Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure koje ne leže u istoj ravnini. Jedan od predmeta proučavanja stereometrije su prizme. U članku ćemo dati definiciju prizme s geometrijskog gledišta, a također ćemo ukratko navesti svojstva koja su za nju karakteristična.
Geometrijski lik
Definicija prizme u geometriji je sljedeća: jest prostorna figura, koji se sastoji od dva identična n-kuta smještena u paralelnim ravninama, međusobno povezana svojim vrhovima.
Dobivanje prizme nije teško. Zamislite da postoje dva identična n-kuta, gdje je n broj stranica ili vrhova. Postavimo ih tako da budu paralelne jedna s drugom. Nakon toga, vrhove jednog poligona treba povezati s odgovarajućim vrhovima drugog. Formirana figura sastojat će se od dvije n-kutne stranice, koje se nazivaju bazama, i n četverokutnih stranica, koje su u općem slučaju paralelogrami. Skup paralelograma tvori bočnu površinu figure.
Postoji još jedan način za geometrijski dobivanje dotične figure. Dakle, ako uzmemo n-kut i prenesemo ga u drugu ravninu koristeći paralelne segmente jednake duljine, tada ćemo u novoj ravnini dobiti izvorni poligon. Oba poligona i svi paralelni segmenti povučeni iz njihovih vrhova tvore prizmu.
Gornja slika prikazuje ga tako nazvan jer su mu osnovice trokuti.
Elementi koji čine figuru
Gore je dana definicija prizme, iz koje je jasno da su glavni elementi lika njezina lica ili stranice, ograničavajući sve unutarnje točke prizme iz vanjskog prostora. Bilo koje lice figure koja se razmatra pripada jednoj od dvije vrste:
- bočno;
- razlozima.
Ima n bočnih dijelova, a to su paralelogrami ili njihove posebne vrste (pravokutnici, kvadrati). Općenito, bočne strane se međusobno razlikuju. Postoje samo dvije strane baze, oni su n-kuti i međusobno su jednaki. Dakle, svaka prizma ima n+2 stranice.
Osim stranica, lik karakteriziraju njegovi vrhovi. To su točke gdje se tri lica dodiruju u isto vrijeme. Štoviše, dva od tri lica uvijek pripadaju bočnoj površini, a jedno - bazi. Dakle, u prizmi ne postoji posebno odabran jedan vrh, kao što su, na primjer, u piramidi, svi su jednaki. Broj vrhova figure je 2*n (n komada za svaku bazu).
Konačno, treći važan element prizme su njezini rubovi. To su segmenti određene duljine, koji nastaju kao rezultat sjecišta strana figure. Poput lica, rubovi također imaju dva različiti tipovi:
- ili formirana samo od strane;
- ili nastaju na spoju paralelograma i stranice n-kutne baze.
Broj bridova je dakle 3*n, a njih 2*n pripada drugom od imenovanih tipova.
Vrste prizmi
Postoji nekoliko načina za klasifikaciju prizmi. Međutim, svi se temelje na dvije značajke figure:
- o vrsti baze n-uglja;
- na bočnoj vrsti.
Za početak, okrenimo se drugoj singularnosti i dajmo definiciju ravne linije. Ako je barem jedna strana paralelogram opći tip, tada se lik naziva koso, ili koso. Ako su svi paralelogrami pravokutnici ili kvadrati, tada će prizma biti ravna.
Definiciju možete dati i malo drugačije: ravna figura je prizma u kojoj su bočni rubovi i lica okomiti na njezine baze. Na slici su prikazane dvije četverokutne figure. Lijeva je ravna, desna koso.
Prijeđimo sada na klasifikaciju prema vrsti n-kuta koji leži u bazama. Može imati iste stranice i kutove ili različite. U prvom slučaju, poligon se naziva pravilnim. Ako slika koja se razmatra sadrži mnogokut s jednakim stranicama i kutovima na bazi i ravna je crta, onda se naziva pravilnim. Prema ovoj definiciji, pravilna prizma u svojoj bazi može imati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilan peterokut ili šesterokut i tako dalje. Navedene točne brojke prikazane su na slici.
Linearni parametri prizme
Da biste opisali dimenzije slika koje se razmatraju, koristite sljedeće parametre:
- visina;
- strane baze;
- duljine bočnih rebara;
- volumetrijske dijagonale;
- dijagonalne stranice i baze.
Za pravilne prizme sve su imenovane veličine međusobno povezane. Na primjer, duljine bočnih rebara su iste i jednake visini. Za određeni n-gonal ispravna figura postoje formule koje nam omogućuju da sve ostalo odredimo iz bilo koja dva linearna parametra.
Površina figure
Ako se okrenemo gore danoj definiciji prizme, tada neće biti teško razumjeti što predstavlja površina figure. Površina je površina svih lica. Za ravnu prizmu izračunava se po formuli:
S = 2*S o + P o *h
gdje je S o površina baze, P o je opseg n-kuta u bazi, h je visina (udaljenost između baza).
volumen figure
Uz površinu za vježbanje važno je poznavati volumen prizme. Može se odrediti pomoću sljedeće formule:
Ovaj izraz vrijedi za apsolutno sve vrste prizme, uključujući i one koje su koše i formirane od nepravilnih poligona.
Za ispravno, to je funkcija duljine stranice baze i visine figure. Za odgovarajuću n-gonalnu prizmu, formula za V ima specifičan oblik.
Definicija 1. Prizmatična površina
Teorem 1. O paralelnim presjecima prizmatične plohe
Definicija 2. Okomit presjek prizmatične plohe
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Visina prizme
Definicija 5. Izravna prizma
Teorem 2. Površina bočne površine prizme
paralelepiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Teorem 3. O presjeku dijagonala paralelepipeda
Definicija 7. Desni paralelepiped
Definicija 8. Pravokutni paralelepiped
Definicija 9. Dimenzije paralelepipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboedar
Teorem 4. O dijagonalama pravokutnog paralelepipeda
Teorem 5. Volumen prizme
Teorem 6. Volumen ravne prizme
Teorem 7. Volumen pravokutnog paralelepipeda
prizma naziva se poliedar, u kojem dva lica (baze) leže u paralelnim ravninama, a bridovi koji ne leže u tim plohama međusobno su paralelni.
Lica koja nisu baza nazivaju se bočno.
Stranice bočnih ploha i baze nazivaju se rubovi prizme, krajevi bridova se nazivaju vrhovima prizme. Bočna rebra nazivamo bridovima koji ne pripadaju bazama. Unija bočnih strana naziva se bočna površina prizme, a sjedinjenje svih lica se zove puna površina prizme. Visina prizme naziva se okomica spuštena iz točke gornje baze na ravninu donje baze ili duljina ove okomice. 
ravna prizma naziva prizma, u kojoj su bočni bridovi okomiti na ravnine baza. 
Točno naziva se ravna prizma (slika 3.), u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut.
Oznake:
l - bočno rebro;
P - perimetar baze;
S o - površina baze;
H - visina;
P ^ - perimetar okomitog presjeka;
S b - bočna površina;
V - volumen;
S p - područje puna površina prizme.
|
V=SH |
*Pretpostavlja se da se svake dvije uzastopne ravnine sijeku i da posljednja ravnina siječe prvu.
Teorem 1 . Presjeci prizmatične plohe ravninama koje su paralelne jedna s drugom (ali ne i njezinim rubovima) jednaki su poligoni.
Neka su ABCDE i A"B"C"D"E" presjeci prizmatične plohe s dvije paralelne ravnine. Da bismo provjerili da su ova dva poligona jednaka, dovoljno je pokazati da su trokuti ABC i A"B"C" jednaki i imaju isti smjer vrtnje i da isto vrijedi za trokute ABD i A"B"D", ABE i A"B"E". Ali odgovarajuće stranice ovih trokuta su paralelne (na primjer, AC je paralelan s A "C") kao linije presjeka određene ravnine s dvije paralelne ravnine; slijedi da su te strane jednake (npr. AC jednako A"C") kao suprotne strane paralelograma i da su kutovi koje čine te stranice jednaki i imaju isti smjer.
Definicija 2 . Okomit presjek prizmatične plohe je presjek ove plohe ravninom okomitom na njezine rubove. Na temelju prethodnog teorema, svi okomiti presjeci iste prizmatične plohe bit će jednaki poligoni.
Definicija 3
. Prizma je poliedar omeđen prizmatičnom površinom i dvije ravnine paralelne jedna s drugom (ali ne paralelne s rubovima prizmatične površine)
Lica koja leže u ovim posljednjim ravninama nazivaju se baze prizme; lica koja pripadaju prizmatičnoj površini - bočna lica; rubovi prizmatične površine - bočni rubovi prizme. Na temelju prethodnog teorema, baze prizme su jednaki poligoni. Sve bočne strane prizme paralelograma; svi su bočni rubovi međusobno jednaki.
Očito je da ako su baza prizme ABCDE i jedan od bridova AA" dati u veličini i smjeru, tada je moguće konstruirati prizmu crtanjem bridova BB", CC", .., jednakih i paralelnih s rub AA".
Definicija 4 . Visina prizme je udaljenost između ravnina njezinih baza (HH").
Definicija 5
. Prizma se naziva ravnom linijom ako su njezine baze okomiti presjeci prizmatične plohe. U ovom slučaju, visina prizme je, naravno, njezina bočno rebro; bočni rubovi će pravokutnika.
Prizme se mogu klasificirati prema broju bočnih strana, jednakom broju stranica poligona koji mu služi kao baza. Dakle, prizme mogu biti trokutaste, četverokutne, peterokutne itd.
Teorem 2
. Bočna površina prizme jednaka je umnošku bočno rebro na perimetru okomitog presjeka.
Neka je ABCDEA"B"C"D"E" data prizma, a abcde njezin okomit presjek, tako da su segmenti ab, bc, .. okomiti na njezine bočne rubove. Lice ABA"B" je paralelogram; njegova površina jednak je umnošku baze AA" na visinu koja odgovara ab; površina lica BB"C" jednaka je umnošku baze BB" po visini bc, itd. Dakle, bočna površina(tj. zbroj površina bočnih strana) jednak je umnošku bočnog ruba, drugim riječima, ukupne duljine odsječaka AA", BB", .., zbroju ab + bc + cd + de + ea.
Definicija. Prizma- ovo je poliedar, čiji su svi vrhovi smješteni u dvije paralelne ravnine, a u iste dvije ravnine postoje dvije površine prizme, koje su jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, i svi bridovi koji ne leže u tim ravnine su paralelne.
Zovu se dva jednaka lica baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Formiraju se sve bočne strane bočna površina prizme .
Sve bočne strane prizme su paralelogrami .
Rubovi koji ne leže u bazama nazivaju se bočni rubovi prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Dijagonala prizme naziva se segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na jednoj njezinoj strani (AD 1).
Duljina segmenta koji povezuje osnovice prizme i okomito na obje baze u isto vrijeme naziva se visina prizme .
Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu zaobilaznice, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog ruba označeni su istim slovima, samo vrhovi koji leže u jedna baza je označena slovima bez indeksa, au drugoj - s indeksom)
Naziv prizme povezan je s brojem kutova na slici koja leži u njenoj osnovi, na primjer, na slici 1, baza je peterokut, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali pošto takva prizma ima 7 lica, onda je heptaedar(2 lica su osnove prizme, 5 lica su paralelogrami, njene su bočne strane)
Među ravnim prizmama ističe se privatni pogled: pravilne prizme.
Ravna prizma se zove ispravno, ako su mu baze pravilni mnogokuti.
Paralelopiped
Paralelopiped- Ovo je četverokutna prizma, u čijoj osnovi leži paralelogram (kosi paralelepiped). Desni paralelepiped- paralelepiped čiji su bočni bridovi okomiti na ravnine baze.kuboidan- pravi paralelepiped čija je baza pravokutnik.
Svojstva i teoremi:
Neka svojstva paralelepipeda slična su dobro poznatim svojstvima paralelograma.Pravokutni paralelepiped jednakih dimenzija naziva se kocka
.Sve strane kocke su jednake kvadratima. Kvadrat dijagonale jednak je zbroju kvadrata njezine tri dimenzije 
,
gdje je d dijagonala kvadrata;
a - strana kvadrata.
Ideju prizme daje:
- razne arhitektonske strukture;
- Dječje igračke;
- kutije za pakiranje;
- dizajnerski predmeti itd.
Ukupna i bočna površina prizme
Ukupna površina prizme je zbroj površina svih njegovih lica Bočna površina naziva se zbroj površina njegovih bočnih strana. osnovice prizme su jednaki poligoni, tada su im površine jednake. TakoS puni \u003d S strana + 2S glavni,
gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S glavni- temeljna površina
Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.
S strana\u003d P glavni * h,
gdje S strana je površina bočne površine ravne prizme,
P glavni - opseg baze ravne prizme,
h je visina ravne prizme, jednaka bočnom rubu.
Volumen prizme
Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.
U školskom programu za kolegij geometrije čvrstog tijela proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom – poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).
Kako izgleda prizma
Pravilna četverokutna prizma je heksaedar, u čijim se bazama nalaze 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijski lik- ravan paralelepiped.
Slika, koja prikazuje četverokutnu prizmu, prikazana je u nastavku.
Možete vidjeti i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:
Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći pojam presjeka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravnini. Presjek je okomit (prelazi rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se može izgraditi je 2), koji prolazi kroz 2 brida i dijagonale baze.
Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.
Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih su poznati iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).
Površina i volumen
Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njezine baze i visinu:
V = Sprim h
Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:
V = a² h
Ako govorimo o kocki - redovitoj prizmu s jednake duljine, širinu i visinu, volumen se izračunava na sljedeći način:
Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezin zamah.
Iz crteža se vidi da se bočna površina sastoji od 4 jednakih pravokutnika. Njegova se površina izračunava kao umnožak opsega baze i visine figure:
Bočna strana = Poz h
Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:
Sside = 4a h
za kocku:
Bočna strana = 4a²
Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:
Puno = Sside + 2Sbase
Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:
Puno = 4a h + 2a²
Za površinu kocke:
Puno = 6a²
Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačni elementi geometrijsko tijelo.
Pronalaženje elemenata prizme
Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:
- duljina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
- visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
- osnovna površina: Sprim = V / h;
- bočna površina lica: Strana gr = bočna strana / 4.
Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:
Sdiag = ah√2
Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:
dprize = √(2a² + h²)
Da biste razumjeli kako primijeniti gore navedene omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.
Primjeri problema s rješenjima
Ovdje su neki od zadataka koji se pojavljuju na državnim završnim ispitima iz matematike.
Vježba 1.
Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm. Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?
Treba ga argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom spremniku nije se promijenila, odnosno njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari bit će:
V₁ = ha² = 10a²
Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Ukoliko V₁ = V2, izrazi se mogu izjednačiti:
10a² = 4ha²
Nakon što smanjimo obje strane jednadžbe za a², dobivamo:
Kao rezultat nova razina pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Zadatak 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.
Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.
Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu vrijednost, dakle, bočna strana također ima oblik kvadrata jednakog bazi. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.
Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Ukupna površina se nalazi po formuli za kocku:
Puno = 6a² = 6 6² = 216
Zadatak 3.
Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?
Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi su mu okomiti na horizontalne plohe, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.
Duljina sobe je a = √9 = 3 m.
Trg će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².
Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.
Dakle, za rješavanje zadataka za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.
Kako pronaći površinu kocke
Grana matematike koja proučava svojstva različitih oblika (točke, linije, kutovi, dvodimenzionalni i trodimenzionalni objekti), njihovu veličinu i relativni položaj. Radi praktičnosti nastave geometrija se dijeli na planimetriju i geometriju čvrstog tijela. NA… … Enciklopedija Collier
Geometrija prostora dimenzija veće od tri; pojam se primjenjuje na one prostore čija je geometrija izvorno razvijena za slučaj tri dimenzije, a tek onda generalizirana na broj dimenzija n> 3, prvenstveno euklidski prostor, ... ... Matematička enciklopedija
N dimenzionalna euklidska geometrija generalizacija euklidske geometrije na prostor više mjerenja. Iako je fizički prostor trodimenzionalan, a ljudska osjetila su dizajnirana da percipiraju tri dimenzije, N je dimenzionalan ... ... Wikipedia
Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Pyramidatsu (značenja). Dovedena je u pitanje pouzdanost ovog dijela članka. Potrebno je provjeriti točnost činjenica navedenih u ovom odjeljku. Možda postoje objašnjenja na stranici za razgovor ... Wikipedia
- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrstih tijela. Geometrija strukturnih blokova je često, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Omogućuje vam stvaranje složene scene ili ... Wikipedia
Constructive Solid Geometry (CSG) je tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrstih tijela. Geometrija strukturnih blokova je često, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Ona ... ... Wikipedia
Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Opseg (značenja). Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez strogih ... ... Wikipedije
Tip kocke Pravilni poliedar Lice kvadrat Vrhovi Bridovi Lica ... Wikipedia
Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez stroge definicije u odnosu na trodimenzionalna tijela trodimenzionalnog euklidskog prostora. ... ... Wikipedia.
Dio prostora omeđen skupom konačnog broja ravnih poligona (vidi GEOMETRIJA) povezanih na takav način da je svaka strana bilo kojeg poligona stranica točno jednog drugog poligona (zvanog ... ... Enciklopedija Collier
knjige
- Set stolova. Geometrija. 10. razred. 14 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Brošura sa smjernice za učitelja. Studijski album od 14 listova...
