Bočna površina pravilne trokutaste piramide. Kako izračunati površinu piramide: baza, bočna i puna

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom površinom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema, na primjer.

Cilindar ima tri površine: gornju, donju i bočnu površinu.

Gornji i donji dio cilindra su krugovi i lako ih je definirati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2 . Stoga će formula za površinu dva kruga (gornji i donji dio cilindra) izgledati kao πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo što bolje predstavili ovu površinu, pokušajmo je transformirati kako bi dobila prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična limena limenka koja nema Gornji poklopac i dno. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do dna staklenke (korak 1 na slici) i pokušajmo otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru što je više moguće (korak 2).

Nakon potpunog otkrivanja rezultirajuće staklenke, vidjet ćemo poznatu figuru (korak 3), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. No prije toga vratimo se na trenutak izvornom cilindru. Vrh izvornog cilindra je kružnica, a znamo da se opseg kružnice izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označeno crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno proširi, vidimo da opseg postaje duljina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice ovog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina cilindra (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat, dobili smo formulu za izračunavanje bočne površine cilindra.

Formula za površinu bočne površine cilindra
S strana = 2prh

Puna površina cilindra

Konačno, ako zbrojimo površine sve tri površine, dobivamo formulu površine puna površina cilindar. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz zapisuje identičnom formulom 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r je polumjer cilindra, h je visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.

1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina izračunava se po formuli: S strana. = 2prh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu cilindra ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina izračunava se po formuli: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu piramide
• Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide

Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide

Riješenje.

U bazi pravilne trokutaste piramide leži jednakostranični trokut.
Stoga, da bismo riješili problem, koristimo svojstva pravilnog trokuta:

Znamo visinu trokuta, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Odakle će površina baze biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Kut OKM, prema iskazu problema, iznosi 45 stupnjeva.
Na ovaj način:
OK / MK = cos 45
Koristimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamjenu poznate vrijednosti.

OK / MK = √2/2

Uzimamo u obzir da je OK jednak polumjeru upisane kružnice. Zatim
OK = √3/6 a
U redu = √3/6 * 6/√3 = 1

Zatim
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Površina bočne strane tada je jednaka polovici umnoška visine i baze trokuta.
Bočna strana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Dakle, ukupna površina piramide će biti jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odgovor: 3√3 + 18/√6

Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide

Riješenje.

Budući da je osnova pravilne trokutaste piramide jednakostranični trokut, tada je AO polumjer opisane kružnice oko baze.
(Slijedi iz)

Polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trokuta nalazi se iz njegovih svojstava

Otuda će duljina bridova pravilne trokutaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide poznata je po uvjetu (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Svaka strana piramide je jednakokračan trokut. Kvadrat jednakokračan trokut pronađite iz prve formule u nastavku

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 četvornih ((556/3) - 64)
S = 8 četvornih (364/3)
S = 16 četvornih (91/3)

Budući da su sve tri strane pravilne piramide jednake, površina bočne površine bit će jednaka
3S = 48√(91/3)

Odgovor: 48 √(91/3)

Zadatak 3. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide

Stranica pravilne trokutaste piramide je 3 cm, a kut između bočne strane i baze piramide je 45 stupnjeva. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Riješenje.
Budući da je piramida pravilna, u osnovi ima jednakostranični trokut. Dakle, površina baze je


Dakle = 9 * √3/4

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Kut OKM, prema iskazu problema, iznosi 45 stupnjeva.
Na ovaj način:
OK / MK = cos 45
Koristimo se

Piramida- jedna od varijanti poliedra formiranog od mnogokuta i trokuta koji leže u bazi i njegova su lica.

Štoviše, na vrhu piramide (tj. u jednoj točki), sva lica su kombinirana.

Da bi se izračunala površina piramide, vrijedi utvrditi da se njezina bočna površina sastoji od nekoliko trokuta. I lako možemo pronaći njihova područja pomoću

razne formule. Ovisno o tome koje podatke trokuta znamo, tražimo njihovu površinu.

Navodimo neke formule pomoću kojih možete pronaći površinu trokuta:

1. S = (a*h)/2 . U ovom slučaju znamo visinu trokuta h , koji je spušten u stranu a .
2. S = a*b*sinβ . Ovdje su stranice trokuta a , b , a kut između njih je β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Ovdje su stranice trokuta a, b, c . Polumjer kružnice koja je upisana u trokut je r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Polumjer opisane kružnice oko trokuta je R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ovu formulu treba primijeniti samo ako je trokut pravokutni trokut.
6. S = (a²*√3)/4 . Ovu formulu primjenjujemo na jednakostranični trokut.

Tek nakon što izračunamo površine svih trokuta koji su lica naše piramide, možemo izračunati površinu njezine bočne površine. Da bismo to učinili, koristit ćemo gornje formule.

Da biste izračunali površinu bočne površine piramide, nema poteškoća: morate saznati zbroj površina svih trokuta. Izrazimo to formulom:

Sp = ΣSi

Ovdje Si je površina prvog trokuta, i S P je površina bočne površine piramide.

Pogledajmo primjer. S obzirom na pravilnu piramidu, njezine bočne strane čine nekoliko jednakostraničnih trokuta,

« Geometrija je najmoćnije oruđe za usavršavanje naših mentalnih sposobnosti.».

Galileo Galilei.

a kvadrat je baza piramide. Štoviše, rub piramide ima duljinu od 17 cm. Nađimo površinu bočne površine ove piramide.

Razmišljamo ovako: znamo da su lica piramide trokuti, da su jednakostranična. Također znamo kolika je duljina ruba ove piramide. Iz toga slijedi da svi trokuti imaju jednake stranice, njihova duljina je 17 cm.

Da biste izračunali površinu svakog od ovih trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Budući da znamo da kvadrat leži u podnožju piramide, ispada da imamo četiri jednakostranična trokuta. To znači da se površina bočne površine piramide može lako izračunati pomoću sljedeće formule: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naš odgovor je sljedeći: 500,548 cm² - ovo je površina bočne površine ove piramide.

Prije proučavanja pitanja o ovom geometrijskom liku i njegovim svojstvima, potrebno je razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju oni najjednostavniji. Ali događaju se različiti tipovi i oblike, što znači da će formula za izračun geometrijskih oblika biti drugačija.

piramida - geometrijski lik , koji označava i predstavlja više lica. Zapravo, ovo je isti poliedar, u čijem se dnu nalazi poligon, a na stranama trokuti koji se spajaju u jednoj točki - vrhu. Slika je dvije glavne vrste:

• ispravan;
• krnji.

U prvom slučaju osnova je pravilan poligon. Sve je ovdje bočne površine jednak između sebe i same figure ugodit će oku perfekcionista.

U drugom slučaju, postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je presjek formiran paralelno s bazom.

Uvjeti i oznake

Osnovni pojmovi:

• Pravilni (jednakostranični) trokut- lik s tri jednaka kuta i ravnopravne stranke. U ovom slučaju, svi kutovi su 60 stupnjeva. Slika je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u podnožju, tada će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je baza kvadrat, piramida će se zvati pravilna četverokutna piramida.
• Vertex- najviša točka gdje se spajaju rubovi. Visinu vrha tvori ravna linija koja izvire od vrha do baze piramide.
• rub je jedna od ravnina poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnje piramide.
• presjek- ravna figura nastala kao rezultat seciranja. Ne treba se brkati s odjeljkom, jer dio također pokazuje što se nalazi iza odjeljka.
• Apotema- segment povučen od vrha piramide do baze. To je također visina lica gdje je druga točka visine. Ova definicija vrijedi samo u odnosu na pravilan poliedar. Na primjer - ako nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta postat će apotema.

Formule površine

Nađite površinu bočne površine piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako lik nije simetričan i predstavlja mnogokut sa različite strane, onda je u ovom slučaju lakše izračunati ukupna površina površine kroz skup svih površina. Drugim riječima, morate izračunati površinu svakog lica i zbrojiti ih.

Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračun kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule različitim prilikama također će biti drugačiji.

U slučaju ispravna figura pronalaženje područja je mnogo lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, izračuni su potrebni upravo za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U protivnom bi morali sve slikati na nekoliko stranica, što će samo zbuniti i zbuniti.

Osnovna formula za izračun bočna površina pravilne piramide će imati sljedeći pogled:

S \u003d ½ Pa (P je perimetar baze i apotema)

Razmotrimo jedan od primjera. Poliedar ima bazu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5, i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotem jednak 5 cm. Prvo morate pronaći opseg. Budući da je svih pet lica baze jednaka, može se pronaći na sljedeći način: P = 5 * 10 = 50 cm. Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat .

Bočna površina pravilne trokutaste piramide najlakše je izračunati. Formula izgleda ovako:

S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je faseta baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Razmotrimo primjer. Zadan je lik s apotemom od 5 cm i osnovnom pločom od 8 cm. Računamo: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm na kvadrat.

Bočna površina krnje piramide malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza i apotema. Razmotrimo primjer. Pretpostavimo da su za četverokutni lik dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, apotema je 4 cm.

Ovdje, za početak, trebali biste pronaći perimetre baza: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Ostaje zamijeniti vrijednosti u glavnu formulu i dobiti: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.

Dakle, moguće je pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Pazite da ne zbunite ovi proračuni s ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako to i dalje trebate učiniti, dovoljno je izračunati površinu najveće baze poliedra i dodati je površini bočne površine poliedra.

Video

Za konsolidaciju informacija o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida, ovaj će vam video pomoći.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Koji oblik nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u podnožju ovog poliedra nalazi se proizvoljan mnogokut, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se konvergiraju na jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo se pozabavili pojmom, otkrijmo kako pronaći površinu piramide.

Jasno je da se površina takvog geometrijskog tijela sastoji od zbroja površina baze i cijele njegove bočne površine.

Izračunavanje površine baze piramide

Izbor formule za izračun ovisi o obliku poligona koji leži u podnožju naše piramide. Može biti ispravan, odnosno sa stranicama iste duljine, ili netočan. Razmotrimo obje opcije.

U bazi je pravilan poligon

Iz školskog tečaja poznato je:

• površina kvadrata bit će jednaka duljini njegove stranice na kvadrat;
• Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljen s 4 puta kvadratnim korijenom od tri.

Ali postoji i opća formula za izračunavanje površine bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti vrijednost opsega ovog poligona (P) s polumjerom kružnice upisane u njega (r), i zatim rezultat podijelite s dva: Sn=1/2P*r .

Baza je nepravilan mnogokut.

Shema za pronalaženje njegove površine je prvo podijeliti cijeli poligon na trokute, izračunati površinu svakog od njih koristeći formulu: 1/2a * h (gdje je a osnova trokuta, h visina spušten na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.

Bočna površina piramide

Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbroj površina svih njegovih strana. Ovdje također postoje 2 opcije.

1. Neka nam je proizvoljna piramida, t.j. onaj čija je baza nepravilan mnogokut. Zatim biste trebali posebno izračunati površinu svakog lica i dodati rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trokuti, izračun se temelji na gore spomenutoj formuli: S=1/2a*h.
2. Neka je naša piramida ispravna, t.j. u njegovoj bazi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njegovom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne površine (Sb), dovoljno je pronaći polovicu umnožaka opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) stranice (isto za sva lica) : Sb \u003d 1/2 P * h. Opseg poligona određuje se zbrajanjem duljina svih njegovih stranica.

Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njezine osnove s površinom cijele bočne površine.

Primjeri

Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.

Površina trokutaste piramide

U bazi takve piramide nalazi se trokut. Prema formuli So \u003d 1 / 2a * h, nalazimo površinu baze. Primjenjujemo istu formulu kako bismo pronašli površinu svake strane piramide, također trokutastog oblika, i dobili smo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbroj svih površina: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Zbrajanjem površina stranica i baze, dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp \u003d So + Sb.

Površina četverokutne piramide

Bočna površina je zbroj 4 člana: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule površine trokuta. A područje baze će se morati tražiti, ovisno o obliku četverokuta - ispravnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide se opet dobiva zbrajanjem površine baze i ukupne površine zadane piramide.