Prilikom konstruiranja točke prema zadanim koordinatama, treba imati na umu da, u skladu s pravilima crtanja, mjerilo duž osi Oh smanjuje se u 2 puta u odnosu na ljestvicu duž osi OU i Oz.
1. Izgradite točke: A(2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; z A = 3
a) obično prije svega grade projekciju točke na ravninu Ohu. Označite točke x A =2 i y A=1 i kroz njih povuci ravne linije paralelne s osi Oh i OU. Točka njihova sjecišta ima koordinate (2;1; 0) točka izgrađena A 1 (2; 1; 0.)
A(2; 1; 3)
0
y A=1
x A =2 na
A 1 (2; 1; 0) 0 y A=1na
x x A \u003d 2 A 1 (2; 1; 0)
x
b) dalje od točke A 1 (2; 1; 0) vratiti okomito na ravninu Ohu (nacrtajte liniju paralelnu s osi Oz ) i na njega položi segment jednak tri: z A = 3.
2. Izgradite točke: B(3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1
z
y B = - 2
B(3; -2; 1) O na
B 1 (3;-2) x B \u003d 3
x
3. Izgradite točku C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)
X A \u003d -2; Y A = 1; Z A = 3
x C \u003d - 2 C 1 (-2; 1; 0)
y A =1 y
4.Dan kocka. A ... D 1, čiji je rub 1 . Porijeklo je isto kao i točka NA, rebra VA, ned i BB 1 podudaraju s pozitivnim zrakama koordinatnih osi. Imenujte koordinate svih ostalih vrhova kocke. Izračunaj dijagonalu kocke.
z
AB = BC = BB 1 BD 1 = =
B1 (0; 0; 1) C1 (0; 1; 1) = =
A 1 (1; 0; 1) D 1 (1; 1; 1)
V(0;0;0) S(0;1;0)
A(1;0;0) D(1;1;0)
5. Zacrtajte točke A(1;1;-1) i B(1; -1; 1). Presijeca li segment koordinatnu os? koordinatna ravnina? Prolazi li segment pravca kroz ishodište? Pronađite koordinate točaka sjecišta, ako ih ima. z Točke leže u ravnini okomitoj na os Oh.
Segment siječe os Oh
i avion hoy
u točki
B(1; -1; 1) 
0(0;0;0)
S(1;0;0)
A(1;1;-1)
6. Pronađite udaljenost između dvije točke: A(1;2;3) i B(-1;1;1).
a)AB = = = =3
b)S(3;4;0) i D(3;-1;2).
CD = = =
U prostoru, za određivanje koordinata sredine segmenta, uvodi se treća koordinata.
B (x B; y B; z B)
S( ; ; )
A(x A; y A; z A)
7. Pronađite koordinate S sredine segmenata: a)AB, ako A(3; - 2; - 7), B(11; - 8; 5),
x M = = 7; y M = = - 5; z M = = - 1; C(7; - 5; - 1)
8. Koordinate točaka A(x; y; z). Napiši koordinate točaka koje su simetrične zadanoj u odnosu na:
a) koordinatne ravnine
b) koordinatne linije
u) podrijetlo
a) Ako točka A 1
simetrično zadanoj u odnosu na koordinatnu ravninu Ho,
onda razlika u
koordinate točaka bit će samo u znaku koordinate z: A1 (x; y; -z).
točka A 2 Ohz, zatim A2 (x; -y; z).
točka A 3 simetrično zadanoj u odnosu na ravninu ouz, zatim A 2 (-x; y; z).
b) Ako točka A 4
simetrično zadanoj s obzirom na koordinatni pravac Oh,
onda razlika u
koordinate točaka bit će samo u znakovima koordinata na
i z: A4 (x; -y; -z).
točka A 5 OU, zatim A 5 (-x; y; -z).
točka A 6 simetrično datoj u odnosu na ravnu liniju Oz, zatim A 6 (-x; -y; z).
u) Ako točka A 7 je simetričan zadanom s obzirom na ishodište, dakle A 6 (-x; -y; -z).
KONVERZIJA KOORDINATA
Prijelaz iz jednog koordinatnog sustava u drugi naziva se transformacija koordinatnog sustava.
razmotrit ćemo dva slučaja konverzije koordinatni sustavi, te izvesti formule za ovisnost između koordinata proizvoljne točke ravnine u različitim sustavima koordinate. (Tehnika transformacije koordinatnog sustava slična je transformaciji grafova).
1.Paralelni prijenos. U tom se slučaju mijenja položaj ishodišta koordinata, a smjer osi i mjerilo ostaju nepromijenjeni.
Ako ishodište koordinata ide u točku 0 1 s koordinatama 0 1 (x 0; y 0), onda za točku M(x; y) odnos između koordinata sustava x0y i x 0 0y 0 izraženo formulama:
x \u003d x 0 + x "
y = y 0 + y"
Rezultirajuće formule omogućuju nam da pronađemo stare koordinate od poznatih novih. X" i na" i obrnuto.
y M(x; y) M(x"; y")
0 1 (x 0; y 0), x "
x 0 x"
2.Rotacija koordinatnih osi. U tom su slučaju obje osi zakrenute za isti kut, dok ishodište i mjerilo ostaju nepromijenjeni.
M(x; y)
y 1 x 1
Koordinate točke M u starom sustavu M(x; y) i M(x"; y") - u novom. Tada je polarni radijus u oba sustava isti, a polarni kutovi su redom jednaki + i , gdje - polarni kut u novi sustav koordinate.
Prema formulama za prijelaz iz polarnih u pravokutne koordinate imamo:
x = rcos( + ) x = rcos cos - rsin grijeh
y = rsin( + ) y = rcos grijeh + rsin cos
Ali rcos = x" i rsin = y", Zato
x \u003d x " cos - y "grijeh
y \u003d x "grijeh + y" cos
Odgovorite pismeno na sljedeća pitanja:
- Što je pravokutni koordinatni sustav u ravnini? u svemiru?
- Što je aplikativna os? Ordinat? Apscisa?
- Koja je oznaka jediničnih vektora na koordinatnim osi?
- Što je ort?
- Kako se izračunava duljina segmenta dana koordinatama njegovih krajeva u pravokutnom koordinatnom sustavu?
- Kako se izračunavaju koordinate sredine segmenta dane koordinatama njegovih krajeva?
- Što je polarni koordinatni sustav?
- Kakav je odnos između koordinata točke u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu?
Dovrši zadatke:
1. Koliko je točka udaljena od koordinatnih ravnina A(1; -2; 3)
2. Koliko je daleko stvar A(1; -2; 3) od koordinatnih linija a)OU; b) OU; u)Oz;
3. Koji uvjet zadovoljavaju koordinate točaka u prostoru koje su jednako udaljene:
a) iz dvije koordinatne ravnine Ohu i Ouz; AB
b) iz sve tri koordinatne ravnine
4. Pronađite koordinate točke M sredini segmenta AB, A(-2; -4; 1); B(0; -1; 2) i imenuj točku simetričnu točki M, relativno a) sjekire Oh
b) sjekire OU
u) sjekire Oz.
5. S obzirom na bod B(4; - 3; - 4). Nađi koordinate baza okomica ispuštenih iz točke na koordinatnoj osi i koordinatnoj ravnini.
6.Na osovini OU pronaći točku jednako udaljenu od dvije točke A(1; 2; - 1) i B(-2; 3; 1).
7. Ravno Ohz pronaći točku jednako udaljenu od tri točke A(2; 1; 0); B(-1; 2; 3) i C(0;3;1).
8. Nađi duljine stranica trokuta ABC i njegovo područje , ako je vrh koordinata : A (-2; 0; 1), B (8; - 4; 9), C (-1; 2; 3).
9. Pronađite koordinate projekcija točaka A(2; -3; 5); U (3;-5; ); SA(- ; - ; - ).
10. Daju se bodovi A(1; -1; 0) i B(-3; - 1; 2). Izračunajte udaljenost od ishodišta do zadanih točaka.
VEKTORI U PROSTORU. OSNOVNI KONCEPTI
Sve veličine koje se obrađuju u fizici, tehnici, svakodnevnom životu dijele se u dvije skupine. Prvi se u potpunosti karakteriziraju svojom brojčanom vrijednošću: temperatura, duljina, masa, površina, rad. Takve količine se nazivaju skalarni.
Druge veličine kao što su sila, brzina, pomak, ubrzanje itd. određena ne samo njihovom brojčanom vrijednošću, već i smjerom. Te se količine nazivaju vektor, ili vektora. Vektorska veličina je geometrijski predstavljena kao vektor.
Vektor-ovo je usmjereni ravni segment, t.j. segment koji ima
određene duljine i smjera.
Konstruirajte tragove ravnine zadane s ∆BCD i odredite udaljenost od točke A do zadane ravnine metodom pravokutni trokut (koordinate točaka A, B, C i D vidi tablicu 1 odjeljka Zadaci);
1.2. Primjer ispunjavanja zadatka broj 1
Prvi zadatak je skup zadataka na teme:
1. Ortografska projekcija, Mongeov zaplet, točka, pravac, ravnina: po poznatim koordinatama tri točke B, C, D konstruirati horizontalnu i frontalnu projekciju ravnine zadane s ∆ BCD;
2. Tragovi ravne, tragovi ravnine, svojstva pripadnosti ravnoj ravnini: izgraditi tragove ravnine zadane s ∆ BCD;
3. Opće i posebne ravnine, presjek pravca i ravnine, okomitost pravca i ravnine, presjek ravnina, metoda pravokutnog trokuta: odrediti udaljenost od točke ALI na ravninu ∆ BCD.
1.2.1. Poznate koordinate tri točke B, C, D konstruirati horizontalnu i frontalnu projekciju ravnine zadane s ∆ BCD(slika 1.1), za koje je potrebno izgraditi horizontalne i frontalne projekcije vrhova ∆ BCD, a zatim spojite projekcije istoimenih vrhova.
Poznato je da ravnina traga naziva se ravna linija dobivena kao rezultat presjeka zadane ravnine s ravninom projekcija .
Blizu aviona opći položaj 3 pjesme: horizontalno, frontalno i profilno.
Da bi se konstruirali tragovi ravnine, dovoljno je konstruirati tragove (horizontalne i frontalne) bilo koje dvije linije koje leže u ovoj ravnini i međusobno ih povezati. Dakle, trag ravnine (horizontalni ili frontalni) bit će jednoznačno određen, budući da je kroz dvije točke na ravnini (u ovom slučaju to će biti tragovi pravaca) moguće povući ravnu liniju, i štoviše, samo jedan.
Osnova za ovu konstrukciju je svojstvo pripadnosti ravnoj ravnini: ako pravac pripada danoj ravnini, tada njeni tragovi leže na tragovima istog imena ove ravni .
Trag ravne je točka presjeka ove ravne s ravninom projekcija .
Horizontalni trag ravne linije leži u horizontalnoj ravnini projekcija, frontalni trag leži u frontalnoj ravnini projekcija.
Razmotrite konstrukciju horizontalni kolosijek ravno D.B. za koje trebate:
1. Nastavite s frontalnom projekcijom ravno D.B. do sjecišta s osi x, sjecište M 2 je frontalna projekcija vodoravnog traga;
2. Iz točke M 2 vratiti okomicu (linija projekcijske veze) na njezin presjek s horizontalnom projekcijom ravne crte D.B. M 1 i bit će horizontalna projekcija horizontalnog traga (slika 1.1), koja se poklapa sa samim tragom M.
Slično, konstrukcija horizontalnog traga segmenta SW ravno: točka M'.
Graditi frontalni otisak stopala segment CB izravno, trebate:
1. Nastavite vodoravnu projekciju ravne crte CB do sjecišta s osi x, sjecište N 1 je horizontalna projekcija frontalnog traga;
2. Iz točke N 1 vrati okomicu (projektivnu vezu) sve dok se ne siječe s frontalnom projekcijom ravne linije CB ili njegov nastavak. Točka raskrižja N 2 i bit će frontalna projekcija frontalnog traga, koja se poklapa sa samim tragom N.
Povezivanjem točkica M′ 1 i M1 pravocrtni odsječak, dobivamo horizontalni trag ravnine απ 1 . Točka α x presjeka απ 1 s osi x pozvao točka nestajanja . Za konstruiranje frontalnog traga ravnine απ 2 potrebno je spojiti frontalni trag N 2 s točkom nestajanja traga α x
Slika 1.1 - Konstrukcija ravninskih tragova
Algoritam za rješavanje ovog problema može se predstaviti na sljedeći način:
- (D 2 B 2 ∩ VOL) = M 2 ;
- (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
- (C 2 B 2 ∩ VOL) = M′ 2 ;
- (M′ 2 M′ 1 ∩ C 1 B 1) = M′ 1 = M′;
- (CB∩ π 2) = N 2 = N;
- (MM′) ≡ απ 1 ;
- (α x N) ≡ απ 2 .
1.2.2. Da biste riješili drugi dio prvog zadatka, morate znati da:
- udaljenost od točke ALI na ravninu ∆ BCD određena je duljinom okomice vraćene od ove točke do ravnine;
- bilo koji pravac je okomit na ravninu ako je okomit na dva pravca koja se sijeku koja leže u ovoj ravnini;
- na dijagramu su projekcije ravne okomite na ravninu okomite na kose projekcije horizontale i fronte ove ravnine ili na tragove istoimene ravnine (slika 1.2) (vidi Teorem o okomici do aviona na predavanjima).
Za pronalaženje osnovice okomice potrebno je riješiti problem presjeka prave (u ovom zadatku takva je ravna okomica na ravninu) s ravninom:
1. Okomicu zatvoriti u pomoćnu ravninu, koju treba uzeti kao privatnu ravninu (horizontalno izbočena ili frontalno izbočena, u primjeru, horizontalno izbočena γ uzeta je kao pomoćna ravnina, odnosno okomito na π 1, njegov horizontalni trag γ 1 podudara se s horizontalnom projekcijom okomice);
2. Nađite presječnicu zadane ravnine ∆ BCD s pomoćnim γ ( MN na sl. 1.2);
3. Nađi točku presjeka pravca presjeka ravnina MN s okomicom (točkom Do na sl. 1.2).
4. Odrediti pravu vrijednost udaljenosti od točke ALI do zadane ravnine ∆ BCD treba iskoristiti metoda pravokutnog trokuta: prava vrijednost odsječka je hipotenuza pravokutnog trokuta čiji je jedan krak jedna od projekcija segmenta, a drugi razlika udaljenosti od njegovih krajeva do ravnine projekcije u kojoj se konstrukcija nosi van.
5. Odredite vidljivost okomitih segmenata metodom konkurentnih točaka. Na primjer, točkice N i 3 odrediti vidljivost na π 1 , točke 4 , 5 — odrediti vidljivost na π 2 .
Slika 1.2 - Konstrukcija okomice na ravninu
Slika 1.3 - Primjer registracije kontrolnog zadatka br.1
Video primjer izvršavanja zadatka br.1
1.3. Opcije posla 1
| Opcija | Koordinate (x, y, z) točaka | |||
|---|---|---|---|---|
| ALI | NA | S | D | |
| 1 | 15; 55; 50 | 10; 35; 5 | 20; 10; 30 | 70; 50; 40 |
| 2 | 80; 65; 50 | 50; 10; 55 | 10; 50; 25 | 75; 25; 0 |
| 3 | 95; 45; 60 | 130; 40; 50 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 4 | 115; 10; 0 | 130; 40; 40 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 5 | 55; 5; 60 | 85; 45; 60 | 100; 5; 30 | 50; 25; 10 |
| 6 | 55; 5; 60 | 70; 40; 20 | 30; 30; 35 | 30; 10; 10 |
| 7 | 60; 10; 45 | 80; 45; 5 | 35; 0; 15 | 10; 0; 45 |
| 8 | 5; 0; 0 | 35; 0; 25 | 20; 0; 55 | 40; 40; 0 |
| 9 | 50; 5; 45 | 65; 30; 10 | 30; 25; 55 | 20; 0; 20 |
| 10 | 60; 50; 35 | 40; 30; 0 | 30; 15; 30 | 80; 5; 20 |
| 11 | 65; 35; 15 | 50; 0; 30 | 20; 25; 25 | 5; 0; 10 |
| 12 | 75; 65; 50 | 45; 10; 35 | 60; 20; 10 | 10; 65; 0 |
| 13 | 95; 0; 15 | 85; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 14 | 45; 40; 40 | 80; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 15 | 80; 20; 30 | 55; 30; 60 | 15; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 16 | 75; 35; 35 | 55; 30; 60 | 25; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 17 | 75; 65; 50 | 45; 5; 55 | 5; 45; 10 | 70; 20; 0 |
| 18 | 65; 15; 20 | 40; 5; 60 | 0; 5; 25 | 60; 60; 20 |
| 19 | 70; 20; 10 | 45; 15; 60 | 5; 10; 20 | 60; 65; 10 |
| 20 | 20; 50; 45 | 10; 20; 10 | 55; 50; 10 | 80; 0; 60 |
| 21 | 0; 5; 50 | 50; 50; 40 | 5; 55; 10 | 45; 5; 0 |
| 22 | 55; 50; 65 | 45; 55; 5 | 0; 10; 45 | 70; 0; 40 |
| 23 | 65; 5; 15 | 40; 60; 10 | 0; 20; 5 | 60; 20; 60 |
| 24 | 50; 20; 45 | 45; 60; 30 | 5; 20; 10 | 60; 30; 5 |
| 25 | 55; 15; 40 | 40; 50; 25 | 5; 15; 10 | 50; 40; 10 |
| 26 | 15; 45; 40 | 10; 25; 5 | 20; 10; 30 | 65; 40; 35 |
| 27 | 70; 30; 30 | 55; 30; 60 | 20; 5; 15 | 65; 60; 25 |
| 28 | 90; 0; 15 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 50; 10; 45 |
| 29 | 110; 10; 0 | 120; 35; 30 | 35; 5; 20 | 70; 20; 5 |
| 30 | 45; 40; 40 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 40 |
|
Oblik riječi |
Grafički oblik |
|
1. Odvojite na osi X, Y, Ζ odgovarajuće koordinate točke A. Dobivamo točke A x , A y , A z | |
|
2. Horizontalna projekcija A 1 nalazi se na sjecištu komunikacijskih linija iz točaka A x i A y povučenih paralelno s osi X i Y |
|
|
3. Frontalna projekcija A 2 nalazi se na sjecištu komunikacijskih linija iz točaka A x i A z, povučenih paralelno s osovinama X i z |
|
|
4. Profilna projekcija A 3 nalazi se na sjecištu komunikacijskih linija iz točaka A z i A y povučenih paralelno s osovinama Ζ i Y |
|
3.2. Položaj točke u odnosu na ravnine projekcije
Položaj točke u prostoru u odnosu na projekcijske ravnine određen je njezinim koordinatama. Koordinata X određuje udaljenost točke od ravnine P 3 (projekcija na P 2 ili P 1), koordinata Y - udaljenost od ravnine P 2 (projekcija na P 3 ili P 1), koordinata Z - na udaljenost od ravnine P 1 (projekcija na P 3 ili P 2). Ovisno o vrijednosti tih koordinata, točka može zauzimati i opći i poseban položaj u prostoru u odnosu na ravnine projekcije (slika 3.1).
Riža. 3.1. Točkovna klasifikacija
TbodovaOpćenitoodredbe. Koordinate točke u općem položaju nisu jednake nuli ( x≠0, y≠0, z≠0 ), a ovisno o predznaku koordinate, točka se može smjestiti u jedan od osam oktanata (tablica 2.1).
Na sl. 3.2 dani su crteži točaka u općem položaju. Analiza njihovih slika omogućuje nam da zaključimo da se nalaze u sljedećim oktantima prostora: A(+X;+Y; +Z( Ioktant;B(+X;+Y;-Z( IVoktant;C(-X;+Y; +Z( Voktant;D(+X;+Y; +Z( IIoktant.
Privatne pozicije. Jedna od koordinata određene točke položaja jednaka je nuli, pa projekcija točke leži na odgovarajućem projekcijskom polju, a druge dvije leže na osi projekcije. Na sl. 3.3 takve točke su točke A, B, C, D, G.A P 3, zatim točka X A \u003d 0; NA P 3, zatim točka X B \u003d 0; S P 2, zatim točka Y C \u003d 0; D P 1, zatim točka Z D \u003d 0.
Točka može pripadati dvjema projekcijskim ravninama odjednom, ako leži na liniji presjeka ovih ravnina - osi projekcije. Za takve točke samo koordinata na ovoj osi nije jednaka nuli. Na sl. 3.3, takva točka je točka G(G OZ, tada točka X G =0, Y G =0).
3.3. Međusobni položaj točaka u prostoru
Razmotrimo tri mogućnosti međusobnog rasporeda točaka ovisno o omjeru koordinata koje određuju njihov položaj u prostoru.
Na sl. 3.4 točke A i B imaju različite koordinate.
Njihov se relativni položaj može procijeniti po udaljenosti do ravnina projekcije: Y A > Y B, tada je točka A smještena dalje od ravnine P 2 i bliže promatraču od točke B; Z A >Z B, tada se točka A nalazi dalje od ravnine P 1 i bliže promatraču od točke B; X A Na sl. 3.5 prikazane su točke A, B, C, D u kojima je jedna od koordinata ista, a druge dvije različite. Njihov relativni položaj može se procijeniti njihovom udaljenosti do ravnina projekcije na sljedeći način: Y A \u003d Y B \u003d Y D, tada su točke A, B i D jednako udaljene od ravnine P 2, a njihove horizontalne i profilne projekcije nalaze se na linijama [A 1 B 1 ]llOX i [A 3 B 3 ]llOZ . Mjesto takvih točaka je ravnina paralelna s P 2 ; Z A \u003d Z B \u003d Z C, tada su točke A, B i C jednako udaljene od ravnine P 1, a njihove frontalne i profilne projekcije nalaze se redom na linijama [A 2 B 2 ]llOX i [A 3 C 3 ]llOY . Mjesto takvih točaka je ravnina paralelna s P 1 ; X A \u003d X C \u003d X D, tada su točke A, C i D jednako udaljene od ravnine P 3, a njihove horizontalne i frontalne projekcije nalaze se na linijama [A 1 C 1 ]llOY i [A 2 D 2 ]llOZ . Mjesto takvih točaka je ravnina paralelna s P 3 . 3. Ako točke imaju dvije koordinate istog imena, tada se nazivaju natječući se. Konkurentske točke nalaze se na istoj liniji projiciranja. Na sl. 3.3 dana su tri para takvih točaka, u kojima su: X A \u003d X D; Y A = Y D ; Z D > Z A; X A = X C ; Z A = Z C ; Y C > Y A ; Y A = Y B ; Z A = Z B ; X B > X A . Postoje horizontalno konkurentne točke A i D smještene na vodoravno izbačenoj liniji AD, frontalno konkurentne točke A i C smještene na frontalno izbačenoj liniji AC, profilne konkurentske točke A i B smještene na liniji koja strši profil AB. Zaključci o temi 1. Točka je linearna geometrijska slika, jedan od osnovnih pojmova deskriptivne geometrije. Položaj točke u prostoru može se odrediti njezinim koordinatama. Svaku od tri projekcije točke karakteriziraju dvije koordinate, njihov naziv odgovara nazivima osi koje tvore odgovarajuću ravninu projekcije: horizontalna - A 1 (XA; YA); frontalni - A 2 (XA; ZA); profil - A 3 (YA; ZA). Prevođenje koordinata između projekcija provodi se pomoću komunikacijskih linija. Iz dvije projekcije možete izgraditi projekcije točke pomoću koordinata ili grafički. 3. Točka u odnosu na ravnine projekcije može zauzimati i opći i poseban položaj u prostoru. 4. Točka u općem položaju je točka koja ne pripada nijednoj od projekcijskih ravnina, tj. leži u prostoru između projekcijskih ravnina. Koordinate točke u općem položaju nisu jednake nuli (x≠0,y≠0,z≠0). 5. Točka privatnog položaja je točka koja pripada jednoj ili dvije projekcijske ravnine. Jedna od koordinata točke određenog položaja jednaka je nuli, pa projekcija točke leži na odgovarajućem polju projekcijske ravnine, a druge dvije - na osi projekcija. 6. Konkurentske točke su točke čije su istoimene koordinate iste. Postoje horizontalno konkurentne točke, frontalno konkurentne točke i profilne konkurentske točke. Ključne riječi Koordinate točke Opća točka Privatna pozicija Konkurirajuće točke Metode aktivnosti potrebne za rješavanje problema – konstrukcija točke prema zadanim koordinatama u sustavu triju projekcijskih ravnina u prostoru; – konstrukcija točke prema zadanim koordinatama u sustavu triju projekcijskih ravnina na složenom crtežu. Pitanja za samoispitivanje 1. Kako se uspostavlja veza položaja koordinata na složenom crtežu u sustavu triju projekcijskih ravnina P 1 P 2 P 3 s koordinatama projekcija točaka? 2. Koje koordinate određuju udaljenost točaka do horizontalne, frontalne, ravnine profilne projekcije? 3. Koje će se koordinate i projekcije točke promijeniti ako se točka pomakne u smjeru okomitom na profilnu ravninu projekcija P 3 ? 4. Koje će se koordinate i projekcije točke promijeniti ako se točka kreće u smjeru paralelnom s osi OZ? 5. Koje koordinate određuju horizontalnu (frontalnu, profilnu) projekciju točke? 7. U kojem slučaju se projekcija točke poklapa sa točkom u samom prostoru, a gdje se nalaze ostale dvije projekcije te točke? 8. Može li točka istovremeno pripadati trima projekcijskim ravninama i u kojem slučaju? 9. Kako se zovu točke čije se istoimene projekcije podudaraju? 10. Kako možete odrediti koja je od dvije točke bliža promatraču ako im se frontalne projekcije podudaraju? Zadaci za samostalno rješavanje 2. Konstruirajte projekcije točaka A i B prema njihovim koordinatama na vizualnu sliku i složeni crtež: A (13,5; 20), B (6,5; -20). Konstruirajte projekciju točke C, smještene simetrično na točku A u odnosu na frontalnu ravninu projekcija P 2 . 3. Izgradite projekcije točaka A, B, C prema njihovim koordinatama na vizualnoj slici i složenom crtežu: A (-20; 0; 0), B (-30; -20; 10), C (-10, -15, 0 ). Konstruirajte točku D, smještenu simetrično na točku C u odnosu na os OX. Primjer rješavanja tipičnog problema Zadatak 1. Zadane koordinate X, Y, Z točaka A, B, C, D, E, F (tablica 3.3) Da biste izgradili sliku objekta, najprije opišite njegove pojedinačne elemente u obliku najjednostavnijih elemenata prostora. Dakle, prikazujući geometrijsko tijelo, treba izgraditi njegove vrhove, predstavljene točkama; rubovi predstavljeni ravnim i zakrivljenim linijama; lica predstavljena ravninama itd. Pravila za izradu slika na crtežima u inženjerskoj grafici temelje se na metodi projekcije. Jedna slika (projekcija) geometrijskog tijela ne dopušta nam da o njemu sudimo geometrijski oblik ili oblik najjednostavnijih geometrijskih slika koje čine ovu sliku. Dakle, ne može se suditi o položaju točke u prostoru po jednoj od njezinih projekcija; njegov položaj u prostoru određuju dvije projekcije. Razmotrimo primjer konstruiranja projekcije točke ALI, koji se nalazi u prostoru diedralnog kuta (slika 60). Postavimo jednu od ravnina projekcije vodoravno, nazovimo je horizontalna ravnina projekcije i označiti slovom P 1. Projekcije elemenata razmaci na njemu bit će označeni indeksom 1: A 1, a 1, S 1 ... i nazovite horizontalne projekcije(točke, pravci, ravnine). Drugu ravninu postavljamo okomito ispred promatrača, okomito na prvu, nazovimo je vertikalna ravnina projekcije i označiti P 2 . Projekcije prostornih elemenata na njemu će biti označene indeksom 2: A 2, 2 i nazovi prednje projekcije(točke, pravci, ravnine). Linija presjeka projekcijskih ravnina naziva se projekcijska os. Idemo projektirati točku ALI ortogonalno na obje projekcijske ravnine: AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ; AA 2 _|_ P 2; AA 2 ^P 2 \u003d A 2; Projekcione grede AA 1 i AA 2 međusobno okomite i stvaraju projicirajuću ravninu u prostoru AA 1 AA 2, okomito na obje strane projekcija. Ova ravnina siječe projekcijske ravnine duž linija koje prolaze kroz projekcije točke ALI. Da bismo dobili ravni crtež, uskladimo horizontalnu ravninu projekcije P 1 s rotacijom frontalne ravnine P 2 oko osi P 2 / P 1 (slika 61, a). Tada će obje projekcije točke biti na istoj liniji okomitoj na os P 2 /P 1. Ravno A 1 A 2, povezujući horizontalu A 1 i frontalni A 2 projekcija točke naziva se vertikalna linija komunikacije. Rezultirajući ravni crtež naziva se složeni crtež. To je slika objekta na nekoliko kombiniranih ravnina. Složeni crtež koji se sastoji od dvije međusobno povezane ortogonalne projekcije naziva se dvoprojekcijski. Na ovom crtežu horizontalna i frontalna projekcija točke uvijek leže na istoj vertikalnoj liniji veze. Dvije međusobno povezane ortogonalne projekcije točke jednoznačno određuju njezin položaj u odnosu na projekcijske ravnine. Ako odredimo položaj točke a u odnosu na ove ravnine (slika 61, b) svoju visinu h (AA 1 = h) i dubina f(AA 2 =f ), zatim ove vrijednosti u višenacrtu postoje kao segmenti okomite linije veze. Ova okolnost olakšava rekonstrukciju crteža, tj. određivanje položaja točke u odnosu na ravnine projekcije s crteža. Da biste to učinili, dovoljno je u točki A 2 crteža vratiti okomitu na ravninu crteža (smatrajući da je frontalna) duljinom jednakom dubini f. Kraj ove okomice odredit će položaj točke ALI u odnosu na ravninu crteža. Slika: Slika: 4. Kako se zove udaljenost koja određuje položaj točke u odnosu na ravninu projekcija P 1, P 2? 7. Kako izgraditi dodatnu projekciju točke na ravninu P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , str 5 _|_ P 4 ? 9. Kako mogu izgraditi složeni crtež točke po njezinim koordinatama? Za određivanje položaja geometrijskog tijela u prostoru i dobivanje dodatnih informacija o njihovim slikama, možda će biti potrebno izgraditi treću projekciju. Zatim se treća projekcijska ravnina postavlja desno od promatrača okomito na istovremeno horizontalnu ravninu projekcije P 1 i frontalna ravnina projekcija P 2 (slika 62, a). Kao rezultat križanja frontalnog P 2
i profil P 3
ravnine projekcije dobivamo novu os P 2 / P 3 ,
koji se nalazi na složenom crtežu paralelno s vertikalnom komunikacijskom linijom A 1 A 2(Sl. 62, b). Projekcija treće točke ALI- profil - ispada da je povezan s prednjom projekcijom A 2 nova linija komunikacije, koja se zove horizontalna Riža. 62 Noa. Frontalna i profilna projekcija točke uvijek leže na istoj horizontalnoj komunikacijskoj liniji. I A 1 A 2 _|_ A 2 A 1 i A 2 A 3 , _| _ P 2 / P 3. Položaj točke u prostoru u ovom slučaju karakterizira njezin zemljopisna širina- udaljenost od nje do ravnine profila projekcija P 3, koju označavamo slovom R. Rezultirajući složeni crtež točke naziva se troprojekcija. U crtežu s tri projekcije, dubina točke AA 2 projicira se bez izobličenja na ravninu P 1 i P 2 (Sl. 62, a). Ova nam okolnost omogućuje konstruiranje treće - frontalne projekcije točke ALI duž svoje horizontale A 1 i frontalni A 2 projekcije (Sl. 62, u). Da biste to učinili, kroz frontalnu projekciju točke, morate nacrtati vodoravnu komunikacijsku liniju A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Zatim, bilo gdje na crtežu, nacrtajte os projekcija P 2 / P 3 _|_ A 2 A 3, izmjeriti dubinu f točke na horizontali
projekcijsko polje i odvojite ga duž horizontalne linije komunikacije od osi projekcija P 2 /P 3 . Nabavite projekciju profila A 3 bodova ALI. Dakle, u složenom crtežu koji se sastoji od tri ortogonalne projekcije točke, dvije su projekcije na istoj komunikacijskoj liniji; komunikacijske linije su okomite na odgovarajuće osi projekcije; dvije projekcije točke u potpunosti određuju položaj njezine treće projekcije. Valja napomenuti da u složenim crtežima, u pravilu, ravnine projekcije nisu ograničene i njihov je položaj postavljen osi (slika 62, c). U slučajevima kada uvjeti problema to ne zahtijevaju Ispada da se projekcije točaka mogu dati bez prikaza osi (slika 63, a, b). Takav se sustav naziva neutemeljenim. Komunikacijske linije mogu se povući i s razmakom (slika 63, b). Slika: Slika: Položaj projekcija točaka na složenom crtežu ovisi o položaju točke u prostoru trodimenzionalnog kuta. Razmotrimo neke slučajeve: Dvije točke u prostoru mogu se locirati na različite načine. U pojedinom slučaju mogu se smjestiti tako da im se projekcije na neku projekcijsku ravninu podudaraju. Takve točke nazivaju se natječući se. Na sl. 64, a dan je složeni crtež točaka ALI i NA. Nalaze se tako da im se projekcije podudaraju na ravnini P 1 [A 1 \u003d= B 1]. Takve točke nazivaju se horizontalno se natječu. Ako su projekcije točaka A i B podudaraju na ravnini P 2(Sl. 64, b) zovu se frontalno konkurentna. A ako projekcije točaka ALI i NA podudaraju na ravnini P 3 [A 3 \u003d= B 3] (slika 64, c), nazivaju se profil konkurentan. Konkurentne točke određuju vidljivost na crtežu. Horizontalno konkurentne točke vidjet će onu s većom visinom, frontalno konkurentne - onu s većom dubinom, a profilne konkurentne - onu s većom zemljopisnom širinom. Slika: Svojstva crteža točke s tri projekcije omogućuju da se pomoću njezinih horizontalnih i frontalnih projekcija izgradi trećina na druge uvedene projekcijske ravnine umjesto zadanih. Na sl. 65 a prikazuje točku ALI a njegove projekcije - horizontalne A 1 i frontalni A 2 . Prema uvjetima zadatka potrebno je zamijeniti ravnine P 2 . Označimo novu ravninu projekcije P 4 i postavimo je okomito P 1. Na sjecištu ravnina P 1 i P 4 dobivamo novu os P 1 / P 4 .
Nova projekcija točke A 4će se nalaziti na
komunikacijska linija koja prolazi kroz točku A 1 i okomito na os P 1 / P 4 .
Od novog aviona P 4 zamjenjuje ravninu frontalne projekcije P 2 , visina točke ALI prikazani podjednako u punoj veličini i na ravnini P 2 i na ravnini P 4 . Ova nam okolnost omogućuje da odredimo položaj projekcije A 4 , u sustavu ravnina P 1 _|_ P 4(Sl. 65, b) na složenom crtežu. Da biste to učinili, dovoljno je izmjeriti visinu točke na zamijenjenoj ravnini sti projekcija P 2, stavite je na novu komunikacijsku liniju od nove osi projekcija - i novu projekciju točke A 4će se izgraditi. Ako se umjesto vodoravne ravnine projekcije uvede nova ravnina projekcije, tj. P 4 _ | _ P 2 (Sl. 66, a), tada će u novom sustavu ravnina nova projekcija točke biti na istoj liniji komunikacije s frontalnom projekcijom, i A 2 A 4 _|_. U ovom slučaju, dubina točke je ista na ravnini P 1, i u avionu P 4 . Na temelju toga grade A 4(Sl. 66, b) na liniji komunikacije A 2 A 4 na takvoj udaljenosti od nove osi P 1 / P 4 pri čemu A 1 nalazi se od osi P 2 /P 1. Kao što je već navedeno, izgradnja novih dodatnih projekcija uvijek je povezana s određenim zadacima. U budućnosti ćemo razmotriti niz metričkih i pozicijskih problema koji se rješavaju metodom zamjene projekcijskih ravnina. U zadacima kod kojih uvođenje jedne dodatne ravnine neće dati željeni rezultat, uvodi se još jedna dodatna ravnina koja se označava s P 5 . Postavlja se okomito na već uvedenu ravninu P 4
(Sl. 67, a), tj. P 5 P 4 i proizvesti konstrukciju sličnu prethodno razmatranim. Sada se mjere udaljenosti na zamijenjenoj drugoj od glavnih ravnina projekcije (na slici 67, b na površini P 1) i položiti ih na novu liniju komunikacije A 4 A 5, od nove osi projekcije P 5 /P 4 . U novom sustavu ravnina P 4 P 5 dobiva se novi crtež s dvije projekcije koji se sastoji od ortogonalnih projekcija A 4 i A 5 ,
povezan komunikacijskom linijom Položaj točke u prostoru može se odrediti njezinim dvjema ortogonalnim projekcijama, na primjer, horizontalnom i frontalnom, frontalnom i profilnom. Kombinacija bilo koje dvije ortogonalne projekcije omogućuje vam da saznate vrijednost svih koordinata točke, izgradite treću projekciju, odredite oktant u kojem se nalazi. Razmotrimo neke tipične zadatke iz kolegija nacrtne geometrije. Prema zadanom složenom crtežu točaka A i B potrebno je: Najprije odredimo koordinate točke A, koje možemo zapisati u obliku A (x, y, z). Horizontalna projekcija točke A je točka A", koja ima koordinate x, y. Povucite iz točke A" okomite na osi x, y i pronađite, redom, A x, A y. Koordinata x za točku A jednaka je duljini segmenta A x O sa predznakom plus, budući da A x leži u području pozitivnih vrijednosti osi x. Uzimajući u obzir skalu crteža, nalazimo x = 10. Koordinata y jednaka je duljini segmenta A y O sa predznakom minus, budući da t. A y leži u području negativnih vrijednosti y osi . S obzirom na skalu crteža, y = -30. Frontalna projekcija točke A - točka A"" ima koordinate x i z. Ispustimo okomicu iz A"" na os z i pronađimo A z . Z-koordinata točke A jednaka je duljini segmenta A z O sa predznakom minus, jer A z leži u području negativnih vrijednosti z-osi. S obzirom na mjerilo crteža, z = -10. Dakle, koordinate točke A su (10, -30, -10). Koordinate točke B mogu se zapisati kao B (x, y, z). Razmotrimo horizontalnu projekciju točke B - točke B. "Budući da leži na osi x, onda B x \u003d B" i koordinata B y \u003d 0. Apscisa x točke B jednaka je duljini segmenta B x O sa znakom plus. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, x = 30. Frontalna projekcija točke B - točka B˝ ima koordinate x, z. Nacrtajte okomicu iz B"" na z-os i tako pronađite B z . Primjena z točke B jednaka je duljini segmenta B z O sa predznakom minus, jer B z leži u području negativnih vrijednosti z-osi. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, određujemo vrijednost z = -20. Dakle, B koordinate su (30, 0, -20). Sve potrebne konstrukcije prikazane su na donjoj slici. Točke A i B u ravnini P 3 imaju sljedeće koordinate: A""" (y, z); B""" (y, z). U ovom slučaju, A"" i A""" leže na istoj okomici na z-os, budući da imaju zajedničku z-koordinatu. Na isti način, B"" i B""" leže na zajedničkoj okomici na z-os. Da bismo pronašli profilnu projekciju t. A, odvajamo duž y-osi vrijednost odgovarajuće koordinate pronađene ranije. Na slici je to učinjeno pomoću luka kružnice polumjera A y O. Nakon toga povlačimo okomicu od A y do sjecišta s okomicom vraćenom iz točke A "" na os z. Točka presjeka ovih dviju okomica određuje položaj A""". Točka B""" leži na z-osi, budući da je y-ordinata ove točke nula. Da bismo pronašli profilnu projekciju točke B u ovom zadatku, potrebno je samo povući okomicu iz B"" na z -os Točka presjeka ove okomice s osi z je B """. Vizualno zamišljajući prostorni raspored sastavljen od projekcijskih ravnina P 1, P 2 i P 3, položaj oktanata, kao i redoslijed transformacije izgleda u dijagrame, možete izravno odrediti da se t. A nalazi u oktantu III, a t. B leži u ravnini P 2 . Druga mogućnost rješavanja ovog problema je metoda iznimaka. Na primjer, koordinate točke A su (10, -30, -10). Pozitivna apscisa x omogućuje prosuđivanje da se točka nalazi u prva četiri oktanta. Negativna ordinata y označava da je točka u drugom ili trećem oktantu. Konačno, negativna primjena z označava da je točka A u trećem oktantu. Navedeno obrazloženje jasno je ilustrirano sljedećom tablicom. Koordinate točke B (30, 0, -20). Budući da je ordinata t. B jednaka nuli, ova točka se nalazi u ravnini projekcije P 2 . Pozitivna apscisa i negativna aplikacija točke B označavaju da se nalazi na granici trećeg i četvrtog oktanta. Pomoću frontalne izometrijske projekcije izgradili smo prostorni raspored trećeg oktanta. To je pravokutni triedar čija su lica ravnine P 1, P 2, P 3, a kut (-y0x) je 45 º. U ovom sustavu, segmenti duž osi x, y, z bit će iscrtani u punoj veličini bez izobličenja. Konstrukcija vizualne slike točke A (10, -30, -10) počet će s njenom horizontalnom projekcijom A". Odvojivši odgovarajuće koordinate duž apscise i ordinata, nalazimo točke A x i A y. presjek okomica vraćenih iz A x i A y na osi x i y određuje položaj točke A". Stavljajući od A" paralelno s osi z prema njenim negativnim vrijednostima segment AA", čija je duljina jednaka 10, nalazimo položaj točke A. Vizualna slika točke B (30, 0, -20) konstruira se na sličan način - u ravnini P 2 moraju se odvojiti odgovarajuće koordinate duž osi x i z. Presjek okomica rekonstruiranih iz B x i B z odredit će položaj točke B.Poglavlje 6. PROJEKCIJE TOČKE. INTEGRIRANI CRTEŽ
§ 32. Složeno crtanje točke
60.gif
61.gif
7. Pitanja za samotestiranje
PITANJA ZA SAMOPROVJERU
33. Elementi troprojekcijskog složenog crteža točke
§ 33. Elementi troprojekcijskog složenog crteža točke
62.gif
63.gif
34. Položaj točke u prostoru trodimenzionalnog kuta
§ 34. Položaj točke u prostoru trodimenzionalnog kuta
35. Konkurirajuće točke
§ 35. Natjecateljske točke
64.gif
36. Zamjena projekcijskih ravnina
§ 36. Zamjena projekcijskih ravnina
Konstrukcija projekcija točaka
Određivanje položaja točaka u prostoru
Oktanti
Koordinatni znakovi
x
y
z
1
+
+
+
2
+
–
+
3
+
–
–
4
+
+
–
5
–
+
+
6
–
–
+
7
–
–
–
8
–
+
–
Konstrukcija vizualne slike točaka u sustavu ravnina P 1, P 2, P 3
