Neka se daju dvije točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Jednadžbu pravca zapisujemo u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:
Od točke M 2 pripada zadanoj liniji, tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (5): 
. Izražavanjem odavde i zamjenom u jednadžbu (5), dobivamo željenu jednadžbu:
Ako a 
Ova se jednadžba može prepisati u obliku koji se lakše pamti:
(6)
Primjer. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M 1 (1.2) i M 2 (-2.3)
Riješenje. 
. Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobivamo opću jednadžbu ravne linije:
Kut između dva pravca
Razmotrite dvije linije l 1 i l 2:
l 1: , , i
l 2: , ,
φ je kut između njih (). Slika 4 prikazuje: .
 |
Odavde 
, ili
Pomoću formule (7) može se odrediti jedan od kutova između pravaca. Drugi kut je.
Primjer. Dvije ravne crte dane su jednadžbama y=2x+3 i y=-3x+2. nađite kut između ovih pravaca.
Riješenje. Iz jednadžbi se vidi da je k 1 \u003d 2, a k 2 \u003d-3. zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7), nalazimo
. Dakle, kut između ovih linija je .
Uvjeti paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca
Ako je ravno l 1 i l 2 paralelni su, dakle φ=0 i tgφ=0. iz formule (7) slijedi da je , odakle k 2 \u003d k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dviju linija je jednakost njihovih nagiba.
Ako je ravno l 1 i l 2 okomito, dakle φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Dakle, uvjet da su dvije ravne crte okomite je da su njihovi nagibi recipročne veličine i suprotnog predznaka.
Udaljenost od točke do linije
Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do linije Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao
Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadani pravac. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:
Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:
Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz dana točka M 0 je okomit na dani pravac.
Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada rješavanjem dobivamo:
Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:
Teorem je dokazan.
Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.
Primjer. Pokažite da su pravci 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomiti.
Nalazimo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, dakle, linije su okomite.
Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nađite jednadžbu za visinu povučenu iz vrha C.
Nalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.
k= . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njegove koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle b = 17. Ukupno: .
Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.
Udaljenost od točke do pravca određena je duljinom okomice spuštene s točke na pravac.
Ako je pravac paralelan s ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od točke ALI na ravno h potrebno je ispustiti okomicu iz točke ALI na horizontalu h.
Razmotrite više složen primjer kada linija zauzima opći položaj. Neka je potrebno odrediti udaljenost od točke M na ravno a opći položaj.
Zadatak definicije udaljenosti između paralelnih pravaca riješeno slično prethodnom. Uzima se točka na jednom pravcu, a iz nje se povlači okomica na drugi pravac. Duljina okomice jednaka je udaljenosti između usporednih pravaca.
Krivulja drugog reda je pravac definiran jednadžbom drugog stupnja s obzirom na trenutne kartezijeve koordinate. U općem slučaju, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
gdje su A, B, C, D, E, F realni brojevi i barem jedan od brojeva A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Krug
Središte kruga- ovo je geometrijsko mjesto točaka u ravnini jednako udaljenih od točke ravnine C (a, b).
Krug je dan sljedećom jednadžbom:
Gdje su x, y koordinate proizvoljne točke na krugu, R je polumjer kruga.
Predznak jednadžbe kruga
1. Ne postoji član s x, y
2. Koeficijenti pri x 2 i y 2 su jednaki
Elipsa
Elipsa zove se geometrijsko mjesto točaka u ravnini, zbroj udaljenosti svake od njih od dvije dane točke ove ravnine naziva se žarište (konstantna vrijednost).
Kanonska jednadžba elipse:
X i y pripadaju elipsi.
a je velika poluos elipse
b je mala poluos elipse
Elipsa ima 2 osi simetrije OX i OY. Osi simetrije elipse su njene osi, a točka njihovog sjecišta je središte elipse. Os na kojoj se nalaze žarišta naziva se žarišna os. Sjecište elipse s osima je vrh elipse.
Omjer kompresije (istezanja): ε = c/a- ekscentričnost (karakterizira oblik elipse), što je manja, to je elipsa manje proširena duž žarišne osi.
Ako središta elipse nisu u središtu S(α, β)
Hiperbola
Hiperbola nazvano mjesto točaka u ravnini, apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima, od kojih je svaka od dviju danih točaka ove ravnine, zvanih žarišta, konstantna vrijednost različita od nule.
Kanonska jednadžba hiperbole
Hiperbola ima 2 osi simetrije:
a - realna poluos simetrije
b - zamišljena poluos simetrije
Asimptote hiperbole:
Parabola
parabola je geometrijsko mjesto točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke F, koja se naziva žarište, i zadanog pravca, koji se naziva direktrisa.
Kanonska jednadžba parabole:
Y 2 \u003d 2px, gdje je p udaljenost od fokusa do direktrise (parametar parabole)
Ako je vrh parabole C (α, β), tada je jednadžba parabole (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Ako se žarišna os uzme kao y-os, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 \u003d 2qy
Ovaj članak otkriva izvođenje jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu smještenom na ravnini. Izvodimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu. Vizualno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih uz pređeno gradivo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prije dobivanja jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke potrebno je obratiti pozornost na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije nepoklapajuće točke na ravnini moguće povući ravnu liniju i to samo jednu. Drugim riječima, dvije zadane točke ravnine određene su pravcem koji prolazi kroz te točke.
Ako je ravnina dana pravokutnim koordinatnim sustavom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravnini. Postoji i veza s vektorom usmjerivača pravca.Ti podaci dovoljni su da se sastavi jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke.
Razmotrite primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je sastaviti jednadžbu pravca a koji prolazi kroz dvije neusklađene točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) koje se nalaze u Kartezijevom koordinatnom sustavu.
U kanonskoj jednadžbi ravne linije na ravnini, koja ima oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , pravokutni koordinatni sustav O x y određen je ravnom linijom koja se s njim siječe u točki s koordinatama M 1 (x 1, y 1) s vektorom vodičem a → = (a x , a y) .
Potrebno je sastaviti kanonsku jednadžbu pravca a, koji će prolaziti kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) .
Pravac a ima usmjerivač M 1 M 2 → s koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), budući da siječe točke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe s koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama točaka M 1 koje leže na njima. (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) . Dobivamo jednadžbu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Razmotrite sliku u nastavku.
Nakon izračuna napišemo parametarske jednadžbe pravca u ravnini koja prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) . Dobivamo jednadžbu oblika x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ili x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Pogledajmo pobliže nekoliko primjera.
Primjer 1
Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz 2 zadane točke s koordinatama M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
Riješenje
Kanonička jednadžba za ravnu liniju koja se siječe u dvije točke s koordinatama x 1 , y 1 i x 2 , y 2 poprima oblik x-x 1 x 2-x 1 = y-y 1 y 2-y 1 . Prema uvjetu zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Potrebno je zamijeniti numeričke vrijednosti u jednadžbi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Odavde dobivamo da će kanonska jednadžba poprimiti oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Ako je potrebno riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, tada za početak možete prijeći na kanoničku, jer je iz nje lakše doći do bilo koje druge.
Primjer 2
Sastavite opću jednadžbu pravca koji prolazi točkama s koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sustavu.
Riješenje
Prvo trebate napisati kanoničku jednadžbu zadanog pravca koji prolazi kroz zadane dvije točke. Dobivamo jednadžbu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Dovedemo kanoničku jednadžbu u željeni oblik, tada dobivamo:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .
Primjeri takvih zadataka razmatrani su u školskim udžbenicima na satovima algebre. Školski zadaci razlikovali su se po tome što je bila poznata jednadžba ravne linije s koeficijentom nagiba, koja ima oblik y \u003d k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broj b, pri kojem jednadžba y \u003d k x + b definira liniju u O x y sustavu koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2 . Kada je x 1 = x 2 , tada nagib poprima vrijednost beskonačnosti, a pravac M 1 M 2 definiran je općom nepotpunom jednadžbom oblika x - x 1 = 0 .
Jer točkice M 1 i M 2 nalaze se na ravnoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednadžbu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sustav jednadžbi y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b u odnosu na k i b.
Da bismo to učinili, nalazimo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
S takvim vrijednostima k i b, jednadžba ravne linije koja prolazi kroz zadane dvije točke uzima sljedeći pogled y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Pamćenje tako velikog broja formula odjednom neće uspjeti. Za to je potrebno povećati broj ponavljanja u rješavanju zadataka.
Primjer 3
Napišite jednadžbu pravca s nagibom koji prolazi kroz točke s koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.
Riješenje
Da bismo riješili problem, koristimo formulu s nagibom koji ima oblik y \u003d k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednadžba odgovara pravcu koji prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (- 7 , - 5) i M 2 (2 , 1) .
bodova M 1 i M 2 smještene na ravnoj crti, tada bi njihove koordinate trebale preokrenuti jednadžbu y = k x + b točnu jednakost. Odavde dobivamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Spojimo jednadžbu u sustav - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.
Zamjenom dobivamo to
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Sada su vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamijenjene u jednadžbu y = k x + b . Dobivamo da će željena jednadžba koja prolazi kroz zadane točke biti jednadžba koja ima oblik y = 2 3 x - 1 3 .
Ovakav način rješavanja predodređuje potrošnju veliki broj vrijeme. Postoji način na koji se zadatak rješava doslovno u dva koraka.
Napišimo kanonsku jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5) , koja ima oblik x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Sada prijeđimo na jednadžbu nagiba. Dobivamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .
Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravokutni koordinatni sustav O x y z s dvije zadane nepoklapajuće točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), ravna linija M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednadžbu ove linije.
Imamo da su kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednadžbe x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sposobni postaviti pravac u O x y z koordinatnom sustavu koji prolazi kroz točke s koordinatama (x 1, y 1, z 1) s vektorom koji usmjerava a → = (a x, a y, a z) .
Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , gdje pravac prolazi točkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat, parametarski x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Razmotrimo sliku koja prikazuje 2 zadane točke u prostoru i jednadžbu pravca.
Primjer 4
Napišite jednadžbu pravca definiranog u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z trodimenzionalnog prostora, koji prolazi kroz zadane dvije točke s koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5). ) .
Riješenje
Moramo pronaći kanoničku jednadžbu. Budući da govorimo o trodimenzionalnom prostoru, to znači da kada pravac prolazi kroz zadane točke, željena kanonička jednadžba će poprimiti oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Prema uvjetu, imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Slijedi da se potrebne jednadžbe mogu napisati na sljedeći način:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Neka se daju dvije točke M(x 1 ,Na 1) i N(x 2,g 2). Nađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz te točke.
Budući da ovaj pravac prolazi točkom M, tada prema formuli (1.13) njezina jednadžba ima oblik
Na – Y 1 = K(X-x 1),
Gdje K je nepoznati nagib.
Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uvjeta da kroz točku prolazi željena pravac N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(x 2 – x 1),
Odavde možete pronaći nagib ove linije:
,
Ili nakon obraćenja
(1.14)
Formula (1.14) definira Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke M(x 1, Y 1) i N(x 2, Y 2).
U posebnom slučaju kada točke M(A, 0), N(0, B), ALI ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnim osima, jednadžba (1.14) ima jednostavniji oblik
Jednadžba (1.15) nazvao Jednadžba pravca u segmentima, ovdje ALI i B označavaju segmente odsječene ravnom linijom na osi (slika 1.6).
Slika 1.6
Primjer 1.10. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M(1, 2) i B(3, –1).
. Prema (1.14) jednadžba željenog pravca ima oblik
2(Y – 2) = -3(x – 1).
Prebacujući sve članove na lijevu stranu, konačno dobivamo željenu jednadžbu
3x + 2Y – 7 = 0.
Primjer 1.11. Napiši jednadžbu za pravac koji prolazi točkom M(2, 1) i točku sjecišta pravaca x+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Koordinate točke presjeka pravaca nalazimo zajedničkim rješavanjem ovih jednadžbi
Ako ove jednadžbe zbrojimo član po član, dobit ćemo 2 x+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednadžbu, nalazimo vrijednost ordinate Na:
Napišimo sada jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke (2, 1) i :
ili .
Stoga ili -5( Y – 1) = x – 2.
Na kraju dobijemo jednadžbu tražene ravne linije u obliku x + 5Y – 7 = 0.
Primjer 1.12. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M(2.1) i N(2,3).
Pomoću formule (1.14) dobivamo jednadžbu
To nema smisla jer je drugi nazivnik nula. Iz uvjeta zadatka je vidljivo da apscise obiju točaka imaju istu vrijednost. Dakle, tražena linija je paralelna s osi OY a njegova jednadžba je: x = 2.
Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe ravne linije prema formuli (1.14) jedan od nazivnika pokaže jednak nuli, tada se željena jednadžba može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika s nulom.
Razmotrimo druge načine postavljanja ravne linije na ravninu.
1. Neka je vektor različit od nule okomit na zadani pravac L, i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj liniji (slika 1.7).
Slika 1.7
Označiti M(x, Y) proizvoljna točka na pravcu L. Vektori i 
Ortogonalno. Koristeći uvjete ortogonalnosti za ove vektore, dobivamo ili ALI(x – x 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Dobili smo jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 0 je okomit na vektor . Ovaj vektor se zove Normalni vektor na ravnu liniju L. Rezultirajuća jednadžba može se prepisati kao
Oh + Wu + IZ= 0, gdje je IZ = –(ALIx 0 + Po 0), (1.16),
Gdje ALI i NA su koordinate vektora normale.
Dobivamo opću jednadžbu pravca u parametarskom obliku.
2. Pravac na ravnini može se definirati na sljedeći način: neka je vektor različit od nule paralelan s danim pravcem L i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj liniji. Ponovno uzmite proizvoljnu točku M(x, y) na ravnoj liniji (slika 1.8).
Slika 1.8
Vektori i 
kolinearni.
Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje je T je proizvoljan broj, koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:
Ove se jednadžbe nazivaju Parametarske jednadžbe Ravno. Isključimo iz ovih jednadžbi parametar T:
Ove se jednadžbe mogu napisati u obliku
. (1.18)
Dobivena jednadžba naziva se Kanonska jednadžba pravca. Vektorski poziv Vektor smjera ravno .
Komentar . Lako je vidjeti da je if vektor normale na pravac L, tada njegov vektor smjera može biti vektor , jer , tj.
Primjer 1.13. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 0(1, 1) paralelno s pravcem 3 x + 2Na– 8 = 0.
Riješenje . Vektor je vektor normale na zadani i željeni pravac. Upotrijebimo jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 0 sa zadanim vektorom normale 3( x –1) + 2(Na– 1) = 0 ili 3 x + 2g- 5 \u003d 0. Dobili smo jednadžbu željene ravne linije.
Svojstva pravca u euklidskoj geometriji.
Postoji beskonačno mnogo pravaca koji se mogu povući kroz bilo koju točku.
Kroz bilo koje dvije točke koje se ne poklapaju vodi samo jedan pravac.
Dvije nepoklapajuće crte u ravnini se sijeku u jednoj točki ili se
paralelno (slijedi iz prethodnog).
NA trodimenzionalni prostor Postoje tri opcije za relativni položaj dviju linija:
- linije se sijeku;
- ravne linije su paralelne;
- ravne linije se sijeku.
Ravno crta- algebarska krivulja prvog reda: u kartezijevom koordinatnom sustavu pravac
dana je na ravnini jednadžbom prvog stupnja (linearna jednadžba).
Opća jednadžba pravca.
Definicija. Bilo koji pravac u ravnini može se dati jednadžbom prvog reda
Ah + Wu + C = 0,
i konstantan A, B nije u isto vrijeme jednaka nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se Općenito
jednadžba ravne linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i IZ Mogući su sljedeći posebni slučajevi:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- pravac prolazi kroz ishodište
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- ravna linija paralelna s osi Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna linija paralelna s osi OU
. B = C = 0, A ≠ 0- linija se podudara s osi OU
. A = C = 0, B ≠ 0- linija se podudara s osi Oh
Jednadžba ravne linije može se prikazati u razne forme ovisno o bilo kojoj danosti
početni uvjeti.
Jednadžba pravca s točkom i normalnim vektorom.
Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B)
okomito na pravac zadan jednadžbom
Ah + Wu + C = 0.
Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).
Riješenje. Sastavimo na A \u003d 3 i B \u003d -1 jednadžbu ravne linije: 3x - y + C \u003d 0. Da bismo pronašli koeficijent C
u dobiveni izraz zamijenimo koordinate zadane točke A. Dobivamo: 3 - 2 + C = 0, dakle
C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.
Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M2 (x 2, y 2, z 2), zatim jednadžba ravne linije,
prolazeći kroz ove točke:
Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu. Na
ravnine, gore napisana jednadžba ravne linije je pojednostavljena:
ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .
Frakcija = k nazvao faktor nagiba ravno.
Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkama A(1, 2) i B(3, 4).
Riješenje. Primjenom gornje formule dobivamo:
Jednadžba pravca s točkom i kosom.
Ako opća jednadžba pravca Ah + Wu + C = 0 dovesti do forme:
i odrediti 
, tada se rezultirajuća jednadžba naziva
jednadžba pravca s nagibom k.
Jednadžba pravca u točki i usmjeravajućeg vektora.
Analogno s točkom koja razmatra jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti zadatak
pravac kroz točku i vektor smjera pravca.
Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uvjet
Aα 1 + Bα 2 = 0 nazvao vektor smjera pravca.
Ah + Wu + C = 0.
Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) koji prolazi točkom A(1, 2).
Riješenje. Jednadžbu tražene ravne linije ćemo tražiti u obliku: Ax + By + C = 0. Prema definiciji,
koeficijenti moraju zadovoljiti uvjete:
1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.
Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.
na x=1, y=2 dobivamo C/A = -3, tj. željena jednadžba:
x + y - 3 = 0
Jednadžba pravca u segmentima.
Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada, dijeljenjem s -C, dobivamo:
ili, gdje
Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata presječne točke
ravno s osovinom Oh, a b- koordinata sjecišta pravca s osi OU.
Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x - y + 1 = 0. Pronađite jednadžbu ove ravne linije u segmentima.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Normalna jednadžba pravca.
Ako obje strane jednadžbe Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem 
, koji se zove
faktor normalizacije, onda dobivamo
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednadžba ravne linije.
Predznak ± normalizirajućeg faktora mora biti odabran tako da μ * C< 0.
R- duljina okomice spuštene iz ishodišta na pravac,
a φ - kut koji čini ova okomica s pozitivnim smjerom osi Oh.
Primjer. S obzirom na opću jednadžbu pravca 12x - 5y - 65 = 0. Obavezan za pisanje različiti tipovi jednadžbe
ovu ravnu liniju.
Jednadžba ove ravne linije u segmentima:
Jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)
Jednadžba pravca:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Treba napomenuti da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije,
paralelno s osi ili prolazeći kroz ishodište.
Kut između pravaca na ravnini.
Definicija. Ako su zadane dvije crte y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, onda oštar kut između ovih redaka
definirat će se kao
Dva pravca su paralelna ako k 1 = k 2. Dvije linije su okomite
ako k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Direktno Ah + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ako također S 1 \u003d λS, onda se linije podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju linija
nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi ovih pravaca.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku je okomita na zadani pravac.
Definicija. Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) a okomito na pravac y = kx + b
predstavljena jednadžbom:
Udaljenost od točke do pravca.
Teorema. Ako se da bod M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:
Dokaz. Neka točka M 1 (x 1, y 1)- osnovica okomice spuštene s točke M za dano
direktno. Zatim udaljenost između točaka M i M 1:
(1)
Koordinate x 1 i 1 može se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:
Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M 0 okomito
dana linija. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada rješavanjem dobivamo:
Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:
Teorem je dokazan.
Neka pravac prolazi kroz točke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba ravne linije koja prolazi kroz točku M 1 ima oblik y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)
gdje k - još nepoznati koeficijent.
Budući da pravac prolazi kroz točku M 2 (x 2 y 2), tada koordinate ove točke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k
u jednadžbu (10.6), dobivamo jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M 1 i M 2: 
Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ako je x 1 \u003d x 2, tada je ravna linija koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna s osi y. Njegova jednadžba je x = x 1 .
Ako je y 2 \u003d y I, tada se jednadžba ravne linije može napisati kao y \u003d y 1, ravna linija M 1 M 2 je paralelna s x-osi.
Jednadžba pravca u segmentima
Neka pravac siječe os Ox u točki M 1 (a; 0), a os Oy - u točki M 2 (0; b). Jednadžba će imati oblik: 
oni. 
. Ova se jednadžba zove jednadžba ravne linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente pravac odsijeca na koordinatnim osima.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor
Nađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku Mo (x O; y o) okomito na zadani vektor n = (A; B) različit od nule.
Uzmimo proizvoljnu točku M(x; y) na ravnoj liniji i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Budući da su vektori n i M o M okomiti, njihov je skalarni produkt jednak nuli: tj.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Jednadžba (10.8) naziva se jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor .
Vektor n = (A; B) okomit na pravac nazivamo normalom vektor normale ove linije .
Jednadžba (10.8) može se prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
gdje su A i B koordinate normalnog vektora, C \u003d -Ax o - Vu o - slobodni član. Jednadžba (10.9) je opća jednadžba ravne linije(vidi sliku 2).
sl.1 sl.2
Kanonske jednadžbe pravca
,
Gdje 
su koordinate točke kroz koju pravac prolazi, i 
- vektor smjera.
Krivulje drugog reda Krug
Kružnica je skup svih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od dane točke koja se naziva središte.
Kanonska jednadžba kruga radijusa
R usredotočen na točku 
:
Konkretno, ako se središte uloga podudara s ishodištem, tada će jednadžba izgledati ovako: 
Elipsa
Elipsa je skup točaka u ravnini, zbroj udaljenosti svake od njih do dvije zadane točke
i 
, koji se nazivaju žarišta, konstantna je vrijednost 
, veća od udaljenosti između žarišta 
.
Kanonska jednadžba elipse čiji fokusi leže na Ox osi i čije je ishodište u sredini između fokusa ima oblik 
G 
de a duljina velike poluosi; b je duljina male poluosi (slika 2).
