Definicija elipse. Linije drugog reda. Elipsa i njena kanonska jednadžba. Krug

Za a=b=R jednadžba (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje kružnicu polumjera R sa središtem u točki O"(x_0,y_0) .

Parametrijska jednadžba elipse

Parametrijska jednadžba elipse u kanonskom koordinatnom sustavu ima oblik

\begin(slučajevi)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(slučajevi)0\leqslant t<2\pi.

Doista, zamjenom ovih izraza u jednadžbu (3.49), dolazimo do glavnog trigonometrijskog identiteta \cos^2t+\sin^2t=1 .

Primjer 3.20. nacrtati elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 u kanonskom koordinatnom sustavu Oxy . Pronađite poluosi, žarišnu duljinu, ekscentricitet, omjer širine i visine, žarišni parametar, jednadžbe direktrise.

Odluka. Uspoređujući zadanu jednadžbu s kanonskom, određujemo poluos: a=2 - velika poluos, b=1 - mala poluos elipse. Gradimo glavni pravokutnik sa stranicama 2a=4,~2b=2 centriranim na ishodištu (Sl.3.39). S obzirom na simetriju elipse, uklopili smo je u glavni pravokutnik. Po potrebi odredimo koordinate nekih točaka elipse. Na primjer, zamjenom x=1 u jednadžbu elipse, dobivamo

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Dakle, točke s koordinatama \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\desno)- pripadaju elipsi.

Izračunajte omjer kompresije k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); žarišna duljina 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentričnost e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); žarišni parametar p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Sastavljamo jednadžbe direktrise: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Predavanja iz algebre i geometrije. 1. semestar.

Predavanje 15. Elipsa.

Poglavlje 15

stavka 1. Osnovne definicije.

Definicija. Elipsa je GMT ravnine, čiji je zbroj udaljenosti do dvije fiksne točke ravnine, koje se nazivaju žarišta, konstantna vrijednost.

Definicija. Udaljenost od proizvoljne točke M ravnine do žarišta elipse naziva se žarišnim polumjerom točke M.

Oznake:
su žarišta elipse,
su žarišni polumjeri točke M.

Po definiciji elipse, točka M je točka elipse ako i samo ako
je konstantna vrijednost. Ova konstanta se obično označava kao 2a:

. (1)

primijeti da
.

Prema definiciji elipse, njezina žarišta su fiksne točke, pa je i udaljenost između njih stalna vrijednost za danu elipsu.

Definicija. Udaljenost između žarišta elipse naziva se žarišnom duljinom.

Oznaka:
.

Iz trokuta
slijedi to
, tj.

.

Označimo sa b broj jednak
, tj.

. (2)

Definicija. Stav

(3)

naziva se ekscentricitet elipse.

Uvedimo koordinatni sustav na zadanoj ravnini, koji ćemo nazvati kanonskim za elipsu.

Definicija. Os na kojoj leže žarišta elipse naziva se žarišna os.

Konstruirajmo kanonski PDSC za elipsu, vidi sl.2.

Odaberemo žarišnu os kao apscisnu os i povučemo os ordinate kroz sredinu segmenta
okomito na žarišnu os.

Tada žarišta imaju koordinate
,
.

stavka 2. Kanonska jednadžba elipse.

Teorema. U kanonskom koordinatnom sustavu za elipsu, jednadžba elipse ima oblik:

. (4)

Dokaz. Dokaz ćemo provesti u dvije faze. U prvoj fazi dokazat ćemo da koordinate bilo koje točke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednadžbu (4). U drugoj fazi dokazat ćemo da svako rješenje jednadžbe (4) daje koordinate točke koja leži na elipsi. Odavde slijedi da jednadžbu (4) zadovoljavaju one i samo one točke koordinatne ravnine koje leže na elipsi. Odavde i iz definicije jednadžbe krivulje slijedi da je jednadžba (4) jednadžba elipse.

1) Neka je točka M(x, y) točka elipse, tj. zbroj njegovih žarišnih polumjera je 2a:

.

Koristimo formulu za udaljenost između dvije točke na koordinatnoj ravnini i pronalazimo žarišne polumjere dane točke M koristeći ovu formulu:

,
, odakle dobivamo:

Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadrirajmo ga:

Smanjenjem dobivamo:

Dajemo slične, smanjimo za 4 i izoliramo radikal:

.

Mi kvadrat

Otvorite zagrade i skratite
:

odakle dobijamo:

Pomoću jednakosti (2) dobivamo:

.

Dijeljenje zadnje jednakosti sa
, dobivamo jednakost (4), p.t.d.

2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednadžbu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća točka na koordinatnoj ravnini Oxy.

Tada iz (4) slijedi:

.

Tu jednakost zamjenjujemo u izraz za žarišne polumjere točke M:

.

Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).

Tako,
. Također,
.

Zapazimo sada da iz jednakosti (4) slijedi da

ili
i zato što
, tada slijedi sljedeća nejednakost:

.

Iz ovoga, pak, proizlazi da

ili
i

,
. (5)

Iz jednakosti (5) slijedi da
, tj. točka M(x, y) je točka elipse, itd.

Teorem je dokazan.

Definicija. Jednadžba (4) naziva se kanonska jednadžba elipse.

Definicija. Kanonske koordinatne osi elipse nazivaju se glavnim osi elipse.

Definicija. Izvor kanonskog koordinatnog sustava za elipsu naziva se središte elipse.

stavka 3. Svojstva elipse.

Teorema. (Svojstva elipse.)

1. U kanonskom koordinatnom sustavu za elipsu, sve

točke elipse nalaze se u pravokutniku

,
.

2. Točke leže na

3. Elipsa je krivulja simetrična oko

njihove glavne osi.

4. Središte elipse je njezino središte simetrije.

Dokaz. 1, 2) Odmah slijedi iz kanonske jednadžbe elipse.

3, 4) Neka je M(x, y) proizvoljna točka elipse. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (4). Ali tada koordinate točaka također zadovoljavaju jednadžbu (4), te su, prema tome, točke elipse, iz koje slijede tvrdnje teorema.

Teorem je dokazan.

Definicija. Veličina 2a naziva se glavna os elipse, veličina a naziva se glavna poluos elipse.

Definicija. Veličina 2b naziva se mala os elipse, veličina b naziva se mala poluos elipse.

Definicija. Točke presjeka elipse s njezinim glavnim osima nazivaju se vrhovi elipse.

Komentar. Elipsa se može konstruirati na sljedeći način. U avionu "zabijamo čavao" u trikove i pričvrstimo na njih nit duljine
. Zatim uzmemo olovku i njome razvučemo nit. Zatim pomičemo olovku olovke duž ravnine, pazeći da je nit u zategnutom stanju.

Iz definicije ekscentriciteta proizlazi da

Fiksiramo broj a i pustimo da c teži nuli. Zatim kod
,
i
. U granici koju dobivamo

ili
je jednadžba kružnice.

Nastojmo sada
. Zatim
,
a vidimo da se u granici elipsa degenerira u odsječak
u oznakama na slici 3.

stavka 4. Parametarske jednadžbe elipse.

Teorema. Neka bude
su proizvoljni realni brojevi. Zatim sustav jednadžbi

,
(6)

su parametarske jednadžbe elipse u kanonskom koordinatnom sustavu za elipsu.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je sustav jednadžbi (6) ekvivalentan jednadžbi (4), tj. imaju isti skup rješenja.

1) Neka je (x, y) proizvoljno rješenje sustava (6). Podijelite prvu jednadžbu s a, drugu s b, kvadrirajte obje jednadžbe i dodajte:

.

Oni. svako rješenje (x, y) sustava (6) zadovoljava jednadžbu (4).

2) Obrnuto, neka je par (x, y) rješenje jednadžbe (4), tj.

.

Iz ove jednakosti slijedi da je točka s koordinatama
leži na kružnici jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu, tj. je točka trigonometrijskog kruga, koja odgovara nekom kutu
:

Iz definicije sinusa i kosinusa odmah slijedi da

,
, gdje
, odakle slijedi da je par (x, y) rješenje sustava (6) itd.

Teorem je dokazan.

Komentar. Elipsa se može dobiti kao rezultat jednolikog "komprimiranja" kružnice polumjera a na os apscise.

Neka bude
je jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu. "Kompresija" kružnice na os apscise nije ništa drugo nego transformacija koordinatne ravnine, koja se provodi prema sljedećem pravilu. Svakoj točki M(x, y) stavljamo u korespondenciju točku iste ravnine
, gdje
,
je faktor "kompresije".

Ovom transformacijom svaka točka kružnice "prelazi" na drugu točku u ravnini, koja ima istu apscisu, ali manju ordinatu. Izrazimo staru ordinatu točke u terminima nove:

i zamijeni u jednadžbu kruga:

.

Odavde dobivamo:

. (7)

Iz ovoga slijedi da ako je prije transformacije "kompresije" točka M(x, y) ležala na kružnici, t.j. njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu kružnice, a zatim nakon transformacije "kompresije" ova točka "prelazi" u točku
, čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu elipse (7). Ako želimo dobiti jednadžbu elipse s malom poluosi b, onda moramo uzeti faktor kompresije

.

stavka 5. Tangenta na elipsu.

Teorema. Neka bude
- proizvoljna točka elipse

.

Zatim jednadžba tangente na ovu elipsu u točki
izgleda kao:

. (8)

Dokaz. Dovoljno je razmotriti slučaj kada dodirna točka leži u prvoj ili drugoj četvrtini koordinatne ravnine:
. Jednadžba elipse u gornjoj poluravni ima oblik:

. (9)

Poslužimo se jednadžbom tangente na graf funkcije
u točki
:

gdje
je vrijednost derivacije ove funkcije u točki
. Elipsa u prvoj četvrtini može se promatrati kao graf funkcije (8). Pronađimo njegovu derivaciju i vrijednost na mjestu kontakta:

,

. Ovdje smo iskoristili činjenicu da je dodirna točka
je točka elipse i stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu elipse (9), t.j.

.

Pronađenu vrijednost derivacije zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu (10):

,

odakle dobijamo:

Iz čega slijedi:

Podijelimo ovu jednadžbu na
:

.

Ostaje napomenuti da
, jer točka
pripada elipsi i njene koordinate zadovoljavaju njezinu jednadžbu.

Jednadžba tangente (8) dokazuje se slično u tangentnoj točki koja leži u trećoj ili četvrtoj četvrtini koordinatne ravnine.

I, konačno, lako možemo vidjeti da jednadžba (8) daje jednadžbu tangente u točkama
,
:

ili
, i
ili
.

Teorem je dokazan.

stavka 6. Svojstvo zrcala elipse.

Teorema. Tangenta na elipsu ima jednake kutove sa žarišnim polumjerima tangentne točke.

Neka bude
- točka kontakta
,
su žarišni polumjeri tangentne točke, P i Q su projekcije žarišta na tangentu povučenu na elipsu u točki
.

Teorem kaže da

. (11)

Ova se jednakost može protumačiti kao jednakost kutova upada i refleksije svjetlosnog snopa od elipse oslobođene svog fokusa. Ovo svojstvo naziva se svojstvom zrcala elipse:

Snop svjetlosti emitiran iz žarišta elipse, nakon refleksije od zrcala elipse, prolazi kroz drugo žarište elipse.

Dokaz teorema. Da bismo dokazali jednakost kutova (11), dokazujemo sličnost trokuta
i
, u kojem su strane
i
bit će sličan. Budući da su trokuti pravokutni, dovoljno je dokazati jednakost

Definicija 7.1. Skup svih točaka na ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dvije fiksne točke F 1 i F 2 zadana konstanta naziva se elipsa.

Definicija elipse daje sljedeći način njezine geometrijske konstrukcije. Dvije točke F 1 i F 2 fiksiramo na ravninu, a nenegativnu konstantnu vrijednost označavamo s 2a. Neka je udaljenost između točaka F 1 i F 2 jednaka 2c. Zamislite da je nerastavljiva nit duljine 2a fiksirana u točkama F 1 i F 2, na primjer, uz pomoć dvije igle. Jasno je da je to moguće samo za a ≥ c. Povlačeći nit olovkom, nacrtajte liniju, koja će biti elipsa (slika 7.1).

Dakle, opisani skup nije prazan ako je a ≥ c. Kada je a = c, elipsa je odsječak s krajevima F 1 i F 2, a kada je c = 0, t.j. ako se fiksne točke navedene u definiciji elipse podudaraju, to je kružnica polumjera a. Odbacujući ove degenerirane slučajeve, dalje ćemo pretpostaviti, u pravilu, da je a > c > 0.

Fiksne točke F 1 i F 2 u definiciji 7.1 elipse (vidi sliku 7.1) nazivaju se trikovi s elipsom, udaljenost između njih, označena s 2c, - žarišna duljina, i segmenti F 1 M i F 2 M, koji povezuju proizvoljnu točku M na elipsi sa svojim žarištima, - žarišne radijuse.

Oblik elipse u potpunosti je određen žarišnom duljinom |F 1 F 2 | = 2s i parametar a, a njegov položaj na ravnini - parom točaka F 1 i F 2 .

Iz definicije elipse proizlazi da je ona simetrična oko ravne koja prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, kao i oko ravne koja dijeli segment F 1 F 2 na pola i okomita je na nju (sl. 7.2, a). Ove linije se zovu elipsaste osi. Točka O njihova presjeka je središte simetrije elipse, a zove se središte elipse, i točke presjeka elipse s osi simetrije (točke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhove elipse.

Broj a se zove velika poluos elipse, i b = √ (a 2 - c 2) - njegov mala poluos. Lako je vidjeti da je za c > 0 glavna poluos a jednaka udaljenosti od središta elipse do onih njezinih vrhova koji su na istoj osi kao i žarišta elipse (vrhovi A i B na sl. 7.2, a), a mala poluos b jednaka je udaljenosti od središnje elipse do njena druga dva vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).

Jednadžba elipse. Razmotrimo neku elipsu na ravnini s žarištima u točkama F 1 i F 2 , velika os 2a. Neka je 2c žarišna duljina, 2c = |F 1 F 2 |

Na ravnini biramo pravokutni koordinatni sustav Oxy tako da se njegovo ishodište podudara sa središtem elipse, a žarišta su na apscisa(slika 7.2, b). Ovaj koordinatni sustav se zove kanonski za razmatranu elipsu, a odgovarajuće varijable su kanonski.

U odabranom koordinatnom sustavu žarišta imaju koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Koristeći formulu za udaljenost između točaka, zapisujemo uvjet |F 1 M| + |F 2 M| = 2a u koordinatama:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ova jednadžba je nezgodna jer sadrži dva kvadratna radikala. Dakle, transformirajmo ga. Drugi radikal u jednadžbi (7.2) prenosimo na desnu stranu i kvadriramo:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Nakon što otvorimo zagrade i smanjimo slične pojmove, dobivamo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

gdje je ε = c/a. Ponavljamo operaciju kvadriranja kako bismo uklonili drugi radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, s obzirom na vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Budući da je a 2 - c 2 = b 2 > 0, onda

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Jednadžbu (7.4) zadovoljavaju koordinate svih točaka koje leže na elipsi. No, pri izvođenju ove jednadžbe korištene su neekvivalentne transformacije izvorne jednadžbe (7.2) - dvije kvadrature koje uklanjaju kvadratne radikale. Kvadriranje jednadžbe je ekvivalentna transformacija ako obje strane sadrže količine s istim predznakom, ali to nismo provjerili u našim transformacijama.

Možda nećemo provjeravati ekvivalentnost transformacija ako uzmemo u obzir sljedeće. Par točaka F 1 i F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, na ravnini definira obitelj elipsa s žarištima u tim točkama. Svaka točka ravnine, osim točaka segmenta F 1 F 2 , pripada nekoj elipsi navedene obitelji. U ovom slučaju se dvije elipse ne sijeku, budući da zbroj žarišnih polumjera jednoznačno određuje određenu elipsu. Dakle, opisana obitelj elipsa bez sjecišta pokriva cijelu ravninu, osim točaka segmenta F 1 F 2 . Razmotrimo skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (7.4) s zadanom vrijednošću parametra a. Može li se ovaj skup rasporediti na nekoliko elipsa? Neke od točaka skupa pripadaju elipsi s velikom poluosom a. Neka u ovom skupu postoji točka koja leži na elipsi s velikom poluosom a. Tada koordinate ove točke odgovaraju jednadžbi

oni. jednadžbe (7.4) i (7.5) imaju opća rješenja. Međutim, lako je provjeriti je li sustav

za ã ≠ a nema rješenja. Da biste to učinili, dovoljno je isključiti, na primjer, x iz prve jednadžbe:

što nakon transformacija dovodi do jednadžbe

nema rješenja za ã ≠ a, jer . Dakle, (7.4) je jednadžba elipse s velikom poluosi a > 0 i malom poluosi b = √ (a 2 - c 2) > 0. Zove se kanonska jednadžba elipse.

Pogled elipse. Gore razmatrana geometrijska metoda konstruiranja elipse daje dovoljnu ideju o izgled elipsa. Ali oblik elipse može se istražiti i uz pomoć njezine kanonske jednadžbe (7.4). Na primjer, uzimajući u obzir y ≥ 0, možete izraziti y u terminima x: y = b√(1 - x 2 /a 2) i, nakon što smo ispitali ovu funkciju, izgraditi njezin graf. Postoji još jedan način za konstruiranje elipse. Krug polumjera a sa središtem u ishodištu kanonskog koordinatnog sustava elipse (7.4) opisuje se jednadžbom x 2 + y 2 = a 2 . Ako je komprimiran s koeficijentom a/b > 1 uzduž y-os, tada dobivate krivulju koja je opisana jednadžbom x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, tj. elipsa.

Napomena 7.1. Ako se isti krug sabije s koeficijentom a/b

Ekscentricitet elipse. Omjer žarišne duljine elipse i njene glavne osi naziva se ekscentricitet elipse a označena je s ε. Za danu elipsu

kanonska jednadžba (7.4), ε = 2c/2a = s/a. Ako su u (7.4) parametri a i b povezani nejednakošću a

Za c = 0, kada se elipsa pretvara u krug, i ε = 0. U drugim slučajevima, 0

Jednadžba (7.3) je ekvivalentna jednadžbi (7.4) jer su jednadžbe (7.4) i (7.2) ekvivalentne. Stoga je (7.3) također jednadžba elipse. Osim toga, relacija (7.3) je zanimljiva po tome što daje jednostavnu formulu bez radikala za duljinu |F 2 M| jedan od žarišnih polumjera točke M(x; y) elipse: |F 2 M| = a + εx.

Slična formula za drugi žarišni polumjer može se dobiti iz razmatranja simetrije ili ponavljanjem proračuna u kojima se, prije kvadriranja jednadžbe (7.2), prvi radikal prenosi na desnu stranu, a ne drugi. Dakle, za bilo koju točku M(x; y) na elipsi (vidi sliku 7.2)

|Ž 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

a svaka od ovih jednadžbi je jednadžba elipse.

Primjer 7.1. Pronađimo kanonsku jednadžbu elipse s velikom poluosi 5 i ekscentricitetom 0,8 i konstruirajmo je.

Poznavajući veliku poluos elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, nalazimo njezinu malu poluos b. Budući da b = √ (a 2 - c 2), i c = εa = 4, onda b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Dakle, kanonska jednadžba ima oblik x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Da biste konstruirali elipsu, prikladno je nacrtati pravokutnik sa središtem na ishodištu kanonskog koordinatnog sustava, čije su stranice paralelne s osi simetrije elipse i jednake njegovoj odgovarajuće osi (slika 7.4). Ovaj pravokutnik siječe se s

u nju je upisana osi elipse na njezinim vrhovima A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), te sama elipsa. Na sl. 7.4 također prikazuje žarišta F 1.2 (±4; 0) elipse.

Geometrijska svojstva elipse. Prepišimo prvu jednadžbu u (7.6) kao |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Imajte na umu da je vrijednost a / ε - x za a > c pozitivna, budući da fokus F 1 ne pripada elipsi. Ova vrijednost je udaljenost do okomite crte d: x = a/ε od točke M(x; y) lijevo od ove linije. Jednadžba elipse može se napisati kao

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

To znači da se ova elipsa sastoji od onih točaka M (x; y) ravnine za koje je omjer duljine žarišnog polumjera F 1 M i udaljenosti do ravne crte d konstantna vrijednost jednaka ε (sl. 7.5).

Pravac d ima "dvostruku" - okomitu liniju d", simetričnu d u odnosu na središte elipse, koja je dana jednadžbom x \u003d -a / ε. S obzirom na d", elipsa je opisano na isti način kao u odnosu na d. Oba pravca d i d" se nazivaju elipse direktrise. Direktrice elipse okomite su na os simetrije elipse, na kojoj se nalaze njezina žarišta, a odvojene su od središta elipse na udaljenosti a / ε \u003d a 2 / c (vidi sliku 7.5) .

Udaljenost p od direktrise do njoj najbližeg žarišta naziva se žarišni parametar elipse. Ovaj parametar je jednak

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elipsa ima još jedno važno geometrijsko svojstvo: žarišni polumjeri F 1 M i F 2 M čine jednake kutove s tangentom na elipsu u točki M (slika 7.6).

Ovo svojstvo ima jasno fizičko značenje. Ako se izvor svjetlosti postavi u žarište F 1, tada će snop koji izlazi iz tog fokusa, nakon odbijanja od elipse, ići duž drugog žarišnog radijusa, budući da će nakon refleksije biti pod istim kutom prema krivulji kao i prije refleksije . Dakle, sve zrake koje izlaze iz fokusa F 1 bit će koncentrirane u drugom fokusu F 2 i obrnuto. Na temelju ovog tumačenja ovo svojstvo se zove optičko svojstvo elipse.

Krivulje drugog reda na ravnini nazivaju se pravci definirani jednadžbama u kojima je varijabla koordinata x i y sadržane u drugom stupnju. To uključuje elipsu, hiperbolu i parabolu.

Opći oblik jednadžbe krivulje drugog reda je sljedeći:

gdje A B C D E F- brojevi i barem jedan od koeficijenata A, B, C nije jednako nuli.

Kod rješavanja zadataka s krivuljama drugog reda najčešće se razmatraju kanonske jednadžbe elipse, hiperbole i parabole. Na njih je lako prijeći iz općih jednadžbi, tome će biti posvećen primjer 1. problema s elipsama.

Elipsa zadana kanonskom jednadžbom

Definicija elipse. Elipsa je skup svih točaka u ravnini, onih za koje je zbroj udaljenosti do točaka, zvanih žarišta, konstantan i veći od udaljenosti između žarišta.

Fokusi su označeni kao na donjoj slici.

Kanonska jednadžba elipse je:

gdje a i b (a > b) - duljine poluosi, tj. polovica duljina segmenata odsječenih elipsom na koordinatnim osi.

Ravna crta koja prolazi kroz žarišta elipse je njezina os simetrije. Druga os simetrije elipse je ravna crta koja prolazi sredinom segmenta okomito na ovaj segment. Točka O presjek ovih linija služi kao središte simetrije elipse, ili jednostavno središte elipse.

Os apscise elipse siječe se u točkama ( a, O) i (- a, O), a os y je u točkama ( b, O) i (- b, O). Ove četiri točke nazivaju se vrhovima elipse. Odsječak između vrhova elipse na osi apscise naziva se njezina velika os, a na osi ordinata - sporedna os. Njihovi segmenti od vrha do središta elipse nazivaju se poluosi.

Ako je a a = b, tada jednadžba elipse poprima oblik . Ovo je jednadžba za krug radijusa a, i krug poseban slučaj elipsa. Elipsa se može dobiti iz kruga polumjera a, ako ga komprimirate u a/b puta duž osi Oy .

Primjer 1 Provjerite je li pravac zadana općom jednadžbom , elipsa.

Odluka. Izvodimo transformacije opće jednadžbe. Primjenjujemo prijenos slobodnog člana na desnu stranu, dijeljenje jednadžbe po članu istim brojem i smanjenje razlomaka:

Odgovor. Rezultirajuća jednadžba je kanonska jednadžba elipse. Stoga je ova linija elipsa.

Primjer 2 Napišite kanonsku jednadžbu elipse ako su njezine poluosi 5, odnosno 4.

Odluka. Gledamo formulu za kanonsku jednadžbu elipse i zamjene: velika poluos je a= 5 , mala poluos je b= 4 . Dobivamo kanonsku jednadžbu elipse:

Točke i označene zelenom bojom na glavnoj osi, gdje

pozvao trikovima.

pozvao ekscentričnost elipsa.

Stav b/a karakterizira "oblatnost" elipse. Što je taj omjer manji, to je elipsa više produžena duž glavne osi. Međutim, stupanj produljenja elipse češće se izražava u terminima ekscentričnosti, čija je formula gore navedena. Za različite elipse, ekscentricitet varira od 0 do 1, uvijek ostaje manji od jedan.

Primjer 3 Napišite kanonsku jednadžbu elipse ako je udaljenost između žarišta 8, a glavne osi 10.

Odluka. Donosimo jednostavne zaključke:

Ako je glavna os 10, onda je njena polovica, tj. poluos a = 5 ,

Ako je udaljenost između žarišta 8, tada je broj c koordinata fokusa je 4.

Zamijenite i izračunajte:

Rezultat je kanonska jednadžba elipse:

Primjer 4 Napišite kanonsku jednadžbu elipse ako je njezina glavna os 26, a ekscentricitet .

Odluka. Kao što slijedi i iz veličine glavne osi i iz jednadžbe ekscentriciteta, glavna poluos elipse a= 13 . Iz jednadžbe ekscentriciteta izražavamo broj c, potrebno za izračunavanje duljine male poluosi:

.

Računamo kvadrat duljine male poluosi:

Sastavljamo kanonsku jednadžbu elipse:

Primjer 5 Odredite žarišta elipse zadane kanonskom jednadžbom.

Odluka. Treba pronaći broj c, koji definira prve koordinate žarišta elipse:

.

Dobivamo fokuse elipse:

Primjer 6Žarišta elipse nalaze se na osi Vol simetrično u odnosu na porijeklo. Napišite kanonsku jednadžbu elipse ako:

1) udaljenost između žarišta je 30, a glavna os je 34

2) mala os je 24, a jedno od fokusa je u točki (-5; 0)

3) ekscentricitet, a jedno od žarišta je u točki (6; 0)

Nastavljamo zajedno rješavati probleme na elipsi

Ako - proizvoljna točka elipse (označena zelenom bojom na crtežu u gornjem desnom dijelu elipse) i - udaljenosti do ove točke od žarišta, tada su formule za udaljenosti sljedeće:

Za svaku točku koja pripada elipsi, zbroj udaljenosti od žarišta je konstantna vrijednost jednaka 2 a.

Ravne linije definirane jednadžbama

pozvao redatelji elipsa (na crtežu - crvene linije duž rubova).

Iz gornje dvije jednadžbe slijedi da za bilo koju točku elipse

,

gdje i su udaljenosti ove točke do direktrisa i .

Primjer 7 Zadana elipsa. Napišite jednadžbu za njegove direktrise.

Odluka. Gledamo u jednadžbu direktrise i nalazimo da je potrebno pronaći ekscentricitet elipse, tj. Svi podaci za ovo su. Računamo:

.

Dobivamo jednadžbu direktrise elipse:

Primjer 8 Napišite kanonsku jednadžbu elipse ako su njezina žarišta točke, a direktrise pravi.