- Duljina promjera - segment koji prolazi središtem kružnice i spaja dvije suprotne točke kružnice, ili polumjer - segment, jedan od ekstremne točke koji se nalazi u središtu kruga, a drugi - na luku kruga. Dakle, promjer jednaka dužini polumjer pomnožen s dva.
- Vrijednost broja π. Ova vrijednost je konstanta – iracionalni razlomak koji nema kraja. Međutim, to nije periodično. Ovaj broj izražava omjer opseg na njegov polumjer. Za izračunavanje površine kruga u zadacima školskog tečaja koristi se vrijednost π, dana na najbližu stotinu - 3,14.
Formule za pronalaženje površine kruga, njegovog segmenta ili sektora
Ovisno o specifičnostima uvjeta geometrijskog problema, dva formule za pronalaženje površine kruga:
Da biste utvrdili kako pronaći područje kruga na najlakši način, morate pažljivo analizirati uvjete zadatka.
Školski tečaj geometrije također uključuje zadatke za izračunavanje površine odsječaka ili sektora za koje se koriste posebne formule:
- Sektor je dio kružnice omeđen kružnicom i kutom s vrhom koji se nalazi u središtu. Površina sektora izračunava se po formuli: S = (π*r 2 /360)*A;
- r je polumjer;
- A je kut u stupnjevima.
- r je polumjer;
- p je duljina luka.
- Segment - je dio omeđen presjekom kružnice (tetive) i kružnice. Njegovo se područje može pronaći po formuli S \u003d (π * r 2 / 360) * A ± S ∆ ;
Postoji i druga opcija S = 0,5 * p * r;
- r je polumjer;
- A je vrijednost kuta u stupnjevima;
- S ∆ je površina trokuta čije su stranice polumjeri i tetiva kružnice; dok se jedan od njegovih vrhova nalazi u središtu kruga, a druga dva - u točkama dodira luka kružnice s tetivom. Važna točka- znak minus se stavlja ako je vrijednost A manja od 180 stupnjeva, a znak plus - ako je veća od 180 stupnjeva.
Da bi se pojednostavilo rješenje geometrijskog problema, može se izračunati područje kruga na mreži. Poseban program će brzo i točno napraviti izračun za nekoliko sekundi. Kako izračunati površinu brojki na mreži? Da biste to učinili, morate unijeti poznate početne podatke: polumjer, promjer, kut.
Uputa
Koristite pi da pronađete polumjer poznati trg krug. Ova konstanta određuje omjer između promjera kruga i duljine njegove granice (kružnice). Opseg maksimalna površina ravnina, koju je moguće pokriti uz njezinu pomoć, a promjer je jednak dvama radijusom, dakle, površine s radijusom također međusobno koreliraju s omjerom koji se može izraziti kroz Pi. Ova konstanta (π) definirana je kao površina (S) i kvadrat polumjera (r) kružnice. Iz ovoga slijedi da se radijus može izraziti kao Korijen iz kvocijenta dijeljenja površine s Pi: r=√(S/π).
Erastofen je dugo bio na čelu Aleksandrijske knjižnice, najviše poznata knjižnica drevni svijet. Osim što je izračunao veličinu našeg planeta, napravio je još jednu seriju važnih izuma i otkrića. Izumio je jednostavnu metodu za određivanje primarni brojevi, koji se danas zove "Erastotenovo sito".
Nacrtao je "kartu svijeta", u kojoj je pokazao sve dijelove svijeta poznate u to vrijeme starim Grcima. Karta se smatrala jednom od najboljih za svoje vrijeme. Razvio je sustav zemljopisne dužine i širine te kalendar koji je uključivao prijestupne godine. Izumio je armilarnu sferu mehanički uređaj koju su rani astronomi koristili za demonstriranje i predviđanje prividnog kretanja zvijezda na nebu. Sastavio je i zvjezdani katalog, koji je uključivao 675 zvjezdica.
Izvori:
- Grčki znanstvenik Eratosten iz Cirene prvi je put u svijetu izračunao polumjer Zemlje
- Eratosten "Izračunavanje Zemljinog opsega".
- Eratosten
Krug je vidljiva zbirka mnogih točaka koje su na istoj udaljenosti od središta. Da biste pronašli njegovu površinu, morate znati koliki je polumjer, promjer, π broj i opseg.
Količine uključene u izračunavanje površine kruga
Udaljenost ograničena središnjom točkom kružnice i bilo kojom točkom na kružnici naziva se polumjer ove kružnice. geometrijski lik. Duljine svih polumjera jedne kružnice su iste. Odsječak između bilo koje 2 točke na kružnici koja prolazi kroz središnju točku naziva se promjer. Duljina promjera jednaka je duljini polumjera pomnoženog s 2.
Za izračunavanje površine kruga koristi se vrijednost broja π. Ova vrijednost jednaka je omjeru opsega i duljine promjera kruga i ima konstantnu vrijednost. Π = 3,1415926. Opseg se izračunava pomoću formule L=2πR.
Pomoću radijusa pronađite površinu kruga
Dakle, površina kružnice jednaka je umnošku broja π i polumjera kružnice podignutog na 2. stepen. Kao primjer, uzmimo duljinu polumjera kruga jednaku 5 cm. Tada će površina kružnice S biti jednaka 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 četvornih metara. cm.
Površina kruga u smislu promjera
Površina kruga se također može izračunati poznavanjem promjera kruga. U ovom slučaju, S = (π/4)*d^2, gdje je d promjer kružnice. Uzmimo isti primjer gdje je polumjer 5 cm. Tada će njegov promjer biti 5*2=10 cm. Površina kruga je S=3,14/4*10^2=78,5 sq.cm. Rezultat, koji je jednak zbroju izračuna u prvom primjeru, potvrđuje ispravnost izračuna u oba slučaja.
Površina kruga u smislu opsega
Ako je polumjer kružnice predstavljen u terminima opsega, tada će formula imati sljedeći pogled: R=(L/2)π. Zamijenite ovaj izraz u formulu za područje kruga i kao rezultat dobivamo S=(L^2)/4π. Razmotrimo primjer u kojem je opseg 10 cm. Tada je površina kruga S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 četvornih metara. cm.
Površina kruga u smislu duljine stranice upisanog kvadrata
Ako je kvadrat upisan u krug, tada je duljina promjera kružnice jednaka duljini dijagonale kvadrata. Znajući veličinu stranice kvadrata, lako možete pronaći promjer kruga po formuli: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Drugim riječima, promjer na potenciju 2 jednaka strani na kvadrat na stepen 2 pomnožen sa 2.
Nakon što izračunate vrijednost duljine promjera kruga, možete saznati i njegov polumjer, a zatim upotrijebiti jednu od formula za određivanje površine kruga.
Sektorsko područje kruga
Sektor je dio kružnice omeđen s 2 polumjera i lukom između njih. Da biste saznali njegovu površinu, morate izmjeriti kut sektora. Nakon toga potrebno je sastaviti razlomak u čijem će brojniku biti vrijednost kuta sektora, a u nazivniku - 360. Za izračunavanje površine sektora, vrijednost dobiveno kao rezultat dijeljenja razlomka mora se pomnožiti s površinom kruga izračunatom pomoću jedne od gornjih formula.
Krugovi zahtijevaju pažljiviji pristup i mnogo su rjeđi u zadacima B5. Međutim, opća shema rješenja su još jednostavnija nego u slučaju poligona (vidi lekciju "Poligonska područja na koordinatnoj mreži").
Sve što je potrebno u takvim zadacima je pronaći polumjer kružnice R. Tada možete izračunati površinu kruga pomoću formule S = πR 2 . Iz ove formule također slijedi da je dovoljno pronaći R 2 za rješenje.
Da biste pronašli naznačene vrijednosti, dovoljno je na kružnici označiti točku koja leži na sjecištu linija mreže. Zatim upotrijebite Pitagorin teorem. Smatrati konkretnim primjerima izračun radijusa:
Zadatak. Pronađite polumjere triju kružnica prikazanih na slici:
Izvodimo dodatne konstrukcije u svakom krugu:
U svakom slučaju bira se točka B na kružnici da leži na sjecištu linija mreže. Točka C u krugovima 1 i 3 dovršava lik u pravokutni trokut. Ostaje pronaći polumjere:
Razmotrimo trokut ABC u prvom krugu. Prema Pitagorinom teoremu: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 = 8.
Za drugi krug sve je očito: R = AB = 2.
Treći slučaj je sličan prvom. Iz trokuta ABC prema Pitagorinom teoremu: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 = 5.
Sada znamo kako pronaći polumjer kružnice (ili barem njezin kvadrat). Stoga možemo pronaći područje. Postoje zadaci u kojima je potrebno pronaći područje sektora, a ne cijeli krug. U takvim slučajevima lako je otkriti koji dio kruga čini ovaj sektor, a time i područje.
Zadatak. Pronađite područje S zasjenjenog sektora. U svom odgovoru navedite S / π.
Očito, sektor je jedna četvrtina kruga. Dakle, S = 0,25 S kruga.
Ostaje pronaći S kruga - područje kruga. Da bismo to učinili, izvršit ćemo dodatnu konstrukciju:
Trokut ABC je pravokutni trokut. Prema Pitagorinom teoremu, imamo: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Sada nalazimo površinu kruga i sektora: S kruga = πR 2 = 8π; S = 0,25 S krug = 2π.
Konačno, željena vrijednost je jednaka S /π = 2.
Područje sektora s nepoznatim radijusom
Ovo je potpuno nova vrsta zadatka, ništa slično nije bilo 2010.-2011. Po uvjetu nam je zadan krug određeno područje(točno područje, a ne radijus!). Zatim se unutar ovog kruga dodjeljuje sektor, čije područje treba pronaći.
Dobra vijest je da su ti problemi najlakši od svih zadataka u kvadratu, koji se nalaze na ispitu iz matematike. Osim toga, krug i sektor se uvijek nalaze na koordinatnoj mreži. Stoga, da biste naučili kako riješiti takve probleme, samo pogledajte sliku:
Neka izvorna kružnica ima površinu S kružnice = 80. Tada se može podijeliti na dva sektora površine S = 40 svaki (vidi korak 2). Slično, svaki od ovih "pola" sektora može se ponovno podijeliti na pola - dobivamo četiri sektora površine S = 20 svaki (vidi korak 3). Konačno, svaki od ovih sektora možete podijeliti na još dva - dobivamo 8 sektora - "komadića". Površina svakog od ovih "komadića" bit će S = 10.
Imajte na umu: nema manje podjele ni u jednom USE zadatku iz matematike! Dakle, algoritam za rješavanje problema B-3 je sljedeći:
- Izrežite izvorni krug na 8 sektora - "komada". Površina svakog od njih je točno 1/8 površine cijelog kruga. Na primjer, ako prema uvjetu krug ima površinu S kruga = 240, tada "grude" imaju površinu S = 240: 8 = 30;
- Saznajte koliko "grudica" stane u izvorni sektor, područje koje želite pronaći. Na primjer, ako naš sektor sadrži 3 "grude" s površinom od 30, tada je površina željenog sektora S = 3 30 = 90. Ovo će biti odgovor.
To je sve! Problem se rješava praktički usmeno. Ako i dalje nešto ne razumijete, kupite pizzu i narežite je na 8 komada. Svaki takav komad bit će isti sektor - "komad" koji se može kombinirati u veće komade.
A sada pogledajmo primjere s probnog ispita:
Zadatak. Na kockastom papiru nacrtan je krug površine 40. Pronađite područje osjenčane figure.
Dakle, površina kruga je 40. Podijelite ga na 8 sektora - svaki s površinom od S = 40: 5 = 8. Dobivamo:
Očito, zasjenjeni sektor se sastoji od točno dva "mala" sektora. Stoga je njegova površina 2 5 = 10. To je cijelo rješenje!
Zadatak. Na kockastom papiru nacrtan je krug površine 64. Pronađite površinu osjenčanog lika.
Opet podijelite cijeli krug na 8 jednakih sektora. Očito, samo treba pronaći područje jednog od njih. Stoga je njegova površina S = 64: 8 = 8.
Zadatak. Na kockastom papiru nacrtan je krug površine 48. Pronađite područje osjenčane figure.
Opet podijelite krug na 8 jednakih sektora. Površina svakog od njih jednaka je S = 48: 8 = 6. Točno tri sektora - "mala" postavljena su u željeni sektor (vidi sliku). Stoga je površina željenog sektora 3 6 = 18.
Kako pronaći površinu kruga? Prvo pronađite polumjer. Naučite rješavati jednostavne i složene probleme.
Krug je zatvorena krivulja. Bilo koja točka na kružnici bit će na istoj udaljenosti od središnje točke. Krug je ravna figura, pa je rješavanje problema s pronalaženjem područja jednostavno. U ovom članku ćemo pogledati kako pronaći površinu kružnice upisane u trokut, trapez, kvadrat i opisanu oko ovih figura.
Da biste pronašli površinu dane figure, morate znati koliki su polumjer, promjer i broj π.
Radijus R je udaljenost omeđena središtem kružnice. Duljine svih R-radijusa jedne kružnice bit će jednake.
Promjer D je pravac između bilo koje dvije točke na kružnici koja prolazi kroz središnju točku. Duljina ovog segmenta jednaka je duljini polumjera R puta 2.
Broj π je konstantna vrijednost, koja je jednaka 3,1415926. U matematici se ovaj broj obično zaokružuje na 3,14.
Formula za pronalaženje površine kruga pomoću radijusa:
Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje S-područja kružnice kroz R-radijus:
Zadatak: Nađi površinu kruga ako je njegov polumjer 7 cm.
Odluka: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².
Odgovor: Površina kruga je 153,86 cm².
Formula za pronalaženje S-područja kruga u smislu D-promjera je:
Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje S, ako je D poznato:
————————————————————————————————————————-
Zadatak: Pronađite S kruga ako je njegov D 10 cm.
Odluka: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².
Odgovor: Površina ravne okrugle figure je 78,5 cm².
Pronalaženje S kruga ako je poznat opseg:
Prvo saznajte koliki je radijus. Opseg se izračunava formulom: L=2πR, odnosno polumjer R će biti jednak L/2π. Sada pronalazimo površinu kruga pomoću formule kroz R.
Razmotrimo rješenje na primjeru problema:
———————————————————————————————————————-
Zadatak: Nađite površinu kruga ako je poznat opseg L - 12 cm.
Odluka: Prvo nalazimo polumjer: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.
Sada nalazimo površinu kroz polumjer: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².
Odgovor: Površina kruga je 11,46 cm².
Lako je pronaći površinu kruga upisanog u kvadrat. Strana kvadrata je promjer kruga. Da biste pronašli polumjer, trebate podijeliti stranu s 2.
Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u kvadrat je:
Primjeri rješavanja zadataka na pronalaženje površine kruga upisanog u kvadrat:
———————————————————————————————————————
Zadatak #1: Poznata je stranica kvadratne figure, koja je jednaka 6 centimetara. Pronađite S-područje upisane kružnice.
Odluka: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².
Odgovor: Površina ravne okrugle figure je 28,26 cm².
————————————————————————————————————————
Zadatak #2: Pronađite S kružnice upisane u kvadratni lik i njezin polumjer ako je jedna strana a=4 cm.
Odlučite ovako: Prvo pronađite R=a/2=4/2=2 cm.
Sada pronađimo površinu kruga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².
Odgovor: Površina ravne okrugle figure je 12,56 cm².
Malo je teže pronaći područje okruglog lika opisanog kvadratom. Ali, poznavajući formulu, možete brzo izračunati ovu vrijednost.
Formula za pronalaženje S kružnice opisane oko kvadratne figure:
Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje površine kruga opisanog u blizini kvadratne figure:
Zadatak
Krug koji je upisan u trokut je krug koji dodiruje sve tri strane trokuta. Krug se može upisati u bilo koji trokutasti lik, ali samo jedan. Središte kružnice bit će točka presjeka simetrala kutova trokuta.
Formula za pronalaženje površine upisane kružnice jednakokračan trokut:
Kada je polumjer poznat, površina se može izračunati pomoću formule: S=πR².
Formula za pronalaženje površine upisane kružnice pravokutni trokut:
Primjeri rješavanja zadataka:
Zadatak #1
Ako u ovom problemu također trebate pronaći područje kruga polumjera 4 cm, to se može učiniti pomoću formule: S=πR²
Zadatak #2
Odluka:
Sada kada znate radijus, možete pronaći područje kruga u smislu radijusa. Vidi gornju formulu.
Zadatak #3
Područje kružnice opisane oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta: formula, primjeri rješavanja problema
Sve formule za pronalaženje površine kruga svode se na činjenicu da prvo trebate pronaći njegov polumjer. Kada je polumjer poznat, pronalaženje područja je jednostavno, kao što je gore opisano.
Površina kružnice opisane oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta nalazi se sljedećom formulom:
Primjeri rješavanja problema:
Evo još jednog primjera rješavanja problema pomoću Heronove formule.
Rješavanje takvih problema je teško, ali ih je moguće svladati ako znate sve formule. Takve zadatke učenici rješavaju u 9. razredu.
Površina kružnice upisane u pravokutni i jednakokraki trapez: formula, primjeri rješavanja problema
Jednakokraki trapez ima dvije jednake stranice. Pravokutni trapez ima jedan kut jednak 90º. Razmislite kako pronaći područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokraki trapez na primjeru rješavanja problema.
Na primjer, kružnica je upisana u jednakokračni trapez, koji na mjestu dodira dijeli jednu stranu na segmente m i n.
Da biste riješili ovaj problem, trebate koristiti sljedeće formule:
Pronalaženje površine upisane kružnice pravokutni trapez, proizvodi se prema sljedećoj formuli:
Ako je bočna strana poznata, tada možete pronaći polumjer kroz ovu vrijednost. Visina stranice trapeza jednaka je promjeru kružnice, a polumjer je pola promjera. Prema tome, polumjer je R=d/2.
Primjeri rješavanja problema:
Trapez se može upisati u krug kada je zbroj njegovih suprotnih kutova 180º. Stoga se može upisati samo jednakokraki trapez. Polumjer za izračunavanje površine kružnice opisane oko pravokutnog ili jednakokračnog trapeza izračunava se pomoću sljedećih formula:
Primjeri rješavanja problema:
Odluka: Velika baza u ovom slučaju prolazi kroz središte, budući da je jednakokračni trapez upisan u krug. Središte dijeli ovu bazu točno na pola. Ako je baza AB 12, tada se polumjer R može naći na sljedeći način: R=12/2=6.
Odgovor: Radijus je 6.
U geometriji je važno poznavati formule. Ali nemoguće ih je zapamtiti sve, pa je čak i na mnogim ispitima dopušteno koristiti poseban obrazac. Međutim, važno je znati pronaći pravu formulu za rješavanje određenog problema. Vježbajte rješavanje različite zadatke pronaći polumjer i površinu kruga kako bi mogli ispravno zamijeniti formule i dobiti točne odgovore.
Video: Matematika | Izračunavanje površine kruga i njegovih dijelova
