Geometrijska progresija, uz aritmetiku, je važna numerički niz, koji se izučava u školskom kolegiju algebre u 9. razredu. U ovom članku ćemo razmotriti nazivnik geometrijske progresije i kako njezina vrijednost utječe na njezina svojstva.
Definicija geometrijske progresije
Prvo, definirajmo ovo brojevni niz. Geometrijska progresija je niz racionalni brojevi, koji nastaje uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa s konstantnim brojem koji se naziva nazivnik.
Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožimo 3 (prvi element) s 2, dobit ćemo 6. Ako pomnožimo 6 s 2, dobit ćemo 12, i tako dalje.
Članovi niza koji se razmatraju obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.
Gornja definicija progresije može se napisati jezikom matematike na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, onda je b1-1 = 1, i dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, onda je an = b * a1, i opet dolazimo do definicije niza brojeva koji se razmatraju. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.
Nazivnik geometrijske progresije
Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan i također imati vrijednost veću od jedan ili manju. Sve gore navedene opcije vode do različitih slijeda:
- b > 1. Postoji rastući niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli niz povećati samo po modulu, ali smanjiti uzimajući u obzir predznak brojeva.
- b = 1. Često se takav slučaj ne naziva progresijom, jer redovni red isti racionalni brojevi. Na primjer, -4, -4, -4.
Formula za zbroj
Prije nego što pređemo na razmatranje specifičnih problema korištenjem nazivnika vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbroj njegovih prvih n elemenata. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni slijed članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno poznavati samo prvi element i nazivnik kako biste pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.
Beskonačno opadajući niz
Gore je bilo objašnjenje o čemu se radi. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike stupnjeve, to jest, b∞ => 0 ako je -1
Budući da će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njezina prvog elementa a1.
Sada ćemo razmotriti nekoliko problema, gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.
Zadatak broj 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja
Za geometrijsku progresiju nazivnik progresije je 2, a prvi element 3. Koliki će biti njezin 7. i 10. član i koliki je zbroj njegovih sedam početnih elemenata?
Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, da bismo izračunali element s brojem n, koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenjujući poznate podatke, dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.
Koristimo poznatu formulu za zbroj i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Zadatak broj 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije
Neka je -2 nazivnik eksponencijalne progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do 10. elementa ove serije, uključujući.
Postavljeni problem ne može se riješiti izravno pomoću poznatih formula. Možete ga riješiti sa 2 razne metode. Radi cjelovitosti predstavljamo oba.
Metoda 1. Njegova ideja je jednostavna: trebate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim oduzeti drugi od jednog. Izračunajte manji zbroj: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veliki zbroj: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da u posljednji izraz zbrojena su samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u zbroj koji je potrebno izračunati prema uvjetu zadatka. Konačno, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između pojmova m i n dotičnog niza. Djelujemo na potpuno isti način kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom zbroja. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u rezultirajući izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Zadatak broj 3. Koliki je nazivnik?
Neka je a1 = 2, pronađite nazivnik geometrijske progresije, pod uvjetom da je njezin beskonačan zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.
Prema stanju zadatka nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za zbroj beskonačno opadajuće progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje zamjena poznate vrijednosti i dobijemo traženi broj: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ili -0,333 (3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza modul b ne smije prelaziti 1. Kao što vidite, |-1 / 3|
Zadatak broj 4. Obnavljanje niza brojeva
Neka su data 2 elementa brojevnog niza, na primjer, 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Iz tih podataka je potrebno obnoviti cijeli niz, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.
Da biste riješili problem, prvo morate zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati član. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada dijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde odredimo nazivnik uzimajući korijen petog stupnja omjera članova poznatih iz uvjeta zadatka, b = 1,148698. Rezultirajući broj zamjenjuje se u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Dakle, pronašli smo nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.
Gdje se koriste geometrijske progresije?
Da nema primjene ovog brojčanog niza u praksi, onda bi se njegovo proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali postoji takva aplikacija.
3 najpoznatija primjera navedena su u nastavku:
- Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahilej ne može sustići sporu kornjaču, riješen je konceptom beskonačno opadajućeg niza brojeva.
- Ako se zrna pšenice stave na svaku ćeliju šahovske ploče tako da se 1 zrno stavi na 1. ćeliju, 2 - na 2., 3 - na 3. i tako dalje, tada će biti potrebno 18446744073709551615 zrna za popunjavanje svih ćelija Ploča!
- U igri "Tower of Hanoi", da bi se diskovi presložili s jednog štapa na drugi, potrebno je izvesti 2n - 1 operacije, odnosno njihov broj raste eksponencijalno od broja korištenih diskova n.
Uputa
10, 30, 90, 270...
Potrebno je pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Riješenje:
1 opcija. Uzmimo proizvoljan član progresije (na primjer, 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.
Ako je poznat zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova opadajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbroj prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.
Prvi član opadajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbroj svih njegovih članova jednak je dva.
Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Riješenje:
Zamijenite podatke iz zadatka u formulu. Dobiti:
2=1/(1-q), odakle je – q=1/2.
Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s nekim brojem q, koji se naziva nazivnik progresije.
Uputa
Ako su poznata dva susjedna člana geometrijskih b(n+1) i b(n), da bi se dobio nazivnik potrebno je broj s velikim brojem podijeliti s onim koji mu prethodi: q=b(n +1)/b(n). To proizlazi iz definicije progresije i njezinog nazivnika. Važan uvjet je da prvi član i nazivnik progresije nisu jednaki nuli, inače se smatra neodređenim.
Tako se između članova progresije uspostavljaju sljedeći odnosi: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Formulom b(n)=b1 q^(n-1) može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojoj su poznati nazivnik q i član b1. Također, svaki od modula progresije jednak je prosjeku svojih susjednih članova: |b(n)|=√, stoga je progresija dobila svoj .
Analog geometrijske progresije je najjednostavniji eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x u eksponentu, a je neki broj. U ovom slučaju nazivnik progresije je isti kao i prvi član i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti član progresije ako se argument x uzme kao prirodni broj n (brojac).
Razmotrimo seriju.
7 28 112 448 1792...
Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata točno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je napredak.
Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva glavna značajka a to je da se sljedeći broj dobije od prethodnog množenjem s nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.
a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.
Prema tome, z ∈ N.
Razdoblje u kojem se škola uči geometrijska progresija- 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:
0.25 0.125 0.0625...
Na temelju ove formule nazivnik progresije se može pronaći kako slijedi:
Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.
U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti s q.
Da biste specificirali ovu progresiju, morate navesti njezin prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih pojmova i njihov zbroj.
Sorte
Ovisno o q i a 1, ova progresija je podijeljena u nekoliko tipova:
- Ako su i 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.
Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.
Tada se numerički niz može zapisati ovako:
3 6 12 24 48 ...
- Ako je |q| manje od jedan, odnosno množenje s njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.
Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.
Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:
6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji ga slijedi.
- Znak-varijabla. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametra su manja od nule.
Tada se slijed može napisati ovako:
3, 6, -12, 24,...
Formule
Za praktično korištenje geometrijskih progresija postoje mnoge formule:
- Formula z-tog člana. Omogućuje vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.
Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.
Riješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Zbroj prvih elemenata čiji je broj z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.
Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednak 1.
Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.
Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunaj S 5 .
Riješenje:S 5 = 22 - izračun po formuli.
- Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.
Riješenje:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Neka svojstva:
- karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet izvodi za bilo kojez, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdjetje udaljenost između ovih brojeva.
- Elementirazlikuju se u qjednom.
- Logaritmi elemenata progresije također tvore progresiju, ali već aritmetičku, odnosno svaki od njih je za određeni broj veći od prethodnog.
Primjeri nekih klasičnih problema
Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjem za 9. razred.
- Pojmovi:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.
Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Potrebno je neke elemente izraziti kroz druge pomoću nazivnika.
posljedično,a 3 = q 2 · a 1
Prilikom zamjeneq= 4
- Pojmovi:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunaj S 6 .
Riješenje:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.
a 3 = q· a 2 , Posljedično,q= 2
a 2 = q a 1 ,zato a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.
Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Primjer primjene:
- Klijent banke položio je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, prema kojem će klijent svake godine dodati 6% na glavnicu. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?
Rješenje: Početni iznos je 10 tisuća rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja, račun će imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
Sukladno tome, iznos na računu nakon sljedeće godine bit će izražen na sljedeći način:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je zadan prvim elementom jednakim 10 tisuća i nazivnikom jednakim 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:
U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:
a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.
Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.
Riješenje:
Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbroj, morate znati elementa 1 i nazivnikq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 iq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije, odnosno svaki se član razlikuje od prethodnog za q puta. (Pretpostavit ćemo da je q ≠ 1, inače je sve previše trivijalno). Lako je vidjeti da je opća formula n-tog člana geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; članovi s brojevima b n i b m razlikuju se za q n – m puta.Već u starom Egiptu poznavali su ne samo aritmetičku, već i geometrijsku progresiju. Evo, na primjer, zadatka iz papirusa Rhind: “Sedam lica ima sedam mačaka; svaka mačka pojede sedam miševa, svaki miš jede sedam klasova, svaki klas može uzgojiti sedam mjera ječma. Koliki su brojevi u ovom nizu i njihov zbroj?
 |
|
Riža. 1. Staregipatski problem geometrijske progresije |
Taj se zadatak ponavljao mnogo puta s različitim varijacijama među drugim narodima u drugim vremenima. Na primjer, napisano u XIII stoljeću. "Knjiga abakusa" Leonarda iz Pize (Fibonacci) ima problem u kojem se na putu za Rim pojavljuje 7 starica (očito hodočasnica), od kojih svaka ima 7 mazgi, od kojih svaka ima 7 torbi, od kojih svaka sadrži 7 kruhova, od kojih svaki ima 7 noževa, od kojih je svaki u 7 korica. Problem postavlja pitanje koliko predmeta ima.
Zbroj prvih n članova geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Ova se formula može dokazati, na primjer, na sljedeći način: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Dodajmo broj b 1 q n na S n i dobijemo:
|
Stoga je S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), i dobivamo potrebnu formulu.
Već na jednoj od glinenih ploča starog Babilona, koja datira iz VI stoljeća. PRIJE KRISTA e., sadrži zbroj 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Istina, kao iu nizu drugih slučajeva, ne znamo gdje je ta činjenica bila poznata Babiloncima .
Brzi rast geometrijske progresije u brojnim kulturama, posebice u Indiji, više puta se koristi kao vizualni simbol neizmjernosti svemira. U poznatoj legendi o pojavi šaha, vladar daje njihovom izumitelju mogućnost da sam odabere nagradu, a on traži toliki broj zrna pšenice koji će se dobiti ako se jedno stavi na prvu ćeliju šahovske ploče. , dva na drugom, četiri na trećem, osam na četvrtom, itd., svaki put kada se broj udvostruči. Vladika je mislio da je to, najviše, nekoliko vreća, ali se pogriješio. Lako je vidjeti da je za sva 64 polja šahovske ploče izumitelj trebao dobiti (2 64 - 1) zrno, koje je izraženo kao 20-znamenkasti broj; čak i da je cijela površina Zemlje zasijana, trebalo bi najmanje 8 godina da se prikupi potreban broj zrna. Ova legenda se ponekad tumači kao referenca na gotovo neograničene mogućnosti koje se kriju u igri šaha.
Lako je uočiti činjenicu da je ovaj broj stvarno 20-znamenkasti:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 = 1,6 10 19 (točniji izračun daje 1,84 10 19). Ali zanima me možete li saznati kojom znamenkom završava ovaj broj?
Geometrijska progresija raste ako je nazivnik veći od 1 u apsolutnoj vrijednosti, ili opada ako je manji od jedan. U potonjem slučaju, broj q n može postati proizvoljno mali za dovoljno veliko n. Dok rastući eksponencijal raste neočekivano brzo, opadajući eksponencijal opada jednako brzo.
Što je veći n, slabiji se broj q n razlikuje od nule, a zbroj n članova geometrijske progresije S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) bliži je broju S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tako je obrazložio, na primjer, F. Viet). Broj S naziva se zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Međutim, mnoga stoljeća matematičarima nije bilo dovoljno jasno pitanje što znači zbrajanje SVIH geometrijskih progresija, s njegovim beskonačnim brojem pojmova.
Opadajuća geometrijska progresija može se vidjeti, na primjer, u Zenonovim aporijama "Ugriz" i "Ahilej i kornjača". U prvom slučaju jasno je pokazano da je cijela cesta (pretpostavimo duljinu 1) zbroj beskonačnog broja segmenata 1/2, 1/4, 1/8 itd. Tako je, naravno, sa stajališta ideja o beskonačnoj geometrijskoj progresiji konačnog zbroja. Pa ipak – kako ovo može biti?
|
Riža. 2. Progresija s faktorom 1/2 |
U aporiji o Ahileju situacija je malo kompliciranija, jer ovdje nazivnik progresije nije jednak 1/2, već nekom drugom broju. Neka, na primjer, Ahilej trči brzinom v, kornjača se kreće brzinom u, a početna udaljenost između njih je l. Ahilej će pretrčati ovu udaljenost u vremenu l/v, a kornjača će se za to vrijeme pomaknuti za udaljenost lu/v. Kada Ahilej protrči kroz ovaj segment, udaljenost između njega i kornjače postat će jednaka l (u / v) 2, itd. Ispada da sustizanje kornjače znači pronaći zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije s prvim član l i nazivnik u / v. Ovaj zbroj - segment koji će Ahilej na kraju pretrčati do mjesta susreta s kornjačom - jednak je l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . No, opet, kako treba tumačiti ovaj rezultat i zašto uopće ima smisla, dugo nije bilo baš jasno.
|
Riža. 3. Geometrijska progresija s koeficijentom 2/3 |
Zbroj geometrijske progresije koristio je Arhimed kada je određivao površinu segmenta parabole. Neka je zadani segment parabole omeđen tetivom AB i neka je tangenta u točki D parabole paralelna s AB . Neka je C središte AB, E središte AC, F središte CB. Kroz točke A, E, F, B povucite prave paralelne s istosmjernom strujom; neka tangenta povučena u točki D , te se pravci sijeku u točkama K , L , M , N . Nacrtajmo i segmente AD i DB. Neka pravac EL siječe pravac AD u točki G, a parabola u točki H; pravac FM siječe pravac DB u točki Q, a parabolu u točki R. Prema općoj teoriji konusnih presjeka, DC je promjer parabole (odnosno segmenta paralelnog s njezinom osi); ona i tangenta u točki D mogu poslužiti kao koordinatne osi x i y, u kojima je jednadžba parabole napisana kao y 2 = 2px (x je udaljenost od D do bilo koje točke danog promjera, y je duljina a segment paralelan s danom tangentom od ove točke promjera do neke točke na samoj paraboli).
Na temelju jednadžbe parabole DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a budući da je DK = 2DL , onda je KA = 4LH . Budući da je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole jednaka je površini trokuta ΔADB i površinama segmenata AHD i DRB zajedno. Zauzvrat, površina AHD segmenta je na sličan način jednaka površini trokuta AHD i preostalih segmenata AH i HD, sa svakim od kojih se može izvesti ista operacija - podijeliti u trokut (Δ) i dva preostala segmenta (), itd.:
Površina trokuta ΔAHD jednaka je polovici površine trokuta ΔALD (imaju zajedničku bazu AD, a visine se razlikuju za 2 puta), što je, pak, jednako polovini površine trokut ΔAKD, a time i polovica površine trokuta ΔACD. Dakle, površina trokuta ΔAHD jednaka je četvrtini površine trokuta ΔACD. Isto tako, površina trokuta ΔDRB jednaka je četvrtini površine trokuta ΔDFB. Dakle, površine trokuta ∆AHD i ∆DRB, zajedno, jednake su četvrtini površine trokuta ∆ADB. Ponavljanje ove operacije primijenjene na segmente AH , HD , DR i RB također će od njih odabrati trokute čija će površina, zajedno, biti 4 puta manja od površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzeto zajedno, dakle 16 puta manje od površine trokuta ΔADB. I tako dalje:
Dakle, Arhimed je dokazao da je "svaki segment zatvoren između ravne crte i parabole četiri trećine trokuta, a sa sobom ima istu bazu i jednaku visinu."
Formula za n-ti član geometrijske progresije vrlo je jednostavna stvar. I u značenju i općenito. Ali postoje razni problemi za formulu n-tog člana - od vrlo primitivnih do prilično ozbiljnih. A u procesu našeg poznanstva, svakako ćemo razmotriti oboje. Pa, da se upoznamo?)
Dakle, za početak, zapravo formulan
tu je ona:
b n = b 1 · q n -1
Formula kao formula, ništa nadnaravno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za . Značenje formule je također jednostavno, poput filcane čizme.
Ova formula vam omogućuje da pronađete BILO KOGA člana geometrijske progresije PO NJEGOVOM BROJU " n".
Kao što vidite, značenje je potpuna analogija s aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - možemo izračunati i pojam pod tim brojem. Ono što želimo. Ne množenje uzastopno s "q" mnogo, mnogo puta. To je cijela poanta.)
Razumijem da bi vam na ovoj razini rada s progresijama sve količine uključene u formulu već trebale biti jasne, ali smatram svojom dužnošću svaku od njih dešifrirati. Za svaki slučaj.
Pa, idemo:
b 1 – prvičlan geometrijske progresije;
q – ;
n– članski broj;
b n – n-ti (nth)član geometrijske progresije.
Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - bn, b 1 , q i n. A oko ove četiri ključne figure vrte se svi zadaci u napredovanju.
"A kako se prikazuje?"- Čujem znatiželjno pitanje... Elementarno! Izgled!
Što je jednako drugičlan napredovanja? Nema problema! Pišemo izravno:
b 2 = b 1 q
A treći član? Nije ni problem! Drugi član množimo opet naq.
Kao ovo:
B 3 \u003d b 2 q
Prisjetite se sada da je drugi član, pak, jednak b 1 q i zamijenite ovaj izraz u našu jednakost:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
dobivamo:
B 3 = b 1 q 2
Sada pročitajmo naš unos na ruskom: trećičlan je jednak prvom članu pomnoženom s q in drugi stupanj. Shvaćate li? Ne još? U redu, još jedan korak.
Što je četvrti mandat? Sve isto! Pomnožiti prethodni(tj. treći član) na q:
B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Ukupno:
B 4 = b 1 q 3
I opet prevodimo na ruski: Četvrtačlan je jednak prvom članu pomnoženom s q in treći stupanj.
I tako dalje. Pa kako je? Jeste li uhvatili uzorak? Da! Za bilo koji član s bilo kojim brojem, broj jednakih faktora q (tj. snaga nazivnika) uvijek će biti jedan manji od broja željenog članan.
Stoga će naša formula biti, bez opcija:
b n =b 1 · q n -1
To je sve.)
Pa, idemo riješiti probleme, hoćemo li?)
Rješavanje problema na formulinth član geometrijske progresije.
Počnimo, kao i obično, s izravnom primjenom formule. Ovdje je tipičan problem:
Eksponencijalno je poznato da b 1 = 512 i q = -1/2. Pronađite deseti član progresije.
Naravno, ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula. Baš kao geometrijska progresija. Ali moramo se zagrijati s formulom n-tog člana, zar ne? Ovdje se rastajemo.
Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.
Prvi termin je poznat. Ovo je 512.
b 1 = 512.
Poznat je i nazivnik progresije: q = -1/2.
Ostaje samo shvatiti koliko je jednak broj pojma n. Nema problema! Zanima li nas deseti mandat? Stoga zamjenjujemo deset umjesto n u općoj formuli.
I pažljivo izračunajte aritmetiku:
Odgovor: -1
Kao što vidite, deseti član progresije ispao je s minusom. Nije ni čudo: nazivnik progresije je -1/2, t.j. negativan broj. A to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)
Ovdje je sve jednostavno. I ovdje je sličan problem, ali malo kompliciraniji u smislu izračuna.
U geometrijskoj progresiji znamo da:
b 1 = 3
Pronađite trinaesti član progresije.
Sve je isto, samo ovaj put nazivnik progresije - iracionalno. Korijen od dva. Pa, ništa strašno. Formula je univerzalna stvar, nosi se s bilo kojim brojevima.
Radimo izravno prema formuli:
Formula je, naravno, funkcionirala kako je trebala, ali ... ovdje će neki visjeti. Što dalje s root-om? Kako podići korijen na dvanaestu potenciju?
Kako-kako ... Morate shvatiti da je svaka formula, naravno, dobra stvar, ali znanje o svim prethodnim matematikama nije poništeno! Kako podići? Da, zapamtite svojstva stupnjeva! Promijenimo korijen u razlomni stupanj i - formulom podizanja stupnja na stepen.
Kao ovo:
Odgovor: 192
I sve stvari.)
Koja je glavna poteškoća u izravnoj primjeni formule n-tog člana? Da! Glavna poteškoća je raditi s diplomama! Naime, eksponencijalizacija negativnih brojeva, razlomaka, korijena i sličnih konstrukcija. Dakle, oni koji imaju problema s tim, hitan zahtjev za ponavljanje stupnjeva i njihovih svojstava! Inače ćete usporiti u ovoj temi, da...)
Sada ćemo riješiti tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formule ako se daju svi ostali. Za uspješno rješenje ovakvih problema, recept je jedinstven i jednostavan do užasa - napiši formulunčlan općenito! Odmah u bilježnici pored stanja. A onda iz uvjeta skužimo što nam je dano, a što nije dovoljno. A željenu vrijednost izražavamo iz formule. Sve!
Na primjer, takav bezazlen problem.
Peti član geometrijske progresije s nazivnikom 3 je 567. Pronađite prvi član ove progresije.
Ništa komplicirano. Radimo izravno prema čaroliji.
Zapisujemo formulu n-tog člana!
b n = b 1 · q n -1
Što nam je dano? Prvo, dan je nazivnik progresije: q = 3.
Osim toga, dano nam je peti član: b 5 = 567 .
Sve? Ne! Također nam je dan broj n! Ovo je petica: n = 5.
Nadam se da već razumijete što je u zapisniku b 5 = 567 dva parametra su skrivena odjednom - ovo je sam peti član (567) i njegov broj (5). U sličnoj lekciji o tome sam već govorio, ali mislim da ovdje nije suvišno podsjetiti.)
Sada svoje podatke zamjenjujemo u formulu:
567 = b 1 3 5-1
Razmatramo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobivamo jednostavnu linearnu jednadžbu:
81 b 1 = 567
Rješavamo i dobivamo:
b 1 = 7
Kao što vidite, nema problema s pronalaskom prvog člana. Ali kada se traži nazivnik q i brojevima n može biti iznenađenja. I također morate biti spremni na njih (iznenađenja), da.)
Na primjer, takav problem:
Peti član geometrijske progresije s pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite nazivnik progresije.
Ovaj put dobivamo prvi i peti član, a od nas se traži da pronađemo nazivnik progresije. Ovdje počinjemo.
Zapisujemo formulunth član!
b n = b 1 · q n -1
Naši početni podaci bit će sljedeći:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Nema dovoljno vrijednosti q. Nema problema! Pronađimo ga sada.) Sve što znamo zamjenjujemo u formulu.
dobivamo:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Jednostavna jednadžba četvrtog stupnja. Ali sad - pažljivo! U ovoj fazi rješenja mnogi učenici odmah s radošću izvlače korijen (četvrtog stupnja) i dobivaju odgovor q=3 .
Kao ovo:
q4 = 81
q = 3
Ali općenito, ovo je nedovršen odgovor. Ili bolje rečeno, nepotpuno. Zašto? Poanta je da je odgovor q = -3 također odgovara: (-3) 4 bi također bilo 81!
To je zato što je jednadžba snage x n = a uvijek ima dva suprotna korijena na čakn . Plus i minus:
Obje odgovaraju.
Na primjer, rješavanje (tj. drugi stupnjeva)
x2 = 9
Iz nekog razloga niste iznenađeni što vidite dva korijeni x=±3? I ovdje je isto. I s bilo kojim drugim čak stupanj (četvrti, šesti, deseti itd.) bit će isti. Detalji - u temi o
Dakle, ispravno rješenje bi bilo:
q 4 = 81
q= ±3
U redu, shvatili smo znakove. Koji je točan - plus ili minus? Pa, ponovno smo pročitali stanje problema u potrazi za dodatne informacije. To, naravno, možda ne postoji, ali u ovom problemu takve informacije dostupno. U našem stanju, izravno je navedeno da je progresija dana s pozitivni nazivnik.
Dakle, odgovor je očit:
q = 3
Ovdje je sve jednostavno. Što mislite da bi se dogodilo da je izjava o problemu ovakva:
Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite nazivnik progresije.
Koja je razlika? Da! U stanju ništa nema spomena nazivnika. Ni izravno ni neizravno. I ovdje bi problem već imao dva rješenja!
q = 3 i q = -3
Da da! I s plusom i minusom.) Matematički, ova činjenica bi značila da postoje dvije progresije koji odgovaraju zadatku. I za svaku - svoj nazivnik. Za zabavu, vježbajte i zapišite prvih pet pojmova svakog od njih.)
Sada vježbajmo pronalaženje broja člana. Ovo je najteže, da. Ali i kreativniji.
S obzirom na geometrijsku progresiju:
3; 6; 12; 24; …
Koji je broj 768 u ovoj progresiji?
Prvi korak je isti: napiši formulunth član!
b n = b 1 · q n -1
I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koji su nam poznati. Hm... ne pristaje! Gdje je prvi član, gdje je nazivnik, gdje je sve ostalo?!
Gdje, gdje ... Zašto su nam potrebne oči? Lepršanje trepavica? Ovaj put nam se progresija daje izravno u obliku sekvence. Možemo li vidjeti prvi mandat? Mi vidimo! Ovo je trojka (b 1 = 3). Što je s nazivnikom? Još ga ne vidimo, ali ga je vrlo lako izbrojati. Ako, naravno, razumiješ.
Ovdje razmatramo. Izravno prema značenju geometrijske progresije: uzimamo bilo koji njezin član (osim prvog) i dijelimo s prethodnim.
Barem ovako:
q = 24/12 = 2
Što još znamo? Također znamo neki član ove progresije, jednak 768. Pod nekim brojem n:
b n = 768
Ne znamo njegov broj, ali naš je zadatak upravo pronaći ga.) Dakle, tražimo. Već smo preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu u formuli. Neprimjetno.)
Ovdje zamjenjujemo:
768 = 3 2n -1
Izrađujemo elementarne - oba dijela podijelimo s tri i prepišemo jednadžbu u uobičajenom obliku: nepoznato s lijeve strane, poznato s desne strane.
dobivamo:
2 n -1 = 256
Evo jedne zanimljive jednadžbe. Moramo pronaći "n". Što je neobično? Da, ne raspravljam se. Zapravo, to je najjednostavnije. Zove se tako jer je nepoznato (u ovom slučaju to je broj n) stoji unutra indikator stupanj.
U fazi upoznavanja s geometrijskom progresijom (ovo je deveti razred), eksponencijalne se jednadžbe ne uče rješavati, da... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednadžbe rješavaju, pokušajmo pronaći našu n vođen jednostavnom logikom i zdravim razumom.
Počinjemo raspravljati. S lijeve strane imamo dvojku donekle. Još ne znamo kolika je točno ova diploma, ali to nije strašno. Ali s druge strane, čvrsto znamo da je ovaj stupanj jednak 256! Pa se sjećamo u kojoj mjeri nam dvojka daje 256. Sjećate se? Da! NA osmi stupnjeva!
256 = 2 8
Ako se niste sjetili ili s prepoznavanjem stupnjeva problema, onda je također u redu: samo sukcesivno dižemo dva na kvadrat, na kocku, na četvrti stepen, peti i tako dalje. Odabir je, zapravo, ali na ovoj razini, poprilična vožnja.
Na ovaj ili onaj način, dobit ćemo:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Dakle, 768 je devetičlan našeg napredovanja. To je to, problem riješen.)
Odgovor: 9
Što? dosadno? Umorni ste od osnovne? Slažem se. I ja isto. Idemo na sljedeću razinu.)
Složeniji zadaci.
A sada naglo rješavamo zagonetke. Ne baš super-kul, ali na kojem se morate malo poraditi da biste došli do odgovora.
Na primjer, ovako.
Pronađite drugi član geometrijske progresije ako je njegov četvrti član -24, a sedmi član 192.
Ovo je klasik žanra. Poznata su neka dva različita člana progresije, ali se mora pronaći još jedan član. Štoviše, svi članovi NISU susjedi. Ono što zbuni na prvu, da...
Kao iu , razmatramo dvije metode za rješavanje takvih problema. Prvi način je univerzalan. Algebarski. Radi besprijekorno s bilo kojim izvornim podacima. Dakle, tu ćemo početi.)
Svaki pojam slikamo prema formuli nth član!
Sve je potpuno isto kao i kod aritmetičke progresije. Samo ovaj put radimo s još opća formula. To je sve.) Ali suština je ista: uzimamo i zauzvrat zamjenjujemo naše početne podatke u formulu n-tog člana. Za svakog člana - svoje.
Za četvrti pojam pišemo:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Tamo je. Jedna je jednadžba potpuna.
Za sedmi pojam pišemo:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Ukupno su dobivene dvije jednadžbe za ista progresija .
Od njih sastavljamo sustav:
Unatoč svom zastrašujućem izgledu, sustav je prilično jednostavan. Najočitiji način rješavanja je uobičajena zamjena. Izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamijeni u donju:
Malo petljanja s nižom jednadžbom (smanjenje eksponenata i dijeljenje s -24) daje:
q 3 = -8
Inače, do iste se jednadžbe može doći i na jednostavniji način! Što? Sada ću vam pokazati još jednu tajnu, ali vrlo lijep, moćan i koristan način rješavanja takvih sustava. Takvi sustavi, u čijim jednadžbama sjede samo radi. Barem u jednom. pozvao metoda podjele termina jedna jednadžba drugoj.
Dakle, imamo sustav:
U obje jednadžbe s lijeve strane - raditi, a s desne strane je samo broj. Ovo je vrlo dobar znak.) Uzmimo i ... podijelimo, recimo, donju jednadžbu gornjom! Što znači, podijeliti jednu jednadžbu drugom? Jako jednostavno. Uzimamo lijeva strana jedna jednadžba (niža) i dijelimo nju na lijeva strana druga jednadžba (gornja). Desna strana je slična: desna strana jedna jednadžba dijelimo na desna strana još.
Cijeli proces podjele izgleda ovako:
Sada, smanjivanjem svega što se reducira, dobivamo:
q 3 = -8
Što je dobro u ovoj metodi? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno reducirati i ostaje potpuno bezopasna jednadžba! Zato je toliko važno imati samo množenja u barem jednoj od jednadžbi sustava. Nema množenja - nema se što smanjiti, da ...
Općenito, ova metoda (kao i mnogi drugi netrivijalni načini rješavanja sustava) čak zaslužuje zasebnu lekciju. Svakako ću ga pobliže pogledati. Jednog dana…
Međutim, kako god riješili sustav, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednadžbu:
q 3 = -8
Nema problema: izvadimo korijen (kubično) i - gotovo!
Imajte na umu da ovdje nije potrebno stavljati plus/minus prilikom vađenja. Imamo korijen neparnog (trećeg) stupnja. A odgovor je isti, da.
Dakle, nazivnik progresije je pronađen. Minus dva. Izvrsno! Proces je u tijeku.)
Za prvi član (recimo iz gornje jednadžbe) dobivamo:
Izvrsno! Znamo prvi član, znamo nazivnik. A sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)
Za drugog člana sve je prilično jednostavno:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Odgovor: -6
Dakle, riješili smo algebarski način rješavanja problema. Teško? Ne puno, slažem se. Dugo i dosadno? Da definitivno. Ali ponekad možete značajno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafički način. Dobro staro i poznato nam po .)
Nacrtajmo problem!
Da! Točno. Opet prikazujemo naš napredak na brojevnoj osi. Ne nužno ravnalo, nije potrebno održavati jednake intervale između članova (koji, usput rečeno, neće biti isti, jer je progresija geometrijska!), nego jednostavno shematski nacrtaj naš slijed.
Ja sam dobio ovako:
Sada pogledajte sliku i razmislite. Koliko jednakih faktora "q" dijeli Četvrta i sedmičlanovi? Tako je, tri!
Stoga imamo pravo napisati:
-24q 3 = 192
Odavde je sada lako pronaći q:
q 3 = -8
q = -2
To je super, nazivnik nam je već u džepu. A sada ponovno gledamo sliku: koliko takvih nazivnika sjedi između drugi i Četvrtačlanovi? Dva! Stoga, da bismo zabilježili odnos između ovih članova, podići ćemo nazivnik na kvadrat.
Ovdje pišemo:
b 2 · q 2 = -24 , gdje b 2 = -24/ q 2
Naš pronađeni nazivnik zamjenjujemo u izraz za b 2 , računamo i dobivamo:
Odgovor: -6
Kao što vidite, sve je puno jednostavnije i brže nego kroz sustav. Štoviše, ovdje uopće nismo trebali ni brojati prvi mandat! Uopće.)
Evo tako jednostavnog i vizualnog svjetla. Ali ima i ozbiljan nedostatak. Pogodio? Da! Dobar je samo za vrlo kratke dijelove progresije. One gdje udaljenosti između članova koji nas zanimaju nisu jako velike. Ali u svim ostalim slučajevima već je teško nacrtati sliku, da... Tada problem rješavamo analitički, kroz sustav.) A sustavi su univerzalna stvar. Pozabavite se bilo kojim brojem.
Još jedan epski:
Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog, a treći član 30 više od drugog. Pronađite nazivnik progresije.
Što je cool? Nikako! Sve isto. Ponovno prevodimo uvjet problema u čistu algebru.
1) Svaki pojam slikamo prema formuli nth član!
Drugi član: b 2 = b 1 q
Treći član: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Odnos između članova zapisujemo iz uvjeta zadatka.
Čitanje uvjeta: "Drugi član geometrijske progresije je 10 više od prvog." Stani, ovo je vrijedno!
Pa pišemo:
b 2 = b 1 +10
I ovu frazu prevodimo u čistu matematiku:
b 3 = b 2 +30
Dobili smo dvije jednadžbe. Kombiniramo ih u sustav:
Sustav izgleda jednostavno. Ali postoji mnogo različitih indeksa za slova. Zamijenimo umjesto drugog i trećeg člana njihov izraz kroz prvi član i nazivnik! Uzalud, ili što, slikali smo ih?
dobivamo:
Ali takav sustav više nije dar, da... Kako to riješiti? Nažalost, univerzalna tajna čarolija za rješavanje složena nelinearne U matematici nema sustava i ne može ih biti. Fantastično je! Ali prva stvar koja bi vam trebala pasti na pamet kada pokušate razbiti tako tvrd orah jest shvatiti Ali nije li jedna od jednadžbi sustava svedena na lijep oblik, što olakšava, na primjer, izražavanje jedne od varijabli u terminima druge?
da pogodimo. Prva je jednadžba sustava očito jednostavnija od druge. Mučit ćemo ga.) Zašto ne pokušati iz prve jednadžbe nešto izraziti kroz nešto? Budući da želimo pronaći nazivnik q, tada bi nam bilo najpovoljnije izraziti b 1 kroz q.
Pa pokušajmo napraviti ovaj postupak s prvom jednadžbom, koristeći stare dobre:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b 1 (q-1) = 10
Sve! Ovdje smo izrazili nepotrebno nam varijabla (b 1) kroz potrebno(q). Da, nije najjednostavniji izraz primljen. Nekakav razlomak ... Ali naš sustav je na pristojnoj razini, da.)
Tipično. Što učiniti – znamo.
Pišemo ODZ (obavezno!) :
q ≠ 1
Sve pomnožimo nazivnikom (q-1) i smanjimo sve razlomke:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Sve podijelimo s deset, otvorimo zagrade, skupimo sve s lijeve strane:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Rješavamo dobiveni rezultat i dobivamo dva korijena:
q 1 = 1
q 2 = 3
Postoji samo jedan konačni odgovor: q = 3 .
Odgovor: 3
Kao što vidite, način rješavanja većine problema za formulu n-tog člana geometrijske progresije uvijek je isti: čitamo pažljivo stanje problema i, koristeći formulu n-tog člana, sve korisne informacije prevodimo u čistu algebru.
Naime:
1) Svaki član zadani u zadatku zapisujemo posebno prema formulinth član.
2) Iz uvjeta zadatka vezu između članova prevodimo u matematički oblik. Sastavljamo jednadžbu ili sustav jednadžbi.
3) Rješavamo rezultirajuću jednadžbu ili sustav jednadžbi, pronalazimo nepoznate parametre progresije.
4) U slučaju dvosmislenog odgovora, pažljivo čitamo stanje problema u potrazi za dodatnim informacijama (ako ih ima). Dobiveni odgovor također provjeravamo s uvjetima ODZ-a (ako ih ima).
A sada navodimo glavne probleme koji najčešće dovode do pogrešaka u procesu rješavanja problema geometrijske progresije.
1. Elementarna aritmetika. Operacije s razlomcima i negativnim brojevima.
2. Ako je barem jedna od ove tri točke problem, onda ćete neminovno pogriješiti u ovoj temi. Nažalost... Zato nemojte biti lijeni i ponovite gore navedeno. I slijedite poveznice - idite. Ponekad pomaže.)
Modificirane i ponavljajuće formule.
A sada pogledajmo nekoliko tipičnih ispitnih problema s manje poznatim prikazom stanja. Da, da, pogodili ste! to izmijenjena i ponavljajuća formule n-tog člana. Već smo se susreli s takvim formulama i radili smo u aritmetičkoj progresiji. Ovdje je sve slično. Suština je ista.
Na primjer, takav problem iz OGE-a:
Geometrijska progresija je data formulom b n = 3 2 n . Pronađite zbroj prvog i četvrtog člana.
Ovaj put nam je progresija data ne baš kao inače. Nekakva formula. Pa što? Ova formula je također formulanth član! Svi znamo da se formula n-tog člana može napisati i u općem obliku, kroz slova i za specifično napredovanje. IZ specifično prvi član i nazivnik.
U našem slučaju, zapravo smo dobili opću formulu pojma za geometrijsku progresiju sa sljedećim parametrima:
b 1 = 6
q = 2
Provjerimo?) Napišimo formulu n-tog člana u općem obliku i zamijenimo je b 1 i q. dobivamo:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 2n -1
Pojednostavljujemo, koristeći faktorizaciju i svojstva snage, i dobivamo:
b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj s vama nije demonstrirati izvođenje određene formule. To je tako, lirska digresija. Čisto za razumijevanje.) Cilj nam je riješiti problem prema formuli koja nam je dana u uvjetu. Shvaćate li?) Dakle, radimo s izmijenjenom formulom izravno.
Računamo prvi termin. Zamjena n=1 u opću formulu:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Kao ovo. Inače, nisam previše lijen i još jednom ću vam skrenuti pozornost na tipičan kiks s izračunom prvog mandata. NEMOJTE gledati formulu b n= 3 2n, odmah požurite napisati da je prvi član trojka! To je velika greška, da...)
Nastavljamo. Zamjena n=4 i razmotrimo četvrti pojam:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
I na kraju, izračunavamo potreban iznos:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Odgovor: 54
Drugi problem.
Geometrijska progresija dana je uvjetima:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Pronađite četvrti član progresije.
Ovdje je progresija dana rekurentnom formulom. Pa dobro.) Kako raditi s ovom formulom - također znamo.
Ovdje djelujemo. Korak po korak.
1) brojeći dva sukcesivnočlan progresije.
Prvi mandat nam je već dan. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi član, može se lako izračunati pomoću rekurzivne formule. Naravno, ako razumijete kako to funkcionira.)
Ovdje razmatramo drugi pojam prema poznatom prvom:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Smatramo nazivnik progresije
Također nema problema. Ispravno, podijeli drugi kurac na prvi.
dobivamo:
q = -21/(-7) = 3
3) Napišite formulunth člana u uobičajenom obliku i razmotrite željenog člana.
Dakle, znamo prvi član, nazivnik također. Ovdje pišemo:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Odgovor: -189
Kao što možete vidjeti, rad s takvim formulama za geometrijsku progresiju u biti se ne razlikuje od onoga za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opću bit i značenje ovih formula. Pa, također treba razumjeti značenje geometrijske progresije, da.) I tada neće biti glupih pogrešaka.
Pa, odlučimo sami?)
Sasvim elementarni zadaci, za zagrijavanje:
1. S obzirom na geometrijsku progresiju u kojoj b 1 = 243, i q = -2/3. Pronađite šesti član progresije.
2. Uobičajeni pojam geometrijske progresije dan je formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj posljednjeg troznamenkastog člana ove progresije.
3. Geometrijska progresija dana je uvjetima:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Pronađite peti član progresije.
Malo kompliciranije:
4. Zadana geometrijska progresija:
b 1 =2048; q =-0,5
Koji je njegov šesti negativni pojam?
Što se čini super teškim? Nikako. Logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije će spasiti. Pa, naravno, formula n-tog člana.
5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi član je 112. Nađite nazivnik progresije.
6. Zbroj prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbroj drugog i trećeg člana je 150. Nađi šesti član progresije.
Odgovori (u neredu): 6; -3888; -jedan; 800; -32; 448.
To je gotovo sve. Ostaje samo naučiti računati zbroj prvih n članova geometrijske progresije da otkrij beskonačno opadajuća geometrijska progresija i njegovu količinu. Usput, vrlo zanimljiva i neobična stvar! Više o tome u kasnijim lekcijama.)
