Koliki je kosinus oštrog kuta. Sinus, kosinus, tangent i kotangens - sve što trebate znati na OGE i USE

Centrirano u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus- Ovo trigonometrijska funkcija, ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednak omjeru duljine suprotne noge |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Grafikon funkcije sinusa, y = sin x

Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= grijeh x i y= cos x periodično s točkom 2 pi.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.

Područje definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Sinusne i kosinusne formule za zbroj i razliku

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izraz sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz u terminima tangente

; .

Za, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula > > >

Derivati ​​n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije sinusima i kosinusima su arksinus, odnosno arkosinus.

Arcsin, arcsin

Arkosinus, arccos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.

Učitelji smatraju da bi svaki učenik trebao znati izvoditi izračune, znati trigonometrijske formule, ali ne objašnjava svaki učitelj što su sinus i kosinus. Koje je njihovo značenje, gdje se koriste? Zašto govorimo o trokutima, a u udžbeniku je nacrtan krug? Pokušajmo sve činjenice povezati.

Školski predmet

Studij trigonometrije obično počinje u 7-8 razredima Srednja škola. U ovom trenutku učenicima se objašnjava što su sinus i kosinus, nudi im se rješavanje geometrijskih problema pomoću ovih funkcija. Više se pojavljuje kasnije složene formule i izraze koje je potrebno pretvoriti na algebarski način (formule za dvostruki i polukut, funkcije potencija), rad se izvodi s trigonometrijskom kružnicom.

Međutim, nastavnici nisu uvijek u stanju jasno objasniti značenje korištenih pojmova i primjenjivost formula. Stoga učenik često ne vidi smisao u ovom predmetu, a zapamćene informacije brzo se zaborave. Međutim, vrijedi jednom srednjoškolcu objasniti, na primjer, vezu između funkcije i oscilatornog kretanja, a logična će se veza pamtiti dugi niz godina, a šale o beskorisnosti predmeta postat će stvar prošlost.

Korištenje

Radi znatiželje, pogledajmo razne grane fizike. Želite li odrediti domet projektila? Ili izračunavate silu trenja između predmeta i određene površine? Ljuljanje njihala, gledanje zraka koje prolaze kroz staklo, računanje indukcije? Trigonometrijski koncepti pojavljuju se u gotovo svakoj formuli. Dakle, što su sinus i kosinus?

Definicije

Sinus kuta je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, kosinus je omjer susjednog kraka prema istoj hipotenuzi. Ovdje nema apsolutno ništa komplicirano. Možda su studenti obično zbunjeni vrijednostima koje vide u trigonometrijskoj tablici, jer se tamo pojavljuju kvadratni korijeni. Da, dobivanje decimalnih razlomaka iz njih nije baš zgodno, ali tko je rekao da bi svi brojevi u matematici trebali biti parni?

Zapravo, možete pronaći smiješan savjet u knjigama trigonometrijskih zadataka: većina odgovora ovdje je parna i u najgorem slučaju sadrži korijen od dva ili tri. Zaključak je jednostavan: ako ste u svom odgovoru dobili razlomak "više priča", još jednom provjerite rješenje za pogreške u izračunima ili zaključivanju. I najvjerojatnije ćete ih pronaći.

Što treba zapamtiti

Kao i u svakoj znanosti, i u trigonometriji postoje podaci koji se moraju naučiti.

Prvo, trebali biste zapamtiti numeričke vrijednosti za sinuse, kosinuse pravokutnog trokuta 0 i 90, kao i 30, 45 i 60 stupnjeva. Ovi pokazatelji nalaze se u devet od deset školskih zadataka. Zavirujući ove vrijednosti ​​​u udžbenik, izgubit ćete puno vremena, a kontrolni ili ispitni neće imati gdje pogledati.

Treba imati na umu da vrijednost obje funkcije ne može biti veća od jedne. Ako bilo gdje u izračunu dobijete vrijednost izvan raspona 0-1, zaustavite se i ponovno riješite problem.

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednak je jedan. Ako ste već pronašli jednu od vrijednosti, upotrijebite ovu formulu da biste pronašli ostale.

Teoremi

U osnovnoj trigonometriji postoje dva glavna teorema: sinus i kosinus.

Prvi kaže da je omjer svake strane trokuta i sinusa suprotnog kuta isti. Drugi je da se kvadrat bilo koje strane može dobiti zbrajanjem kvadrata dviju preostalih stranica i oduzimanjem dvaput njihovog umnožaka, pomnoženog s kosinusom kuta koji leži između njih.

Dakle, ako zamijenimo vrijednost kuta od 90 stupnjeva u kosinusni teorem, dobivamo ... Pitagorin teorem. Sada, ako trebate izračunati površinu figure koja nije pravokutni trokut, više se ne možete brinuti - dva razmatrana teorema uvelike će pojednostaviti rješenje problema.

Ciljevi i zadaci

Proučavanje trigonometrije bit će uvelike pojednostavljeno kada shvatite jednu jednostavnu činjenicu: sve radnje koje izvodite usmjerene su na postizanje jednog cilja. Bilo koji parametri trokuta se mogu pronaći ako znate minimalan broj informacija o njemu - to može biti vrijednost jednog kuta i duljina dviju strana ili, na primjer, tri strane.

Za određivanje sinusa, kosinusa, tangenta bilo kojeg kuta, ovi su podaci dovoljni, uz njihovu pomoć možete lako izračunati površinu figure. Gotovo uvijek je jedna od spomenutih vrijednosti potrebna kao odgovor, a možete ih pronaći pomoću istih formula.

Nedosljednosti u proučavanju trigonometrije

Jedno od nejasnih pitanja koje studenti radije izbjegavaju je otkrivanje veze između različitih pojmova u trigonometriji. Čini se da se trokuti koriste za proučavanje sinusa i kosinusa kutova, ali iz nekog razloga simboli se često nalaze na slici s krugom. Osim toga, postoji potpuno nerazumljiv valni graf koji se zove sinusoida, koji nema vanjske sličnosti ni s krugom ni s trokutima.

Štoviše, kutovi se mjere ili u stupnjevima ili u radijanima, a broj Pi, napisan jednostavno kao 3,14 (bez jedinica), iz nekog razloga se pojavljuje u formulama, što odgovara 180 stupnjeva. Kako je sve to povezano?

Jedinice

Zašto je pi točno 3,14? Sjećate li se koja je to vrijednost? Ovo je broj polumjera koji stane u luk na polovici kruga. Ako je promjer kruga 2 centimetra, opseg će biti 3,14 * 2, odnosno 6,28.

Druga točka: možda ste primijetili sličnost riječi "radian" i "radius". Činjenica je da je jedan radijan brojčano jednak vrijednosti kuta položenog od središta kruga do luka duljine jednog polumjera.

Sada kombiniramo stečeno znanje i razumijemo zašto je "Pi na pola" napisano na vrhu koordinatne osi u trigonometriji, a "Pi" je napisano s lijeve strane. Ovo je kutna vrijednost mjerena u radijanima, jer je polukrug 180 stupnjeva, odnosno 3,14 radijana. A gdje su stupnjevi, tu su i sinusi i kosinusi. Trokut je lako nacrtati željenu točku, odgađajući segmente u središte i na koordinatnu os.

Pogledajmo u budućnost

Trigonometrija, koja se izučava u školi, bavi se pravocrtnim koordinatnim sustavom, gdje je, koliko god to čudno zvučalo, crta pravac.

Ali ima još toga teške načine rad s prostorom: zbroj kutova trokuta ovdje će biti veći od 180 stupnjeva, a ravna crta u našem pogledu izgledat će kao pravi luk.

Prijeđimo s riječi na djela! Uzmi jabuku. Nožem napravite tri reza tako da kada se gleda odozgo dobijete trokut. Izvadite dobiveni komad jabuke i pogledajte "rebra" gdje kora završava. Oni uopće nisu ravni. Voće u vašim rukama može se uvjetno nazvati okruglim, a sada zamislite koliko složene formule moraju biti, uz pomoć kojih možete pronaći područje izrezanog komada. Ali neki stručnjaci svakodnevno rješavaju takve probleme.

Trigonometrijske funkcije u stvarnom životu

Jeste li primijetili da najkraća ruta za avion od točke A do točke B na površini našeg planeta ima izražen oblik luka? Razlog je jednostavan: Zemlja je sferna, što znači da ne možete puno izračunati pomoću trokuta – ovdje morate koristiti složenije formule.

Ne možete bez sinusa / kosinusa oštrog kuta u bilo kojoj stvari koja se odnosi na prostor. Zanimljivo je da se ovdje konvergiraju brojni čimbenici: trigonometrijske funkcije potrebne su kada se izračuna gibanje planeta u krugovima, elipsama i raznim putanjama za više od složenih oblika; proces lansiranja raketa, satelita, šatlova, odvezivanja istraživačkih vozila; promatranje udaljenih zvijezda i proučavanje galaksija do kojih ljudi neće moći doći u dogledno vrijeme.

Općenito, polje za djelatnost osobe koja posjeduje trigonometriju vrlo je široko i očito će se s vremenom samo širiti.

Zaključak

Danas smo naučili ili, u svakom slučaju, ponovili što su sinus i kosinus. To su pojmovi kojih se ne trebate bojati – samo želite, i shvatit ćete njihovo značenje. Zapamtite da trigonometrija nije cilj, već samo alat koji se može koristiti za zadovoljavanje stvarnih potreba. ljudske potrebe: graditi kuće, osigurati sigurnost u prometu, čak istraživati ​​prostranstva svemira.

Doista, znanost se sama po sebi može činiti dosadnom, ali čim u njoj pronađete način za postizanje vlastitih ciljeva, samoostvarenje, proces učenja će postati zanimljiv, a vaša osobna motivacija će se povećati.

Kao domaća zadaća pokušajte pronaći načine za primjenu trigonometrijskih funkcija u području aktivnosti koje vas osobno zanima. Sanjajte, uključite maštu i tada će se sigurno pokazati da će vam nova znanja biti od koristi u budućnosti. A osim toga, matematika je korisna za opći razvoj razmišljanje.

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom Istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ti se proračuni odnose na sfernu trigonometriju, dok se u školskom kolegiju proučava omjer stranica i kuta ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom između stranica i kutova trokuta.

Za vrijeme procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću naše ere, znanje se proširilo od antičkog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge muževa arapski kalifat. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncept sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Puno pažnje posvećeno je trigonometriji u djelima velikih antičkih likova poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangent i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorejske hlače, jednake u svim smjerovima", budući da je dokaz dan na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao umnožak sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, tada ćemo dobiti sljedeće formule za tangentu i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se omjer navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug je, u ovom slučaju, sve moguće vrijednosti kut α — od 0° do 360°. Kao što možete vidjeti na slici, svaka funkcija uzima negativan ili pozitivna vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α bit će sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Kod α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje veličina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; pri izračunavanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije bitna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju radijanskim vrijednostima:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Za razmatranje i usporedbu osnovnih svojstava sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje smještene u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrimo usporednu tablicu svojstava za sinusni val i kosinusni val:

Odrediti je li funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na os OX. Ako su predznaci isti, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoidnog i kosinusnog vala omogućuju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može izvršiti gledanjem u tablice ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangenoida

Grafovi tangentne i kotangensne funkcije značajno se razlikuju od sinusoidnog i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

1. Y = tgx.
2. Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
3. Najmanje pozitivno razdoblje tangentoid je jednak π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Smatrati grafička slika kotangentoidi ispod.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne doseže.
4. Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Popravi

Jedna od sekcija matematike s kojom se školarci nose najveće poteškoće, je trigonometrija. Nije ni čudo: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u izračunima. Osim toga, morate znati primijeniti trigonometriju pri dokazivanju teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost zaključivanja složenih logičkih lanaca.

Počeci trigonometrije

Upoznavanje s ovom znanošću trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.

Povijesno gledano, pravokutni trokuti su bili glavni predmet proučavanja u ovom dijelu matematičke znanosti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje različitih operacija koje omogućuju određivanje vrijednosti svih parametara figure koja se razmatra koristeći dvije strane i jedan kut ili dva kuta i jednu stranu. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i umjetnosti.

Prva razina

U početku se o odnosu kutova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u Svakidašnjica ovu granu matematike.

Proučavanje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega stečeno znanje učenici koriste u fizici i rješavanju apstraktnih trigonometrijskih jednadžbi, s kojima se rad počinje u srednjoj školi.

Sferna trigonometrija

Kasnije, kada je znanost dostigla sljedeću razinu razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede različita pravila, a zbroj kutova u trokutu je uvijek veći od 180 stupnjeva. Ovaj dio se ne proučava u školi, ali je potrebno znati za njegovo postojanje, barem zato Zemljina površina, a površina bilo kojeg drugog planeta je konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti unutra trodimenzionalni prostor"zasvođeni".

Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Obratite pažnju - dobio je oblik luka. Upravo se takvim oblicima bavi sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim područjima.

Pravokutni trokut

Nakon što smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koji se izračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.

Prvi korak je razumijevanje pojmova vezanih uz pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana suprotna kutu od 90 stupnjeva. Ona je najduža. Sjećamo se da je, prema Pitagorinom teoremu, njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije stranice.

Na primjer, ako su dvije stranice 3 i 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.

Dvije preostale stranice koje tvore pravi kut nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu 180 stupnjeva.

Definicija

Konačno, uz solidno razumijevanje geometrijske baze, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta kuta.

Sinus kuta je omjer suprotne noge (tj. suprotne strane željeni kut) na hipotenuzu. Kosinus kuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Budući da je hipotenuza prema zadanim postavkama najduža. Bez obzira koliko je krak dugačak, bit će kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manje od jedan. Stoga, ako u odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili zaključivanju. Ovaj odgovor je očito pogrešan.

Konačno, tangenta kuta je omjer suprotne i susjedne strane. Isti rezultat će dati podjelu sinusa kosinusom. Gledajte: u skladu s formulom, duljinu stranice dijelimo s hipotenuzom, nakon čega dijelimo s duljinom druge stranice i množimo s hipotenuzom. Dakle, dobivamo isti omjer kao u definiciji tangente.

Kotangens, odnosno, omjer je strane susjedne kutu i suprotnoj strani. Isti rezultat dobivamo dijeljenjem jedinice s tangentom.

Dakle, razmotrili smo definicije što su sinus, kosinus, tangent i kotangens i možemo se baviti formulama.

Najjednostavnije formule

U trigonometriji se ne može bez formula - kako bez njih pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens? A to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.

Prva formula koju trebate znati kada počnete učiti trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova formula je izravna posljedica Pitagorinog teorema, ali štedi vrijeme ako želite znati vrijednost kuta, a ne stranice.

Mnogi se učenici ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna kod rješavanja školskih zadataka: zbroj jedinice i kvadrata tangente kuta jednak je jedan podijeljen s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte pobliže: uostalom, ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispada da jednostavna matematička operacija čini trigonometrijsku formulu potpuno neprepoznatljivom. Zapamtite: znajući što su sinus, kosinus, tangent i kotangens, pravila pretvorbe i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku samostalno izvesti potrebne složenije formule na listu papira.

Formule dvostrukog kuta i zbrajanje argumenata

Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku kutova. Oni su prikazani na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se zbraja umnožak u paru sinusa i kosinusa.

Postoje i formule povezane s argumentima u obrascu dvostruki kut. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao praksa, pokušajte ih nabaviti sami, uzimajući kut alfa jednak kutu beta.

Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu pretvoriti u niži stupanj sinusa, kosinusa, tangenta alfa.

Teoremi

Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i površinu lika, veličinu svake strane itd.

Teorem sinusa kaže da kao rezultat dijeljenja duljine svake od stranica trokuta s vrijednošću suprotnog kuta, dobivamo isti broj. Štoviše, ovaj će broj biti jednak dvama polumjerima opisane kružnice, odnosno kružnice koja sadrži sve točke zadanog trokuta.

Kosinusni teorem generalizira Pitagorin teorem, projicira ga na bilo koji trokut. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod, pomnožen s dvostrukim kosinusom kuta koji se nalazi uz njih - rezultirajuća vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Tako se ispostavlja da je Pitagorin teorem poseban slučaj kosinusnog teorema.

Greške zbog nepažnje

Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangenta, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili pogreške u najjednostavnijim izračunima. Kako bismo izbjegli takve pogreške, upoznajmo se s najpopularnijim od njih.

Prvo, ne biste trebali pretvarati obične razlomke u decimale dok se ne dobije konačni rezultat - odgovor možete ostaviti u obliku obični razlomak osim ako uvjet ne navodi drugačije. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi zadatka mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema autorovoj zamisli, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubit ćete vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što je korijen od tri ili dva, jer se pojavljuju u zadacima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.

Nadalje, imajte na umu da se kosinusni teorem primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite dvaput oduzeti umnožak stranica pomnožen kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje teme. Ovo je gore od neoprezne pogreške.

Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Lako ih je pomiješati, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.

Primjena

Mnogi studenti ne žure početi proučavati trigonometriju, jer ne razumiju njezino primijenjeno značenje. Što je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? To su koncepti zahvaljujući kojima možete izračunati udaljenost do udaljenih zvijezda, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, projektirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.

Konačno

Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske probleme.

Cijela bit trigonometrije svodi se na to da se nepoznati parametri moraju izračunati iz poznatih parametara trokuta. Ukupno je šest parametara: duljine tri strane i dimenzije triju kutova. Cijela razlika u zadacima leži u činjenici da su dati različiti ulazni podaci.

Kako pronaći sinus, kosinus, tangentu na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze, sada znate. Budući da ti pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj trigonometrijskog problema je pronaći korijene obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I ovdje će vam pomoći obična školska matematika.

Mislim da zaslužuješ više od toga. Evo mog ključa za trigonometriju:

• Nacrtajte kupolu, zid i strop
• Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo nego postoci ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih u akciji pronalaženjem nekih poseban primjer iz života.

Zamislite da se nalazite u sredini kupole i želite objesiti platno filmskog projektora. Uperite prst u kupolu pod nekim "x" kutom, a s te točke bi trebao biti obješen ekran.

Kut na koji pokazujete određuje:

• sinus(x) = sin(x) = visina zaslona (točka montaže od poda do kupole)
• kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po katu)
• hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Želite li da ekran bude što veći? Objesite ga točno iznad sebe.

Želite li da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga ravno okomito. Zaslon će imati nultu visinu na ovoj poziciji i visit će unatrag koliko ste tražili.

Visina i udaljenost od zaslona obrnuto su proporcionalni: što je zaslon bliže, to će njegova visina biti veća.

Sinus i kosinus su postoci

Nitko mi u godinama studija, nažalost, nije objasnio da trigonometrijske funkcije sinus i kosinus nisu ništa drugo nego postoci. Njihove vrijednosti kreću se od +100% do 0 do -100%, odnosno od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatit ćete da sam jednostavno bio oguljen kao ljepljiv.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je vrijednost sinusa 0,95, onda razumijem da televizor visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će dosegnuti svoju maksimalnu visinu u središtu kupole, a zatim ponovno početi opadati.

Kako možemo izračunati ovaj postotak? Vrlo jednostavno: podijelite trenutnu visinu zaslona s maksimalno mogućim (polumjer kupole, koji se također naziva hipotenuza).

Zato rečeno nam je da je "kosinus = suprotni krak / hipotenuza". Ovo je sve kako bi se dobio postotak! Najbolji način za definiranje sinusa je "postotak trenutne visine od najveće moguće". (Sinus postaje negativan ako vaš kut pokazuje "pod zemljom". Kosinus postaje negativan ako kut pokazuje na točku kupole iza vas.)

Pojednostavimo izračune uz pretpostavku da smo u središtu jedinične kružnice (radijus = 1). Možemo preskočiti podjelu i samo uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je u biti jedan krug, uvećan ili dolje odgovarajuća veličina. Stoga odredite odnose na jediničnom krugu i primijenite rezultate na svoju određenu veličinu kruga.

Eksperimentirajte: uzmite bilo koji kut i vidite koji postotak visine i širine prikazuje:

Graf rasta vrijednosti sinusa nije samo ravna crta. Prvih 45 stupnjeva pokriva 70% visine, a zadnjih 10 stupnjeva (od 80° do 90°) pokriva samo 2%.

Time će vam biti jasno: ako idete u krug, na 0 ° dižete se gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangenta i sekansa. zid

Jednog dana susjed je sagradio zid ravno leđa uz leđa svojoj kupoli. Plakao svoj pogled s prozora i dobra cijena za preprodaju!

Ali je li moguće u ovoj situaciji nekako pobijediti?

Naravno da. Što ako filmsko platno okačimo točno na susjedov zid? Ciljate u kut (x) i dobivate:

• tan(x) = tan(x) = visina ekrana na zidu
• udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je polumjer vaše kupole, zid se ne pomiče nikuda od vas, zar ne?)
• secant(x) = sec(x) = "duljina ljestava" od vas koji stojite u sredini kupole do vrha visećeg zaslona

Razjasnimo nekoliko stvari o tangenti, odnosno visini zaslona.

• počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete rastegnuti zaslon sve više i više na zidu kako biste dobili samo beskonačno platno za gledanje svog omiljenog filma! (Za tako ogroman, naravno, morat ćete potrošiti puno novca).
• tangenta je samo uvećana verzija sinusa! I dok se rast sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

Sekansu se također ima čime pohvaliti:

• sekanta počinje od 1 (ljestve su na podu, dalje od vas prema zidu) i odatle počinje gore
• Sekans je uvijek duži od tangente. Kose ljestve na koje objesite ekran moraju biti dulje od samog zaslona, ​​zar ne? (Za nerealne veličine, kada je ekran jaaaako dugačak, a ljestve treba postaviti gotovo okomito, njihove su veličine gotovo iste. Ali i tada će sekant biti malo duži).

Zapamtite da su vrijednosti posto. Ako odlučite objesiti ekran pod kutom od 50 stupnjeva, tan(50)=1,19. Vaš zaslon je 19% veći od udaljenosti do zida (polumjer kupole).

(Unesite x=0 i testirajte svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Strop

Nevjerojatno, vaš susjed je sada odlučio sagraditi strop nad vašom kupolom. (Što mu je? On očito ne želi da mu viriš dok hoda po dvorištu gol...)

Pa, vrijeme je da napraviš izlaz na krov i porazgovaraš sa susjedom. Vi birate kut nagiba i počinjete graditi:

• okomita udaljenost između krovnog izlaza i poda uvijek je 1 (radijus kupole)
• kotangens(x) = cot(x) = udaljenost između vrha kupole i izlazne točke
• kosekant(x) = csc(x) = duljina vašeg puta do krova

Tangenta i sekans opisuju zid, dok kotangens i kosekans opisuju pod.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnim:

• Ako uzmete kut od 0°, vaš izlazak na krov će trajati zauvijek jer nikada neće doseći strop. Problem.
• Najkraće "stepenište" do krova dobit će se ako ga izgradite pod kutom od 90 stupnjeva u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo strogo okomito), a kosekans će biti jednak 1 ("duljina ljestvi" će biti minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako su sva tri slučaja nacrtana u kombinaciji kupola-zid-pod, dobit će se sljedeće:

Pa, vau, sve je to isti trokut, uvećan do zida i stropa. Imamo okomite stranice (sinus, tangenta), horizontalne stranice (kosinus, kotangens) i "hipotenuze" (sekans, kosekans). (Iz strelica možete vidjeti koliko daleko svaki element doseže. Kosekans je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trokuti dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorinog teorema (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trokuta povezane. Osim toga, omjeri visine i širine također moraju biti isti za sve trokute. (Samo se odmaknite od najvećeg trokuta do manjeg. Da, veličina se promijenila, ali proporcije stranica će ostati iste).

Znajući koja je strana u svakom trokutu 1 (polumjer kupole), lako možemo izračunati da je "sin/cos = tan/1".

Uvijek sam pokušavao zapamtiti ove činjenice kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici možete jasno vidjeti ove ovisnosti i razumjeti odakle dolaze. Ova tehnika je puno bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite druge kutove

Psst... Nema potrebe da se zaglavite na jednom grafu, misleći da je tangenta uvijek manja od 1. Ako povećate kut, možete doći do stropa, a da ne stignete do zida:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu biti različite.

(Vjerojatno ste primijetili da je omjer sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer su zatvoreni unutar kupole.)

Da rezimiramo: što trebamo zapamtiti?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

• trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i intervali koji se ponavljaju
• analogija kupola/zid/krov pokazuje odnos između različitih trigonometrijskih funkcija
• rezultat trigonometrijskih funkcija su postoci koje primjenjujemo na naš scenarij.

Ne morate pamtiti formule poput 1 2 + dječji krevetić 2 = csc 2 . Prikladni su samo za glupe testove u kojima se poznavanje neke činjenice predstavlja kao njezino razumijevanje. Odvojite minutu da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, potpišete elemente i sve formule će biti tražene za vas na papiru.

Primjena: Inverzne funkcije

Bilo koja trigonometrijska funkcija uzima kut kao ulaz i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da kut od 30 stupnjeva zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija zapisuje se kao sin -1 ili arcsin (“arksina”). Također se često piše asin u raznim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koliki je naš kut?

U našoj tablici proporcija možete pronaći omjer gdje je sekans podijeljen s 1. Na primjer, sekant za 1 (hipotenuza prema horizontali) bit će jednak 1 podijeljen s kosinusom:

Recimo da nam je sekans 3,5, t.j. 350% polumjera jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ova vrijednost?

Dodatak: Neki primjeri

Dosadan zadatak. Zakomplicirajmo banalno “pronađi sinus” na “Kolika je visina u postotku od maksimuma (hipotenuze)?”.

Prvo, primijetite da je trokut zakrenut. U ovome nema ništa loše. Trokut također ima visinu, na slici je prikazana zelenom bojom.

Čemu je jednaka hipotenuza? Po Pitagorinom teoremu znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Dobro! Sinus je postotak visine od najduže strane trokuta, odnosno hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na nekoliko načina. Sada znamo da je sinus 0,60 i možemo jednostavno pronaći arcsin:

Asin (0,6) = 36,9

A evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "licem u lice sa zidom", pa možemo koristiti tangentu umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost do zida je 4, pa je tangenta ¾ ili 75%. Možemo koristiti tangentu luka da se vratimo od postotka natrag do kuta:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati ​​do obale?

U čamcu ste i imate dovoljno goriva da preplovite 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim najvećim kutom prema obali možete doplivati ​​do nje da imate dovoljno goriva? Dodatak uvjetu zadatka: imamo samo tablicu vrijednosti ark kosinusa.

Što imamo? obala može se zamisliti kao “zid” u našem poznatom trokutu, a “duljina ljestava” pričvršćenih na zid je najveća moguća premostiva udaljenost čamcem do obale (2 km). Pojavljuje se sekanta.

Prvo se morate prebaciti na postotke. Imamo 2 / 0,25 = 8, što znači da možemo preplivati ​​8 puta ravnu udaljenost do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje "Što je sekans 8?". Ali na to ne možemo dati odgovor, jer imamo samo lučni kosinus.

Koristimo naše prethodno izvedene ovisnosti za preslikavanje sekante u kosinus: “sec/1 = 1/cos”

Sekans od 8 jednak je kosinusu od ⅛. Kut čiji je kosinus ⅛ je acos(1/8) = 82,8. A to je najveći kut koji si možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-strop, bio bih zbunjen u hrpi formula i izračunima. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje potragu za rješenjem, osim toga, zanimljivo je vidjeti koja će trigonometrijska funkcija na kraju pomoći.

Za svaki zadatak razmislite ovako: zanima li me kupola (sin/cos), zid (tan/sec) ili strop (cot/csc)?

I trigonometrija će postati mnogo ugodnija. Jednostavni izračuni za vas!