Kako pronaći pravilan poligon. pravilan poligon

Teorem 1. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog poligona.

Neka je ABCDEF (slika 419) pravilan mnogokut; potrebno je dokazati da se oko njega može opisati kružnica.

Znamo da je uvijek moguće povući kružnicu kroz tri točke koje ne leže na istoj liniji; dakle, uvijek je moguće nacrtati kružnicu koja će prolaziti kroz bilo koja tri vrha pravilnog poligona, na primjer, kroz vrhove E, D i C. Neka je točka O središte ove kružnice.

Dokažimo da će i ovaj krug proći kroz četvrti vrh poligona, na primjer, kroz vrh B.

Segmenti OE, OD i OS su međusobno jednaki, a svaki je jednak polumjeru kružnice. Nacrtajmo još jedan segment OB-a; nemoguće je odmah reći za ovaj segment da je također jednak polumjeru kružnice, to se mora dokazati. Razmotrimo trokute OED i ODC, oni su jednakokračni i jednaki, dakle, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Ako je unutarnji kut zadanog poligona α, tada je ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; ali ako je ∠4= α / 2 , tada je ∠5 = α / 2 , tj. ∠4 = ∠5.

Iz ovoga zaključujemo da je (Delta)OSD = (Delta)OSV i, prema tome, OB = OS, tj. segment OB jednak je polumjeru nacrtane kružnice. Iz ovoga slijedi da će kružnica proći i kroz vrh B pravilnog mnogokuta.

Na isti način ćemo dokazati da će konstruirana kružnica proći kroz sve ostale vrhove poligona. To znači da će ovaj krug biti opisan oko zadanog pravilnog poligona. Teorem je dokazan.

Teorem 2. Krug se može upisati u bilo koji pravilan mnogokut.

Neka je ABCDEF pravilan mnogokut (slika 420), moramo dokazati da se u njega može upisati kružnica.

Iz prethodnog teorema poznato je da se krug može opisati u blizini pravilnog mnogokuta. Neka je točka O središte ove kružnice.

Spojite točku O na vrhove poligona. Rezultirajući trokuti OED, ODC itd. su međusobno jednaki, što znači da su i njihove visine povučene iz točke O jednake, tj. OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Stoga će kružnica opisana iz točke O kao iz središta s polumjerom jednakim segmentu OK prolaziti kroz točke K, L, M, N, P i Q, a visine trokuta bit će polumjeri trokuta krug. Stranice poligona su okomite na polumjere u tim točkama, pa su tangente na tu kružnicu. A to znači da je konstruirana kružnica upisana u zadani pravilni mnogokut.

Ista konstrukcija se može izvesti za bilo koji pravilan poligon, dakle, kružnica se može upisati u bilo koji pravilan poligon.

Posljedica. Krug opisan oko pravilnog mnogokuta i upisan u njega ima zajedničko središte.

Definicije.

1. Središte pravilnog mnogokuta zajedničko je središte kružnica opisanih oko ovog poligona i upisanih u njega.

2. Okomita koja se spušta iz središta pravilnog mnogokuta na njegovu stranu naziva se apotemom pravilnog mnogokuta.

Izraz stranica pravilnih mnogokuta u smislu polumjera opisane kružnice

Preko trigonometrijske funkcije može se izraziti stranica bilo kojeg pravilnog poligona u terminima polumjera kružnice koja je opisana oko njega.

Neka je AB strana točne n-kut upisan u kružnicu polumjera OA = R (sl.).

Nacrtajmo atemu OD pravilnog poligona i razmotrimo pravokutni trokut AOD. U ovom trokutu

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

ali AB = 2AD i stoga AB = 2R sin 180° / n .

Ispravna dužina strane n-gon upisan u krug obično se označava a n, pa se rezultirajuća formula može napisati na sljedeći način:

a n= 2R sin 180° / n .

Posljedice:

1. Duljina stranice pravilnog šesterokuta upisanog u krug polumjera R , izražava se formulom a 6=R, kao

a 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. Duljina stranice pravilnog četverokuta (kvadrata) upisanog u krug polumjera R , izražava se formulom a 4 = R√2 , kao

a 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Duljina stranice jednakostraničnog trokuta upisanog u krug polumjera R , izražava se formulom a 3 = R√3 , kao.

a 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Površina pravilnog poligona

Neka se da ona ispravna n-gon (riža). Potrebno je odrediti njegovu površinu. Označite stranu poligona sa a a središte kroz O. Segmentima povezujemo središte s krajevima bilo koje strane poligona, dobivamo trokut u koji crtamo apotem mnogokuta.

Površina ovog trokuta je Ah / 2. Da biste odredili površinu cijelog poligona, trebate pomnožiti površinu jednog trokuta s brojem trokuta, tj. n. Dobivamo: S = Ah / 2 n = ahn / 2 ali an jednak je opsegu poligona. Nazovimo to R.

Na kraju dobivamo: S = P h / 2. gdje je S površina pravilnog poligona, P je njegov perimetar, h- apotema.

Površina pravilnog mnogokuta jednaka je polovici umnoška njegovog perimetra i apotema.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web-mjestu, možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno iz sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

Trokut, kvadrat, šesterokut - ove brojke su poznate gotovo svima. Ali ne znaju svi što je pravilan poligon. Ali ovo je svejedno Pravilni poligon se zove onaj koji ima jednake kutove i stranice. Takvih je brojki puno, ali svi imaju ista svojstva i za njih vrijede iste formule.

Svojstva pravilnih poligona

Svaki pravilan poligon, bio to kvadrat ili osmerokut, može se upisati u krug. Ovo osnovno svojstvo često se koristi pri konstruiranju figure. Osim toga, u poligon se može upisati i krug. U ovom slučaju, broj dodirnih točaka bit će jednak broju njegovih strana. Važno je da će kružnica upisana u pravilan poligon s njim imati zajedničko središte. Ove geometrijski likovi podliježu istim teoremama. Bilo kojoj strani pravilnog n-kuta pridružen je polumjer R opisane kružnice oko nje. Stoga se može izračunati pomoću sljedeće formule: a = 2R ∙ sin180°. Kroz možete pronaći ne samo stranice, već i perimetar poligona.

Kako pronaći broj stranica pravilnog poligona

Svaki se sastoji od određenog broja segmenata koji su međusobno jednaki, koji, kada su povezani, tvore zatvorenu liniju. U ovom slučaju, svi kutovi formirane figure imaju istu vrijednost. Poligoni se dijele na jednostavne i složene. Prva skupina uključuje trokut i kvadrat. Složeni poligoni imaju više strane. Oni također uključuju figure u obliku zvijezda. Za složene pravilne mnogokute, stranice se nalaze upisivanjem u krug. Dajmo dokaz. Nacrtaj pravilan mnogokut s proizvoljnim brojem stranica n. Opišite krug oko njega. Navedite polumjer R. Sada zamislite da je zadan neki n-kut. Ako točke njegovih kutova leže na kružnici i jednake su jedna drugoj, tada se stranice mogu naći po formuli: a = 2R ∙ sinα: 2.

Određivanje broja stranica upisanog pravokutnog trokuta

Jednakostranični trokut je pravilan mnogokut. Za njega vrijede iste formule kao za kvadrat i n-kut. Trokut će se smatrati ispravnim ako ima stranice iste duljine. U ovom slučaju, kutovi su 60⁰. Konstruiraj trokut zadane duljine stranice a. Znajući njegovu medijan i visinu, možete pronaći vrijednost njegovih strana. Da bismo to učinili, koristit ćemo metodu pronalaženja kroz formulu a \u003d x: cosα, gdje je x medijan ili visina. Kako su sve strane trokuta jednake, dobivamo a = b = c. Tada je istinita sljedeća tvrdnja: a = b = c = x: cosα. Slično, možete pronaći vrijednost stranica u jednakokračnom trokutu, ali x će biti zadana visina. Istodobno, treba ga projicirati strogo na osnovu figure. Dakle, znajući visinu x, nalazimo stranicu a jednakokračan trokut prema formuli a \u003d b \u003d x: cosα. Nakon što pronađete vrijednost a, možete izračunati duljinu baze c. Primijenimo Pitagorin teorem. Tražit ćemo vrijednost polovice baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tada je c = 2xtanα. kao ovo na jednostavan način pronaći broj stranica bilo kojeg upisanog mnogokuta.

Izračunavanje stranica kvadrata upisanog u krug

Kao i svaki drugi upisani pravilni mnogokut, kvadrat ima jednake stranice i kutove. Za njega vrijede iste formule kao i za trokut. Pomoću vrijednosti dijagonale možete izračunati stranice kvadrata. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala prepolovi kut. U početku je njegova vrijednost bila 90 stupnjeva. Tako se nakon dijeljenja formiraju dva, čiji će kutovi na bazi biti jednaki 45 stupnjeva. Prema tome, svaka strana kvadrata bit će jednaka, odnosno: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, gdje je e dijagonala kvadrata ili baza pravokutni trokut nastao nakon dijeljenja. Nije jedini način pronalaženje stranica kvadrata. Upišimo ovaj lik u krug. Znajući polumjer ove kružnice R, nalazimo stranu kvadrata. Izračunat ćemo ga na sljedeći način: a4 = R√2. Polumjeri pravilnih poligona izračunavaju se formulom R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), gdje je a duljina stranice.

Kako izračunati opseg n-kuta

Opseg n-kuta je zbroj svih njegovih stranica. Lako ga je izračunati. Da biste to učinili, morate znati vrijednosti svih strana. Za neke vrste poligona postoje posebne formule. Omogućuju vam puno brže pronalaženje perimetra. Poznato je da svaki pravilan mnogokut ima jednake stranice. Stoga je za izračunavanje njegovog perimetra dovoljno poznavati barem jedan od njih. Formula će ovisiti o broju strana figure. Općenito, to izgleda ovako: P \u003d an, gdje je a vrijednost stranice, a n broj kutova. Na primjer, da biste pronašli opseg pravilnog osmerokuta sa stranicom od 3 cm, trebate ga pomnožiti s 8, odnosno P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Za šesterokut sa stranicom od 5 cm izračunavamo kako slijedi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm I tako za svaki poligon.

Pronalaženje opsega paralelograma, kvadrata i romba

Ovisno o tome koliko stranica ima pravilan poligon, izračunava se njegov opseg. To uvelike olakšava zadatak. Doista, za razliku od drugih figura, u ovom slučaju nije potrebno tražiti sve njegove strane, dovoljna je samo jedna. Po istom principu nalazimo opseg četverokuta, odnosno kvadrata i romba. Unatoč činjenici da je ovo različite figure, formula za njih je jedan P \u003d 4a, gdje je a strana. Uzmimo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata 6 cm, tada nalazimo opseg na sljedeći način: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. Paralelogram ima samo suprotne strane. Stoga se njegov perimetar nalazi drugom metodom. Dakle, moramo znati duljinu a i širinu b figure. Zatim primjenjujemo formulu P \u003d (a + c) ∙ 2. Paralelogram, u kojem su sve strane i kutovi između njih jednaki, naziva se romb.

Pronalaženje opsega jednakostraničnog i pravokutnog trokuta

Opseg ispravnog može se pronaći formulom P \u003d 3a, gdje je a duljina stranice. Ako je nepoznat, može se pronaći kroz medijan. NA pravokutni trokut samo su dvije strane jednake. Osnova se može pronaći kroz Pitagorin teorem. Nakon što vrijednosti sve tri strane postanu poznate, izračunavamo opseg. Može se pronaći primjenom formule P \u003d a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c je baza. Podsjetimo da je u jednakokračnom trokutu a \u003d b \u003d a, dakle, a + b \u003d 2a, zatim P \u003d 2a + c. Na primjer, stranica jednakokračnog trokuta je 4 cm, pronađite njegovu bazu i perimetar. Izračunavamo vrijednost hipotenuze prema Pitagorinom teoremu c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Sada izračunavamo opseg P \u003d 4 \u003d 2 +∙5. u003d 13,65 cm.

Kako pronaći kutove pravilnog poligona

pravilan poligon javlja se u našim životima svaki dan, na primjer, običan kvadrat, trokut, osmerokut. Čini se da nema ništa lakše nego sami izgraditi ovu figuru. Ali ovo je samo na prvi pogled. Da biste konstruirali bilo koji n-kut, morate znati vrijednost njegovih kutova. Ali kako ih pronaći? Čak su i antički znanstvenici pokušali izgraditi pravilne poligone. Pogodili su ih uklopiti u krugove. A onda su na njemu označene potrebne točke, povezane ravnim linijama. Za jednostavne figure problem izgradnje je riješen. Dobivene su formule i teoremi. Na primjer, Euklid se u svom poznatom djelu "Početak" bavio rješavanjem problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kute. Pronašao je načine da ih konstruira i pronađe kutove. Pogledajmo kako to učiniti za 15-gon. Prvo morate izračunati iznos unutarnji uglovi. Potrebno je koristiti formulu S = 180⁰(n-2). Dakle, zadan nam je 15-kut, što znači da je broj n 15. Podatke koje znamo zamijenimo u formulu i dobijemo S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Pronašli smo zbroj svih unutarnjih kutova 15-kuta. Sada trebamo dobiti vrijednost svakog od njih. Ukupno je kutova 15. Izračunamo 2340⁰: 15 = 156⁰. To znači da je svaki unutarnji kut 156⁰, a sada pomoću ravnala i šestara možete izgraditi običan 15-kut. Ali što je sa složenijim n-kutovima? Stoljećima su se znanstvenici borili da riješe ovaj problem. Pronašao ju je tek u 18. stoljeću Carl Friedrich Gauss. Uspio je napraviti 65537-gon. Od tada se problem službeno smatra potpuno riješenim.

Proračun kutova n-kutova u radijanima

Naravno, postoji nekoliko načina za pronalaženje kutova poligona. Najčešće se izračunavaju u stupnjevima. Ali možete ih izraziti i u radijanima. Kako to učiniti? Potrebno je postupiti na sljedeći način. Najprije saznamo broj stranica pravilnog poligona, a zatim od njega oduzmemo 2. Dakle, dobivamo vrijednost: n - 2. Pronađenu razliku pomnožimo brojem n ("pi" \u003d 3.14). Sada ostaje samo podijeliti rezultirajući proizvod s brojem kutova u n-kutu. Razmotrite ove izračune na primjeru iste petnaestostrane. Dakle, broj n je 15. Primijenimo formulu S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Ovo naravno nije jedini način izračunavanja kuta u radijanima. Možete jednostavno podijeliti veličinu kuta u stupnjevima s brojem 57,3. Na kraju krajeva, toliko stupnjeva je ekvivalentno jednom radijanu.

Proračun vrijednosti kutova u stupnjevima

Osim stupnjeva i radijana, možete pokušati pronaći vrijednost kutova pravilnog poligona u stupnjevima. To se radi na sljedeći način. Od ukupnog broja kutova oduzmite 2, a dobivenu razliku podijelite s brojem stranica pravilnog poligona. Pronađeni rezultat množimo s 200. Usput, takva mjerna jedinica kutova kao stupnjevi praktički se ne koristi.

Proračun vanjskih kutova n-kuta

Za bilo koji pravilan poligon, osim unutarnjeg, možete izračunati i vanjski kut. Njegova vrijednost se nalazi na isti način kao i za druge brojke. Dakle, da biste pronašli vanjski kut pravilnog poligona, morate znati vrijednost unutarnjeg. Nadalje, znamo da je zbroj ova dva kuta uvijek 180 stupnjeva. Stoga radimo izračune na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutarnjeg kuta. Pronalazimo razliku. Bit će jednak vrijednosti kuta koji se nalazi uz njega. Na primjer, unutarnji kut kvadrata je 90 stupnjeva, tako da će vanjski kut biti 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kao što vidimo, nije ga teško pronaći. Vanjski kut može imati vrijednost od +180⁰ do, respektivno, -180⁰.

Poligon se naziva pravilnim ako su mu sve stranice i svi kutovi jednaki. Među trokutima, jednakostranični trokut i samo on će biti ispravan. Kvadrat (i samo kvadrat) je pravilan četverokut. Dopustite nam pokazati da postoje pravilni poligoni s bilo kojim brojem strana , gdje je . Da bismo to učinili, predstavljamo dvije metode za konstruiranje takvih poligona.

Metoda 1. Uzmite proizvoljan krug i podijelite ga na jednake dijelove. Takva konstrukcija nikako nije izvediva sa šestarom i ravnalom, ali ćemo ovdje pretpostaviti da je takva konstrukcija napravljena. Točke podjele u njihovom sekvencijalnom položaju na kružnici uzimamo kao vrhove -gona upisanog u ovu kružnicu. Dokažimo da je konstruirani -gon pravilan. Doista, stranice našeg poligona (slika 312) su tetive koje se oduzimaju jednakim lukovima, pa su stoga međusobno jednake.

Svi kutovi temelje se na jednakim lukovima i stoga su također jednaki. Dakle, poligon je ispravan.

Metoda 2. Opet podijelite krug na jednake dijelove i nacrtajte tangente na kružnicu u točkama podjele; svaku od tangenti ograničavamo točkama njezina sjecišta s tangentama povučenim u susjednim točkama podjele. Dobivamo pravilan mnogokut opisan oko kružnice (sl. 313). Zapravo, svi su mu kutovi jednaki, jer se svaki od njih, kao i kut između tangenti, mjeri polovičnom razlikom lukova od kojih je manji uvijek jednak dijelu kružnice, a veći uvijek jednak punom krugu minus dio. Jednakost stranica može se vidjeti barem iz jednakosti trokuta koje čine parovi polutangenta i tetiva (na primjer, trokuti i sl.). Svi su jednakokračni, imaju jednake kutove na vrhovima i jednake baze.

Dva obična -gona sa isti broj strane su slične.

Doista, njihove su strane zasigurno u stalnom odnosu, jednakom omjeru bilo kojeg para strana. Osim toga, prema teoremu o zbroju kutova -kuta, svaki pravilni -kut ima iste kutove jednake 1. Uvjeti kriterija točke 224 su zadovoljeni, a -gonovi su slični.

Dakle, za svaki regularni -gonovi su slični. Iz ovoga odmah dobivamo niz posljedica:

1. Dva pravilna -gona sa ravnopravne stranke su jednaki.

2. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog -kuta.

Dokaz. Uzmite bilo koji pravilan poligon s istim brojem stranica kao i zadani, konstruiran prema prvoj metodi, tj. upisan u krug. Slično ga transformirajmo tako da postane jednak zadanom. Zatim se kružnica koja je opisana oko njega na sličan način pretvara u kružnicu opisanu oko zadanog poligona.

3. U svaki pravilan mnogokut može se upisati kružnica.

Dokaz je sličan. Korisno je, međutim, provesti razmišljanje nešto drugačije. Već znamo da se kružnica može opisati oko zadanog poligona. Uzmimo njegovo središte. Stranice poligona služe kao njegove tetive; budući da su međusobno jednaki, moraju biti jednako udaljeni od središta. Dakle, kružnica s istim središtem i polumjerom, jednaka udaljenosti od središta do stranica poligona, dodirivat će sve strane poligona, tj. bit će upisana kružnica.

Dakle, upisana i opisana kružnica pravilnog mnogokuta imaju zajedničko središte. Zove se središte zadanog pravilnog mnogokuta. Polumjer opisane kružnice naziva se radijus poligona, polumjer upisane kružnice naziva se njezin apotem. Jasno je da je apotema uvijek manja od polumjera.

PONAVLJANJE MATERIJALA

a je stranica oktogona,

R - polumjer opisane kružnice,

r je polumjer upisane kružnice.

Zbroj unutarnjih kutova pravilnog n-kuta

180 (n-2).

Stupanj mjera unutarnjeg kuta n-kuta

180 (n-2): n.

Strana točne n

Polumjer kružnice upisane u pravilan mnogokut

Područje točne n

VJEŽBE

1. a) Zbroj unutarnjih kutova šesterokuta je:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) Zbroj unutarnjih kutova osmerokuta je:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Odluka:
a) Prema formuli, zbroj kutova šesterokuta je: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Odgovor: 720 ° .


2. a) Stranica pravilnog mnogokuta je 5 cm, unutarnji kut je 144°
a) Stranica pravilnog mnogokuta je 7 cm, unutarnji kut je 150° . Pronađite opseg poligona.
Odluka:
a) 1) Nađi broj stranica poligona:
144 = 180 (n - 2): n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Nađi opseg deseterokuta: P=5*10=50 cm.
Odgovor: 50 cm.


3. a) Opseg pravilnog peterokuta je 30 cm.Nađite promjer kružnice opisane oko peterokuta.
b) Promjer kružnice je 10 cm.Nađi opseg peterokuta koji je u njega upisan.
Odluka:
a) 1) Nađi stranicu peterokuta: 30:5=6 cm.
2) Pronađite polumjer opisane kružnice:
a=2R*sin(180 ° :n);
6=2R*sin(180 ° :5);
R=3: sin 36 ° \u003d 3: 0,588 \u003d 5,1 cm
Odgovor: 5,1 cm.


4. a) Zbroj unutarnjih kutova pravilnog mnogokuta je 2520°
b) Zbroj unutarnjih kutova pravilnog mnogokuta je 1800° . Pronađite broj stranica poligona.
Odluka:
a) Odredi broj stranica poligona:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° n;
2880 ° =180 ° n;
n=16.
Odgovor: 16 strana.


5. a) Polumjer kružnice koja opisuje pravilan dvanaesterokut je 5 cm. Nađi površinu poligona.
b) Polumjer kružnice koja opisuje pravilan osmerokut je 6 cm. Nađi površinu poligona.
Odluka:
a) Nađite površinu dvanaesterokuta:
S=0,5* R 2 *n*sin(360° :n)=0,5*25*12*sin30° =75 cm 2 .
Odgovor: 75 cm 2 .


6. Pronađite površinu šesterokuta ako je poznata površina zasjenjenog dijela:

Površina trokuta ABC je 0,5*AB*BC*sin120° i jednak je uvjetom 48.

7. a) Nađite broj stranica pravilnog mnogokuta ako je vanjski kut njegovog vrha 18° .
b) Pronađite broj stranica pravilnog mnogokuta ako je vanjski kut njegovog vrha 45° .
Odluka:
a) Iznos vanjski uglovi pravilni poligon je 360 ° .
Pronađite broj stranica: 360 ° :18 ° =20.
Odgovor: 20 strana.


8. Izračunaj površinu prstena ako je tetiva AB jednaka:
a) 8 cm; b) 10 cm.

1) OB je polumjer vanjske kružnice, OH je polumjer unutarnje kružnice. Područje prstena može se pronaći pomoću formule: S prstena = S vanjskog kruga - S unutarnjeg kruga.

S= π*OB 2 -π*OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).

2) Razmotrimo trokut ABO - jednakokračan (OA = OB kao polumjeri). OH je visina i medijan trokuta ABO, dakle, AN=HB=8:2= 4 cm.

3) Razmotrimo trokut ONV - pravokutni: HB 2 =OB 2 -JE LI ON 2 , stoga

OV 2 -JE LI ON 2 =16.

4) Pronađite površinu prstena:

S=π (OB 2 -OH 2 )=16 π cm 2 .

Odgovor:16 π cm 2 .

P=6*AB;

10. Dokaži da je u pravilnom osmerokutu površina zasjenjenog dijela jednaka:
a) četvrtina površine oktogona; b) polovica površine oktogona:

1) Nacrtajmo simetrale kutova osmerokuta, sijeku se u točki O. Površina osmerokuta jednaka je zbroju površina osam rezultirajućih jednakih trokuta, t.j. S(ABCDEFKM)=8*S(OEF).

2) Četverokut ABEF je paralelogram (AB//EF i AB=EF). Dijagonale paralelograma su jednake: AE=BF (kao promjeri kružnice opisane oko osmerokuta), dakle, ABEF je pravokutnik. Dijagonale pravokutnika dijele ga na četiri trokuta jednake površine.

3) Nađite površinu četverokuta AFKM:

S (ABEF) = 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S(AFKM)=2* S(OEF).

4) Nađite omjer površine osmerokuta i površine zasjenjenog dijela:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2*S(OEF))=4.

Q.E.D.

1) AB=AC=2R. BAC kut je ravan, jer površina BAC sektora jednaka je četvrtini površine kruga .

2) Razmotrimo četverokut AO 2 MO 1 . To je romb, jer sve su strane jednake polumjeru, a pošto Jedan od njihovih kutova je 90°, zatim AO 2 MO 1 - kvadratni.

ZADACI ZA SAMOSTALNO RJEŠENJE

1. Koliki je zbroj vanjskih kutova peterokuta?

2. Kolika je površina oktogona ako je površina zasjenjene površine 20.