajte na umu da je 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posljednji čimbenici u tim proširenjima su jednaki, a prvi su međusobno prosti. Prema tome, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Što ako razlomak ima cijeli broj

Mogu ti ugoditi: različiti nazivnici razlomaka nisu najveće zlo. Mnogo više pogrešaka dolazi kada je cijeli dio istaknut u razlomcima.

Naravno, za takve razlomke postoje vlastiti algoritmi zbrajanja i oduzimanja, ali oni su prilično komplicirani i zahtijevaju dugo proučavanje. Bolje koristiti jednostavan sklop ispod:

1. Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u nepravilne. Dobivamo normalne članove (čak i s različitim nazivnicima), koji se izračunavaju prema gore navedenim pravilima;
2. Zapravo, izračunajte zbroj ili razliku dobivenih razlomaka. Kao rezultat toga, praktički ćemo pronaći odgovor;
3. Ako je to sve što je bilo potrebno u zadatku, vršimo inverznu transformaciju, t.j. riješimo se nepravilnog razlomka, ističući cijeli broj u njemu.

Pravila za prijelaz na nepravilne razlomke i isticanje cjelobrojnog dijela detaljno su opisana u lekciji "Što je brojčani razlomak". Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Ovdje je sve jednostavno. Nazivnici unutar svakog izraza su jednaki, pa ostaje sve razlomke pretvoriti u nepravilne i brojati. Imamo:

Kako bih pojednostavio izračune, preskočio sam neke očite korake u posljednjim primjerima.

Mala napomena uz posljednja dva primjera, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov cijeli dio.

Ponovno pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere i razmislite o tome. Ovdje početnici puno griješe. Oni vole davati takve zadatke kontrolni rad. Također ćete ih više puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.

Sažetak: Opća shema računarstva

U zaključku, dat ću opći algoritam koji će vam pomoći pronaći zbroj ili razliku dva ili više razlomaka:

1. Ako je cijeli broj istaknut u jednom ili više razlomaka, pretvorite te razlomke u neispravne;
2. Dovedite sve razlomke u zajednički nazivnik na bilo koji način koji vam odgovara (osim ako, naravno, to nisu učinili sastavljači zadataka);
3. Dobivene brojeve zbrajati ili oduzimati prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima;
4. Smanjite rezultat ako je moguće. Ako se razlomak pokazalo netočnim, odaberite cijeli dio.

Zapamtite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije pisanja odgovora.

Recimo, Ahilej trči deset puta brže od kornjače i tisuću koraka je iza nje. Tijekom vremena tijekom kojeg Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve sljedeće generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, nova fizička i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu je obmana.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. S fizičke točke gledišta, to izgleda kao usporavanje vremena sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči stalnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči tisuću koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup primjereno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nepremostivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, preispitati i riješiti. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strijela je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje na različitim točkama prostora, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim trenucima, ali se njima ne može odrediti udaljenost. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene različite točke prostor u jednom trenutku, ali je nemoguće utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Na što se želim usredotočiti Posebna pažnja, jest da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu logiku apsurda. Ovo je razina govornih papiga i dresiranih majmuna, u kojoj um nema riječi "potpuno". Matematičari djeluju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most tijekom ispitivanja mosta bili u čamcu ispod mosta. Ako se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze “pamet, ja sam u kući”, odnosno “matematika proučava apstraktne pojmove”, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija skupova samim matematičarima.

Matematiku smo jako dobro učili i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i složimo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzimamo po jedan račun i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Pojašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s istih elemenata. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će zastupnička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Nadalje, počet će uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama – na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji različit iznos prljavština, kristalna struktura i atomski raspored svakog novčića je jedinstven...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanosti ovdje nema ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobivamo puno, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višeskup u isto vrijeme. Kako ispravno? I tu matematičar-šaman-šuller vadi adutnog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, uvjerit će nas da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamisliv kao niti jedna cjelina" ili "nezamisliv kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da podučavaju svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. E sad to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. To su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

S gledišta matematike nije bitno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks desno od broja. S veliki broj 12345 Ne želim zavaravati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što možete vidjeti, u različitim brojevnim sustavima, zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare, ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nije samo u brojevima.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih usporedim, onda to nema veze s matematikom.

Što je prava matematika? Ovo je kada je rezultat matematička radnja ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko izvodi ovu radnju.

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sustavu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima

Zbrajanje razlomaka je dvije vrste:

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Počnimo sa zbrajanjem razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjen:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2 Dodajte razlomke i .

Ispostavilo se da odgovor nije pravi razlomak. Ako dođe kraj zadatka, tada je uobičajeno riješiti se nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljena s dva jednako je jedan:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjen:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobit ćete pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Moraju se dodati brojnici, a nazivnik ostati nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom zbrajanja razlomaka nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu zbrajati odjednom, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina za smanjenje razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.

Bit ove metode leži u činjenici da se traži prvi (LCM) nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i s drugim razlomkom - LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajte razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Najprije podijelimo LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i iznad nje zapišemo pronađeni dodatni faktor:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu crtu iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pomno do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati slikom. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika bit će što će se ovaj put podijeliti na jednake udjele (svedene na isti nazivnik).

Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Stavljajući ove dijelove zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu istaknuli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pizza i još jedna šesta pizza).

Imajte na umu da smo slikali dati primjer previše detaljan. NA obrazovne ustanove nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožiti dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i nazivnici. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako se na prvim fazama studija matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Nađi LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo se gornjim uputama.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Nađi LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

LCM podijelite nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 s 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada LCM dijelimo nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima

Brojnike i nazivnike množimo našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Zbrojiti:

Dodatak nije stao u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dopušteno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan redak, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog retka i na početak nova linija. Znak jednakosti u drugom retku označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu

Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:

Dobio odgovor

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Za rješavanje ovog primjera potrebno je brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjen:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka trebate oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
2. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo po istom principu koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) nazivnik.

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 s 3, dobijemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 s 4, dobijemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Dobio odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze.

Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ti će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo trebate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Nađite LCM nazivnika tih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik tih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada ćemo pronaći dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 s 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Odgovor se pokazao točnim razlomkom, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo to olakšati. Što može biti učinjeno? Ovu frakciju možete smanjiti.

Da biste smanjili razlomak, trebate njegov brojnik i nazivnik podijeliti s (gcd) brojevima 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim GCD, odnosno s 10

Dobio odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste razlomak pomnožili brojem, trebate brojnik zadanog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka brojem 1

Unos se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i množitelj izmijene, onda se umnožak neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet, funkcionira pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovice jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka sa 4

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množitelj na mjestima, dobit ćemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza.

Dobio odgovor. Poželjno je smanjiti zadani razlomak. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako uzeti dvije trećine od ove polovice? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Dobit ćemo pizzu. Zapamtite kako izgleda pizza podijeljena u tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak, ali bit će dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti najvećim zajednički djelitelj(gcd) brojevi 105 i 450.

Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD koji smo sada pronašli, to jest, sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati s zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Je li moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži s 5, daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga na dva jednaka mjesta. Koliko će pizza dobiti svaki?

Vidi se da su nakon cijepanja polovice pizze dobivena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako svi dobivaju pizzu.

Podjela razlomaka vrši se pomoću recipročnih vrijednosti. Obrnuti brojevi omogućuju zamjenu dijeljenja množenjem.

Da biste razlomak podijelili brojem, trebate ovaj razlomak pomnožiti s recipročnim djeliteljem.

Koristeći ovo pravilo, zapisati ćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je 2.

Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, trebate pomnožiti s

Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Što se događa ako se brojnik i nazivnik pomnože s 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očito se vrijednost razlomka nije promijenila, pa je $\frac(12)(6)$ također jednako 2 kao y. pomnoži brojnik i nazivnik za 3 i dobiti $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobiti $\frac(162)(81)$ ili za 101 i dobiti $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojnika s nazivnikom je 2. To znači da se nije promijenila.

Isti obrazac se opaža i u slučaju drugih frakcija. Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednak 2) podijeli s 2 (rezultat $\frac(60)(30)$), ili s 3 (rezultat $\ frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.

Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki. cijeli broj.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ pomnoži s 2, dobivamo $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. A zapravo, ako podijelite tortu na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili ga podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete istu količinu pite u oba slučaja. Stoga su brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ identični. Formulirajmo opće pravilo.

Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem, a vrijednost razlomka se ne mijenja.

Ovo pravilo je vrlo korisno. Na primjer, omogućuje u nekim slučajevima, ali ne uvijek, izbjegavanje operacija s velikim brojevima.

Na primjer, brojnik i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ možemo podijeliti sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$ koji je mnogo lakše izračunati. Još jedan primjer. Brojnik i nazivnik razlomka $\frac(155)(31)$ možemo podijeliti s 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, budući da je 5:1=5.

U ovom primjeru smo se prvi put susreli razlomak čiji je nazivnik 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u izračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti s 1 i njegova vrijednost se neće promijeniti. To jest, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ jednako je 509993 i tako dalje. Stoga, ne trebamo dijeliti brojeve s , budući da se svaki cijeli broj može predstaviti kao razlomak s nazivnikom od 1.

S takvim razlomcima, čiji je nazivnik jednak 1, moguće je proizvesti iste aritmetičke operacije, kao i kod svih ostalih razlomaka: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Možete pitati koja je svrha predstavljanja cijelog broja kao razlomka, koji će imati jedinicu ispod trake, jer je prikladnije raditi s cijelim brojem. Ali činjenica je da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka omogućuje učinkovitiju proizvodnju razne aktivnosti kada imamo posla i s cijelim i s razlomcima u isto vrijeme. Na primjer, naučiti zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo dodati $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.

Znamo da možete zbrajati samo razlomke čiji su nazivnici jednaki. Dakle, trebamo naučiti kako razlomke dovesti u takav oblik kada su im nazivnici jednaki. U ovom slučaju opet nam je potrebna činjenica da brojnik i nazivnik razlomka možete pomnožiti s istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.

Prvo, pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobivamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobivamo $\frac(3)(15)$, opet se vrijednost razlomka nije promijenila. Dakle, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Pokušajmo sada primijeniti ovaj sustav na zbrajanje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.

Moramo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo pretvaramo sve pojmove u razlomke i dobivamo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada moramo sve razlomke dovesti u zajednički nazivnik, za to pomnožimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 12, drugog s 4, a trećeg s 3. Kao rezultat, dobivamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako se želite riješiti nepravilan razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac( 7)(12)$.

Sva pravila koja dopuštaju operacije s razlomcima, koje smo upravo proučili, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1:3 se može napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.

Budući da i dijeljenje negativnog broja pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba slučaja dobit ćemo odgovor u obliku negativnog broja. tj

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada je napisan na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak u cjelini, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.

S druge strane, (-1) : (-3) može se zapisati kao $\frac(-1)(-3)$, a budući da kada negativan broj podijelimo negativnim brojem, dobivamo pozitivan broj, tada se $\frac(-1)(-3)$ može napisati kao $+\frac(1)(3)$.

Zbrajanje i oduzimanje negativnih razlomaka provodi se na isti način kao i zbrajanje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, što je $1- 1\frac13$? Predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Smanjimo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tj. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ili $-\frac(1)(3)$.