Kutovi u pravokutnom trapezu. Što je trapez: svojstva četverokuta, teoremi i formule

Svojstva pravokutnog trapeza

• Na pravokutni trapez a dva kuta moraju biti desna
• Oba prava kuta pravokutni trapez nužno pripada susjednim vrhovima
• Oba prava kuta u pravokutnom trapezu nužno su uz istu bočnu stranu
• Dijagonale pravokutnog trapeza tvore pravokutni trokut s jedne strane
• Duljina strane trapez okomit na osnovice jednak je njegovoj visini
• Na pravokutnom trapezu baze su paralelne, jedna strana je okomita na osnovice, a druga je nagnuta na baze
• Na pravokutnom trapezu dva su kuta prava, a druga dva oštra i tupa

Zadatak

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web-mjestu, možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

S takvim oblikom kao što je trapez, susrećemo se u životu prilično često. Na primjer, svaki most koji je napravljen od betonskih blokova je odličan primjer. Očitnija opcija je upravljanja svatko vozilo I tako dalje. Svojstva figure već su bila poznata u Drevna grčka , što je pobliže opisao Aristotel u svom znanstvenom djelu "Počeci". A znanje koje je razvijeno prije više tisuća godina i danas je aktualno. Stoga ćemo se s njima detaljnije upoznati.

U kontaktu s

Osnovni koncepti

Slika 1. Klasični oblik trapez.

Trapez je u osnovi četverokut koji se sastoji od dva paralelna segmenta i dva koja nisu paralelna. Govoreći o ovoj slici, uvijek je potrebno zapamtiti koncepte kao što su: baze, visina i srednja linija. Dva segmenta četverokuta koji se međusobno nazivaju bazama (odsječci AD i BC). Visinom se naziva segment okomit na svaku od baza (EH), tj. sijeku pod kutom od 90° (kao što je prikazano na slici 1).

Ako zbrojimo sve interne mjere stupnjeva, tada će zbroj kutova trapeza biti jednak 2π (360 °), kao i svaki četverokut. Segment čiji su krajevi središnje točke bočnih stijenki (IF) zove se srednja linija. Duljina ovog segmenta je zbroj baza BC i AD podijeljen s 2.

Postoje tri vrste geometrijski lik: ravne, pravilne i jednakokračne. Ako je barem jedan kut na vrhovima baze pravi (na primjer, ako je ABD = 90 °), tada se takav četverokut naziva pravi trapez. Ako su bočni segmenti jednaki (AB i CD), onda se naziva jednakokračan (odnosno, kutovi na bazama su jednaki).

Kako pronaći područje

Za, pronaći površinu četverokuta ABCD koristi sljedeću formulu:

Slika 2. Rješavanje zadatka nalaženja površine

Za više dobar primjer Riješimo lak problem. Na primjer, neka gornja i donja baza budu jednake 16 odnosno 44 cm, a stranice 17 i 25 cm. Izgradimo okomit odsječak od vrha D tako da DE II BC (kao što je prikazano na slici 2). Stoga to dobivamo

Neka DF - bit će. Od ΔADE (koji će biti jednakostraničan) dobivamo sljedeće:

Odnosno izraziti prostim jezikom, prvo smo pronašli visinu ΔADE, koja je ujedno i visina trapeza. Odavde izračunavamo površinu četverokuta ABCD koristeći već poznatu formulu, s već poznata vrijednost D.F. visina.

Dakle, željena površina ABCD je 450 cm³. Odnosno, sa sigurnošću se može reći da Da biste izračunali površinu trapeza, potreban vam je samo zbroj baza i duljine visine.

Važno! Prilikom rješavanja zadatka nije potrebno posebno tražiti vrijednosti duljina, sasvim je moguće ako se primjenjuju drugi parametri figure, koji će uz odgovarajući dokaz biti jednaki zbroju baza.

Vrste trapeza

Ovisno o tome koje stranice ima lik, koji su kutovi formirani na bazama, postoje tri vrste četverokuta: pravokutni, bočni i jednakostranični.

Svestran

Postoje dva oblika: akutna i tupa. ABCD je oštar samo ako su bazni kutovi (AD) akutni, a duljine stranica različite. Ako je vrijednost jednog kuta broj Pi / 2 više (mjera stupnja je veća od 90 °), tada dobivamo tupi kut.

Ako su stranice jednake duljine

Slika 3. Pogled na jednakokraki trapez

Ako su neparalelne stranice jednake duljine, tada se ABCD naziva jednakokračan (točan). Štoviše, za takav četverokut mjera stupnja kutova u bazi je ista, njihov će kut uvijek biti manji od pravog. Iz tog razloga se jednakokraka nikada ne dijeli na akutnu i tupu. Četverokut ovog oblika ima svoje specifične razlike, koje uključuju:

1. Segmenti koji spajaju suprotne vrhove jednaki su.
2. Oštri kutovi s većom bazom su 45° (ilustrativan primjer na slici 3).
3. Ako dodate stupnjeve suprotnih kutova, onda će ukupno dati 180 °.
4. Oko bilo kojeg pravilnog trapeza može se izgraditi.
5. Ako dodate stupnjsku mjeru suprotnih kutova, ona je jednaka π.

Štoviše, zbog njihovog geometrijskog rasporeda točaka postoje osnovna svojstva jednakokračnog trapeza:

Vrijednost kuta na bazi 90°

Okomitost bočne strane baze je prostrana karakteristika koncepta "pravokutnog trapeza". Ne mogu postojati dvije strane s uglovima u bazi, jer će inače biti već pravokutnik. U četverokutima ove vrste uvijek će se formirati druga stranica oštar kut s velikom bazom, a s manjom - tupom. U ovom slučaju, okomita strana također će biti visina.

Segment između sredine bočnih stijenki

Ako spojimo sredine stranica, a rezultirajući segment će biti paralelan s bazama, a po duljini jednak polovici njihovog zbroja, tada će formirana ravna linija bit će srednja linija. Vrijednost ove udaljenosti izračunava se po formuli:

Za ilustrativniji primjer, razmotrite problem pomoću srednje crte.

Zadatak. Srednja linija trapeza je 7 cm, poznato je da je jedna stranica 4 cm veća od druge (slika 4). Pronađite duljine baza.

Slika 4. Rješavanje problema nalaženja duljina baza

Odluka. Neka je manja baza DC jednaka x cm, tada će veća baza biti jednaka (x + 4) cm, odnosno. Odavde, koristeći formulu za srednju liniju trapeza, dobivamo:

Ispada da je manja baza DC 5 cm, a veća 9 cm.

Važno! Koncept središnje linije ključ je za rješavanje mnogih problema u geometriji. Na temelju njegove definicije izgrađeni su mnogi dokazi za druge figure. Koristeći koncept u praksi, možda i više racionalna odluka i potražite traženu vrijednost.

Određivanje visine i kako je pronaći

Kao što je ranije navedeno, visina je segment koji siječe baze pod kutom od 2Pi / 4 i predstavlja najkraću udaljenost između njih. Prije pronalaženja visine trapeza, potrebno je odrediti koje su ulazne vrijednosti date. Za bolje razumijevanje razmotrite problem. Nađite visinu trapeza, pod uvjetom da su osnovice 8 i 28 cm, a stranice 12 odnosno 16 cm.

Slika 5. Rješavanje zadatka nalaženja visine trapeza

Nacrtajmo segmente DF i CH pod pravim kutom na bazu AD. Prema definiciji, svaki od njih bit će visina zadanog trapeza (slika 5.). U ovom slučaju, znajući duljinu svake bočne stijenke, koristeći Pitagorin teorem, nalazimo kolika je visina u trokutima AFD i BHC.

Zbroj odsječaka AF i HB jednak je razlici baza, tj.:

Neka je duljina AF jednaka x cm, tada je duljina odsječka HB = (20 - x) cm. Kako je utvrđeno, DF=CH , dakle .

Tada dobivamo sljedeću jednadžbu:

Ispada da je segment AF u trokutu AFD 7,2 cm, odavde izračunavamo visinu trapeza DF koristeći isti Pitagorin teorem:

Oni. visina ADCB trapeza bit će 9,6 cm.Kao što vidite, izračun visine je više mehanički proces, a temelji se na izračunu stranica i kutova trokuta. No, u brojnim geometrijskim problemima mogu se znati samo stupnjevi kutova, pri čemu će se izračuni vršiti kroz omjer stranica unutarnjih trokuta.

Važno! U biti, trapez se često smatra dva trokuta, ili kombinacijom pravokutnika i trokuta. Za rješavanje 90% svih problema koji se nalaze u školskim udžbenicima, svojstva i karakteristike ovih brojki. Većina formula za ovaj GMT izvedena je oslanjajući se na "mehanizme" za ove dvije vrste brojki.

Kako brzo izračunati duljinu baze

Prije nego što pronađete bazu trapeza, morate odrediti koji su parametri već dati i kako ih racionalno koristiti. Praktični pristup je izdvajanje duljine nepoznate baze iz formule srednje linije. Za jasniju percepciju slike, pokazat ćemo kako se to može učiniti na primjeru zadatka. Neka se zna da je srednja crta trapeza 7 cm, a jedna od osnovica 10 cm. Nađi duljinu druge baze.

Rješenje: Znajući da je srednja crta jednaka polovici zbroja baza, može se tvrditi da je njihov zbroj 14 cm.

(14cm=7cm×2). Iz uvjeta zadatka znamo da je jedan od jednak 10 cm, pa će manja stranica trapeza biti jednaka 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Štoviše, za ugodnije rješavanje problema ove vrste, preporučamo da dobro naučite takve formule iz područja trapeza kao što su:

• srednja linija;
• kvadrat;
• visina;
• dijagonale.

Poznavajući bit (upravo bit) ovih izračuna, lako možete saznati željenu vrijednost.

Video: trapez i njegova svojstva

Video: značajke trapeza

Zaključak

Iz razmatranih primjera zadataka možemo izvesti jednostavan zaključak da je trapez, u smislu računskih zadataka, jedna od najjednostavnijih figura u geometriji. Za uspješno rješavanje problema, prije svega, nije potrebno odlučiti koje su informacije poznate o objektu koji se opisuje, u kojim formulama se mogu primijeniti i odlučiti što je potrebno pronaći. Izvođenjem ovog jednostavnog algoritma, nijedan zadatak koji koristi ovaj geometrijski lik neće biti lak.

Recimo, Ahilej trči deset puta brže od kornjače i tisuću koraka je iza nje. Tijekom vremena tijekom kojeg Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve sljedeće generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, nova fizička i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu je obmana.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. S fizičke točke gledišta, to izgleda kao usporavanje vremena sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči stalnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči tisuću koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup primjereno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nepremostivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, preispitati i riješiti. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strijela je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje na različitim točkama prostora, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim trenucima, ali se njima ne može odrediti udaljenost. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene različite točke prostor u jednom trenutku, ali je nemoguće utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Na što se želim usredotočiti Posebna pažnja, jest da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu logiku apsurda. Ovo je razina govornih papiga i dresiranih majmuna, u kojoj um nema riječi "potpuno". Matematičari djeluju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most tijekom ispitivanja mosta bili u čamcu ispod mosta. Ako se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze “pamet, ja sam u kući”, odnosno “matematika proučava apstraktne pojmove”, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija skupova samim matematičarima.

Matematiku smo jako dobro učili i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i složimo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzimamo po jedan račun i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Pojašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će zastupnička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Nadalje, počet će uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama – na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji različit iznos prljavština, kristalna struktura i atomski raspored svakog novčića je jedinstven...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanosti ovdje nema ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobivamo puno, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višeskup u isto vrijeme. Kako ispravno? I tu matematičar-šaman-šuller vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, uvjerit će nas da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamisliv kao niti jedna cjelina" ili "nezamisliv kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da podučavaju svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. E sad to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. To su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

S gledišta matematike nije bitno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks desno od broja. S veliki broj 12345 Ne želim zavaravati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što možete vidjeti, u različitim brojevnim sustavima, zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare, ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nije samo u brojevima.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih usporedim, onda to nema veze s matematikom.

Što je prava matematika? Ovo je kada je rezultat matematička radnja ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome tko izvodi ovu radnju.

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sustavu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

\[(\Large(\text(Proizvoljni trapez)))\]

Definicije

Trapez je konveksni četverokut u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza zovu se njegove baze, a druge dvije stranice nazivaju se njegove stranice.

Visina trapeza je okomica spuštena s bilo koje točke jedne baze na drugu bazu.

Teoremi: svojstva trapeza

1) Zbroj kutova na strani je \(180^\circ\) .

2) Dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, od kojih su dva slična, a druga dva jednaka.

Dokaz

1) Jer \(AD\paralela BC\) , tada su kutovi \(\kut BAD\) i \(\kut ABC\) jednostrani na tim pravima i sekanti \(AB\) , dakle, \(\kut BAD +\kut ABC=180^\krug\).

2) Jer \(AD\paralelni BC\) i \(BD\) je sekansa, a zatim \(\kut DBC=\kut BDA\) kao ležeći poprijeko.
Također \(\angle BOC=\angle AOD\) kao okomito.
Stoga, u dva kuta \(\trokut BOC \sim \trokut AOD\).

Dokažimo to \(S_(\trokut AOB)=S_(\trokut COD)\). Neka je \(h\) visina trapeza. Zatim \(S_(\trokut ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trokut ACD)\). Zatim: \

Definicija

Srednja linija trapeza je segment koji spaja sredine stranica.

Teorema

Srednja linija trapeza paralelna je s bazama i jednaka polovici njihovog zbroja.

Dokaz*

1) Dokažimo paralelizam.

Nacrtajte pravac \(MN"\paralelni AD\) (\(N"\u CD\) ) kroz točku \(M\) ). Zatim, prema Talesovom teoremu (jer \(MN"\paralelno AD\paralelno BC, AM=MB\)) točka \(N"\) je središte segmenta \(CD\)... Dakle, točke \(N\) i \(N"\) će se podudarati.

2) Dokažimo formulu.

Nacrtajmo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Neka bude \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Zatim, prema Thalesovom teoremu, \(M"\) i \(N"\) su sredine segmenata \(BB"\) i \(CC"\), respektivno. Dakle, \(MM"\) je srednja crta \(\trokut ABB"\) , \(NN"\) je srednja crta \(\trokut DCC"\) . Tako: \

Jer \(MN\paralelno AD\paralelno BC\) i \(BB", CC"\perp AD\) , tada su \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) pravokutnici. Prema Thalesovom teoremu, \(MN\paralelni AD\) i \(AM=MB\) impliciraju da \(B"M"=M"B\) . Dakle, \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) - jednakih pravokutnika, dakle \(M"N"=B"C"=BC\) .

Tako:

\ \[=\dfrac12 \lijevo(AB"+B"C"+BC+C"D\desno)=\dfrac12\lijevo(AD+BC\desno)\]

Teorem: svojstvo proizvoljnog trapeza

Na istoj ravnoj crti leže sredine baza, presjecišta dijagonala trapeza i presjeka nastavaka bočnih stranica.

Dokaz*
Preporuča se da se upoznate s dokazom nakon proučavanja teme “Slični trokuti”.

1) Dokažimo da točke \(P\) , \(N\) i \(M\) leže na istoj pravoj liniji.

Nacrtajte liniju \(PN\) (\(P\) je točka presjeka produžetaka stranica, \(N\) je središnja točka \(BC\) ). Neka siječe stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) središte \(AD\) .

Razmotrimo \(\trokut BPN\) i \(\trokut APM\) . Slični su u dva kuta (\(\kut APM\) - zajednički, \(\kut PAM=\kut PBN\) kao odgovarajući u \(AD\paralelno BC\) i \(AB\) sekanti). Sredstva: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Razmotrimo \(\trokut CPN\) i \(\trokut DPM\) . Slični su u dva kuta (\(\ugao DPM\) - zajednički, \(\kut PDM=\kut PCN\) kao odgovarajući na \(AD\paralelno BC\) i \(CD\) sekanti). Sredstva: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ali \(BN=NC\) , dakle \(AM=DM\) .

2) Dokažimo da točke \(N, O, M\) leže na jednoj pravoj liniji.

Neka je \(N\) središte \(BC\) , \(O\) presječna točka dijagonala. Nacrtajte pravac \(NO\) , on će presjeći stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) središte \(AD\) .

\(\trokut BNO\sim \trokut DMO\) pod dva kuta (\(\kut OBN=\kut ODM\) kao što leži na \(BC\paralelno AD\) i \(BD\) sekanti; \(\kut BON=\kut DOM\) kao okomit). Sredstva: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Slično \(\trokut CON\sim \trokut AOM\). Sredstva: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ali \(BN=CN\) , dakle \(AM=MD\) .

\[(\Veliki(\tekst(jednakokraki trapez)))\]

Definicije

Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova pravi.

Trapez se naziva jednakokračnim ako su mu stranice jednake.

Teoremi: svojstva jednakokračnog trapeza

1) Jednakokraki trapez ima jednake bazne kutove.

2) Dijagonale jednakokračnog trapeza su jednake.

3) Dva trokuta koju čine dijagonale i baza su jednakokračne.

Dokaz

1) Razmotrite jednakokraki trapez\(ABCD\) .

Od vrhova \(B\) i \(C\) spuštamo na stranu \(AD\) okomice \(BM\) i \(CN\), redom. Budući da \(BM\perp AD\) i \(CN\perp AD\) , tada \(BM\parallel CN\) ; \(AD\paralelno BC\) , tada je \(MBCN\) paralelogram, dakle \(BM = CN\) .

Smatrati pravokutnih trokuta\(ABM\) i \(CDN\) . Budući da imaju jednake hipotenuze i da je krak \(BM\) jednak kraku \(CN\) , ovi trokuti su sukladni, dakle, \(\kut DAB = \kut CDA\) .

2)

Jer \(AB=CD, \kut A=\kut D, AD\)- general, pa na prvi znak. Prema tome, \(AC=BD\) .

3) Jer \(\trokut ABD=\trokut ACD\), zatim \(\kut BDA=\kut CAD\) . Stoga je trokut \(\trokut AOD\) jednakokračan. Slično se može dokazati da je \(\trokut BOC\) jednakokračan.

Teoremi: znakovi jednakokračnog trapeza

1) Ako su kutovi na bazi trapeza jednaki, onda je on jednakokračan.

2) Ako su dijagonale trapeza jednake, onda je on jednakokračan.

Dokaz

Razmotrimo trapez \(ABCD\) takav da je \(\kut A = \kut D\) .

Dopunimo trapez do trokuta \(AED\) kao što je prikazano na slici. Budući da je \(\kut 1 = \kut 2\) , tada je trokut \(AED\) jednakokračan i \(AE = ED\) . Kutovi \(1\) i \(3\) jednaki su kao što odgovaraju paralelnim linijama \(AD\) i \(BC\) i sekanti \(AB\) . Slično, kutovi \(2\) i \(4\) su jednaki, ali \(\ugao 1 = \ugao 2\) , tada \(\kut 3 = \kut 1 = \kut 2 = \kut 4\), dakle, trokut \(BEC\) je također jednakokračan i \(BE = EC\) .

Eventualno \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tj. \(AB = CD\) , što je trebalo dokazati.

2) Neka je \(AC=BD\) . Jer \(\trokut AOD\sim \trokut BOC\), tada njihov koeficijent sličnosti označavamo s \(k\) . Zatim ako je \(BO=x\) , onda \(OD=kx\) . Slično kao \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Jer \(AC=BD\) , zatim \(x+kx=y+ky \Strelica desno x=y\) . Dakle \(\trokut AOD\) je jednakokračan i \(\kut OAD=\kut ODA\) .

Dakle, prema prvom znaku \(\trokut ABD=\trokut ACD\) (\(AC=BD, \ugao OAD=\kut ODA, AD\)- Općenito). Dakle \(AB=CD\) , dakle.