Stupanj eksponencijalan. Eksponencijalna funkcija. Što je eksponencijalna funkcija

Koncentracija pažnje:

Definicija. Funkcija vrsta se zove eksponencijalna funkcija .

Komentar. Osnovno isključenje a brojevi 0; 1 i negativne vrijednosti a objašnjeno sljedećim okolnostima:

Sam analitički izraz a x u tim slučajevima zadržava svoje značenje i može se susresti u rješavanju problema. Na primjer, za izraz x y točka x = 1; y = 1 ulazi u raspon prihvatljivih vrijednosti.

Konstruirajte grafove funkcija: i .

Graf eksponencijalne funkcije
y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1

Svojstva eksponencijalne funkcije

Svojstva eksponencijalne funkcije	y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1
Opseg funkcije
2. Raspon vrijednosti funkcije
3. Intervali usporedbe s jedinicom	na x> 0, a x > 1	na x > 0, 0< a x < 1
	na x < 0, 0< a x < 1	na x < 0, a x > 1
4. Parno, neparno.	Funkcija nije ni parna ni neparna (opća funkcija).
5. Monotonija.	monotono se povećava za R	monotono se smanjuje za R
6. Ekstremi.	Eksponencijalna funkcija nema ekstrema.
7.Asimptota	Os O x je horizontalna asimptota.
8. Za sve stvarne vrijednosti x i y;

Kada se tablica popuni, zadaci se rješavaju paralelno s popunjavanjem.

Zadatak broj 1. (Pronaći domenu funkcije).

Koje vrijednosti argumenata vrijede za funkcije:

Zadatak broj 2. (Pronaći raspon funkcije).

Slika prikazuje graf funkcije. Odredite opseg i opseg funkcije:

Zadatak broj 3. (Ukazati na intervale usporedbe s jedinicom).

Usporedite svaku od sljedećih moći s jednom:

Zadatak broj 4. (Proučiti funkciju za monotonost).

Usporedite realne brojeve po veličini m i n ako:

Zadatak broj 5. (Proučiti funkciju za monotonost).

Donesite zaključak o osnovi a, ako:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

Kako su grafovi eksponencijalnih funkcija jedni u odnosu na druge za x > 0, x = 0, x< 0?

U jednoj koordinatnoj ravni ucrtani su grafovi funkcija:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .

Kako su grafovi eksponencijalnih funkcija jedni u odnosu na druge za x > 0, x = 0, x< 0?

Broj jedna od najvažnijih konstanti u matematici. Po definiciji, to jednaka granici niza s neograničenim povećanje n . Oznaka e uveo Leonhard Euler 1736. Prve 23 znamenke ovog broja izračunao je u decimalnim zapisima, a sam broj je dobio ime po Napieru "ne-peer number". Broj e igra posebnu ulogu u matematičkoj analizi. Eksponencijalna funkcija s bazom e, naziva eksponent i označena y = e x. Prvi znakovi brojevima e lako za pamćenje: dva, zarez, sedam, godina rođenja Lava Tolstoja - dva puta, četrdeset i pet, devedeset, četrdeset i pet.

Domaća zadaća:

Kolmogorov p. 35; br. 445-447; 451; 453.

Ponovite algoritam za konstruiranje grafova funkcija koji sadrže varijablu pod znakom modula.

Lekcija #2

Tema: Eksponencijalna funkcija, njezina svojstva i graf.

Cilj: Provjerite kvalitetu asimilacije koncepta "eksponencijalne funkcije"; formirati vještine prepoznavanja eksponencijalne funkcije, korištenja njezinih svojstava i grafova, naučiti učenike koristiti analitičke i grafičke oblike bilježenja eksponencijalne funkcije; osigurati radno okruženje u učionici.

Oprema: ploča, plakati

Obrazac za lekciju: učionica

Vrsta lekcije: praktična nastava

Vrsta lekcije: sat osposobljavanja vještina

Plan učenja

1. Organizacijski trenutak

2. Samostalni rad i provjera domaće zadaće

3. Rješavanje problema

4. Sumiranje

5. Domaća zadaća

Tijekom nastave.

1. Organizacijski trenutak :

Zdravo. Otvorite bilježnice, zapišite današnji datum i temu lekcije "Eksponencijalna funkcija". Danas ćemo nastaviti proučavati eksponencijalnu funkciju, njezina svojstva i graf.

2. Samostalni rad i provjera domaće zadaće .

Cilj: provjeriti kvalitetu asimilacije pojma "eksponencijalne funkcije" i provjeriti ispunjenost teoretskog dijela domaće zadaće

Metoda: testni zadatak, frontalni pregled

Kao domaću zadaću dobili ste brojeve iz zadataka i odlomak iz udžbenika. Nećemo sada provjeravati izvođenje brojeva iz udžbenika, ali ćete svoje bilježnice predati na kraju sata. Sada će se teorija testirati u obliku malog testa. Zadatak je isti za sve: dobivate popis funkcija, morate saznati koje su od njih indikativne (podcrtajte ih). A uz eksponencijalnu funkciju trebate napisati da li raste ili opada.

Sada se zajedno prisjetimo koja se funkcija zove eksponencijalna?

Funkcija oblika , gdje i , naziva se eksponencijalna funkcija.

Koji je opseg ove funkcije?

Svi realni brojevi.

Koliki je raspon eksponencijalne funkcije?

Svi pozitivni realni brojevi.

Smanjuje se ako je baza veća od nule, ali manja od jedan.

Kada se eksponencijalna funkcija smanjuje na svojoj domeni?

Povećava se ako je baza veća od jedan.

3. Rješavanje problema

Cilj: formirati vještine prepoznavanja eksponencijalne funkcije, korištenja njezinih svojstava i grafova, naučiti učenike koristiti analitičke i grafičke oblike zapisivanja eksponencijalne funkcije

Metoda: demonstracija od strane nastavnika rješavanja tipičnih zadataka, usmeni rad, rad na ploči, rad u bilježnici, razgovor učitelja s učenicima.

Svojstva eksponencijalne funkcije mogu se koristiti kada se uspoređuju 2 ili više brojeva. Na primjer: br. 000. Usporedite vrijednosti i ako a) ..gif" width="37" height="20 src=">, onda je ovo prilično zeznut posao: morali bismo uzeti kubni korijen od 3 i 9 i usporediti ih. Ali znamo da se povećava, ovo je u svom redu znači da kada se argument povećava, vrijednost funkcije raste, odnosno da nam je dovoljno da međusobno usporedimo vrijednosti ​​argumenata i, očito, da (može se pokazati na plakatu s rastućom eksponencijalnom funkcijom). I uvijek pri rješavanju takvih primjera prvo odredite bazu eksponencijalne funkcije, usporedite s 1, odredite monotonost i prijeđite na usporedbu argumenata. U slučaju opadajuće funkcije: kako se argument povećava, vrijednost funkcije opada, dakle, mijenja se predznak nejednakosti pri prelasku s nejednakosti argumenata na nejednakost funkcija. Zatim usmeno rješavamo: b)

-

NA)

-

G)

-

- Broj 000. Usporedi brojeve: a) i

Dakle, funkcija se, dakle, povećava

Zašto ?

Povećanje funkcije i

Dakle, funkcija se, dakle, smanjuje

Obje funkcije rastu u cijeloj svojoj domeni definicije, budući da su eksponencijalne s bazom većom od jedan.

Koje je značenje toga?

Izrađujemo grafikone:

Koja funkcija raste brže kada težite https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Koja funkcija se brže smanjuje pri težnji https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Na intervalu, koja od funkcija ima najveću vrijednost u određenoj točki?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Prvo, doznajmo opseg ovih funkcija. Da li podudaraju?

Da, domena ovih funkcija su svi realni brojevi.

Navedite opseg svake od ovih funkcija.

Rasponi ovih funkcija se podudaraju: svi pozitivni realni brojevi.

Odredite vrstu monotonosti svake od funkcija.

Sve tri funkcije smanjuju se u cijeloj svojoj domeni definicije, budući da su eksponencijalne s bazom manjom od jedan i većom od nule.

Koja je singularna točka grafa eksponencijalne funkcije?

Koje je značenje toga?

Bez obzira na bazu stupnja eksponencijalne funkcije, ako je eksponent 0, tada je vrijednost ove funkcije 1.

Izrađujemo grafikone:

Analizirajmo grafikone. Koliko točaka presjeka imaju grafovi funkcija?

Koja funkcija se brže smanjuje pri težnji? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Koja funkcija brže raste pri težnji? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Na intervalu, koja od funkcija ima najveću vrijednost u određenoj točki?

Na intervalu, koja od funkcija ima najveću vrijednost u određenoj točki?

Zašto eksponencijalne funkcije s različitim bazama imaju samo jednu točku presjeka?

Eksponencijalne funkcije su striktno monotone u cijeloj svojoj domeni definicije, tako da se mogu križati samo u jednoj točki.

Sljedeći zadatak će se usredotočiti na korištenje ovog svojstva. № 000. Nađite najveću i najmanju vrijednost zadane funkcije na zadanom intervalu a). Podsjetimo da strogo monotona funkcija uzima svoje minimalne i maksimalne vrijednosti na krajevima zadanog intervala. A ako se funkcija povećava, tada će njena najveća vrijednost biti na desnom kraju segmenta, a najmanja na lijevom kraju segmenta (demonstracija na posteru, koristeći eksponencijalnu funkciju kao primjer). Ako je funkcija opadajuća, tada će njezina najveća vrijednost biti na lijevom kraju segmenta, a najmanja na desnom kraju segmenta (demonstracija na posteru, koristeći eksponencijalnu funkciju kao primjer). Funkcija se povećava, jer će stoga najmanja vrijednost funkcije biti u točki https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Točke b) , u) d) samostalno rješavajte bilježnice, to ćemo usmeno provjeriti.

Učenici rješavaju zadatak u svojoj bilježnici

- № 000. Nađite najveću i najmanju vrijednost zadane funkcije na danom intervalu a) . Ovaj zadatak je gotovo isti kao i prethodni. Ali ovdje nije dan segment, već zraka. Znamo da se funkcija povećava i da nema ni najveću ni najmanju vrijednost na cijeloj brojevnoj liniji https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, i teži na , tj. na zraku, funkcija na teži 0, ali nema svoju najmanju vrijednost, ali ima najveću vrijednost u točki . Točke b) , u) , G) Riješite svoje bilježnice, mi ćemo to usmeno provjeriti.

Eksponencijalna funkcija je generalizacija umnoška n brojeva jednakih a:
y (n) = a n = a a a a,
na skup realnih brojeva x :
y (x) = x.
Ovdje je a fiksni realni broj, koji se zove baza eksponencijalne funkcije.
Također se naziva eksponencijalna funkcija s bazom a eksponencijalno prema bazi a.

Generalizacija se provodi na sljedeći način.
Za prirodni x = 1, 2, 3,... , eksponencijalna funkcija je proizvod x faktora:
.
Štoviše, ima svojstva (1,5-8) (), koja proizlaze iz pravila za množenje brojeva. Pri nultim i negativnim vrijednostima cijelih brojeva, eksponencijalna funkcija je određena formulama (1.9-10). Za frakcijske vrijednosti x = m/n racionalnih brojeva, , određuje se formulom (1.11). Za real, eksponencijalna funkcija je definirana kao granica niza:
,
gdje je proizvoljan niz racionalnih brojeva koji konvergiraju na x : .
Ovom definicijom eksponencijalna funkcija je definirana za sve , i zadovoljava svojstva (1.5-8), kao i za prirodni x .

Stroga matematička formulacija definicije eksponencijalne funkcije i dokaz njezinih svojstava data je na stranici "Definicija i dokaz svojstava eksponencijalne funkcije".

Svojstva eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija y = a x ima sljedeća svojstva na skupu realnih brojeva ():
(1.1) je definiran i kontinuiran, za , za sve ;
(1.2) kada je ≠ 1 ima mnogo značenja;
(1.3) strogo raste na , strogo se smanjuje na ,
je konstantna na ;
(1.4) na ;
na ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge korisne formule
.
Formula za pretvaranje u eksponencijalnu funkciju s različitom bazom stupnja:

Za b = e dobivamo izraz eksponencijalne funkcije u terminima eksponenta:

Privatne vrijednosti

, , , , .

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalne funkcije
y (x) = x
za četiri vrijednosti baze stupnjeva:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 i a = 1/8 . Vidi se da za > 1 eksponencijalna funkcija monotono raste. Što je baza stupnja a veća, to je rast jači. Na 0 < a < 1 eksponencijalna funkcija je monotono opadajuća. Što je eksponent a manji, to je smanjenje jače.

Uzlazno, silazno

Eksponencijalna funkcija at je strogo monotona, pa nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tablici.

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a je logaritam bazi a.

Ako tada
.
Ako tada
.

Diferencijacija eksponencijalne funkcije

Za diferenciranje eksponencijalne funkcije potrebno je njezinu bazu svesti na broj e, primijeniti tablicu derivacija i pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Da biste to učinili, morate koristiti svojstvo logaritama
i formula iz tablice derivacija:
.

Neka je dana eksponencijalna funkcija:
.
Donosimo ga u bazu e:

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu

Zatim

Iz tablice derivacija imamo (zamijeni varijablu x sa z):
.
Budući da je konstanta, derivacija z u odnosu na x je
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije:
.

Derivat eksponencijalne funkcije

.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Primjer diferenciranja eksponencijalne funkcije

Pronađite derivaciju funkcije
y= 35 x

Odluka

Osnovicu eksponencijalne funkcije izražavamo brojem e.
3 = e log 3
Zatim
.
Uvodimo varijablu
.
Zatim

Iz tablice izvedenica nalazimo:
.
Ukoliko 5 u 3 je konstanta, tada je derivacija z u odnosu na x:
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije imamo:
.

Odgovor

Sastavni

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
f (z) = az
gdje je z = x + iy; i 2 = - 1 .
Kompleksnu konstantu a izražavamo u terminima modula r i argumenta φ:
a = r e i φ
Zatim


.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Općenito
φ = φ 0 + 2 pn,
gdje je n cijeli broj. Stoga je funkcija f (z) također je dvosmislen. Često se smatra njegovom glavnom važnosti
.

Proširenje u serijama

.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.