Svojstva dokaza jednakokračnog trapeza. Trapez. Potpuni ilustrirani vodič (2019.)

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

Svrha lekcije:

• obrazovne- upoznati pojam trapeza, upoznati se s vrstama trapeza, proučavati svojstva trapeza, naučiti učenike primjenjivati ​​svoja znanja u procesu rješavanja zadataka;
• razvijanje- razvoj komunikacijskih kvaliteta učenika, razvoj sposobnosti provođenja eksperimenta, generaliziranja, donošenja zaključaka, razvoja interesa za predmet.
• obrazovne- odgajati pažnju, stvarati situaciju uspjeha, radosti od samostalnog prevladavanja poteškoća, razvijati kod učenika potrebu za samoizražavanjem kroz različite vrste djela.

Oblici rada: frontalni, parna soba, grupa.

Oblik organizacije dječjih aktivnosti: sposobnost slušanja, građenja rasprave, izražavanja ideje, pitanja, dodatka.

Oprema: računalo, multimedijski projektor, platno. Na učeničkim stolovima: rezni materijal za izradu trapeza za svakog učenika na stolu; kartice zadataka (ispisi crteža i zadataka iz sažetka lekcije).

TIJEKOM NASTAVE

I. Organizacijski trenutak

Pozdrav, provjera spremnosti radnog mjesta za nastavu.

II. Ažuriranje znanja

• razvijanje vještina razvrstavanja predmeta;
• ističući glavne i sporedne značajke u klasifikaciji.

Razmatra se slika broj 1.

Slijedi rasprava o crtežu.
Od čega je napravljen ovaj geometrijski lik? Dečki pronalaze odgovor na slikama: [iz pravokutnika i trokuta].
Koji bi trebali biti trokuti koji čine trapez?
Sva mišljenja se čuju i raspravljaju, bira se jedna opcija: [trokuti moraju biti pravokutni].
Kako nastaju trokuti i pravokutnici? [Tako da se suprotne strane pravokutnika poklapaju s krakom svakog od trokuta].
Što znaš o suprotnim stranama pravokutnika? [Oni su paralelni].
- Dakle, u ovom četverokutu bit će paralelne stranice? [Da].
- Koliko je tamo? [Dva].
Nakon rasprave, učitelj demonstrira „kraljicu sata“ – trapez.

III. Objašnjenje novog gradiva

1. Definicija trapeza, elementi trapeza

• naučiti učenike definirati trapez;
• imenovati njegove elemente;
• razvoj asocijativnog pamćenja.

- Sada pokušajte dati potpunu definiciju trapeza. Svaki učenik razmišlja o odgovoru na pitanje. Razmjenjuju mišljenja u parovima, pripremaju jedan odgovor na pitanje. Usmeni odgovor daje jedan učenik iz 2-3 para.
[Trapez je četverokut u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne].

Kako se zovu stranice trapeza? [Paralelne stranice nazivaju se bazama trapeza, a druge dvije stranice].

Učitelj nudi presavijanje trapeza od izrezanih figura. Učenici rade u parovima i spajaju dijelove. Pa, ako su parovi učenika različitih razina, onda je jedan od učenika konzultant i pomaže prijatelju u slučaju poteškoća.

- Izgradite trapez u bilježnice, zapišite nazive stranica trapeza. Postavljajte pitanja o crtežu svom susjedu, slušajte njegove odgovore, prijavite svoje odgovore.

Referenca za povijest

"Trapez"- grčka riječ, koja je u antičko doba značila "stol" (na grčkom "trapedzion" znači stol, blagovaonski stol. Geometrijski lik je tako nazvan po sličnosti sa malim stolom.
U "Počecima" (grč. Στοιχεῖα, latinski Elementa) nalazi se glavno Euklidovo djelo, napisano oko 300. pr. e. i posvećena sustavnoj konstrukciji geometrije) pojam "trapez" se koristi ne u modernom, već u drugačijem smislu: bilo koji četverokut (ne paralelogram). "Trapezij" u našem smislu prvi put se nalazi kod starogrčkog matematičara Posidonija (Iv.). U srednjem vijeku, prema Euklidu, svaki četverokut (ne paralelogram) nazivao se trapezom; tek u XVIII stoljeću. riječ poprima moderno značenje.

Konstrukcija trapeza prema njegovim zadanim elementima. Dečki ispunjavaju zadatke na kartici broj 1.

Studenti najviše moraju projektirati trapeze različitim lokacijama i obrisi. U koraku 1 morate izgraditi pravokutni trapez. U stavku 2. postaje moguće izgraditi jednakokraki trapez. U stavku 3. trapez će "ležati na boku". U stavku 4, crtež predviđa konstrukciju takvog trapeza, u kojem se jedna od baza pokazuje neobično malom.
Učenici učitelja "iznenađuju" različitim figurama, koje nose jedno zajedničko ime - trapez. Učitelj demonstrira moguće opcije konstrukcija trapeza.

Zadatak 1. Hoće li dva trapeza biti jednaka ako su jedna od baza i dvije stranice jednake?
Razgovarajte o rješenju zadatka u skupinama, dokažite točnost obrazloženja.
Jedan učenik iz skupine crta crtež na ploči, objašnjava tijek zaključivanja.

2. Vrste trapeza

• razvoj motoričke memorije, sposobnost razbijanja trapeza na poznate figure potrebne za rješavanje problema;
• razvoj vještina generaliziranja, uspoređivanja, analognog definiranja, postavljanja hipoteza.

Razmotrite figuru:

- Koja je razlika između trapeza prikazanog na slici?
Dečki su primijetili da vrsta trapeza ovisi o vrsti trokuta koji se nalazi na lijevoj strani.
- Dovršite rečenicu:

Trapez se naziva pravokutnim ako...
Trapez se naziva jednakokračan ako...

3. Svojstva trapeza. Svojstva jednakokraki trapez.

• iznijeti, po analogiji s jednakokračnim trokutom, hipotezu o svojstvu jednakokračnog trapeza;
• razvoj analitičkih vještina (usporedi, postavi hipotezu, dokaže, izgradi).

• Odsječak koji povezuje sredine dijagonala jednak je polurazlici baza.
• Jednakokraki trapez ima jednake kutove za bilo koju bazu.
• Jednakokraki trapez ima jednake dijagonale.
• U jednakokračnom trapezu, visina spuštena od vrha do veće baze dijeli ga na dva segmenta od kojih je jedan jednak polovici zbroja osnovica, a drugi je pola razlike baza.

Zadatak 2. Dokažite da su u jednakokračnom trapezu: a) kutovi na svakoj osnovici jednaki; b) dijagonale su jednake. Da bismo dokazali ova svojstva jednakokračnog trapeza, prisjetimo se znakova jednakosti trokuta. Učenici u grupama izvršavaju zadatak, raspravljaju, zapisuju rješenje u bilježnicu.
Po jedan učenik iz svake grupe izvodi dokaz na ploči.

4. Vježba pažnje

5. Primjeri upotrebe trapeznih oblika u svakodnevnom životu:

• u interijerima (sofe, zidovi, spušteni stropovi);
• u dizajn krajolika(granice travnjaka, umjetni rezervoari, kamenje);
• u modnoj industriji (odjeća, obuća, modni dodaci);
• u dizajnu svakodnevnih predmeta (svjetiljke, posuđe, korištenjem trapeznih oblika);
• u arhitekturi.

Praktični rad(prema opcijama).

– U jednom koordinatnom sustavu konstruirajte jednakokračne trapeze koristeći zadana tri vrha.

Opcija 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) i (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ; - 3) , (…;…).
Opcija 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) i (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), (…; …).

– Odredite koordinate četvrtog vrha.
Odluku provjerava i komentira cijeli razred. Učenici navode koordinate četvrte pronađene točke i usmeno pokušavaju objasniti zašto zadani uvjeti određuju samo jednu točku.

Zanimljiv zadatak. Preklopite trapez od: a) četiri pravokutna trokuta; b) iz tri pravokutna trokuta; c) dva pravokutna trokuta.

IV. Domaća zadaća

• odgoj ispravnog samopoštovanja;
• stvaranje situacije “uspjeha” za svakog učenika.

točka 44, znati definiciju, elemente trapeza, njegove vrste, poznavati svojstva trapeza, znati ih dokazati, br. 388, br. 390.

v. Sažetak lekcije. Na kraju sata daju se djeci profil,što vam omogućuje da izvršite samoanalizu, date kvalitativnu i kvantitativnu ocjenu lekcije .

- (grčki trapezion). 1) u geometriji četverokuta, u kojem su dvije stranice paralelne, a dvije nisu. 2) lik prilagođen za gimnastičke vježbe. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZIA ... ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika

Trapez- Trapez. TRAPEZIJA (od grč. trapezion, doslovno stol), konveksni četverokut u kojem su dvije stranice paralelne (osnove trapeza). Površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja baza ( srednja linija) do visine. … Ilustrirani enciklopedijski rječnik

Četverokut, projektil, prečka Rječnik ruskih sinonima. trapez br., broj sinonima: 3 prečka (21) ... Rječnik sinonima

- (od grčkog trapezion, doslovno stol), konveksni četverokut u kojem su dvije stranice paralelne (baze trapeza). Površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja osnovica (srednja crta) i visine ... Moderna enciklopedija

- (od grč. trapezion slova. stol), četverokut u kojem su dva suprotne strane, zvane baze trapeza, paralelne su (AD i BC na slici), dok druge dvije nisu paralelne. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza (na ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

TRAPEZIJA Četverokutna ravna figura u kojoj su dvije suprotne strane paralelne. Površina trapeza je polovica zbroja paralelnih stranica pomnoženog s duljinom okomice između njih... Znanstveno-tehnički enciklopedijski rječnik

TRAPEZIJA, trapez, ženka. (iz grčkog trapeza stol). 1. Četverokut s dvije paralelne i dvije neparalelne stranice (mat.). 2. Gimnastička sprava koja se sastoji od prečke obješene na dva užeta (sport.). Akrobatski…… Rječnik Ushakov

TRAPEZIJA, i, supruge. 1. Četverokut s dvije paralelne i dvije neparalelne stranice. Osnove trapeza (njegove paralelne stranice). 2. Cirkuski ili gimnastički projektil, prečka obješena na dvije sajle. Objašnjavajući rječnik Ozhegova. S… Objašnjavajući rječnik Ozhegova

Ženka, geom. četverokut s nejednakim stranicama, od kojih su dvije posteničke (paralelne). Trapez je sličan četverokut kojemu su sve strane razdvojene. Trapezoedar, tijelo izrezano trapezom. Dahlov objašnjavajući rječnik. U I. Dal. 1863. 1866. ... Dahlov objašnjavajući rječnik

- (Trapez), SAD, 1956., 105 min. Melodrama. Nadobudni akrobat Tino Orsini ulazi u cirkusku trupu u kojoj radi Mike Ribble, u prošlosti poznati umjetnik na trapezu. Jednom je Mike nastupio s Tinovim ocem. Mladi Orsini želi Mikea ... ... Enciklopedija kina

Četverokut s dvije strane paralelne i dvije druge strane koje nisu paralelne. Udaljenost između paralelnih stranica. visina T. Ako paralelne stranice i visina sadrže a, b i h metara, tada je površina T. sadržana četvornih metara … Enciklopedija Brockhausa i Efrona

Poligon je dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom. Kutovi poligona označeni su točkama vrhova polilinije. Vrhovi ugla poligona i vrhovi poligona su sukladne točke.

Definicija. Paralelogram je četverokut čije su suprotne strane paralelne.

Svojstva paralelograma

1. Suprotne strane su jednake.
Na sl. jedanaest AB = CD; PRIJE KRISTA = OGLAS.

2. Suprotni kutovi su jednaki (dva oštra i dva tupa kuta).
Na sl. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Dijagonale (odsječci pravca koji spajaju dva suprotna vrha) sijeku se i točka presjeka je podijeljena na pola.

Na sl. 11 segmenata AO = OC; BO = OD.

Definicija. Trapez je četverokut u kojem su dvije suprotne stranice paralelne, a druge dvije nisu.

Paralelne strane nazvao ju razlozima, i druge dvije strane strane.

Vrste trapeza

1. Trapez, čije strane nisu jednake,
pozvao svestran(slika 12).

2. Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokračan(slika 13).

3. Trapez, kod kojeg jedna strana čini pravi kut s bazama, naziva se pravokutan(slika 14).

Segment koji povezuje sredine stranica trapeza (slika 15) naziva se središnja linija trapeza ( MN). Srednja linija trapeza paralelna je s bazama i jednaka polovici njihovog zbroja.

Trapez se može nazvati skraćenim trokutom (slika 17), stoga su nazivi trapeza slični nazivima trokuta (trokuti su svestrani, jednakokračni, pravokutni).

Područje paralelograma i trapeza

Pravilo. Područje paralelograma jednak je umnošku njegove stranice visinom povučenom na ovu stranu.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web-mjestu, možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo razgovarati o zajedničke značajke i svojstvima trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o kružnici upisanoj u trapez. Dotaknut ćemo se i svojstava jednakokračnog i pravokutnog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da posložite stvari u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi pojmovi povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutni lik čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). A dvije nisu paralelne - to su stranice.

U trapezu se visina može izostaviti - okomito na baze. Izvučena je srednja linija i dijagonale. I također iz bilo kojeg kuta trapeza moguće je nacrtati simetralu.

O raznim svojstvima povezanim sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama, sada ćemo govoriti.

Svojstva dijagonala trapeza

Da bi bilo jasnije, dok čitate, skicirajte ACME trapez na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

1. Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo te točke X i T) i spojite ih, dobit ćete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment XT leži na srednjoj crti. A njegova se duljina može dobiti dijeljenjem razlike baza s dva: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Pred nama je isti ACME trapez. Dijagonale se sijeku u točki O. Razmotrimo trokute AOE i IOC koje čine segmenti dijagonala zajedno s bazama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom baza trapeza: k = AE/KM.
   Omjer površina trokuta AOE i IOC opisuje se koeficijentom k 2 .
3. Sve isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u točki O. Samo ovaj put ćemo razmotriti trokute koje su dijagonalni segmenti formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trokuta AKO i EMO su jednake - površine su im iste.
4. Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavimo stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije presijecati do neke točke. Zatim povucite ravnu liniju kroz središnje točke baza trapeza. Presijeca baze u točkama X i T.
   Ako sada produžimo pravac XT, tada će on spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, točku u kojoj se sijeku produžeci stranica i središta baza X i T.
5. Kroz točku presjeka dijagonala povlačimo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X - na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OH = KM/AE.
6. A sada kroz točku presjeka dijagonala crtamo segment paralelan s bazama trapeza (a i b). Točka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Duljinu segmenta možete pronaći pomoću formule 2ab/(a + b).

Svojstva srednje linije trapeza

Nacrtajte srednju crtu u trapezu paralelno s njegovim bazama.

1. Duljina središnje linije trapeza može se izračunati zbrajanjem duljina baza i dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
2. Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji kut trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, kut KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete vidjeti da simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na ravnoj liniji izvan same figure) segment iste duljine kao i stranica.

Svojstva trapeznog kuta

1. Koji god od dva para kutova uz stranu odaberete, zbroj kutova u paru je uvijek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0 .
2. Spojite sredine baza trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada kutove na bazama trapeza. Ako je zbroj kutova za bilo koji od njih 90 0, duljinu TX segmenta je lako izračunati na temelju razlike u duljinama baza, podijeljenih na pola: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Ako se kroz stranice kuta trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice kuta na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakokračnog) trapeza

1. U jednakokračnom trapezu kutovi na bilo kojoj osnovici su jednaki.
2. Sada ponovno napravite trapez kako biste lakše zamislili o čemu se radi. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M projicira se na određenu točku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od vrha A do točke projekcije vrha M i srednja crta jednakokračnog trapeza jednake su.
3. Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su duljine jednake. I također su kutovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza isti.
4. Krug se može opisati samo u blizini jednakokračnog trapeza, jer je zbroj suprotnih kutova četverokuta 180 0 - potrebno stanje za ovo.
5. Svojstvo jednakokračnog trapeza slijedi iz prethodnog stavka – ako se kružnica može opisati u blizini trapeza, to je jednakokračna.
6. Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom, tada je duljina visine jednaka polovici zbroja baza: h = (a + b)/2.
7. Ponovno povucite liniju TX kroz sredine baza trapeza - u jednakokračnom trapezu ona je okomita na osnovice. A u isto vrijeme, TX je os simetrije jednakokračnog trapeza.
8. Ovaj put spustite na veću bazu (nazovimo je a) visinu od suprotnog vrha trapeza. Dobit ćete dva reza. Duljinu jednog možemo pronaći ako se duljine baza zbroje i podijele na pola: (a+b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i dobivenu razliku podijelimo s dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u kružnicu

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je središte kružnice u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da ne budete previše lijeni uzeti olovku i nacrtati ono o čemu će biti riječi u nastavku. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

1. Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala može izaći iz vrha trapeza pod pravim kutom u odnosu na stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe središte opisane kružnice točno u sredini (R = ½AE).
2. Dijagonala i strana mogu se sastati ispod oštar kut- tada je središte kružnice unutar trapeza.
3. Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove velike baze, ako između dijagonale trapeza i bočne strane postoji tupi kut.
4. Kut koji čine dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani kut) je polovica središnjeg kuta koji mu odgovara: MAE = ½MY.
5. Ukratko o dva načina pronalaženja polumjera opisane kružnice. Prvi način: pažljivo pogledajte svoj crtež - što vidite? Lako ćete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Polumjer se može pronaći kroz omjer stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta, pomnoženog s dva. Na primjer, R \u003d AE / 2 * sinAME. Slično, formula se može napisati za bilo koju stranu oba trokuta.
6. Metoda dva: nalazimo polumjer opisane kružnice kroz područje trokuta kojeg čine dijagonala, stranica i baza trapeza: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Možete upisati krug u trapez ako je ispunjen jedan uvjet. Više o tome u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

1. Ako je kružnica upisana u trapez, duljina njegove središnje linije može se lako pronaći zbrajanjem duljina stranica i dijeljenjem dobivenog zbroja na pola: m = (c + d)/2.
2. Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbroj duljina baza jednak je zbroju duljina stranica: AK + ME = KM + AE.
3. Iz ovog svojstva baza trapeza slijedi obrnuta tvrdnja: u taj se trapez može upisati kružnica čiji je zbroj baza jednak zbroju stranica.
4. Točka tangente kružnice polumjera r upisanog u trapez dijeli bočnu stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kružnice može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
5. I još jedna nekretnina. Kako se ne biste zbunili, sami nacrtajte ovaj primjer. Imamo stari dobri ACME trapez, opisan oko kružnice. U njemu su nacrtane dijagonale koje se sijeku u točki O. Trokuti AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i stranica su pravokutni.
   Visine ovih trokuta, spuštene na hipotenuze (tj. stranice trapeza), podudaraju se s polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza jednaka je promjeru upisane kružnice.

Svojstva pravokutnog trapeza

Trapez se naziva pravokutnim, čiji je jedan ugl pravi. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

1. Pravokutni trapez ima jednu od stranica okomitu na osnovice.
2. Visina i stranica trapeza uz pravi kut, su jednaki. To vam omogućuje da izračunate površinu pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi kut.
3. Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza već opisana.

Dokazi nekih svojstava trapeza

Jednakost kutova pri osnovici jednakokračnog trapeza:

• Vjerojatno ste već pogodili da ovdje opet trebamo ACME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Povucite pravac MT iz vrha M paralelan sa stranicom AK (MT || AK).

Rezultirajući četverokut AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada, na temelju svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokračan:

• Za početak, nacrtajmo ravnu MH – MH || KE. Dobivamo paralelogram KMHE (baza - MX || KE i KM || EX).

∆AMH je jednakokračan, budući da je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA međusobno jednaki, jer je AM \u003d KE i AE zajednička strana dvaju trokuta. I također MAE \u003d MXE. Možemo zaključiti da je AK ​​= ME, pa iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak za ponavljanje

Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, stranica KA, jednaka 8 cm, tvori kut od 150 0 s manjom bazom. Morate pronaći područje trapeza.

Rješenje: Od vrha K spuštamo visinu na veću bazu trapeza. I počnimo gledati kutove trapeza.

Kutovi AEM i KAN su jednostrani. Što znači da njihov zbroj iznosi 1800. Prema tome, KAN = 30 0 (na temelju svojstva kutova trapeza).

Razmotrimo sada pravokutni ∆ANK (mislim da je ova točka očita čitateljima bez daljnjeg dokaza). Iz nje nalazimo visinu trapeza KH - u trokutu je to krak, koji leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Površina trapeza nalazi se po formuli: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni nacrtati trapeze za sva gore navedena svojstva olovkom u rukama i analizirati ih u praksi, trebali ste dobro svladati materijal.

Naravno, ovdje ima puno informacija, raznolikih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan sažetak svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i značajke jednakokračnih i pravokutnih trapeza. Vrlo je prikladan za pripremu za testove i ispite. Isprobajte sami i podijelite link sa svojim prijateljima!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.