Konus. Frustum

Zašiljena površina naziva se površina koju čine sve ravne linije koje prolaze kroz svaku točku zadane krivulje i točku izvan krivulje (slika 32).

Ova krivulja se zove vodič , direktno - generiranje , točka - vrh konusna površina.

Ravna kružna sužena površina naziva se površina koju čine svi pravci koji prolaze kroz svaku točku zadane kružnice i točka na pravci koja je okomita na ravninu kružnice i prolazi kroz njezino središte. U nastavku će se ova površina ukratko nazvati konusna površina (sl. 33).

konus (ravan kružni stožac ) naziva se geometrijsko tijelo omeđeno stožastom plohom i ravninom koja je paralelna s ravninom kružnice vodilice (slika 34).

Riža. 32 sl. 33 sl. 34

Konus se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutnog trokuta oko osi koja sadrži jedan od krakova trokuta.

Krug koji omeđuje stožac naziva se osnovu . Vrh stožaste plohe naziva se vrh konus. Odsječak koji povezuje vrh stošca sa središtem njegove baze naziva se visina konus. Segmenti koji tvore stožastu plohu nazivaju se generiranje konus. os stošca je ravna crta koja prolazi vrhom stošca i središtem njegove baze. Aksijalni presjek naziva se presjek koji prolazi kroz os stošca. Bočni razvoj površine stožac naziva se sektor čiji polumjer jednaka dužini generatrisa stošca, a duljina luka sektora jednaka je opsegu baze stošca.

Za konus su istinite sljedeće formule:

gdje R je polumjer baze;

H- visina;

l- duljina generatrikse;

S glavni- temeljna površina;

S strana

S puna

V je volumen stošca.

skraćeni konus nazivamo dio stošca zatvoren između baze i rezne ravnine paralelan s bazom stošca (slika 35).

Krnji stožac se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutni trapez oko osi koja sadrži stranu trapeza okomitu na osnovice.

Dvije kružnice koje ograničavaju konus nazivaju se njegovim razlozima . Visina krnjeg stošca je razmak između njegovih baza. Segmenti koji tvore stožastu površinu krnjeg stošca nazivaju se generiranje . Pravac koji prolazi središtima baza naziva se os skraćeni konus. Aksijalni presjek naziva se presjek koji prolazi kroz os krnjeg stošca.

Za skraćeni stožac vrijedi sljedeće formule:

(8)

gdje R je polumjer donje baze;

r je polumjer gornje baze;

H je visina, l je duljina generatrise;

S strana je bočna površina;

S puna je ukupna površina;

V je volumen krnjeg stošca.

Primjer 1 Presjek stošca paralelan s bazom dijeli visinu u omjeru 1:3, računajući od vrha. Nađite površinu bočne površine krnjeg stošca ako su polumjer baze i visina stošca 9 cm i 12 cm.

Odluka. Napravimo crtež (slika 36).

Za izračunavanje površine bočne površine krnjeg stošca koristimo formulu (8). Pronađite polumjere baza Oko 1 A i Oko 1 V i generiranje AB.

Razmotrimo slične trokute TAKO 2 B i TAKO 1 A, koeficijent sličnosti , tada

Odavde

Od tad

Površina bočne površine krnjeg stošca jednaka je:

Odgovor: .

Primjer 2.Četvrtina kruga polumjera presavijena je u stožastu plohu. Pronađite polumjer baze i visinu stošca.

Odluka.Četvorka kružnice je razvoj bočne površine stošca. Označiti r je polumjer njegove baze, H- visina. Bočna površina izračunava se po formuli: . Jednaka je površini četvrtine kruga: . Dobivamo jednadžbu s dvije nepoznanice r i l(generator konusa). U ovom slučaju, generatriksa je jednaka polumjeru četvrtine kruga R, pa dobivamo sljedeću jednadžbu: , odakle Poznavajući polumjer baze i generatrice, nalazimo visinu stošca:

Odgovor: 2 cm,.

Primjer 3 Pravokutni trapez sa oštar kut 45 O, s manjom bazom 3 cm i nagnutom stranom jednakom , rotira oko strane okomito na baze. Nađite volumen dobivenog tijela okretanja.

Odluka. Napravimo crtež (slika 37).

Kao rezultat rotacije, dobivamo skraćeni stožac; da bismo pronašli njegov volumen, izračunavamo polumjer veće baze i visinu. u trapezu O 1 O 2 AB potrošit ćemo AC^O 1 B. U imamo: pa je ovaj trokut jednakokračan AC=PRIJE KRISTA\u003d 3 cm.

Odgovor:

Primjer 4 Trokut sa stranicama 13 cm, 37 cm i 40 cm rotira oko vanjske osi koja je paralelna s većom stranicom i udaljena je od nje 3 cm (os se nalazi u ravnini trokuta). Nađite površinu rezultirajućeg tijela okretanja.

Odluka . Napravimo crtež (slika 38).

Površina rezultirajućeg tijela okretanja sastoji se od bočnih ploha dva krnjeg stošca i bočne površine cilindra. Za izračunavanje ovih površina potrebno je poznavati polumjere baza stošca i cilindra ( BITI i OC) formiranje čunjeva ( PRIJE KRISTA i AC) i visinu cilindra ( AB). Nepoznato je samo CO. je udaljenost od stranice trokuta do osi rotacije. Nađimo DC. Površina trokuta ABC na jednoj strani jednaka je umnošku polovice stranice AB i visine koja joj je povučena DC, s druge strane, znajući sve stranice trokuta, izračunavamo njegovu površinu pomoću Heronove formule.

- ovo je dio stošca, ograničen između dvije paralelne baze okomito na njegovu os simetrije.Osnove stošca su geometrijske kružnice.

Skraćeni stožac se može dobiti okretanjem pravokutnog trapeza oko njegove stranice, što je njegova visina. Granica stošca je kružnica polumjera R, kružnica polumjera r i bočna površina stošca. Bočna površina stošca opisuje bočnu stranu trapeza tijekom njegove rotacije.

Područje bočne površine krnjeg stošca kroz vodilicu i polumjere njegovih baza

Prilikom pronalaženja područja bočna površina krnjeg stošca, svrsishodnije ga je smatrati razlikom između bočne površine stošca i bočne površine krnjeg stošca.

Neka se od zadanog stošca AMB odsječe stožac A`MB`. Treba izračunati bočno područje krnji stožac AA`B`B . Poznato je da su polumjeri njegovih baza AO=R, A`O` =r, generatriksa je jednaka L. Označimo MB` kao x. Tada će bočna površina stošca A`MB` biti jednaka πrx. A bočna površina stošca AMB bit će jednaka πR(L+x).
Tada se bočna površina krnjeg stošca AA`B`B može izraziti kao razlika između bočne površine stošca AMB i stošca A`MB` :

Trokuti OMB i O`MB` slični su u smislu jednakosti kutova ∠(MOB) = ∠(MO`B`) i ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Iz sličnosti ovih trokuta slijedi:
Koristimo se deriviranim omjerom. Imamo:
Odavde nalazimo x:
Zamjenom ovog izraza u formulu za bočnu površinu, imamo:
Dakle, površina bočne površine krnjeg stošca jednaka je umnošku broja π i njegove vodilice i zbroju polumjera njegovih baza.

Primjer izračunavanja površine bočne površine krnjeg stošca, ako su poznati njegov polumjer i generatriksa
Polumjer veće baze, generatriksa i visina krnjeg stošca su 7, 5 odnosno 4 cm. Nađite površinu bočne površine stošca.
Aksijalni presjek krnjeg stošca je jednakokraki trapez, s bazama 2R i 2r . Generatrica krnjeg stošca, koja je bočna strana trapeza, visina, pubescentna na velikoj bazi i razlika u polumjerima baze krnjeg stošca, čine egipatski trokut. Ovo je pravokutni trokut s omjerom stranica 3:4:5. Prema uvjetu zadatka, generatriksa je jednaka 5, a visina je 4, tada će razlika u polumjerima baze krnjeg stošca biti jednaka 3.
Imamo:
L=5
R=7
R=4
Formula za površinu bočne površine krnjeg stošca je sljedeća:

Zamjenom vrijednosti imamo:

Područje bočne površine krnjeg stošca kroz vodilicu i prosječni polumjer

Prosječni polumjer krnjeg stošca jednak je polovici zbroja polumjera njegovih baza:


Tada se formula za površinu bočne površine krnjeg stošca može predstaviti na sljedeći način:

Površina bočne površine krnjeg stošca jednaka je umnošku opsega prosječnog presjeka i njegove generatrikse.

Područja bočne površine krnjeg stošca kroz polumjere njegove baze i kut nagiba generatrikse prema ravnini baze

Ako se manja baza ortogonalno projicira na veću bazu, tada će projekcija bočne površine krnjeg stošca izgledati kao prsten, čija se površina izračunava po formuli:

Zatim:

Područja bočne površine krnjeg stošca prema Arhimedu

Površina bočne površine krnjeg stošca jednaka je površini takvog kruga, čiji je polumjer prosječan proporcionalan između generatrike i zbroja polumjera njegovih baza

Puna površina krnjeg stošca

Ukupna površina stošca je zbroj površine njegove bočne površine i površine baza stošca:

Osnove stošca su kružnice polumjera R i r. Njihova površina jednaka je umnošku broja puta kvadrata njihovog polumjera:


Bočna površina izračunava se po formuli:

Tada je ukupna površina krnjeg stošca:

Formula izgleda ovako:

Primjer izračuna ukupne površine krnjeg stošca ako su poznati njegov polumjer i generatriksa
Polumjer osnove krnjeg stošca je 1 i 7 dm, a dijagonale aksijalnog presjeka međusobno su okomite. Pronađite ukupnu površinu krnjeg stošca
Aksijalni presjek krnjeg stošca je jednakokraki trapez, s bazama 2R i 2r. Odnosno, baze trapeza su 2 odnosno 14 dm. Budući da su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovica zbroja njegovih baza. Zatim:

Generator krnjeg stošca, koji je bočna strana trapeza, visina, pubescentna na velikoj osnovici i razlika polumjera baze krnjeg stošca, tvore pravokutni trokut.
Po Pitagorinom teoremu nalazimo generatricu krnjeg stošca:

Formula za ukupnu površinu krnjeg stošca je:

Zamjenom vrijednosti iz uvjeta problema i pronađenih vrijednosti, imamo:

Formule volumena

Krnja piramida ili konus - to je dio koji ostaje nakon odsijecanja vrha ravninom paralelnom s bazom.

Volumen krnje piramide ili čunjeva jednak je volumenu cijele piramide ili stošca minus volumen skraćenog vrha.

Bočna površina krnje piramide ili čunjeva jednaka površini cijele piramide ili stošca. minus površina bočne površine odsječenog vrha. Ako trebate pronaći ukupna površina skraćeni lik, tada se površina dviju paralelnih baza dodaje površini bočne površine.

Postoji još jedna metoda za određivanje volumena i površine krnjeg stošca:

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2),

bočna površina stošca S=πl(R+r),

ukupna površina S o \u003d π l (R + r) + πr 2 + πR 2

Primjer 1. Određivanje površine potrebne za izradu materijala za abažur. (Proračun površine bočne površine stošca).

Abažur ima oblik krnjeg stošca. Visina abažura je 50 cm, donji i gornji promjer 40, odnosno 20 cm.

Odredite u roku od 3x značajne brojke površina materijala potrebnog za izradu abažura.

Kao što je gore definirano, bočna površina krnjeg stošca S=πl(R+r).

Budući da su gornji i donji promjer krnjeg stošca 40 i 20 cm, iz Sl. iznad nalazimo r=10 cm, R=20 cm i

l \u003d (50 2 +10 2) 1/2 \u003d 50,99 prema Pitagorinom teoremu,

Dakle, površina bočne površine stošca je S \u003d π 50,99 (20 + 10) \u003d 4803,258 cm 2, tj. površina materijala potrebnog za izradu abažura jednaka je 4800 cm2 točno na 3 značajne brojke, iako, naravno, koliko će materijala zapravo uzeti ovisi o rezu.

Primjer 2. Određivanje volumena cilindra okrunjenog krnjeg stošca.

Rashladni toranj je oblikovan kao cilindar na čijem je vrhu krnji stožac, kao što je prikazano na sl. ispod. Odredite volumen zračnog prostora u tornju ako 40% volumena zauzimaju cijevi i druge strukture.

Volumen cilindričnog dijela

V=π R 2 h\u003d π (27/2) 2 * 14 \u003d 8011,71 m 3

Volumen krnjeg stošca

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2), gdje

h=34-14=20 m, R=27/2=13,5 m i r=14/2=7 m.

Jer R=27/2=13,5 m i r=14/2=7 m.

Prema tome, volumen krnjeg stošca

V \u003d 1/3 π 20 (13,5 2 + 13,5 * 7 + 7 2) \u003d 6819,03 m 3

Ukupni volumen rashladnog tornja V zajednički. \u003d 6819,03 + 8011,71 \u003d 14830,74 m 3.

Ako je 40% volumena zauzeto, volumen zračnog prostora V = 0,6 * 14830,74 = 8898,44 m 3