Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na web-mjestu, možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.
Definicija pravilan poligon može ovisiti o definiciji poligona: ako je definiran kao ravna zatvorena polilinija, tada se pojavljuje definicija pravilan zvjezdani poligon kao nekonveksan mnogokut u kojem su sve strane jednake i svi kutovi jednaki.
Svojstva
Koordinate
Neka bude x C (\displaystyle x_(C)) i y C (\displaystyle y_(C)) su koordinate centra, i R (\displaystyle R)- polumjer kružnice, ϕ 0 (\displaystyle (\phi)_(0))- kutna koordinata prvog vrha, zatim kartezijanske koordinate vrhova pravilnog n-kuta određene su formulama:
x i = x C + R cos (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\desno)) y i = y C + R sin (ϕ 0 + 2 π i n) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\) pi i)(n))\desno))gdje i = 0 … n − 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
Dimenzije
Neka bude R (\displaystyle R)- radijus opisane kružnice oko pravilnog poligona, tada je polumjer upisane kružnice jednak
r = R cos π n (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi)(n))),a duljina stranice poligona je
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ pi )(n)))Kvadrat
N (\displaystyle n) i dužina strane a (\displaystyle a) je:
S = n 4 a 2 ctg π n (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mathop (\mathrm () ) \,\operatorname (ctg) (\frac ( \pi )(n))).Područje pravilnog poligona s brojem strana n (\displaystyle n), upisan u krug polumjera R (\displaystyle R), je:
S = n 2 R 2 sin 2 π n (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).Područje pravilnog poligona s brojem strana n (\displaystyle n) opisana oko kružnice polumjera r (\displaystyle r), je:
S = n r 2 t g π n (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(osnovna površina n-gonala desna prizma)Područje pravilnog poligona s brojem strana n (\displaystyle n) jednako je
S = n r a 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),gdje r (\displaystyle r)- udaljenost od sredine strane do središta, a (\displaystyle a)- dužina strane.
Površina pravilnog poligona u smislu perimetra ( P (\displaystyle P)) i polumjer upisane kružnice ( r (\displaystyle r)) je:
S = 1 2 P r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).Perimetar
Ako trebate izračunati duljinu stranice pravilnog n-kuta upisanog u krug, znajući opseg kružnice L (\displaystyle L) možete izračunati duljinu jedne strane poligona:
a n (\displaystyle a_(n)) je duljina stranice pravilnog n-kuta. a n = sin 180 n ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))Perimetar P n (\displaystyle P_(n)) jednaki
P n = a n ⋅ n (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)gdje n (\displaystyle n) je broj stranica poligona.
Primjena
Pravilni poligoni su po definiciji lica pravilnih poliedara.
Starogrčki matematičari (Antifon, Bryson od Herakla, Arhimed itd.) koristili su pravilne poligone za izračunavanje broja. Izračunali su površine poligona upisanih u krug i opisanih oko njega, postupno povećavajući broj njihovih stranica i tako dobivajući procjenu površine kruga.
Priča
Konstrukcija pravilnog poligona s n strane ostale su problem za matematičare sve do 19. stoljeća. Takva konstrukcija identična je podjeli kruga na n jednake dijelove, jer spajanjem točaka koje dijele krug na dijelove, možete dobiti željeni poligon.
Od tada se problem smatra potpuno riješenim.
Poligon se naziva pravilnim ako su mu sve stranice i svi kutovi jednaki. Među trokutima, jednakostranični trokut i samo on će biti ispravan. Kvadrat (i samo kvadrat) je pravilan četverokut. Dopustite nam pokazati da postoje pravilni poligoni s bilo kojim brojem strana , gdje je . Da bismo to učinili, predstavljamo dvije metode za konstruiranje takvih poligona.
Metoda 1. Uzmite proizvoljan krug i podijelite ga na jednake dijelove. Takva konstrukcija nikako nije izvediva sa šestarom i ravnalom, ali ćemo ovdje pretpostaviti da je takva konstrukcija napravljena. Točke podjele u njihovom sekvencijalnom položaju na kružnici uzimamo kao vrhove -gona upisanog u ovu kružnicu. Dokažimo da je konstruirani -gon pravilan. Doista, stranice našeg poligona (slika 312) su tetive koje se oduzimaju jednakim lukovima, pa su stoga međusobno jednake.
Svi kutovi temelje se na jednakim lukovima i stoga su također jednaki. Dakle, poligon je ispravan.
Metoda 2. Opet podijelite krug na jednake dijelove i nacrtajte tangente na kružnicu u točkama podjele; svaku od tangenti ograničavamo točkama njezina presjeka s tangentama povučenim u susjednim točkama podjele. Dobivamo pravilan mnogokut opisan oko kružnice (sl. 313). Zapravo, svi su mu kutovi jednaki, budući da se svaki od njih, kao i kut između tangenti, mjeri polovičnom razlikom lukova od kojih je manji uvijek jednak dijelu kružnice, a veći uvijek jednak punom krugu minus dio. Jednakost stranica može se vidjeti barem iz jednakosti trokuta koje čine parovi polutangenta i tetiva (na primjer, trokuti i sl.). Svi su jednakokračni, imaju jednake kutove na vrhovima i jednake baze.
Dva obična -gona sa isti broj strane su slične.
Doista, njihove su strane zasigurno u stalnom odnosu, jednakom omjeru bilo kojeg para strana. Osim toga, prema teoremu o zbroju kutova -kuta, svaki pravilni -kut ima iste kutove jednake 1. Uvjeti kriterija u točki 224 su zadovoljeni, a -gonovi su slični.
Dakle, za svaki regularni -gonovi su slični. Iz ovoga odmah dobivamo niz posljedica:
1. Dva pravilna -gona sa jednake strane su jednaki.
2. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog -kuta.
Dokaz. Uzmite bilo koji pravilan poligon s istim brojem stranica kao i zadani, konstruiran prema prvoj metodi, tj. upisan u krug. Slično ga transformirajmo tako da postane jednak zadanom. Zatim se kružnica koja je opisana oko njega na sličan način pretvara u kružnicu opisanu oko zadanog poligona.
3. U svaki pravilan mnogokut može se upisati kružnica.
Dokaz je sličan. Korisno je, međutim, provesti razmišljanje nešto drugačije. Već znamo da se kružnica može opisati oko zadanog poligona. Uzmimo njegovo središte. Stranice poligona služe kao njegove tetive; budući da su međusobno jednaki, moraju biti jednako udaljeni od središta. Dakle, kružnica s istim središtem i polumjerom, jednaka udaljenosti od središta do stranica poligona, dodirivat će sve strane poligona, tj. bit će upisana kružnica.
Dakle, upisana i opisana kružnica pravilnog mnogokuta imaju zajedničko središte. Zove se središte zadanog pravilnog mnogokuta. Polumjer opisane kružnice naziva se radijus poligona, polumjer upisane kružnice naziva se njezin apotem. Jasno je da je apotema uvijek manja od polumjera.
Pravilni poligoni
U udžbeniku "Geometrija 7-11" A.V. Pogorelova (18) tema "Pravilni poligoni" proučava se u § 13 "Poligoni", str. 115.
Definicija "pravilnog mnogokuta" razmatra se na početku odlomka: "Konveksni mnogokut naziva se pravilnim ako su mu sve strane jednake i svi kutovi jednaki." Zatim se daju definicije "upisanih" i "opisanih" poligona i razmatra se teorem: "Pravilan konveksni mnogokut upisan je u krug i opisan oko kružnice."
U udžbeniku "Geometrija 7-9" L.S. Atanasyana (4), tema "Pravilni poligoni" razmatra se u paragrafu 105 § 1 "Pravilni poligoni" poglavlja 12.
Definicija "pravilnog poligona" data je na početku odlomka:
"Pravilan mnogokut je konveksan mnogokut u kojem su svi kutovi jednaki i sve strane jednake." Tada se izvodi formula za izračunavanje kuta b n pravilnog n-kuta:
U udžbeniku "Geometrija 7-9" autora I.M. Smirnove, V.A. Smirnova, "pravilni poligon" proučava se u paragrafu 6. "Poligoni i poligoni".
Na početku odlomka uvodi se definicija „izlomljene linije“: „Lik formiran od segmenata smještenih tako da je kraj prvog početak drugog, kraj drugog početak trećeg, itd., naziva se izlomljena linija ili jednostavno izlomljena linija.”
Zatim se daju definicije jednostavnog, zatvorenog i poligona: "Poligonalni pravac se naziva jednostavnom ako nema točaka samopresijecanja." "Ako se početak prvog segmenta polilinije poklapa s krajem posljednjeg, polilinija se naziva zatvorena." "Slika koju čine jednostavna zatvorena izlomljena linija i dio ravnine koji je njome omeđen naziva se poligon."
Nakon toga, razmatra se definicija "pravilnog poligona": "Mnogokut se naziva pravilnim ako su mu sve stranice i svi kutovi jednaki."
Razmotrite metodologiju proučavanja teme "Pravilni poligoni" na primjeru udžbenika geometrije A.V. Pogorelova.
Na početku stavka uvodi se definicija "pravilnog poligona": "Konveksni poligon naziva se pravilnim ako su mu sve stranice jednake i svi kutovi jednaki", zatim definicije "upisanog" i "opisanoga" poligona uvode se: “Mnogokut se naziva upisanim u krug ako svi njegovi vrhovi leže na nekoj kružnici”; "Za mnogokut se kaže da je upisan u krug ako su sve njegove strane tangente na neki krug."
Prije proučavanja teorema 13.3, kako bi se razred pripremio za dokaz, možete učenicima postaviti pitanja za ponavljanje:
Koji se pravac naziva tangenta na kružnicu?
Kakav je odnos između pravca i kružnice? U satu se vodi rasprava koja se sastoji od dva dijela: prvi
govorimo o kružnici opisanoj oko poligona, a zatim o kružnici upisanoj u mnogokut.
Odgovore učenika prati uzastopni prikaz niza crteža.
Koji se trokut naziva upisanim u krug ili koji se naziva opisanim u blizini trokuta (slika 1)?
Je li moguće opisati kružnicu oko proizvoljnog trokuta?
Kako pronaći središte kružnice opisane oko trokuta? (Sl.2) Koliki je polumjer? (Sl.3)
Je li uvijek moguće opisati kružnicu oko poligona? (br. Primjer: romb ako nije kvadrat. sl.4)
Je li moguće opisati kružnicu oko pravilnog mnogokuta? (Sl.5)
Formuliran je prvi dio teorema 13.3. Pretpostavlja se da se kružnica može opisati oko pravilnog poligona. Vrijedi napomenuti da će se ta činjenica kasnije dokazati.
Slično se radi i na mogućnosti upisivanja kruga u poligon. Razred ima istih 5 pitanja o kružnici upisanoj u poligon. Istodobno, po analogiji s prvim dijelom razgovora, koristi se niz crteža sličnih prethodnim.
Učitelj skreće pozornost učenicima na mogućnost upisivanja kruga u pravilan mnogokut. Formuliran je i dokazan teorem 13.3: "Pravilan konveksni mnogokut upisan je u kružnicu i opisan oko kružnice."
Dokaz teorema provodi se prema udžbeniku. Korisno je naglasiti da se središta upisane i opisane kružnice u pravilnom poligonu podudaraju i zadanu točku naziva središtem poligona.
Nakon dokazivanja teorema predlažu se sljedeći zadaci:
1. Stranica pravilnog trokuta upisana u kružnicu jednaka je a. Pronađite stranu kvadrata upisanu u ovaj krug.
Zadano: Krug (0;R),
DAVS - ispravan, upisan,
CMRE - upisani kvadrat.
DAVS - ispravan, upisan: R = KMPE - upisan kvadrat u krug (0;R).
Neka je x \u003d KM - strana kvadrata, dakle
Odgovor: KM = .
2. U kružnicu polumjera 4 dm upisan je pravilan trokut na čijoj je strani izgrađen kvadrat. Pronađite polumjer kružnice koja opisuje kvadrat.
Zadano: krug (0;R),
DAVS - ispravan, upisan,
okr. 1 (O;R 1),
ABDE - upisani kvadrat u okr. jedan
Pronađite: R 1 .
1. DAVS - ispravno, upisano:
ABDE - upisani kvadrat u okr. jedan:
Odgovor: dm.
3. Stranica pravilnog mnogokuta je a, a polumjer opisane kružnice je R. Pronađite polumjer upisane kružnice. Zadano: Env.(0;R),
A 1 A 2 ...A n - ispravan, upisan,
A 1 A 2 =a , polumjer=R,
OS je polumjer upisane kružnice.
OS 2 = OB 2 - BC 2
Odgovor: OS=.
4. Stranica pravilnog mnogokuta jednaka je a, a polumjer upisane kružnice je r. Nađi polumjer opisane kružnice.
Zadano: opseg(0;r),
A 1 A 2 ...A n - ispravno, opisano,
A 1 A 2 \u003d a, polumjer \u003d r,
Krug (0; R).
Odluka. OB je polumjer opisane kružnice.
DOSV - pravokutni (ZC = 90°)
OB 2 \u003d OS 2 + SW 2
Odgovor: R = .
Zatim se učenicima može dati sustav zadataka:
1. U pravilnom šesterokutu A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 stranica je 8. Odsječak BC povezuje sredine stranica A 3 A 4 i A 5 A b. Odredite duljinu odsječka koji povezuje središte stranice A 1 A 2 sa središtem segmenta BC.
2. Stranica pravilnog šesterokuta ABCDEF jednaka je 32. Nađite polumjer kružnice upisane u trokut MRK ako su M, P i K sredine stranica AB, CD. EF odnosno.
Izrazite stranu b pravilnog opisanog mnogokuta u smislu polumjera R kružnice i stranu a pravilnog upisanog mnogokuta s istim brojem stranica.
Perimetri dvaju pravilnih n-kuta povezani su kao a:b. Kako su povezani polumjeri njihovih upisanih i opisanih kružnica?
Koliko stranica ima pravilan mnogokut čiji je svaki unutarnji kut jednak: 1) 135; 2) 150?
Teorem 1. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog poligona.
Neka je ABCDEF (slika 419) pravilan mnogokut; potrebno je dokazati da se oko njega može opisati kružnica.
Znamo da je uvijek moguće povući kružnicu kroz tri točke koje ne leže na istoj liniji; dakle, uvijek je moguće nacrtati kružnicu koja će prolaziti kroz bilo koja tri vrha pravilnog poligona, na primjer, kroz vrhove E, D i C. Neka je točka O središte ove kružnice.
Dokažimo da će i ovaj krug proći kroz četvrti vrh poligona, na primjer, kroz vrh B.
Segmenti OE, OD i OS su međusobno jednaki, a svaki je jednak polumjeru kružnice. Nacrtajmo još jedan segment OB-a; nemoguće je odmah reći za ovaj segment da je također jednak polumjeru kružnice, to se mora dokazati. Razmotrimo trokute OED i ODC, oni su jednakokračni i jednaki, dakle, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Ako je a unutarnji kut zadani poligon je α , tada je ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2 ; ali ako je ∠4= α / 2 , tada je ∠5 = α / 2 , tj. ∠4 = ∠5.
Iz ovoga zaključujemo da je (Delta)OSD = (Delta)OSV i, prema tome, OB = OS, tj. segment OB jednak je polumjeru nacrtane kružnice. Iz ovoga slijedi da će kružnica proći i kroz vrh B pravilnog mnogokuta.
Na isti način ćemo dokazati da će konstruirana kružnica proći kroz sve ostale vrhove poligona. To znači da će ovaj krug biti opisan oko zadanog pravilnog poligona. Teorem je dokazan.
Teorem 2. Krug se može upisati u bilo koji pravilan mnogokut.
Neka je ABCDEF pravilan mnogokut (slika 420), moramo dokazati da se u njega može upisati kružnica.
Iz prethodnog teorema poznato je da se krug može opisati u blizini pravilnog mnogokuta. Neka je točka O središte ove kružnice.
Spojite točku O na vrhove poligona. Dobiveni trokuti OED, ODC itd. su međusobno jednaki, što znači da su i njihove visine povučene iz točke O jednake, tj. OK = OL = OM = ON = OP = OQ.
Stoga će kružnica opisana iz točke O kao iz središta s polumjerom jednakim segmentu OK prolaziti kroz točke K, L, M, N, P i Q, a visine trokuta bit će polumjeri trokuta krug. Stranice poligona su okomite na polumjere u tim točkama, pa su tangente na tu kružnicu. A to znači da je konstruirana kružnica upisana u zadani pravilni mnogokut.
Ista konstrukcija se može izvesti za bilo koji pravilan poligon, dakle, kružnica se može upisati u bilo koji pravilan poligon.
Posljedica. Krug opisan oko pravilnog mnogokuta i upisan u njega ima zajedničko središte.
Definicije.
1. Središte pravilnog mnogokuta zajedničko je središte kružnica opisanih oko ovog poligona i upisanih u njega.
2. Okomita koja se spušta iz središta pravilnog mnogokuta na njegovu stranu naziva se apotemom pravilnog mnogokuta.
Izraz stranica pravilnih mnogokuta u smislu polumjera opisane kružnice
Preko trigonometrijske funkcije može se izraziti stranica bilo kojeg pravilnog poligona u terminima polumjera kružnice koja je opisana oko njega.
Neka je AB strana točne n-kut upisan u kružnicu polumjera OA = R (sl.).
Apotemizirajmo OD pravilnog poligona i razmotrimo pravokutni trokut AOD. U ovom trokutu
∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n
AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;
ali AB = 2AD i stoga AB = 2R sin 180° / n .
Ispravna dužina strane n-gon upisan u krug obično se označava a n, pa se rezultirajuća formula može napisati na sljedeći način:
a n= 2R sin 180° / n .
Posljedice:
1. Duljina stranice pravilnog šesterokuta upisanog u krug polumjera R , izražava se formulom a 6=R, kao
a 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.
2. Duljina stranice pravilnog četverokuta (kvadrata) upisanog u krug polumjera R , izražava se formulom a 4 = R√2 , kao
a 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2
3. Duljina stranice jednakostraničnog trokuta upisanog u krug polumjera R , izražava se formulom a 3 = R√3 , kao.
a 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3
Površina pravilnog poligona
Neka se da ona ispravna n-gon (riža). Potrebno je odrediti njegovu površinu. Označite stranu poligona sa a a središte kroz O. Spojimo segmente središta s krajevima bilo koje strane mnogokuta, dobijemo trokut u koji crtamo apotem mnogokuta.
Površina ovog trokuta je Ah / 2. Da biste odredili površinu cijelog poligona, trebate pomnožiti površinu jednog trokuta s brojem trokuta, tj. n. Dobivamo: S = Ah / 2 n = ahn / 2 ali an jednak je opsegu poligona. Nazovimo to R.
Na kraju dobivamo: S = P h / 2. gdje je S površina pravilnog poligona, P je njegov perimetar, h- apotema.
Površina pravilnog mnogokuta jednaka je polovici umnoška njegovog perimetra i apotema.
Ostali materijali
