Derivat funkcije jedna je od najtežih tema u školskom kurikulumu. Neće svaki maturant odgovoriti na pitanje što je derivat.
Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je izvedenica i zašto je potrebna.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.
Prisjetimo se definicije:
Derivat je brzina promjene funkcije.
Na slici su prikazani grafikoni triju funkcija. Što mislite koji najbrže raste?
Odgovor je očigledan – treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveću izvedenicu.
Evo još jednog primjera.
Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tijekom godine:
Sve na grafikonu možete vidjeti odmah, zar ne? Kostyin prihod više se nego udvostručio u šest mjeseci. I Grišina su primanja također porasla, ali tek nešto. A Matthewov prihod smanjio se na nulu. Početni uvjeti su isti, ali brzina promjene funkcije, t.j. izvedenica, - drugačiji. Što se tiče Matveya, derivat njegovog prihoda općenito je negativan.
Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako to učiniti?
Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja s x. Očito, ista funkcija u različitim točkama može imati različitu vrijednost derivacije – odnosno može se mijenjati brže ili sporije.
Derivat funkcije označava se s .
Pokažimo kako pronaći pomoću grafa.
Crta se graf neke funkcije. Uzmi točku na njemu s apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj točki. Želimo procijeniti koliko strmo graf funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.
Derivat funkcije u točki jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj točki.
Imajte na umu - kao kut nagiba tangente uzimamo kut između tangente i pozitivnog smjera osi.
Ponekad učenici pitaju koja je tangenta na graf funkcije. Ovo je ravna crta koja ima jedinu zajedničku točku s grafom u ovom odjeljku, štoviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.
Nađimo . Sjećamo se da je tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne noge i susjedne. Iz trokuta:
Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi se zadaci često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.
Postoji još jedna važna korelacija. Podsjetimo da je ravna crta dana jednadžbom
Količina u ovoj jednadžbi naziva se nagib ravne linije. Jednaka je tangenti kuta nagiba ravne linije prema osi.
.
Shvaćamo to
Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.
Derivat funkcije u točki jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj točki.
Drugim riječima, derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente.
Već smo rekli da ista funkcija može imati različite derivacije u različitim točkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.
Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija u nekim područjima povećava, a u drugima smanjuje, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.
U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf, nacrtana u točki, tvori oštar kut s pozitivnim smjerom osi. Dakle, derivacija je pozitivna u točki.
U tom trenutku naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj točki tvori tupi kut s pozitivnim smjerom osi. Budući da je tangenta tupog kuta negativna, derivacija u točki je negativna.
Evo što se događa:
Ako je funkcija rastuća, njezin izvod je pozitivan.
Ako se smanjuje, derivacija je negativna.
A što će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim točkama? Vidimo da je u (maksimalna točka) i (minimalna točka) tangenta horizontalna. Stoga je tangenta nagiba tangente u tim točkama nula, a derivacija je također nula.
Točka je maksimalna točka. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u točki iz "plus" u "minus".
U točki - minimalnoj točki - derivacija je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja iz "minus" u "plus".
Zaključak: uz pomoć derivacije možete saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.
Ako je derivacija pozitivna, tada se funkcija povećava.
Ako je derivacija negativna, tada je funkcija opadajuća.
U točki maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak s plusa na minus.
U minimalnoj točki derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.
Ove nalaze zapisujemo u obliku tablice:
| povećava | maksimalni bod | smanjuje se | minimalna točka | povećava | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih trebat će vam prilikom rješavanja ispitnih zadataka. Drugi - na prvoj godini, s ozbiljnijim proučavanjem funkcija i izvedenica.
Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekoj točki jednaka nuli, ali funkcija u ovoj točki nema ni maksimum ni minimum. Ovaj tzv :
U točki je tangenta na graf horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak izvedenice se ne mijenja – ostao je pozitivan kakav je bio.
Također se događa da u točki maksimuma ili minimuma derivacija ne postoji. Na grafu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u danoj točki.
Ali kako pronaći derivaciju ako funkcija nije dana grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje
Zadatak B9 daje graf funkcije ili derivacije iz kojeg se traži odrediti jednu od sljedećih veličina:
- Vrijednost derivacije u nekoj točki x 0,
- Visoke ili niske točke (ekstremalne točke),
- Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).
Funkcije i derivacije prikazane u ovom problemu su uvijek kontinuirane, što uvelike pojednostavljuje rješenje. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, sasvim je u moći i najslabijih učenika, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.
Za pronalaženje vrijednosti derivacije, ekstremnih točaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku.
Pažljivo pročitajte uvjet zadatka B9 kako ne biste napravili glupe pogreške: ponekad naiđu prilično obimni tekstovi, ali postoji nekoliko važnih uvjeta koji utječu na tijek rješenja.
Izračun vrijednosti izvedenice. Metoda u dvije točke
Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj točki x 0 , i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj točki, primjenjuje se sljedeći algoritam:
- Pronađite dvije "adekvatne" točke na grafu tangente: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove točke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Točno zapišite koordinate - to je ključna točka rješenja, a svaka pogreška ovdje vodi do pogrešnog odgovora.
- Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .
- Konačno, nalazimo vrijednost derivacije D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti inkrement funkcije s inkrementom argumenta - i to će biti odgovor.
Još jednom napominjemo: točke A i B treba tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što je često slučaj. Tangenta će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke, inače je problem pogrešno formuliran.
Razmotrimo točke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađimo priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Nađimo vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Zadatak. Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 .
Razmotrite točke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite prirast:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Sada nalazimo vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Zadatak. Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 .
Razmotrite točke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite prirast:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osi OX, derivacija funkcije u točki tangentnosti jednaka je nuli. U ovom slučaju ne trebate ništa izračunati - samo pogledajte grafikon.
Izračunavanje visokih i najnižih bodova
Ponekad se umjesto grafa funkcije u zadatku B9 daje graf derivacije i potrebno je pronaći maksimalnu ili minimalnu točku funkcije. U ovom scenariju metoda s dvije točke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, definirajmo terminologiju:
- Točka x 0 naziva se maksimalnom točkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove točke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
- Točka x 0 naziva se minimalnom točkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove točke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).
Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu točku na grafu derivacije, dovoljno je izvršiti sljedeće korake:
- Ponovno nacrtajte graf izvedenice, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što praksa pokazuje, dodatni podaci samo ometaju odluku. Stoga označavamo nule derivacije na koordinatnoj osi - i to je to.
- Doznajte predznake derivacije na razmacima između nula. Ako je za neku točku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak derivacije je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad osi OX, tada je f'(x) ≥ 0. Obrnuto, ako graf derivacije leži ispod osi OX, tada je f'(x) ≤ 0.
- Ponovno provjeravamo nule i predznake derivacije. Gdje se predznak mijenja iz minusa u plus, postoji minimalna točka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna točka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.
Ova shema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u problemu B9.
Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na intervalu [−5; 5]. Pronađite minimalnu točku funkcije f(x) na ovom segmentu.
Riješimo se nepotrebnih informacija - ostavit ćemo samo granice [−5; 5] i nule derivacije x = −3 i x = 2.5. Također obratite pažnju na znakove:
Očito, u točki x = −3, predznak derivacije se mijenja iz minusa u plus. Ovo je minimalna točka.
Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na intervalu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu točku funkcije f(x) na ovom segmentu.
Precrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule derivacije x = −1,7 i x = 5. Zabilježite predznake derivacije na rezultirajućem grafu. Imamo:
Očito, u točki x = 5, predznak derivacije se mijenja iz plusa u minus - ovo je maksimalna točka.
Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na intervalu [−6; 4]. Pronađite broj maksimalnih točaka funkcije f(x) koje pripadaju intervalu [−4; 3].
Iz uvjeta zadatka proizlazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa omeđen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule derivacije unutar njega. Naime, točke x = −3,5 i x = 2. Dobivamo:
Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna točka x = 2. U njoj se predznak derivacije mijenja iz plusa u minus.
Mala napomena o točkama s necjelobrojnim koordinatama. Na primjer, u zadnjem zadatku razmatrana je točka x = −3,5, ali s istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno formuliran, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke "bez određenog mjesta stanovanja" nisu izravno uključene u rješavanje problema. Naravno, s cijelim točkama takav trik neće uspjeti.
Pronalaženje intervala povećanja i smanjenja funkcije
U takvom se problemu, poput točaka maksimuma i minimuma, predlaže pronaći područja u kojima sama funkcija raste ili opada iz grafa derivacije. Prvo, definirajmo što su uzlazno i silazno:
- Funkcija f(x) naziva se rastućom na odsječku ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 iz ovog segmenta istinita tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, to je veća vrijednost funkcije.
- Funkcija f(x) naziva se opadajućom na odsječku ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 iz ovog segmenta istinita tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Oni. veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Formuliramo dovoljne uvjete za povećanje i smanjenje:
- Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu, dovoljno je da njezin izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f'(x) ≥ 0.
- Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu , dovoljno je da njezin izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f'(x) ≤ 0.
Ove tvrdnje prihvaćamo bez dokaza. Tako dobivamo shemu za pronalaženje intervala povećanja i smanjenja, koja je u mnogočemu slična algoritmu za izračunavanje točaka ekstrema:
- Uklonite sve suvišne informacije. Na izvornom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije pa ostavljamo samo njih.
- Označite predznake derivacije u razmacima između nula. Gdje je f'(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f'(x) ≤ 0, ona opada. Ako problem ima ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafikonu.
- Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje izračunati traženu vrijednost u problemu.
Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na intervalu [−3; 7.5]. Pronađite intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite zbroj cijelih brojeva uključenih u ove intervale.
Kao i obično, ponovno crtamo graf i označavamo granice [−3; 7.5], kao i nule derivacije x = −1.5 i x = 5.3. Zatim označavamo predznake izvedenice. Imamo:
Budući da je derivacija negativna na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje zbrojiti sve cijele brojeve koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−10; 4]. Pronađite intervale rastuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite duljinu najvećeg od njih.
Riješimo se suvišnih informacija. Ostavljamo samo granice [−10; 4] i nule derivacije, za koje se ovaj put ispostavilo da su četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zabilježite predznake derivacije i dobijete sljedeću sliku:
Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, t.j. gdje je f'(x) ≥ 0. Na grafu postoje dva takva intervala: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove duljine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Budući da je potrebno pronaći duljinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrijednost l 2 = 5.
Sergej Nikiforov
Ako je derivacija funkcije konstantnog predznaka na intervalu, a sama funkcija je kontinuirana na svojim granicama, tada su granične točke vezane i za rastuće i za opadajuće intervale, što u potpunosti odgovara definiciji rastućih i opadajućih funkcija.
Farit Yamaev 26.10.2016 18:50
Zdravo. Kako (na temelju čega) se može tvrditi da u točki gdje je derivacija jednaka nuli, funkcija raste. Dati razloge. Inače je to samo nečiji hir. Po kojem teoremu? I također dokaz. Hvala vam.
Služba podrške
Vrijednost derivacije u točki nije izravno povezana s povećanjem funkcije na intervalu. Razmotrite, na primjer, funkcije - sve se povećavaju na segmentu
Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21
Ako je funkcija rastuća na intervalu (a; b) i definirana je i kontinuirana u točkama a i b, tada raste na segmentu . Oni. točka x=2 je uključena u zadani interval.
Iako se u pravilu povećanje i smanjenje ne razmatraju na segmentu, već na intervalu.
Ali u samoj točki x=2, funkcija ima lokalni minimum. I kako objasniti djeci da kada traže točke porasta (padanja), onda ne brojimo točke lokalnog ekstrema, već one ulaze u intervale porasta (pada).
S obzirom da je prvi dio ispita za "srednju grupu vrtića", onda su takve nijanse vjerojatno pretjerane.
Zasebno, puno hvala za "Riješit ću ispit" svim zaposlenicima - izvrstan vodič.
Sergej Nikiforov
Jednostavno objašnjenje možemo dobiti ako krenemo od definicije rastuće/opadajuće funkcije. Dopustite mi da vas podsjetim da to zvuči ovako: funkcija se naziva povećanje/smanjenje na intervalu ako veći argument funkcije odgovara većoj/manjoj vrijednosti funkcije. Takva definicija ni na koji način ne koristi koncept derivacije, pa se ne mogu postaviti pitanja o točkama u kojima derivacija nestaje.
Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46
Dobar dan. Ovdje u komentarima vidim uvjerenja da granice treba uključiti. Recimo da se slažem s ovim. Ali pogledajte, molim vas, svoje rješenje za problem 7089. Tu, kada se specificiraju intervali povećanja, granice nisu uključene. I to utječe na odgovor. Oni. rješenja zadataka 6429 i 7089 međusobno su proturječna. Molimo razjasnite ovu situaciju.
Aleksandar Ivanov
Zadaci 6429 i 7089 imaju potpuno različita pitanja.
U jednom su intervali porasta, a u drugom intervali s pozitivnim izvodom.
Ne postoji kontradikcija.
Ekstremumi su uključeni u intervale povećanja i smanjenja, ali točke u kojima je derivacija jednaka nuli ne ulaze u intervale u kojima je derivacija pozitivna.
A Z 28.01.2019 19:09
Kolege, postoji koncept povećanja u jednom trenutku
(vidi na primjer Fichtenholtz)
a vaše razumijevanje povećanja u točki x=2 suprotno je klasičnoj definiciji.
Povećanje i smanjenje je proces i želio bih se pridržavati tog principa.
U bilo kojem intervalu koji sadrži točku x=2, funkcija se ne povećava. Stoga je uključivanje zadane točke x=2 poseban proces.
Obično se, kako bi se izbjegla zabuna, uključivanje krajeva intervala kaže zasebno.
Aleksandar Ivanov
Funkcija y=f(x) naziva se rastućom na nekom intervalu ako veća vrijednost argumenta iz tog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
U točki x = 2 funkcija je diferencibilna, a na intervalu (2; 6) derivacija je pozitivna, što znači da je na intervalu )
