Lekcija i prezentacija na temu: "Novi brojevi. Geometrijska progresija"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 9. razred
Potencija i korijenske funkcije i grafovi
Dečki, danas ćemo se upoznati s drugom vrstom progresije.
Tema današnje lekcije je geometrijska progresija.
Geometrijska progresija
Definicija. Brojčani niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak umnošku prethodnog i nekog fiksnog broja, naziva se geometrijska progresija.Definirajmo naš slijed rekurzivno: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
gdje su b i q određeni zadani brojevi. Broj q naziva se nazivnik progresije.
Primjer. 1,2,4,8,16… Geometrijska progresija, u kojoj je prvi član jednak jedan, a $q=2$.
Primjer. 8,8,8,8… Geometrijska progresija čiji je prvi član osam,
i $q=1$.
Primjer. 3,-3,3,-3,3... Geometrijska progresija čiji je prvi član tri,
i $q=-1$.
Geometrijska progresija ima svojstva monotonosti.
Ako je $b_(1)>0$, $q>1$,
tada se slijed povećava.
Ako je $b_(1)>0$, $0 Niz se obično označava kao: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Baš kao u aritmetičkoj progresiji, ako je broj elemenata u geometrijskoj progresiji konačan, tada se progresija naziva konačna geometrijska progresija.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Imajte na umu da ako je slijed geometrijska progresija, tada je slijed kvadriranih članova također geometrijska progresija. Drugi niz ima prvi član $b_(1)^2$ i nazivnik $q^2$.
Formula n-tog člana geometrijske progresije
Geometrijska progresija se također može specificirati u analitičkom obliku. Pogledajmo kako to učiniti:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Lako možemo vidjeti uzorak: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Naša formula se zove "formula n-tog člana geometrijske progresije".
Vratimo se našim primjerima.
Primjer. 1,2,4,8,16… Geometrijska progresija čiji je prvi član jednak jedan,
i $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Primjer. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrijska progresija čiji je prvi član šesnaest i $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Primjer. 8,8,8,8… Geometrijska progresija u kojoj je prvi član osam i $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Primjer. 3,-3,3,-3,3… Geometrijska progresija čiji je prvi član tri i $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Primjer. Zadana geometrijska progresija $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Poznato je da je $b_(1)=6, q=3$. Pronađite $b_(5)$.
b) Poznato je da je $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Pronađite n.
c) Poznato je da je $q=-2, b_(6)=96$. Pronađite $b_(1)$.
d) Poznato je da je $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Pronađite q.
Odluka.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ budući da je $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Primjer. Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 192, zbroj petog i šestog člana progresije je 192. Pronađite deseti član ove progresije.
Odluka.
Znamo da je: $b_(7)-b_(5)=192$ i $b_(5)+b_(6)=192$.
Također znamo: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Zatim:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dobili smo sustav jednadžbi:
$\begin(slučajevi)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(slučajevi)$.
Izjednačavajući, naše jednadžbe dobivaju:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Dobili smo dva rješenja q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zamijenite sukcesivno u drugu jednadžbu:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nema rješenja.
Dobili smo to: $b_(1)=4, q=2$.
Nađimo deseti član: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Zbroj konačne geometrijske progresije
Pretpostavimo da imamo konačnu geometrijsku progresiju. Izračunajmo, kao i za aritmetičku progresiju, zbroj njenih članova.Neka je dana konačna geometrijska progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uvedemo zapis za zbroj njegovih članova: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
U slučaju kada je $q=1$. Svi članovi geometrijske progresije jednaki su prvom članu, tada je očito da je $S_(n)=n*b_(1)$.
Razmotrimo sada slučaj $q≠1$.
Pomnožite gornji iznos s q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Bilješka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Dobili smo formulu za zbroj konačne geometrijske progresije.
Primjer.
Pronađite zbroj prvih sedam članova geometrijske progresije čiji je prvi član 4, a nazivnik 3.
Odluka.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Primjer.
Pronađite peti član geometrijske progresije, koji je poznat: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Odluka.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 $q = 1364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Karakteristično svojstvo geometrijske progresije
Dečki, s obzirom na geometrijsku progresiju. Razmotrimo njegova tri uzastopna člana: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Mi to znamo:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Zatim:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ako je progresija konačna, tada ova jednakost vrijedi za sve članove osim prvog i posljednjeg.
Ako se unaprijed ne zna kakav niz ima niz, ali je poznato da je: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo geometrijska progresija.
Niz brojeva je geometrijska progresija samo kada je kvadrat svakog od njegovih članova jednak umnošku dvaju susjednih članova progresije. Ne zaboravimo to za konačna progresija ovaj uvjet nije zadovoljen za prvog i posljednjeg člana.
Pogledajmo ovaj identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ naziva se prosjek geometrijski brojevi a i b.
Modul bilo kojeg člana geometrijske progresije jednak je geometrijskoj sredini dvaju susjednih članova.
Primjer.
Nađi x takav da je $x+2; 2x+2; 3x+3$ bila su tri uzastopna člana geometrijske progresije.
Odluka.
Koristimo se karakterističnim svojstvom:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ i $x_(2)=-1$.
Zamijenite sekvencijalno u izvornom izrazu, naša rješenja:
Uz $x=2$, dobili smo slijed: 4;6;9 je geometrijska progresija s $q=1,5$.
Uz $x=-1$, dobili smo slijed: 1;0;0.
Odgovor: $x=2.$
Zadaci za samostalno rješavanje
1. Nađi osmi prvi član geometrijske progresije 16; -8; 4; -2 ....2. Pronađite deseti član geometrijske progresije 11,22,44….
3. Poznato je da je $b_(1)=5, q=3$. Pronađite $b_(7)$.
4. Poznato je da je $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Pronađite n.
5. Pronađite zbroj prvih 11 članova geometrijske progresije 3;12;48….
6. Pronađite x takav da je $3x+4; 2x+4; x+5$ su tri uzastopna člana geometrijske progresije.
>>Matematika: Geometrijska progresija
Radi udobnosti čitatelja, ovaj odjeljak slijedi potpuno isti plan kao što smo slijedili u prethodnom odjeljku.
1. Osnovni pojmovi.
Definicija. Brojčani niz čiji su svi članovi različiti od 0 i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobiva od prethodnog člana množenjem s istim brojem naziva se geometrijska progresija. U ovom slučaju, broj 5 naziva se nazivnik geometrijske progresije.
Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (b n) zadan rekurzivno relacijama
Je li moguće, gledajući niz brojeva, utvrditi je li to geometrijska progresija? Limenka. Ako ste uvjereni da je omjer bilo kojeg člana niza u odnosu na prethodni član konstantan, tada imate geometrijsku progresiju.
Primjer 1
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Primjer 2
Ovo je geometrijska progresija koja
Primjer 3
Ovo je geometrijska progresija koja
Primjer 4
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Ovo je geometrijska progresija gdje je b 1 - 8, q = 1.
Imajte na umu da je ovaj niz također aritmetička progresija (vidi primjer 3 iz § 15).
Primjer 5
2,-2,2,-2,2,-2.....
Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 2, q = -1.
Očito, geometrijska progresija je rastući niz ako je b 1 > 0, q > 1 (vidi primjer 1), a opadajući niz ako je b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Kako bismo naznačili da je niz (b n) geometrijska progresija, ponekad je prikladna sljedeća oznaka:
Ikona zamjenjuje izraz "geometrijska progresija".
Napominjemo jedno zanimljivo i ujedno sasvim očito svojstvo geometrijske progresije:
Ako slijed 
je geometrijska progresija, zatim slijed kvadrata, t.j. 
je geometrijska progresija.
U drugoj geometrijskoj progresiji, prvi član je jednak a jednak q 2.
Ako eksponencijalno odbacimo sve članove koji slijede b n, tada ćemo dobiti konačnu geometrijsku progresiju 
U sljedećim odlomcima ovog odjeljka razmotrit ćemo najvažnija svojstva geometrijske progresije.
2. Formula n-tog člana geometrijske progresije.
Razmotrimo geometrijsku progresiju 
nazivnik q. Imamo:
Nije teško pogoditi da je za bilo koji broj n jednakost
Ovo je formula za n-ti član geometrijske progresije.
Komentar.
Ako ste pročitali važna nota iz prethodnog odlomka i razumjeli ga, zatim pokušajte dokazati formulu (1) matematičkom indukcijom, baš kao što je to učinjeno za formulu n-tog člana aritmetičke progresije.
Prepišimo formulu n-tog člana geometrijske progresije
i uvodimo oznaku: Dobivamo y = mq 2, ili, detaljnije, 
Argument x sadržan je u eksponentu, pa se takva funkcija naziva eksponencijalna funkcija. To znači da se geometrijska progresija može smatrati eksponencijalnom funkcijom zadanom na skupu N prirodnih brojeva. Na sl. 96a prikazuje graf funkcije na sl. 966 - graf funkcije 
U oba slučaja imamo izolirane točke (s apscisama x = 1, x = 2, x = 3, itd.) koje leže na nekoj krivulji (obje slike prikazuju istu krivulju, samo različito smještene i prikazane u različitim mjerilima). Ova krivulja se zove eksponent. Više o eksponencijalnoj funkciji i njezinom grafu bit će riječi u predmetu algebra 11. razreda.
Vratimo se primjerima 1-5 iz prethodnog odlomka.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 1, q = 3. Napravimo formulu za n-ti član 
2) 
Ovo je geometrijska progresija, u kojoj formulirajmo n-ti član 
Ovo je geometrijska progresija koja 
Sastavite formulu za n-ti član 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 8, q = 1. Napravimo formulu za n-ti član 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 2, q = -1. Sastavite formulu za n-ti član 
Primjer 6
S obzirom na geometrijsku progresiju
U svim slučajevima rješenje se temelji na formuli n-tog člana geometrijske progresije
a) Stavljajući n = 6 u formulu n-tog člana geometrijske progresije, dobivamo
b) Imamo
Budući da je 512 \u003d 2 9, dobivamo n - 1 \u003d 9, n = 10.
d) Imamo
Primjer 7
Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 48, zbroj petog i šestog člana progresije je također 48. Pronađite dvanaesti član ove progresije.
Prva razina. Izrada matematičkog modela.
Uvjeti zadatka mogu se ukratko napisati na sljedeći način:
Koristeći formulu n-tog člana geometrijske progresije, dobivamo:
Tada se drugi uvjet zadatka (b 7 - b 5 = 48) može zapisati kao
Treći uvjet zadatka (b 5 +b 6 = 48) može se zapisati kao
Kao rezultat, dobivamo sustav od dvije jednadžbe s dvije varijable b 1 i q:
što je, u kombinaciji s gore napisanim uvjetom 1, matematički model problema.
Druga faza.
Rad sa sastavljenim modelom. Izjednačavajući lijeve dijelove obje jednadžbe sustava, dobivamo:
(podijelili smo obje strane jednadžbe u izraz b 1 q 4 , koji je različit od nule).
Iz jednadžbe q 2 - q - 2 = 0 nalazimo q 1 = 2, q 2 = -1. Zamjenom vrijednosti q = 2 u drugu jednadžbu sustava dobivamo 
Zamjenom vrijednosti q = -1 u drugu jednadžbu sustava dobivamo b 1 1 0 = 48; ova jednadžba nema rješenja.
Dakle, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ovaj par je rješenje sastavljenog sustava jednadžbi.
Sada možemo zapisati dotičnu geometrijsku progresiju: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Treća faza.
Odgovor na problemsko pitanje. Potrebno je izračunati b 12 . Imamo
Odgovor: b 12 = 2048.
3. Formula za zbroj članova konačne geometrijske progresije.
Neka postoji konačna geometrijska progresija
Označimo sa S n zbroj njegovih članova, t.j.
Izvedimo formulu za pronalaženje ovog zbroja.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je q = 1. Tada se geometrijska progresija b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn sastoji od n brojeva jednakih b 1 , t.j. napredovanje je b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Zbroj ovih brojeva je nb 1 .
Neka sada q = 1 Za pronalaženje S n koristimo se umjetnom metodom: izvršimo neke transformacije izraza S n q. Imamo:
Izvodeći transformacije, prvo smo koristili definiciju geometrijske progresije, prema kojoj (vidi treći red razmišljanja); drugo, dodavali su i oduzimali zašto se značenje izraza, naravno, nije promijenilo (vidi četvrti redak obrazloženja); treće, koristili smo formulu n-tog člana geometrijske progresije:
Iz formule (1) nalazimo:
Ovo je formula za zbroj n članova geometrijske progresije (za slučaj kada je q = 1).
Primjer 8
Zadana je konačna geometrijska progresija
a) zbroj članova napredovanja; b) zbroj kvadrata njegovih članova.
b) Gore (vidi str. 132) već smo napomenuli da ako se svi članovi geometrijske progresije kvadiraju, onda će se dobiti geometrijska progresija s prvim članom b 2 i nazivnikom q 2. Tada će se zbroj šest članova nove progresije izračunati po
Primjer 9
Pronađite 8. član geometrijske progresije za koji
U stvari, dokazali smo sljedeći teorem.
Brojčani niz je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg, u slučaju konačnog niza), jednak umnošku prethodnog i sljedećih članova (karakteristično svojstvo geometrijske progresije).
Razmotrimo seriju.
7 28 112 448 1792...
Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata točno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je napredak.
Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva glavna značajka a to je da se sljedeći broj dobije od prethodnog množenjem s nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.
a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.
Prema tome, z ∈ N.
Razdoblje kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:
0.25 0.125 0.0625...
Na temelju ove formule nazivnik progresije se može pronaći kako slijedi:
Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.
U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti s q.
Da biste specificirali ovu progresiju, morate navesti njezin prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih pojmova i njihov zbroj.
Sorte
Ovisno o q i a 1, ova progresija je podijeljena u nekoliko tipova:
- Ako su i 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.
Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.
Tada se numerički niz može zapisati ovako:
3 6 12 24 48 ...
- Ako je |q| manje od jedan, to jest, množenje s njim je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.
Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.
Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:
6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji ga slijedi.
- Znak-varijabla. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametra su manja od nule.
Tada se slijed može napisati ovako:
3, 6, -12, 24,...
Formule
Za praktično korištenje geometrijskih progresija postoje mnoge formule:
- Formula z-tog člana. Omogućuje vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.
Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.
Odluka:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Zbroj prvih elemenata čiji je broj z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.
Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednak 1.
Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.
Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunaj S 5 .
Odluka:S 5 = 22 - izračun po formuli.
- Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.
Odluka:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Neka svojstva:
- karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet izvodi za bilo kojez, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdjetje udaljenost između ovih brojeva.
- Elementirazlikuju se u qjednom.
- Logaritmi elemenata progresije također tvore progresiju, ali već aritmetičku, odnosno svaki od njih je za određeni broj veći od prethodnog.
Primjeri nekih klasičnih problema
Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjem za 9. razred.
- Uvjeti:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.
Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Potrebno je neke elemente izraziti kroz druge pomoću nazivnika.
Stoga,a 3 = q 2 · a 1
Prilikom zamjeneq= 4
- Uvjeti:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunaj S 6 .
Odluka:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.
a 3 = q· a 2 , stoga,q= 2
a 2 = q a 1 ,Zato a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.
Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Primjer primjene:
- Klijent banke položio je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, prema kojem će klijent svake godine dodati 6% na glavnicu. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?
Rješenje: Početni iznos je 10 tisuća rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja, račun će imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
Sukladno tome, iznos na računu nakon sljedeće godine bit će izražen na sljedeći način:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je zadan prvim elementom jednakim 10 tisuća, a nazivnikom jednakim 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:
U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:
a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.
Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.
Odluka:
Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbroj, morate znati elementa 1 i nazivnikq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 iq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Uputa
10, 30, 90, 270...
Potrebno je pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Odluka:
1 opcija. Uzmimo proizvoljan član progresije (na primjer, 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.
Ako je poznat zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova opadajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbroj prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.
Prvi član opadajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbroj svih njegovih članova jednak je dva.
Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Odluka:
Zamijenite podatke iz zadatka u formulu. Dobiti:
2=1/(1-q), odakle je – q=1/2.
Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s nekim brojem q, koji se naziva nazivnik progresije.
Uputa
Ako su poznata dva susjedna člana geometrijskog b(n+1) i b(n), da bi se dobio nazivnik potrebno je broj s velikim brojem podijeliti s onim koji mu prethodi: q=b(n +1)/b(n). To proizlazi iz definicije progresije i njezinog nazivnika. Važan uvjet je da prvi član i nazivnik progresije nisu jednaki nuli, inače se smatra neodređenim.
Tako se između članova progresije uspostavljaju sljedeći odnosi: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Formulom b(n)=b1 q^(n-1) može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojoj su poznati nazivnik q i član b1. Također, svaki od modula progresije jednak je prosjeku svojih susjednih članova: |b(n)|=√, stoga je progresija dobila svoj .
Analog geometrijske progresije je najjednostavnija eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x u eksponentu, a je neki broj. U ovom slučaju nazivnik progresije se poklapa s prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti član progresije, ako se argument x uzme kao prirodni broj n (brojač).
Postoji za zbroj prvih n članova geometrijske progresije: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ova formula vrijedi za q≠1. Ako je q=1, tada se zbroj prvih n članova izračunava po formuli S(n)=n b1. Usput, progresija će se zvati rastućom za q veći od jedan i pozitivan b1. Kada nazivnik progresije, po modulu ne prelazi jedan, progresija će se zvati opadajućom.
Poseban slučaj geometrijske progresije je beskonačno opadajuća geometrijska progresija (b.u.g.p.). Činjenica je da će se članovi opadajuće geometrijske progresije uvijek iznova smanjivati, ali nikada neće doseći nulu. Unatoč tome, moguće je pronaći zbroj svih članova takve progresije. Određuje se formulom S=b1/(1-q). Ukupan broj članova n je beskonačan.
Da biste vizualizirali kako možete zbrojiti beskonačan broj brojeva, a ne dobiti beskonačnost, ispecite tortu. Odrežite polovicu. Zatim odrežite 1/2 polovice i tako dalje. Komadi koje ćete dobiti nisu ništa drugo do članovi beskonačno opadajuće geometrijske progresije s nazivnikom 1/2. Ako spojite sve ove dijelove, dobit ćete originalnu tortu.
Problemi s geometrijom posebna su vrsta vježbe koja zahtijeva prostorno razmišljanje. Ako ne možete riješiti geometrijski zadatak pokušajte slijediti dolje navedena pravila.
Uputa
Pažljivo pročitajte stanje problema, ako se nečega ne sjećate ili ne razumijete, ponovno ga pročitajte.
Pokušajte odrediti o kakvoj se vrsti geometrijskih problema radi, na primjer: računski, kada trebate saznati neku vrijednost, zadaci koji zahtijevaju logički lanac zaključivanja, zadaci za građenje pomoću šestara i ravnala. Više mješovitih problema. Nakon što ste shvatili vrstu problema, pokušajte razmišljati logično.
Primijenite potrebni teorem za ovaj problem, ako postoje sumnje ili uopće nema opcija, pokušajte se sjetiti teorije koju ste proučavali na relevantnu temu.
Napravite i nacrt problema. Pokušajte koristiti poznate metode kako biste provjerili ispravnost svog rješenja.
Rješenje problema dovršite uredno u bilježnici, bez mrlja i precrtavanja, i što je najvažnije - Možda će trebati vremena i truda za rješavanje prvih geometrijskih problema. Međutim, nakon što se naviknete na ovaj proces, počet ćete klikati zadatke poput orašastih plodova i zabavljati se radeći to!
Geometrijska progresija je takav niz brojeva b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) da je b2=b1*q, b3=b2*q, ..., b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Drugim riječima, svaki član progresije dobiva se iz prethodnog tako da se pomnoži s nekim nenultim nazivnikom progresije q.
Uputa
Zadaci na progresiju najčešće se rješavaju sastavljanjem i praćenjem sustava s obzirom na prvi član progresije b1 i nazivnik progresije q. Za pisanje jednadžbi korisno je zapamtiti neke formule.
Kako izraziti n-ti član progresije kroz prvi član progresije i nazivnik progresije: b(n)=b1*q^(n-1).
Razmotrimo zasebno slučaj |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
