Ponekad u životu postoje situacije kada morate zadubiti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, trebate odrediti površinu zemljišne čestice trokutastog oblika ili je došao red na sljedeći popravak u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu trokutastog oblika. Bilo je vrijeme kada ste mogli riješiti takav problem u nekoliko minuta, a sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne morate brinuti o ovome! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči dugo neiskorišteno znanje prebaciti negdje u zabačeni kutak, odakle ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali patiti s potragom za zaboravljenim školskim znanjem za rješavanje takvog problema, ovaj članak sadrži razne metode, koji olakšavaju pronalaženje željenog područja trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta poligona koja je ograničena na minimum mogući broj strane. U načelu, bilo koji mnogokut može se podijeliti na nekoliko trokuta spajanjem njegovih vrhova segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, znajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutima koji se pojavljuju u životu mogu se razlikovati sljedeći posebni tipovi: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih kutova pravi, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to polovica pravokutnika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška stranica koje čine pravi kut između njih.

Ako znamo visinu trokuta spuštenu s jednog od njegovih vrhova na suprotna strana, a duljina ove stranice, koja se zove baza, tada se površina izračunava kao polovica umnoška visine i baze. Ovo je napisano pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je željena površina trokuta;

b, h - odnosno visina i baza trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta, budući da će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je područje određeno, tada je prikladno uzeti duljinu jedne od stranica koje čine pravi kut kao visinu.

Sve je to svakako dobro, ali kako odrediti je li jedan od kutova trokuta pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, tada možete upotrijebiti građevni kut, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi predmet s pravokutnog oblika.

Ali što ako imamo trokutasti zemljišna parcela? U tom slučaju postupite na sljedeći način: brojite od vrha predloženog pravi kut s jedne strane mjeri se višekratnik udaljenosti 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a s druge strane u istom omjeru višekratnik udaljenosti 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih točaka ova dva segmenta. Ako je vrijednost višekratnik broja 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tada se može tvrditi da je kut pravi.

Ako je poznata vrijednost duljine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Kako bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluopseg. Ovo je zbroj svih strana našeg trokuta, podijeljen na pola. Nakon što je izračunat poluperimetar, možete početi određivati ​​područje pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p je vrijednost poluperimetra (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - rubovi (stranice) trokuta.

Ali što ako trokut ima nepravilnog oblika? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takav lik na dva pravokutna trokuta, čiji se zbroj površina izračunava zasebno, a zatim zbraja. Ili, ako su poznati kut između dviju stranica i veličina tih stranica, primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trokuta;

c je kut između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak, sve je moguće u životu, tako da gornja formula neće biti suvišna. Sretno s izračunima!

Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma iz geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri ugla, odgovor će biti jednako točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, razlikuju se takvi trokuti kao što su jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, oštrokutni i tupokutni.

Postoje mnoge formule za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako ćete pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Zato zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje vam mogu dobro doći ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. Ispod su najrazumljiviji i ne složene opcije izračunavanje nepoznate i tajanstvene površine trokuta. Nije teško i dobro će vam doći kako za kućne potrebe tako i za pomoć djeci. Sjetimo se kako izračunati površinu trokuta jednostavno kao guljenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 sq. cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut čiji je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni trokut). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutni trokut može postojati samo jedan pravi kut jer zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju međusobno podijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje naučiti kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo ovaj će pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trokuta koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo koristiti prvu formulu i to s malim mrljama (crtali smo u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo pravi izračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokračnog trokuta, tada je najlakši način koristiti glavnu i, kao što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo područje jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut čije su dvije stranice jednake duljine. Ove dvije stranice nazivaju se stranice, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim, tj. jednakostranični trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na bazi u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između ravnopravne stranke. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate:

Trokut je jedan od najčešćih geometrijski oblici, koji nam je poznat u osnovna škola. Pitanje kako pronaći područje trokuta suočava se s svakim učenikom na nastavi geometrije. Dakle, koje se značajke pronalaženja područja dane figure mogu razlikovati? U ovom ćemo članku razmotriti osnovne formule potrebne za dovršetak takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trokuta

Apsolutno možete pronaći površinu trokuta različiti putevi, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figura koje sadrže tri kuta. Ove vrste uključuju:

• tupi.
• Jednakostraničan (ispravan).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokračan.

Pogledajmo pobliže svaki od njih postojeće vrste trokuta.

Takav geometrijski lik smatra se najčešćim u rješavanju geometrijskih problema. Kada postane potrebno nacrtati proizvoljni trokut, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrokutnom trokutu, kao što naziv implicira, svi kutovi su oštri i zbroj njih iznosi 180°.

Takav je trokut također vrlo čest, ali je nešto rjeđi od trokuta s oštrim kutom. Na primjer, kada rješavate trokut (to jest, znate nekoliko njegovih stranica i kutova i trebate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li kut tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

Vrijednost jednog od kutova prelazi 90 °, tako da preostala dva kuta mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15 ° ili čak 3 °).

Da biste pronašli površinu trokuta ove vrste, morate znati neke od nijansi, o kojima ćemo kasnije govoriti.

Pravilni i jednakokračni trokut

pravilan poligon Likom se naziva lik koji ima n kutova, u kojem su sve stranice i kutovi jednaki. Ovo je pravokutni trokut. Kako je zbroj svih kutova trokuta 180°, svaki od triju kutova iznosi 60°.

Pravokutni trokut, zbog svog svojstva, nazivamo i jednakostranični lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedna kružnica i samo jedna kružnica može biti opisana oko njega, a njihova središta se nalaze u jednoj točki.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokračni trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom su trokutu dvije stranice i dva kuta međusobno jednaki, a treća stranica (na koju prianjaju jednaki kutovi) je osnovica.

Na slici je prikazan jednakokračni trokut DEF kojemu su kutovi D i F jednaki, a DF je osnovica.

Pravokutni trokut

Pravokutni trokut je tako nazvan jer je jedan od njegovih kutova pravi kut, tj. jednak 90°. Zbroj druga dva kuta iznosi 90°.

Najveća stranica takvog trokuta, koja leži nasuprot kutu od 90 °, je hipotenuza, dok su druge dvije njegove strane noge. Za ovu vrstu trokuta primjenjiva je Pitagorina teorema:

Zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravokutni trokut BAC s hipotenuzom AC i katetama AB i BC.

Da biste pronašli područje trokuta s pravim kutom, morate znati brojčane vrijednosti njegovih nogu.

Prijeđimo na formule za pronalaženje površine zadane figure.

Osnovne formule za određivanje površine

U geometriji se mogu razlikovati dvije formule koje su prikladne za pronalaženje površine većine vrsta trokuta, i to za oštrokutne, tupokutne, pravilne i jednakokračni trokuti. Analizirajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje područja figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu stranice i duljinu visine nacrtane na nju. Sama formula (polovica umnoška baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica zadanog trokuta, a H visina trokuta.

Na primjer, da biste pronašli područje oštrokutnog trokuta ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB s visinom CD i podijeliti dobivenu vrijednost s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći područje trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste upotrijebili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate nastaviti jednu njegovu stranicu i tek onda joj nacrtati visinu.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

Dvije strane i kut

Ova je formula, kao i prethodna, prikladna za većinu trokuta i po svom je značenju posljedica formule za određivanje površine stranice i visine trokuta. Odnosno, formula koja se razmatra može se lako izvesti iz prethodne. Njegov tekst izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O kut između stranica A i B.

Podsjetimo se da se sinus kuta može vidjeti u posebnoj tablici nazvanoj po izvanrednom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

A sada prijeđimo na druge formule koje su prikladne samo za iznimne vrste trokuta.

Površina pravokutnog trokuta

Osim univerzalne formule, koja uključuje potrebu crtanja visine u trokutu, područje trokuta koji sadrži pravi kut može se pronaći iz njegovih nogu.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi kut je pola umnoška njegovih krakova, ili:

gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.

pravokutni trokut

Ovaj tip geometrijskih likova razlikuje se po tome što se njegova površina može pronaći s navedenom vrijednošću samo jedne njegove stranice (jer su sve stranice pravilnog trokuta jednake). Dakle, nakon što ste se susreli sa zadatkom "pronaći područje trokuta kada su strane jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trokuta.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati duljine triju stranica figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

gdje su a, b i c stranice zadanog trokuta.

Ponekad se daje zadatak: "površina pravilnog trokuta je pronaći duljinu njegove strane." U ovom slučaju trebate upotrijebiti već poznatu formulu za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njezinog kvadrata):

A 2 \u003d 4S / √3.

Ispitni problemi

Mnogo je formula u zadacima GIA iz matematike. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najprikladnije je nacrtati visinu na jednu od strana figure, odrediti njezinu duljinu ćelijama i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem područja trokuta bilo koje vrste.

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili dimenzije. Formule su prikazane u obliku slike, a ovdje su objašnjenja za primjenu ili obrazloženje njihove ispravnosti. Na zasebnoj slici su i korespondencije slova u formulama i grafički simboli na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti donje formule, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formule za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer opisane kružnice oko trokuta
h- visina trokuta, spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta, spuštena na stranicu a, b, c

Imajte na umu da navedena oznaka odgovara gornjoj slici, tako da prilikom rješavanja pravi zadatak u geometriji vam je bilo vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice na koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika s dimenzijama b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog s nas, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga upisanog u njega zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (lakše je zapamtiti na ovaj način)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu duljina njegovih stranica i njegovog poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga opisanog oko njega i sinusa svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznati duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice, podijeljen s dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutovi (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao po Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućuje izračunavanje površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su dane kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličan onom koji nije ovdje - pišite o tome na forumu. U rješenjima se umjesto simbola "kvadratni korijen" može koristiti funkcija sqrt () u kojoj je sqrt simbol korijen, a u zagradama je korijenski izraz.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm, a kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz tvrdnje problema:
S=1/2*5*6*sin60

U tablici vrijednosti trigonometrijske funkcije pronađite i zamijenite u izrazu vrijednost sinusa 60 stupnjeva. Bit će jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima nastavnika, vjerojatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta će imati oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetverostruče?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je prikazano u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta dane su varijablama a, b, c.
Ako se strane povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvaditi iz zagrada iz sva četiri izraza prema Opća pravila matematika.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 savršeno je izvučen kvadratni korijen pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte petu liniju donje slike)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, dovoljno nam je podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Omjere površina određujemo tako da izraze podijelimo jedan u drugi i smanjimo dobiveni razlomak.

Neki od zadataka iz geometrije, točnije iz planimetrije, zahtijevaju pronalaženje površine neke zadane figure. Područje bilo koje figure može biti i krajnji cilj problema i srednji izračun potreban za zamjenu u složeniju formulu. Često se u takvim problemima od njih traži da pronađu područje trokuta. Početni podaci mogu biti različiti. U nekim slučajevima poznata je neka strana trokuta i vrijednost visine povučene na nju, u drugima - opseg trokuta i tako dalje.

Pretpostavimo da se od vas traži da pronađete površinu trokuta ako su poznate tri strane. Za pronalaženje površine takvog trokuta koristi se Heronova formula. Da biste odredili površinu pomoću ove formule, prvo morate izračunati poluopseg trokuta (n). Poznavajući značenja sve tri strane, elementarno je to učiniti. Morate zbrojiti sve strane trokuta - to će biti njegov opseg, a zatim podijeliti dobivenu vrijednost s dva. Nakon toga, potrebno je od vrijednosti poluperimetra redom oduzeti vrijednosti duljine svake od tri zadane stranice trokuta, odnosno oduzeti a od n, zatim oduzeti b od n, i, konačno, oduzmite c od n.

Dobivene tri razlike treba međusobno pomnožiti i taj umnožak ponovno pomnožiti s vrijednošću poluperimetra. Nakon što smo izvršili sve gore navedene radnje i dobili rezultat množenja, potrebno je izvući kvadratni korijen iz ovog rezultata. Broj koji će se dobiti nakon vađenja kvadratnog korijena bit će površina zadanog trokuta. Ukratko, formula za površinu trokuta bit će: površina (S) \u003d kvadratni korijen od (n * (n-a) * (n-b) * (n-s)) . Kao što se može razumjeti iz formule, pitanje pronalaska trokuta s poznate vrijednosti strane vrlo lako.

Na primjer, kako pronaći površinu trokuta ako su poznate 3 strane: stranica a je 3 centimetra, stranica b je 4 centimetra i stranica c je 2 centimetra. Opseg ovog trokuta bit će jednak a + b + c = 3 centimetra + 4 centimetra + 2 centimetra = 9 cm. Dakle, poluopseg je 9: 2 = 4,5 centimetara Dobivamo: S = kvadratni korijen od (4,5 centimetra * (4 ,5 centimetra - 3 centimetra) * (4,5 centimetra - 4 centimetra) * (4,5 centimetra - 2 centimetra)) = 2,9 kvadratnih centimetara

Ali što ako su vrijednosti stranica ne samo poznate, već je također naznačeno da su jednake prema uvjetu problema? U ovom slučaju, kako pronaći površinu trokuta ako su sve strane poznate i također su jednake? Možete ga, naravno, također izračunati koristeći Heronovu formulu o kojoj smo govorili gore, ali čemu dodatni izračuni ako je za takav trokut izvedena druga formula, koja je puno jednostavnija od Heronove formule. Prema ovoj formuli, prvo morate izračunati kvadratni korijen broja 3, zatim podignuti vrijednost duljine stranice trokuta na drugu potenciju, pomnožiti tu vrijednost na drugu potenciju s korijenom iz broja 3 i umnožak dobiven množenjem podijelite s brojem 4. Dobit ćete površinu zadanog trokuta . Kada se napiše, ova formula izgleda ovako: S=(a^2*korijen(3)) /4

Neka postoji trokut s istom duljinom stranice koja je jednaka 3 centimetra. Koristeći ovu formulu, možete dobiti površinu takvog trokuta: S \u003d (3 ^ 2 * korijen (3)) / 4 \u003d 3,9 kvadratnih centimetara. Da biste provjerili je li vrijednost površine određenog trokuta izračunata ispravno ili ne, možete izvršiti dodatne izračune koristeći Heronovu formulu i usporediti rezultate.

Poluopseg (p) \u003d (3 + 3 + 3) / 2 \u003d 4,5 centimetara. Prema Heronovoj formuli je: S \u003d kvadratni korijen od (4,5 centimetara * (4,5 centimetara - 3 centimetra) * (4,5 centimetara - 3 centimetra) * (4,5 centimetara - 3 centimetra)) \u003d 3,9 kvadratnih centimetara. Obje vrijednosti površine pronađene iz različite formule, podudarati se. Dakle, površina trokuta je točna. Pri rješavanju drugih zadataka treba uzeti u obzir podatke iz uvjeta i koristiti formulu koja odgovara tim podacima.