Formula za određivanje duljine kružnice. Kako pronaći i koliki će biti opseg kružnice

Krug je zakrivljena linija koja zatvara krug. U geometriji su figure ravne, pa se definicija odnosi na dvodimenzionalnu sliku. Pretpostavlja se da su sve točke ove krivulje na jednakoj udaljenosti od središta kružnice.

Krug ima nekoliko karakteristika, na temelju kojih se izrađuju izračuni povezani s ovim geometrijskim likom. To uključuje: promjer, polumjer, površinu i opseg. Ove karakteristike su međusobno povezane, odnosno za njihovo izračunavanje dovoljne su informacije o barem jednoj od komponenti. Na primjer, znajući samo radijus geometrijski lik pomoću formule možete pronaći opseg, promjer i njegovu površinu.

Polumjer kružnice je segment unutar kruga povezan s njegovim središtem.
Promjer je odsječak unutar kruga koji spaja njegove točke i prolazi kroz središte. Zapravo, promjer je dva radijusa. Upravo ovako izgleda formula za njegovo izračunavanje: D=2r.
Postoji još jedna komponenta kruga - tetiva. Ovo je ravna crta koja spaja dvije točke na kružnici, ali ne prolazi uvijek kroz središte. Dakle, tetiva koja prolazi kroz nju naziva se i promjer.

Kako pronaći opseg kružnice? Sada ćemo saznati.

Opseg: formula

Za označavanje ove karakteristike odabrano je latinično slovo p. Arhimed je također dokazao da je omjer opsega kružnice i njenog promjera isti broj za sve kružnice: to je broj π, koji je približno jednak 3,14159. Formula za izračun π izgleda ovako: π = p/d. Prema ovoj formuli, vrijednost p jednaka je πd, odnosno opsegu: p= πd. Budući da je d (promjer) jednak dvama polumjerima, istu formulu opsega možemo napisati kao p=2πr. Razmotrimo primjenu formule koristeći jednostavne probleme kao primjer:

Zadatak 1

U podnožju Car-zvona, promjer je 6,6 metara. Koliki je opseg baze zvona?

Dakle, formula za izračunavanje kružnice je p= πd
Postojeću vrijednost zamjenjujemo u formulu: p = 3,14 * 6,6 = 20,724

Odgovor: Opseg baze zvona je 20,7 metara.

Zadatak 2

Umjetni satelit Zemlje rotira na udaljenosti od 320 km od planeta. Polumjer Zemlje je 6370 km. Kolika je duljina kružne orbite satelita?

1. Izračunajte polumjer kružne orbite Zemljinog satelita: 6370+320=6690 (km)
2. Izračunajte duljinu kružne orbite satelita pomoću formule: P=2πr
3.P=2*3,14*6690=42013,2

Odgovor: duljina kružne orbite Zemljinog satelita je 42013,2 km.

Metode mjerenja opsega

Izračun opsega kružnice se u praksi ne koristi često. Razlog tome je približna vrijednost broja π. U svakodnevnom životu koristi se poseban uređaj za pronalaženje duljine kruga - curvimetar. Na krugu je označena proizvoljna referentna točka i uređaj se od nje vodi strogo duž linije dok ponovno ne dođu do ove točke.

Kako pronaći opseg kružnice? Samo trebate imati na umu jednostavne formule za izračune.

Uputa

U početku su potrebni početni podaci za zadatak. Činjenica je da se za njegovo stanje ne može eksplicitno reći koliki je polumjer krugovima. Umjesto toga, problemu se može dati duljina promjera krugovima. Promjer krugovima odsječak koji spaja dvije suprotne točke krugovima prolazeći kroz njegovo središte. Nakon što smo analizirali definicije krugovima, možemo reći da je duljina promjera dvostruko veća od duljine polumjera.

Sada možemo prihvatiti radijus krugovima jednak R. Zatim za duljinu krugovima trebate koristiti formulu:
L = 2πR = πD, gdje je L duljina krugovima, D - promjer krugovima, što je uvijek 2 puta veće od radijusa.

Bilješka

Krug se može upisati u poligon ili opisati oko njega. Štoviše, ako je krug upisan, tada će ih podijeliti na pola u točkama dodira sa stranicama poligona. Da biste pronašli polumjer upisane kružnice, trebate podijeliti područje poligona s polovicom njegovog perimetra:
R = S/p.
Ako je kružnica opisana oko trokuta, tada se njegov polumjer nalazi sljedećom formulom:
R \u003d a * b * c / 4S, gdje su a, b, c stranice zadanog trokuta, S je površina trokuta oko kojeg je opisan krug.
Ako je potrebno opisati kružnicu oko četverokuta, to se može učiniti uz dva uvjeta:
Četverokut mora biti konveksan.
Zbroj suprotnih kutova četverokuta trebao bi biti 180°

Koristan savjet

Uz tradicionalnu čeljust, šablone se također mogu koristiti za crtanje kruga. Moderne šablone uključuju krug različitih promjera. Ove šablone možete kupiti u bilo kojoj trgovini papirnatih materijala.

Izvori:

Kako pronaći opseg kružnice?

Krug - zatvorena zakrivljena linija, na kojoj su sve točke jednaka udaljenost iz jedne točke. Ova točka je središte kružnice, a segment između točke na krivulji i njezina središta naziva se polumjer kružnice.

Uputa

Ako se kroz središte kružnice povuče ravna crta, tada se njezin segment između dviju točaka sjecišta ove linije s kružnicom naziva promjerom ove kružnice. Pola promjera, od središta do točke gdje se promjer siječe s kružnicom, je polumjer
krugovima. Ako se krug izreže u proizvoljnoj točki, ispravi i izmjeri, tada je rezultirajuća vrijednost duljina zadane kružnice.

Nacrtajte nekoliko krugova različitim rješenjima kompasa. Vizualna usporedba nam omogućuje da to zaključimo veći promjer crta veći krug omeđen većim krugom. Stoga, između promjera kruga i njegove duljine postoji izravna proporcionalna ovisnost.

Prema fizičkom značenju, parametar "opseg" odgovara, ograničen isprekidanom crtom. Ako je pravilni n-kut sa stranom b upisan u krug, tada je opseg takve figure P jednak umnošku stranice b na broj stranica n: P \u003d b * n. Strana b se može odrediti formulom: b=2R*Sin (π/n), gdje je R polumjer kružnice u koju je upisan n-kut.

Kako se broj stranica povećava, opseg upisanog poligona sve će se više približavati L. R= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Odnos između opsega L i njegovog promjera D je konstantan. Omjer L / D \u003d n * Sin (π / n) kako broj strana upisanog poligona teži beskonačnosti, teži broju π, konstantnoj vrijednosti koja se naziva "broj pi" i izražava se kao beskonačan decimal. Za izračune bez korištenja informatiku uzima se vrijednost π=3,14. Opseg kruga i njegov promjer povezani su formulom: L= πD. Za krug podijelite njegovu duljinu s π=3,14.

Prvo shvatimo razliku između kruga i kruga. Da bismo vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. Ovo je beskonačan broj točaka u ravnini, smještenih na jednakoj udaljenosti od jedne središnje točke. Ali ako se krug sastoji od unutarnji prostor, onda ne pripada krugu. Ispada da je kružnica i kružnica koja ga ograničava (o-kružnost (g)nost) i neprebrojiv broj točaka koje se nalaze unutar kružnice.

Za bilo koju točku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Duljina segmenta OL jednaka je polumjeru kružnice).

Odsječak koji spaja dvije točke na kružnici je akord.

Tetiva koja prolazi izravno kroz središte kružnice je promjer ovaj krug (D) . Promjer se može izračunati pomoću formule: D=2R

Opseg izračunato po formuli: C=2\pi R

Područje kruga: S=\pi R^(2)

luk kružnice naziva onaj njegov dio, koji se nalazi između dvije njegove točke. Ove dvije točke definiraju dva luka kružnice. Akord CD savija dva luka: CMD i CLD. Isti akordi savijaju iste lukove.

Središnji kut je kut između dva polumjera.

dužina luka može se pronaći pomoću formule:

Korištenje stupnjeva: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R

Promjer koji je okomit na tetivu prepolovi tetivu i lukove koje obuhvaća.

Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u točki N, tada su umnožak segmenata tetiva razdvojenih točkom N jedan drugome.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta na kružnicu

Tangenta na kružnicu Uobičajeno je zvati ravnu liniju koja ima jednu zajedničku točku s kružnicom.

Ako pravac ima dvije zajedničke točke, zove se sekanti.

Ako nacrtate polumjer u točki dodira, on će biti okomit na tangentu kružnice.

Nacrtajmo dvije tangente iz ove točke u našu kružnicu. Ispada da će segmenti tangenti biti jednaki jedan drugom, a središte kružnice će se nalaziti na simetrali kuta s vrhom u ovoj točki.

AC=CB

Sada crtamo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše točke. Dobivamo da će kvadrat duljine tangentnog segmenta biti jednak umnošku cijelog sekansnog segmenta po njegovom vanjski dio.

AC^(2) = CD \cdot BC

Možemo zaključiti: umnožak cjelobrojnog segmenta prvog sekanta po vanjskom dijelu jednak je umnošku cjelobrojnog segmenta drugog sekanta po vanjskom dijelu.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Kutovi u krugu

Mjere stupnja središnjeg kuta i luka na koji on počiva jednake su.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Upisani kut je kut čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.

Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovici ovog luka.

\kut AOB = 2 \kut ADB

Temeljeno na promjeru, upisani kut, ravno.

\kut CBD = \kut CED = \kut CAD = 90^ (\circ)

Upisani kutovi koji se naslanjaju na isti luk su identični.

Upisani kutovi temeljeni na istoj tetivi su identični ili je njihov zbroj jednak 180^ (\circ) .

\kut ADB + \kut AKB = 180^ (\circ)

\ugao ADB = \kut AEB = \kut AFB

Na istoj kružnici nalaze se vrhovi trokuta s jednakim kutovima i zadanom bazom.

Kut s vrhom unutar kružnice i smješten između dvije tetive identičan je polovici zbroja kutnih veličina lukova kružnice koji se nalaze unutar zadanog i okomitog kuta.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \desno)

Kut s vrhom izvan kružnice i smješten između dvije sekante identičan je polovici razlike kutnih veličina lukova kružnice koji se nalaze unutar kuta.

\ugao M = \kut CBD - \kut ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\cup DmC - \cup AlB \desno)

Upisana kružnica

Upisana kružnica je kružnica tangentna na stranice poligona.

U točki gdje se sijeku simetrale kutova poligona nalazi se njegovo središte.

Krug ne smije biti upisan u svaki poligon.

Površina poligona s upisanim krugom nalazi se po formuli:

S=pr,

p je poluperimetar poligona,

r je polumjer upisane kružnice.

Iz toga slijedi da je polumjer upisane kružnice:

r = \frac(S)(p)

Zbroji duljina suprotne strane bit će identična ako je kružnica upisana u konveksni četverokut. I obrnuto: kružnica je upisana u konveksni četverokut ako su zbroji duljina suprotnih strana u njemu identični.

AB+DC=AD+BC

U bilo koji od trokuta moguće je upisati kružnicu. Samo jedan jedini. U točki gdje se simetrale sijeku unutarnji uglovi lik, ležat će središte ove upisane kružnice.

Polumjer upisane kružnice izračunava se po formuli:

r = \frac(S)(p) ,

gdje je p = \frac(a + b + c)(2)

Opisani krug

Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takva kružnica naziva opisano oko poligona.

Središte opisane kružnice bit će u točki presjeka okomitih simetrala stranica ove figure.

Polumjer se može pronaći tako da se izračuna kao polumjer kružnice koja je opisana oko trokuta definiranog s bilo koja 3 vrha poligona.

Tamo je sljedeći uvjet: kružnica se može opisati samo oko četverokuta ako je zbroj njegovih suprotnih kutova 180^( \circ) .

\kut A + \kut C = \kut B + \kut D = 180^ (\circ)

U blizini bilo kojeg trokuta moguće je opisati krug, i to jedan i jedini. Središte takve kružnice nalazit će se u točki gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.