Piramida. Krnja piramida

Piramida naziva se poliedar, čije je jedno lice mnogokut ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (slika 15). Piramida se zove ispravan ako je njegova baza pravilan poligon a vrh piramide je projiciran u središte baze (slika 16). Zove se trokutasta piramida u kojoj su svi bridovi jednaki tetraedar .

Bočno rebro piramidom se naziva stranica bočne strane koja ne pripada bazi Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. svi bočna rebra ispravna piramida jednake su jedna drugoj, sve su bočne strane jednake jednakokračni trokuti. Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apotema . dijagonalni presjek Presjek piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj površini.

Bočna površina piramida se naziva zbroj površina svih bočnih strana. područje puna površina je zbroj površina svih bočnih strana i baze.

Teoremi

1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi jednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice u blizini baze.

2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice u blizini baze.

3. Ako su u piramidi sva lica jednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.

Za izračunavanje volumena proizvoljne piramide, formula je točna:

gdje V- volumen;

S glavni- temeljna površina;

H je visina piramide.

Za pravilnu piramidu vrijedi sljedeće formule:

gdje str- perimetar baze;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S glavni- temeljna površina;

V je volumen pravilne piramide.

krnje piramide nazivamo dio piramide zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Ispravna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide.

Temelji skraćena piramida – slični poligoni. Bočna lica - trapez. Visina krnje piramide naziva se udaljenost između njenih baza. dijagonala Skraćena piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj površini. dijagonalni presjek Presjek krnje piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj površini.

Za skraćenu piramidu vrijede formule:

(4)

gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna je ukupna površina;

S strana je bočna površina;

H- visina;

V je volumen krnje piramide.

Za pravilnu skraćenu piramidu vrijedi sljedeća formula:

gdje str 1 , str 2 - perimetri baze;

h a- apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1 U pravilnoj trokutastoj piramidi, diedralni kut na bazi je 60º. Nađi tangentu kuta nagiba bočnog ruba prema ravnini baze.

Odluka. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je pravilna, što znači da je baza jednakostranični trokut, a sve bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Diedralni kut na bazi je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linearni kut bit će kut a između dvije okomice: t.j. Vrh piramide projiciran je u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokutu ABC). Kut nagiba bočnog rebra (npr SB) je kut između samog brida i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebro SB ovaj će kut biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu, morate poznavati noge TAKO i OB. Neka duljina segmenta BD je 3 a. točka O linijski segment BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: Od nalazimo:

Odgovor:

Primjer 2 Nađi volumen pravilne skraćene četverokutne piramide ako su dijagonale njezinih baza cm i cm, a visina 4 cm.

Odluka. Da bismo pronašli volumen krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste pronašli područja baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice baza su 2 cm odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:

Odgovor: 112 cm3.

Primjer 3 Nađite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice osnovice 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Odluka. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati baze i visinu. Osnove su dane uvjetom, samo visina ostaje nepoznata. Pronađite ga odakle ALI 1 E okomito iz točke ALI 1 na ravnini donje baze, A 1 D- okomito od ALI 1 na AC. ALI 1 E\u003d 2 cm, jer je ovo visina piramide. Za pronalaženje DE napravit ćemo dodatni crtež, na kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Točka O- projekcija središta gornje i donje baze. budući da (vidi sliku 20) i S druge strane u redu je polumjer upisane kružnice i OM je polumjer upisane kružnice:

MK=DE.

Prema Pitagorinom teoremu iz

Bočna površina lica:

Odgovor:

Primjer 4 U bazi piramide leži jednakokraki trapez čije su baze a i b (a> b). Svaka bočna strana tvori kut jednak ravnini baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Odluka. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak je zbroju površina i površine trapeza ABCD.

Poslužimo se tvrdnjom da ako su sva lica piramide jednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka O- projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na osnovnu ravninu. Prema teoremu o površini ortogonalne projekcije ravne figure, dobivamo:

Slično, znači Dakle, problem se sveo na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtajte trapez ABCD odvojeno (slika 22). Točka O je središte kružnice upisane u trapez.

Kako se kružnica može upisati u trapez, onda ili Po Pitagorinom teoremu imamo

U ovoj lekciji ćemo razmotriti krnju piramidu, upoznati se s pravilnom krnjom piramidom i proučavati njihova svojstva.

Prisjetimo se koncepta n-kutne piramide na primjeru trokutaste piramide. Zadan je trokut ABC. Izvan ravnine trokuta uzima se točka P, povezana s vrhovima trokuta. Rezultirajuća poliedarska površina naziva se piramida (slika 1).

Riža. 1. Trokutasta piramida

Secirajmo piramidu ravninom koja je paralelna s ravninom baze piramide. Lik dobiven između ovih ravnina naziva se krnja piramida (slika 2).

Riža. 2. Krnja piramida

Glavni elementi:

Gornja baza;

Donja baza ABC;

Bočno lice;

Ako je PH visina izvorne piramide, tada je visina krnje piramide.

Svojstva krnje piramide proizlaze iz načina njene konstrukcije, odnosno iz paralelizma ravnina baza:

Sve bočne strane krnje piramide su trapezi. Uzmimo, na primjer, lice. Ima svojstvo paralelnih ravnina (budući da su ravnine paralelne, sijeku bočnu stranu originalne ABP piramide duž paralelnih linija), u isto vrijeme nisu paralelne. Očito, četverokut je trapez, kao i sve bočne strane krnje piramide.

Omjer baza je isti za sve trapeze:

Imamo nekoliko parova sličnih trokuta s istim koeficijentom sličnosti. Na primjer, trokuti i RAB su slični zbog paralelizma ravnina i , koeficijenta sličnosti:

U isto vrijeme, trokuti i RCS su slični s koeficijentom sličnosti:

Očito su koeficijenti sličnosti za sva tri para sličnih trokuta jednaki, pa je omjer baza jednak za sve trapeze.

Pravilna krnja piramida je krnja piramida dobivena rezanjem pravilne piramide ravninom paralelnom s bazom (slika 3.).

Riža. 3. Ispravna skraćena piramida

Definicija.

Pravilna piramida naziva se piramida, u čijoj osnovi leži pravilan n-kut, a vrh je projiciran u središte tog n-kuta (središte upisane i opisane kružnice).

U ovom slučaju kvadrat leži u podnožju piramide, a vrh se projicira na točku presjeka njegovih dijagonala. Dobivena pravilna četverokutna skraćena piramida ima ABCD - donju bazu, - gornju bazu. Visina izvorne piramide - RO, krnja piramida - (slika 4).

Riža. 4. Pravilna četverokutna krnja piramida

Definicija.

Visina krnje piramide je okomica povučena iz bilo koje točke jedne baze na ravninu druge baze.

Apotem izvorne piramide je RM (M je sredina AB), apotem krnje piramide je (slika 4).

Definicija.

Apotem krnje piramide je visina bilo koje bočne strane.

Jasno je da su svi bočni bridovi krnje piramide međusobno jednaki, odnosno da su bočne strane jednake jednakokračni trapezi.

Površina bočne površine pravilne skraćene piramide jednaka je umnošku polovice zbroja opsega baza i apotema.

Dokaz (za pravilnu četverokutnu skraćenu piramidu - slika 4):

Dakle, moramo dokazati:

Bočna površina ovdje će se sastojati od zbroja površina bočnih strana - trapeza. Budući da su trapezi isti, imamo:

Površina jednakokračnog trapeza je umnožak polovice zbroja baza i visine, apotema je visina trapeza. Imamo:

Q.E.D.

Za n-kutnu piramidu:

Gdje je n broj bočnih strana piramide, a i b osnovice trapeza, to je apotema.

Stranice osnove pravilne skraćene četverokutne piramide jednake su 3 cm i 9 cm, visina - 4 cm. Pronađite površinu bočne površine.

Riža. 5. Ilustracija za problem 1

Odluka. Ilustrirajmo stanje:

S obzirom na: , ,

Kroz točku O povucite ravnu crtu MN paralelnu s dvjema stranicama donje baze, na sličan način povucite ravnu kroz točku (slika 6). Budući da su kvadrati i konstrukcije paralelni na bazama krnje piramide, dobivamo trapez jednak bočnim stranama. Štoviše, njegova bočna strana prolazit će kroz sredinu gornjih i donjih rebara bočnih strana i biti oličenje krnje piramide.

Riža. 6. Dodatne konstrukcije

Razmotrimo rezultirajući trapez (slika 6). U ovom trapezu poznate su gornja baza, donja baza i visina. Potrebno je pronaći bočnu stranu, koja je apotema zadane krnje piramide. Nacrtaj okomito na MN. Ispustimo okomitu NQ iz točke. Dobivamo da je veća baza podijeljena na segmente od tri centimetra (). Razmotrimo pravokutni trokut, noge u njemu su poznate, ovo je egipatski trokut, Pitagorinim teoremom određujemo duljinu hipotenuze: 5 cm.

Sada postoje svi elementi za određivanje površine bočne površine piramide:

Piramidu presijeca ravnina koja je paralelna s bazom. Na primjeru trokutaste piramide dokazati da su bočni bridovi i visina piramide podijeljeni ovom ravninom na proporcionalne dijelove.

Dokaz. Ilustrirajmo:

Riža. 7. Ilustracija za problem 2

Zadana je piramida RABC. RO je visina piramide. Piramidu secira ravnina, dobiva se krnja piramida, štoviše. Točka - točka presjeka visine RO s ravninom baze krnje piramide. Potrebno je dokazati:

Ključ rješenja je svojstvo paralelnih ravnina. Dvije paralelne ravnine sijeku bilo koju treću ravninu tako da su linije presjeka paralelne. Odavde: . Paralelnost odgovarajućih pravaca podrazumijeva prisutnost četiri para sličnih trokuta:

Iz sličnosti trokuta slijedi proporcionalnost odgovarajućih stranica. Važna značajka je da su koeficijenti sličnosti za ove trokute isti:

Q.E.D.

Pravilna trokutasta piramida RABC s visinom i stranom baze secira se ravninom koja prolazi sredinom visine PH paralelno s bazom ABC. Nađite površinu bočne površine rezultirajuće krnje piramide.

Odluka. Ilustrirajmo:

Riža. 8. Ilustracija za problem 3

DIA je pravilan trokut, H je središte ovog trokuta (središte upisane i opisane kružnice). RM je apotem zadane piramide. - apotema krnje piramide. Prema svojstvu paralelnih ravnina (dvije paralelne ravnine sijeku bilo koju treću ravninu tako da su linije presjeka paralelne), imamo nekoliko parova sličnih trokuta s jednakim koeficijentom sličnosti. Posebno nas zanima odnos:

Nađimo NM. Ovo je polumjer kružnice upisane u bazu, znamo odgovarajuću formulu:

Sada van pravokutni trokut RNM prema Pitagorinom teoremu, nalazimo RM - apotemu izvorne piramide:

Od početnog omjera:

Sada znamo sve elemente za pronalaženje bočne površine krnje piramide:

Dakle, upoznali smo se s pojmovima krnje piramide i pravilne krnje piramide, dali osnovne definicije, razmotrili svojstva i dokazali teorem o bočnoj površini. Sljedeća lekcija će se usredotočiti na rješavanje problema.

Bibliografija

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovne ustanove(baza i razine profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izd., vlč. i dodatni - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Sharygin I. F. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opće obrazovanje obrazovne ustanove/ Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za općeobrazovne ustanove s dubljim i specijaliziranim studijom matematike / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Drfa, 2008. - 233 str.: ilustr.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Domaća zadaća

• 29.05.2016

  Oscilatorni krug - strujni krug, koji sadrži induktor, kondenzator i izvor električna energija. Uz serijsku vezu elemenata kruga, oscilatorni krug naziva se serijski, s paralelnim - paralelnim. Oscilatorni krug - najjednostavniji sustav u kojima se mogu javiti slobodne elektromagnetske oscilacije. Rezonantna frekvencija kruga određena je takozvanom Thomsonovom formulom: ƒ = 1/(2π√(LC)) Za …

• 20.09.2014

  Prijemnik je dizajniran za primanje signala u LW rasponu (150 kHz ... 300 kHz). glavna značajka prijemnik u anteni koja ima veću induktivnost od konvencionalne magnetske antene. To vam omogućuje korištenje kapacitivnosti kondenzatora za podešavanje u rasponu od 4 ... 20pF, kao i da takav prijemnik ima prihvatljivu osjetljivost i mali dobitak u RF putu. Prijemnik za slušalice (slušalice) radi, napaja ga ...

• 24.09.2014

  Ovaj uređaj je dizajniran za kontrolu razine tekućine u spremnicima, čim tekućina poraste na zadanu razinu, uređaj će početi davati kontinuirani zvučni signal, kada razina tekućine dosegne kritičnu razinu, uređaj će početi davati isprekidani signal. Indikator se sastoji od 2 generatora, njima upravlja senzorski element E. Postavljen je u spremnik na razini do ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 je digitalni višeprogramski mjerač vremena dizajniran za rad s indikatorom ILTs3-5\7. Omogućuje odbrojavanje i prikaz trenutnog vremena u satima i minutama, dana u tjednu i broja kontrolnog kanala (9 budilica). Shema budilice prikazana je na slici. Mikrokrug je takt. rezonator Q1 na 32768 Hz. snaga je negativna, zajednički plus ide...

- Ovo je poliedar, koji je formiran od baze piramide i presjeka paralelnog s njom. Možemo reći da je krnja piramida piramida s odsječenim vrhom. Ova figura ima mnoga jedinstvena svojstva:

• Bočne strane piramide su trapezi;
• Bočna rebra pravilne krnje piramide iste su duljine i nagnuta prema bazi pod istim kutom;
• Baze su slični poligoni;
• U pravilnoj skraćenoj piramidi lica su identični jednakokračni trapezi, čija je površina jednaka. Također su nagnuti prema bazi pod jednim kutom.

Formula za površinu bočne površine krnje piramide je zbroj površina njezinih stranica:

Budući da su stranice skraćene piramide trapezi, morat ćete koristiti formulu za izračunavanje parametara područje trapeza. Za pravilnu skraćenu piramidu može se primijeniti još jedna formula za izračunavanje površine. Budući da su sve njegove stranice, lica i kutovi u bazi jednaki, moguće je primijeniti perimetre baze i apoteme, te također izvesti površinu kroz kut u bazi.

Ako se, prema uvjetima u pravilnoj krnjoj piramidi, daju apotem (visina stranice) i duljine stranica baze, tada se površina može izračunati kroz poluproizvod zbroja opsega osnove i apotema:

Pogledajmo primjer izračunavanja bočne površine krnje piramide.
Zadana je pravilna peterokutna piramida. Apotema l\u003d 5 cm, duljina lica u velikoj bazi je a\u003d 6 cm, a lice je na manjoj bazi b\u003d 4 cm. Izračunajte površinu skraćene piramide.

Prvo, pronađimo perimetre baza. Budući da nam je dana peterokutna piramida, razumijemo da su baze peterokuti. To znači da su baze lik s pet identičnih strana. Pronađite opseg veće baze:

Na isti način nalazimo opseg manje baze:

Sada možemo izračunati površinu pravilne skraćene piramide. Podatke zamjenjujemo u formulu:

Tako smo izračunali površinu pravilne skraćene piramide kroz perimetre i apotemu.

Drugi način za izračunavanje bočne površine pravilne piramide je formula kroz uglove u bazi i područje ovih samih baza.

Pogledajmo primjer izračuna. Zapamtite da se ova formula odnosi samo na pravilnu skraćenu piramidu.

Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Lice donje baze je a = 6 cm, a lice gornje b = 4 cm. Diedralni kut na bazi je β = 60°. Pronađite bočnu površinu pravilne krnje piramide.

Prvo, izračunajmo površinu baza. Budući da je piramida pravilna, sva lica baza su međusobno jednaka. S obzirom da je baza četverokut, razumijemo da će biti potrebno izračunati kvadratna površina. To je umnožak širine i duljine, ali na kvadrat, ove vrijednosti su iste. Pronađite površinu veće baze:


Sada koristimo pronađene vrijednosti za izračunavanje bočne površine.

Poznavajući nekoliko jednostavnih formula, lako smo izračunali površinu bočnog trapeza krnje piramide kroz različite vrijednosti.