Poligon se naziva pravilnim ako su mu sve stranice i svi kutovi jednaki. Među trokutima, jednakostranični trokut i samo on će biti ispravan. Kvadrat (i samo kvadrat) je pravilan četverokut. Dopustite nam pokazati da postoje pravilni poligoni s bilo kojim brojem strana , gdje je . Da bismo to učinili, predstavljamo dvije metode za konstruiranje takvih poligona.
Metoda 1. Uzmite proizvoljan krug i podijelite ga na jednake dijelove. Takva konstrukcija nikako nije izvediva sa šestarom i ravnalom, ali ćemo ovdje pretpostaviti da je takva konstrukcija napravljena. Točke podjele u njihovom sekvencijalnom položaju na kružnici uzimamo kao vrhove -gona upisanog u ovu kružnicu. Dokažimo da je konstruirani -gon pravilan. Doista, stranice našeg poligona (slika 312) su tetive koje se oduzimaju jednakim lukovima, pa su stoga međusobno jednake.
Svi kutovi temelje se na jednakim lukovima i stoga su također jednaki. Dakle, poligon je ispravan.
Metoda 2. Opet podijelite krug na jednake dijelove i nacrtajte tangente na kružnicu u točkama podjele; svaku od tangenti ograničavamo točkama njezina sjecišta s tangentama povučenim u susjednim točkama podjele. Dobivamo pravilan mnogokut opisan oko kružnice (sl. 313). Zapravo, svi su mu kutovi jednaki, budući da se svaki od njih, kao i kut između tangenti, mjeri polovičnom razlikom lukova od kojih je manji uvijek jednak dijelu kružnice, a veći uvijek jednak punom krugu minus dio. Jednakost stranica može se vidjeti barem iz jednakosti trokuta koje čine parovi polutangenta i tetiva (na primjer, trokuti i sl.). Svi su jednakokračni, imaju jednake kutove na vrhovima i jednake baze.
Dva obična -gona sa isti broj strane su slične.
Doista, njihove su strane zasigurno u stalnom odnosu, jednakom omjeru bilo kojeg para strana. Osim toga, prema teoremu o zbroju kutova -kuta, svaki pravilni -kut ima iste kutove jednake 1. Uvjeti kriterija u točki 224 su zadovoljeni, a -gonovi su slični.
Dakle, za svaki regularni -gonovi su slični. Iz ovoga odmah dobivamo niz posljedica:
1. Dva pravilna -kuta s jednakim stranicama su jednaka.
2. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog -kuta.
Dokaz. Uzmite bilo koji pravilan poligon s istim brojem stranica kao i zadani, konstruiran prema prvoj metodi, tj. upisan u krug. Slično ga transformirajmo tako da postane jednak zadanom. Zatim se kružnica koja je opisana oko njega na sličan način pretvara u kružnicu opisanu oko zadanog poligona.
3. U svaki pravilan mnogokut može se upisati kružnica.
Dokaz je sličan. Korisno je, međutim, provesti razmišljanje nešto drugačije. Već znamo da se kružnica može opisati oko zadanog poligona. Uzmimo njegovo središte. Stranice poligona služe kao njegove tetive; budući da su međusobno jednaki, moraju biti jednako udaljeni od središta. Dakle, kružnica s istim središtem i polumjerom, jednaka udaljenosti od središta do stranica poligona, dodirivat će sve strane poligona, tj. bit će upisana kružnica.
Dakle, upisana i opisana kružnica pravilnog mnogokuta imaju zajedničko središte. Zove se središte zadanog pravilnog mnogokuta. Polumjer opisane kružnice naziva se radijus poligona, polumjer upisane kružnice naziva se njezin apotem. Jasno je da je apotema uvijek manja od polumjera.
Tvoja njegova poligon. Na primjer, ako trebate pronaći uglovima ispravan poligon s 15 strana, utaknite n=15 u jednadžbu. Dobit ćete S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.
Zatim podijelite rezultirajući zbroj unutarnjih kutova s njihovim brojem. Na primjer, u poligonu je broj uglova broj strana, odnosno 15. Tako ćete dobiti da je kut 2340⁰/15=156⁰. Svatko unutarnji kut poligon jednako 156⁰.
Ako više voliš računati uglovima poligon u radijanima, postupite na sljedeći način. Od broja strana oduzmite broj 2 i dobivenu razliku pomnožite s brojem P (Pi). Zatim podijelite proizvod s brojem uglova u poligonu. Na primjer, ako trebate izračunati uglovima obični 15-kut, ponašajte se ovako: P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P, ili 0,87P, ili 2,72 (ali, kao, broj P ostaje nepromijenjen). Ili jednostavno podijelite veličinu kuta u stupnjevima sa 57,3 - to je koliko je sadržano u jednom radijanu.
Također možete pokušati izračunati uglovima ispravan poligon u gradovima. Da biste to učinili, oduzmite broj 2 od broja strana, podijelite rezultirajući broj s brojem strana i rezultat pomnožite sa 200. Ovaj kut se gotovo nikada ne koristi, ali ako odlučite uglovima u ocjenama, nemojte zaboraviti da su ocjene raščlanjene na metričke sekunde i minute (po 100 sekundi).
Možda ćete morati izračunati vanjski kut ispravnog poligon, u ovom slučaju to učinite. Oduzmite unutarnji kut od 180⁰ - kao rezultat, dobit ćete vrijednost susjednog, odnosno vanjskog kuta. Može od -180⁰ do +180⁰.
Ako ste uspjeli saznati kutove pravilnog poligona, lako ga možete izgraditi. Nacrtajte jednu stranu određene duljine i od nje, pomoću kutomjera, odvojite željeni kut. Izmjerite točno istu udaljenost (sve strane pravilnog poligona su jednake) i ponovno odložite željeni kut. Nastavite dok se strane ne spoje.
Izvori:
- kut u pravilnom poligonu
Poligon se sastoji od nekoliko segmenata koji su međusobno povezani i tvore zatvorenu liniju. Sve figure ove klase podijeljene su na jednostavne i složene. Jednostavni su trokut i četverokut, a složeni su poligoni s velika količina stranke, kao i zvjezdani poligoni.
Uputa
Najčešće u problemima postoji pravilan trokut s stranke oh a. Pošto je poligon pravilan, onda su sva tri stranke s su jednaki. Stoga, znajući medijan i visinu trokuta, možete pronaći sve njegove stranke s. Da biste to učinili, koristite metodu pronalaženja stranke s : a=x/cosα stranke s , tj. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, gdje je x visina, medijan ili simetrala. Slično, pronađite sve tri nepoznanice stranke s u jednakokračnom trokutu, ali pod jednim uvjetom - zadanom visinom. Trebalo bi se projicirati na bazu trokuta. Znajući visinu osnovice x, nađi stranke a:a=x/cosα. Budući da je a=b, budući da je trokut jednakokračan, pronađite ga stranke s kako slijedi: a=b=x/cosα Nakon što ste pronašli stranu stranke s trokuta, izračunajte duljinu baze trokuta koristeći Pitagorin teorem da biste pronašli polovicu baze: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^ 2α)/ cos^2α =xtgα. Odavde pronađite bazu: c=2xtgα.
Kvadrat predstavlja stranke koji se izračunavaju na više načina. Svaki od njih je razmotren u nastavku.Prva metoda sugerira pronalaženje stranke s kvadrat. Budući da su svi kutovi kvadrata pravi kutovi, prepolovite ih na način da se formiraju dva pravokutna trokuta s kutovima od 45 stupnjeva. Odnosno, stranke a kvadrat je: a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, gdje je d kvadrat. Ako je kvadrat upisan u krug, znajući polumjer ove kružnice, pronađite ga stranke y:a4=R√2, gdje je R polumjer kružnice.
Trokut, kvadrat, šesterokut - ove brojke su poznate gotovo svima. Ali ne znaju svi što je pravilan poligon. Ali ovo je svejedno Pravilni poligon se zove onaj koji ima jednake kutove i stranice. Takvih je brojki puno, ali svi imaju ista svojstva i za njih vrijede iste formule.
Svojstva pravilnih poligona
Svaki pravilan poligon, bio to kvadrat ili osmerokut, može se upisati u krug. Ovo osnovno svojstvo često se koristi pri konstruiranju figure. Osim toga, u poligon se može upisati i krug. U ovom slučaju, broj dodirnih točaka bit će jednak broju njegovih strana. Važno je da će kružnica upisana u pravilan poligon s njim imati zajedničko središte. Ove geometrijski likovi podliježu istim teoremama. Bilo kojoj strani pravilnog n-kuta pridružen je polumjer R opisane kružnice oko nje. Stoga se može izračunati pomoću sljedeće formule: a = 2R ∙ sin180°. Kroz možete pronaći ne samo stranice, već i perimetar poligona.
Kako pronaći broj stranica pravilnog poligona
Svaki se sastoji od određenog broja segmenata koji su međusobno jednaki, koji, kada su povezani, tvore zatvorenu liniju. U ovom slučaju, svi kutovi formirane figure imaju istu vrijednost. Poligoni se dijele na jednostavne i složene. Prva skupina uključuje trokut i kvadrat. Složeni poligoni imaju više strane. Oni također uključuju figure u obliku zvijezda. Za složene pravilne mnogokute, stranice se nalaze upisivanjem u krug. Dajmo dokaz. Nacrtaj pravilan mnogokut s proizvoljnim brojem stranica n. Opišite krug oko njega. Navedite polumjer R. Sada zamislite da je zadan neki n-kut. Ako točke njegovih kutova leže na kružnici i jednake su jedna drugoj, tada se stranice mogu naći po formuli: a = 2R ∙ sinα: 2.
Određivanje broja stranica upisanog pravokutnog trokuta
Jednakostranični trokut je pravilan mnogokut. Za njega vrijede iste formule kao za kvadrat i n-kut. Trokut će se smatrati ispravnim ako ima stranice iste duljine. U ovom slučaju, kutovi su 60⁰. Konstruiraj trokut zadane duljine stranice a. Znajući njegovu medijan i visinu, možete pronaći vrijednost njegovih strana. Da bismo to učinili, koristit ćemo metodu pronalaženja kroz formulu a \u003d x: cosα, gdje je x medijan ili visina. Kako su sve strane trokuta jednake, dobivamo a = b = c. Tada je istinita sljedeća tvrdnja: a = b = c = x: cosα. Slično, možete pronaći vrijednost stranica u jednakokračnom trokutu, ali x će biti zadana visina. Istodobno, treba ga projicirati strogo na osnovu figure. Dakle, znajući visinu x, nalazimo stranicu a jednakokračan trokut prema formuli a \u003d b \u003d x: cosα. Nakon što pronađete vrijednost a, možete izračunati duljinu baze c. Primijenimo Pitagorin teorem. Tražit ćemo vrijednost polovice baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tada je c = 2xtanα. kao ovo na jednostavan način pronaći broj stranica bilo kojeg upisanog mnogokuta.
Izračunavanje stranica kvadrata upisanog u krug
Kao i svaki drugi upisani pravilni mnogokut, kvadrat ima jednake strane i uglovi. Za njega vrijede iste formule kao i za trokut. Pomoću vrijednosti dijagonale možete izračunati stranice kvadrata. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala prepolovi kut. U početku je njegova vrijednost bila 90 stupnjeva. Tako se nakon dijeljenja formiraju dva, čiji će kutovi na bazi biti jednaki 45 stupnjeva. Prema tome, svaka strana kvadrata bit će jednaka, odnosno: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, gdje je e dijagonala kvadrata ili baza pravokutni trokut nastao nakon dijeljenja. Nije jedini način pronalaženje stranica kvadrata. Upišimo ovaj lik u krug. Znajući polumjer ove kružnice R, nalazimo stranu kvadrata. Izračunat ćemo ga na sljedeći način: a4 = R√2. Polumjeri pravilnih poligona izračunavaju se formulom R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), gdje je a duljina stranice.
Kako izračunati opseg n-kuta
Opseg n-kuta je zbroj svih njegovih stranica. Lako ga je izračunati. Da biste to učinili, morate znati vrijednosti svih strana. Za neke vrste poligona postoje posebne formule. Omogućuju vam puno brže pronalaženje perimetra. Poznato je da svaki pravilan mnogokut ima jednake stranice. Stoga je za izračunavanje njegovog perimetra dovoljno poznavati barem jedan od njih. Formula će ovisiti o broju strana figure. Općenito, to izgleda ovako: P \u003d an, gdje je a vrijednost stranice, a n broj kutova. Na primjer, da biste pronašli opseg pravilnog osmerokuta sa stranicom od 3 cm, trebate ga pomnožiti s 8, odnosno P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Za šesterokut sa stranicom od 5 cm izračunavamo kako slijedi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm I tako za svaki poligon.
Pronalaženje opsega paralelograma, kvadrata i romba
Ovisno o tome koliko stranica ima pravilan poligon, izračunava se njegov opseg. To uvelike olakšava zadatak. Doista, za razliku od drugih figura, u ovom slučaju nije potrebno tražiti sve njegove strane, dovoljna je samo jedna. Po istom principu nalazimo opseg četverokuta, odnosno kvadrata i romba. Unatoč činjenici da je ovo različite figure, formula za njih je jedan P \u003d 4a, gdje je a strana. Uzmimo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata 6 cm, tada nalazimo opseg na sljedeći način: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. Paralelogram ima samo suprotne strane. Stoga se njegov perimetar nalazi drugom metodom. Dakle, moramo znati duljinu a i širinu b figure. Zatim primjenjujemo formulu P \u003d (a + c) ∙ 2. Paralelogram, u kojem su sve strane i kutovi između njih jednaki, naziva se romb.
Pronalaženje opsega jednakostraničnog i pravokutnog trokuta
Opseg ispravnog može se pronaći formulom P \u003d 3a, gdje je a duljina stranice. Ako je nepoznat, može se pronaći kroz medijan. NA pravokutni trokut samo su dvije strane jednake. Osnova se može pronaći kroz Pitagorin teorem. Nakon što vrijednosti sve tri strane postanu poznate, izračunavamo opseg. Može se pronaći primjenom formule P \u003d a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c je baza. Podsjetimo da je u jednakokračnom trokutu a \u003d b \u003d a, dakle, a + b \u003d 2a, zatim P \u003d 2a + c. Na primjer, stranica jednakokračnog trokuta je 4 cm, pronađite njegovu bazu i perimetar. Izračunavamo vrijednost hipotenuze prema Pitagorinom teoremu c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Sada izračunavamo opseg P \u003d 4 \u003d 2 +∙5. u003d 13,65 cm.
Kako pronaći kutove pravilnog poligona
pravilan poligon javlja se u našim životima svaki dan, na primjer, običan kvadrat, trokut, osmerokut. Čini se da nema ništa lakše nego sami izgraditi ovu figuru. Ali ovo je samo na prvi pogled. Da biste konstruirali bilo koji n-kut, morate znati vrijednost njegovih kutova. Ali kako ih pronaći? Čak su i antički znanstvenici pokušali izgraditi pravilne poligone. Pogodili su ih uklopiti u krugove. A onda su na njemu označene potrebne točke, povezane ravnim linijama. Za jednostavne figure problem izgradnje je riješen. Dobivene su formule i teoremi. Na primjer, Euklid se u svom poznatom djelu "Početak" bavio rješavanjem problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kute. Pronašao je načine da ih konstruira i pronađe kutove. Pogledajmo kako to učiniti za 15-gon. Najprije morate izračunati zbroj njegovih unutarnjih kutova. Potrebno je koristiti formulu S = 180⁰(n-2). Dakle, zadan nam je 15-kut, što znači da je broj n 15. Podatke koje znamo zamijenimo u formulu i dobijemo S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Pronašli smo zbroj svih unutarnjih kutova 15-kuta. Sada trebamo dobiti vrijednost svakog od njih. Ukupno je kutova 15. Izračunamo 2340⁰: 15 = 156⁰. To znači da je svaki unutarnji kut 156⁰, a sada pomoću ravnala i šestara možete izgraditi običan 15-kut. Ali što je sa složenijim n-kutovima? Stoljećima su se znanstvenici borili da riješe ovaj problem. Pronašao ju je tek u 18. stoljeću Carl Friedrich Gauss. Uspio je napraviti 65537-gon. Od tada se problem službeno smatra potpuno riješenim.
Proračun kutova n-kutova u radijanima
Naravno, postoji nekoliko načina za pronalaženje kutova poligona. Najčešće se izračunavaju u stupnjevima. Ali možete ih izraziti i u radijanima. Kako to učiniti? Potrebno je postupiti na sljedeći način. Najprije saznamo broj stranica pravilnog poligona, a zatim od njega oduzmemo 2. Dakle, dobivamo vrijednost: n - 2. Pomnožimo pronađenu razliku s brojem n (“pi” \u003d 3.14). Sada ostaje samo podijeliti rezultirajući proizvod s brojem kutova u n-kutu. Razmotrite ove izračune na primjeru iste petnaestostrane. Dakle, broj n je 15. Primijenimo formulu S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Ovo naravno nije jedini način izračunavanja kuta u radijanima. Možete jednostavno podijeliti veličinu kuta u stupnjevima s brojem 57,3. Na kraju krajeva, toliko stupnjeva je ekvivalentno jednom radijanu.
Proračun vrijednosti kutova u stupnjevima
Osim stupnjeva i radijana, možete pokušati pronaći vrijednost kutova pravilnog poligona u stupnjevima. To se radi na sljedeći način. Od ukupnog broja kutova oduzmite 2, a dobivenu razliku podijelite s brojem stranica pravilnog poligona. Pronađeni rezultat množimo s 200. Usput, takva mjerna jedinica kutova kao stupnjevi praktički se ne koristi.
Proračun vanjskih kutova n-kuta
Za bilo koji pravilan poligon, osim unutarnjeg, možete izračunati i vanjski kut. Njegova vrijednost se nalazi na isti način kao i za druge brojke. Dakle, da biste pronašli vanjski kut pravilnog poligona, morate znati vrijednost unutarnjeg. Nadalje, znamo da je zbroj ova dva kuta uvijek 180 stupnjeva. Stoga radimo izračune na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutarnjeg kuta. Pronalazimo razliku. Bit će jednak vrijednosti kuta koji se nalazi uz njega. Na primjer, unutarnji kut kvadrata je 90 stupnjeva, tako da će vanjski kut biti 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kao što vidimo, nije ga teško pronaći. vanjski kut može uzeti vrijednost od +180⁰ do, respektivno, -180⁰.
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na web-mjestu, možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno iz sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.
Definicija pravilan poligon može ovisiti o definiciji poligona: ako je definiran kao ravna zatvorena polilinija, tada se pojavljuje definicija pravilan zvjezdani poligon kao nekonveksan mnogokut u kojem su sve strane jednake i svi kutovi jednaki.
Svojstva
Koordinate
Neka bude x C (\displaystyle x_(C)) i y C (\displaystyle y_(C)) su koordinate centra, i R (\displaystyle R)- polumjer kružnice, ϕ 0 (\displaystyle (\phi)_(0))- kutna koordinata prvog vrha, zatim se kartezijanske koordinate vrhova pravilnog n-kuta određuju formulama:
x i = x C + R cos (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\desno)) y i = y C + R sin (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\desno))gdje i = 0 … n − 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
Dimenzije
Neka bude R (\displaystyle R)- radijus kružnice opisane oko pravilnog poligona, tada je polumjer upisane kružnice jednak
r = R cos π n (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi)(n))),a duljina stranice poligona je
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ pi )(n)))Kvadrat
N (\displaystyle n) i dužina strane a (\displaystyle a) je:
S = n 4 a 2 ctg π n (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mathop (\mathrm () ) \,\operatorname (ctg) (\frac ( \pi )(n))).Područje pravilnog poligona s brojem strana n (\displaystyle n), upisan u krug polumjera R (\displaystyle R), je:
S = n 2 R 2 sin 2 π n (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).Područje pravilnog poligona s brojem strana n (\displaystyle n) opisana oko kružnice polumjera r (\displaystyle r), je:
S = n r 2 t g π n (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(osnovna površina n-gonala desna prizma)Područje pravilnog poligona s brojem strana n (\displaystyle n) jednako je
S = n r a 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),gdje r (\displaystyle r)- udaljenost od sredine strane do središta, a (\displaystyle a)- dužina strane.
Površina pravilnog poligona u smislu perimetra ( P (\displaystyle P)) i polumjer upisane kružnice ( r (\displaystyle r)) je:
S = 1 2 P r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).Perimetar
Ako trebate izračunati duljinu stranice pravilnog n-kuta upisanog u krug, znajući opseg kružnice L (\displaystyle L) možete izračunati duljinu jedne strane poligona:
a n (\displaystyle a_(n)) je duljina stranice pravilnog n-kuta. a n = sin 180 n ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))Perimetar P n (\displaystyle P_(n)) jednaki
P n = a n ⋅ n (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)gdje n (\displaystyle n) je broj stranica poligona.
Primjena
Pravilni poligoni su po definiciji lica pravilnih poliedara.
Starogrčki matematičari (Antifon, Bryson od Herakla, Arhimed itd.) koristili su pravilne poligone za izračunavanje broja. Izračunali su površine poligona upisanih u krug i opisanih oko njega, postupno povećavajući broj njihovih stranica i tako dobivajući procjenu površine kruga.
Priča
Konstrukcija pravilnog poligona s n strane ostale su problem za matematičare sve do 19. stoljeća. Takva konstrukcija identična je podjeli kruga na n jednake dijelove, jer spajanjem točaka koje dijele krug na dijelove, možete dobiti željeni poligon.
Od tada se problem smatra potpuno riješenim.
