Bočni rub ove prizme. Pravilna četverokutna prizma

Predavanje: Prizma, njene baze, bočni rubovi, visina, bočna površina; ravna prizma; desna prizma

Prizma

Ako ste kod nas naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.

Prizma je voluminozno tijelo koje ima veliki broj lica.

Ova figura ima dva poligona u bazama, koji se nalaze u paralelnim ravninama, a sve bočne strane su u obliku paralelograma.

Slika 1. Sl. 2

Dakle, shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pozornost na sl.1

Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su paralelne jedna s drugom - to su peterokuti ABCEF i GMNJK. Štoviše, ti su poligoni međusobno jednaki.

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočnima - sastoje se od paralelograma. Na primjer, BMNC, AGKF, FKJE, itd.

Zajednička površina svih bočnih strana naziva se bočna površina.

Svaki par susjednih lica ima zajedničku stranu. Takva zajednička strana naziva se brid. Na primjer, MB, CE, AB, itd.

Ako su gornja i donja baza prizme spojene okomicom, tada će se to zvati visinom prizme. Na slici je visina označena ravnom linijom OO 1.

Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.

Ako bočni rubovi prizme nisu okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva koso.

Ako su svi bridovi prizme okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva ravno.

Ako su osnovice prizme pravilni poligoni(oni čije su stranice jednake), onda se takva prizma zove ispravan.

Ako osnovice prizme nisu međusobno paralelne, tada će se takva prizma zvati krnji.

Možete ga vidjeti na sl.2

Formule za pronalaženje volumena, površine prizme

Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po svojoj primjeni:

Slične formule za pronalaženje površine prizme:

Bilo koji poligon može ležati u podnožju prizme - trokuta, četverokuta itd. Obje baze su potpuno iste, te su prema tome, po kojima su kutovi paralelnih strana međusobno povezani, uvijek paralelni. U podnožju pravilne prizme leži pravilan mnogokut, odnosno onaj u kojem su sve strane jednake. U ravnoj prizmi rubovi između bočnih strana su okomiti na bazu. U ovom slučaju, poligon s bilo kojim brojem kutova može ležati na bazi ravne prizme. Prizma čija je baza paralelogram naziva se paralelepiped. pravokutnik - poseban slučaj paralelogram. Ako ova figura leži u bazi, a bočne strane se nalaze pod pravim kutom u odnosu na bazu, paralelepiped se naziva pravokutnim. Drugi naziv ovog geometrijskog tijela je pravokutni.

Kako ona izgleda

U okruženju suvremenog čovjeka ima dosta pravokutnih prizmi. Ovo je, na primjer, uobičajeni karton ispod cipela, komponenata računala itd. Razgledati. Čak iu sobi sigurno ćete vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. Ovo je kućište za računalo, i polica za knjige, i hladnjak, i ormar i mnoge druge stvari. Obrazac je iznimno popularan ponajviše zato što vam omogućuje što učinkovitije korištenje prostora, bilo da uređujete interijer ili pakirate stvari u karton prije preseljenja.

Svojstva pravokutne prizme

Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Bilo koji par lica može poslužiti kao njegov , budući da se sva susjedna lica nalaze pod istim kutom jedna prema drugoj, a taj kut je 90 °. Volumen i površina pravokutna prizma lakše izračunati od bilo kojeg drugog. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu dužinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, dovoljno je pomnožiti ova mjerenja. Odnosno, formula izgleda ovako: V \u003d a * b * h, gdje je V volumen, a i b su stranice baze, h je visina koja se podudara sa bočnim rubom ovog geometrijskog tijela. Površina baze izračunava se po formuli S1=a*b. Da biste dobili bočnu površinu, prvo morate izračunati opseg baze pomoću formule P=2(a+b), a zatim je pomnožiti s visinom. Ispada da je formula S2=P*h=2(a+b)*h. Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme, dodajte dva puta površinu baze i površinu bočne površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro je zajednička strana dviju susjednih bočnih strana

Visina prizme je odsječak okomit na osnovice prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne bridove

Dijagonalni presjek- granice presjeka prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek) je presjek prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne bridove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme koje su označene odgovarajućim slovima:

Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 jednake su i paralelne jedna s drugom
Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
Bočna površina - zbroj površina svih bočnih strana prizme
Puna površina- zbroj površina svih baza i bočnih strana (zbroj površina bočne površine i baza)
Bočna rebra AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
Dijagonala B 1 D
Dijagonala baze BD
Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2 .

Svojstva pravilne četverokutne prizme

Osnove su dva jednaka kvadrata
Baze su međusobno paralelne
Stranice su pravokutnici.
Bočne strane su međusobno jednake
Bočne strane su okomite na baze
Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
Kutovi okomitog presjeka - desno
Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
Okomito (ortogonalni presjek) paralelno s bazama

Formule za pravilnu četverokutnu prizmu

Upute za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četverokutna prizma" implicira da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj bazi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio sata sa zadacima iz geometrije (presjek čvrsta geometrija - prizma). Evo zadataka koji uzrokuju poteškoće u rješavanju. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vađenja korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

U pravilnoj četverokutnoj prizmi površina baze je 144 cm 2, a visina 14 cm. Nađite dijagonalu prizme i ukupnu površinu.

Odluka.
Pravilan četverokut je kvadrat.
Prema tome, strana baze bit će jednaka

√144 = 12 cm.
Odatle će dijagonala baze pravilne pravokutne prizme biti jednaka
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme formira se s dijagonalom baze i visinom prizme pravokutni trokut. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala zadane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Nađite ukupnu površinu pravilne četverokutne prizme ako je njezina dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne strane 4 cm.

Odluka.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, tada je stranica baze (označena kao a) pronađena Pitagorinim teoremom:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) bit će tada jednaka:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine baze

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure koje ne leže u istoj ravnini. Jedan od predmeta proučavanja stereometrije su prizme. U članku ćemo dati definiciju prizme s geometrijskog gledišta, a također ćemo ukratko navesti svojstva koja su za nju karakteristična.

Geometrijski lik

Definicija prizme u geometriji je sljedeća: jest prostorna figura, koji se sastoji od dva identična n-kuta smještena u paralelnim ravninama, međusobno povezana svojim vrhovima.

Dobivanje prizme nije teško. Zamislite da postoje dva identična n-kuta, gdje je n broj stranica ili vrhova. Postavimo ih tako da budu paralelne jedna s drugom. Nakon toga, vrhove jednog poligona treba povezati s odgovarajućim vrhovima drugog. Formirana figura sastojat će se od dvije n-kutne stranice, koje se nazivaju bazama, i n četverokutnih stranica, koje su u općem slučaju paralelogrami. Skup paralelograma tvori bočnu površinu figure.

Postoji još jedan način za geometrijski dobivanje dotične figure. Dakle, ako uzmemo n-kut i prenesemo ga u drugu ravninu koristeći paralelne segmente jednake duljine, tada u novoj ravnini dobivamo originalni poligon. Oba poligona i svi paralelni segmenti povučeni iz njihovih vrhova tvore prizmu.

Gornja slika prikazuje ga tako nazvan jer su mu osnovice trokuti.

Elementi koji čine figuru

Gore je dana definicija prizme, iz koje je jasno da su glavni elementi lika njezina lica ili stranice, ograničavajući sve unutarnje točke prizme iz vanjskog prostora. Bilo koje lice figure koja se razmatra pripada jednoj od dvije vrste:

bočno;
razlozima.

Ima n bočnih dijelova, a to su paralelogrami ili njihove posebne vrste (pravokutnici, kvadrati). Općenito, bočne strane se međusobno razlikuju. Postoje samo dvije strane baze, oni su n-kuti i međusobno su jednaki. Dakle, svaka prizma ima n+2 stranice.

Osim stranica, lik karakteriziraju njegovi vrhovi. To su točke gdje se tri lica dodiruju u isto vrijeme. Štoviše, dva od tri lica uvijek pripadaju bočnoj površini, a jedno - bazi. Dakle, u prizmi ne postoji posebno odabran jedan vrh, kao što su, na primjer, u piramidi, svi su jednaki. Broj vrhova figure je 2*n (n komada za svaku bazu).

Konačno, treći važan element prizme su njezini rubovi. To su segmenti određene duljine, koji nastaju kao rezultat sjecišta strana figure. Poput lica, rubovi također imaju dva različiti tipovi:

ili formirana samo od strane;
ili nastaju na spoju paralelograma i stranice n-kutne baze.

Broj bridova je dakle 3*n, a njih 2*n pripada drugom od spomenutih tipova.

Vrste prizmi

Postoji nekoliko načina za klasifikaciju prizmi. Međutim, svi se temelje na dvije značajke figure:

o vrsti baze n-uglja;
na bočnoj vrsti.

Za početak, okrenimo se drugoj singularnosti i dajmo definiciju ravne linije. Ako je barem jedna strana paralelogram opći tip, tada se lik naziva koso, ili koso. Ako su svi paralelogrami pravokutnici ili kvadrati, tada će prizma biti ravna.

Definiciju možete dati i malo drugačije: ravna figura je prizma u kojoj su bočni rubovi i lica okomiti na njezine baze. Na slici su prikazane dvije četverokutne figure. Lijeva je ravna, desna koso.

Prijeđimo sada na klasifikaciju prema vrsti n-kuta koji leži u bazama. Može imati iste stranice i kutove ili različite. U prvom slučaju, poligon se naziva pravilnim. Ako slika koja se razmatra sadrži mnogokut s jednakim stranicama i kutovima na bazi i ravna je crta, onda se naziva pravilnim. Prema ovoj definiciji, pravilna prizma u svojoj bazi može imati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilan peterokut ili šesterokut i tako dalje. Navedene točne brojke prikazane su na slici.

Linearni parametri prizme

Da biste opisali dimenzije slika koje se razmatraju, koristite sljedeće parametre:

visina;
strane baze;
duljine bočnih rebara;
volumetrijske dijagonale;
dijagonalne stranice i baze.

Za pravilne prizme sve su imenovane veličine međusobno povezane. Na primjer, duljine bočnih rebara su iste i jednake visini. Za određeni n-gonal ispravna figura postoje formule koje nam omogućuju da sve ostalo odredimo iz bilo koja dva linearna parametra.

Površina figure

Ako se okrenemo gore danoj definiciji prizme, tada neće biti teško razumjeti što predstavlja površina figure. Površina je površina svih lica. Za ravnu prizmu izračunava se po formuli:

S = 2*S o + P o *h

gdje je S o površina baze, P o je opseg n-kuta u bazi, h je visina (udaljenost između baza).

volumen figure

Uz površinu za vježbanje važno je poznavati volumen prizme. Može se odrediti pomoću sljedeće formule:

Ovaj izraz vrijedi za apsolutno sve vrste prizme, uključujući i one koje su koše i formirane od nepravilnih poligona.

Za ispravno, to je funkcija duljine stranice baze i visine figure. Za odgovarajuću n-gonalnu prizmu, formula za V ima specifičan oblik.

Opći podaci o ravnoj prizmi

Bočna površina prizme (točnije, bočna površina) naziva se iznos bočne površine lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, tj. duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici. Osnove ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže u podnožju prizme, a visine su jednake duljini bočnih bridova. Iz toga slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine rebara baze, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih rebara. Teorem je dokazan.

Praktični zadatak

Zadatak (22) . U nagnutoj prizmi odjeljak, okomito na bočne bridove i siječe sve bočne bridove. Nađi bočnu površinu prizme ako je opseg presjeka p, a bočni bridovi l.

Odluka. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prijevodu koji kombinira osnove prizme. U ovom slučaju dobivamo ravnu prizmu, u kojoj presjek izvorne prizme služi kao baza, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina izvorne prizme jednaka je pl.

Generalizacija teme

A sada pokušajmo s vama sažeti temu prizme i prisjetiti se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, za prizmu, sve su njezine baze jednaki poligoni;
Drugo, za prizmu, sve njene bočne strane su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestrukoj slici kao što je prizma, svi su bočni rubovi jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri poput prizme mogu biti ravni i nagnuti.

Što je ravna prizma?

Ako je bočni rub prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravna linija.

Neće biti suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Što je kosa prizma?

Ali ako se bočni rub prizme ne nalazi okomito na ravninu njezine baze, onda možemo sa sigurnošću reći da je ovo nagnuta prizma.

Što je prava prizma?

Ako pravilni mnogokut leži na bazi ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Prisjetimo se sada svojstava koja ima obična prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, onda su to uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedimo veličine bočnih rebara, tada su u ispravnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, pravilna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako su u pravilnoj prizmi bočne strane u obliku kvadrata, tada se takav lik obično naziva polupravilnim poligonom.

Presjek prizme

Pogledajmo sada poprečni presjek prizme:

Domaća zadaća

A sada pokušajmo konsolidirati proučenu temu rješavanjem problema.

Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu u kojoj će razmak između njezinih rubova biti: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina te prizme bit će jednaka 60 cm2. S ovim parametrima pronađite bočni rub zadane prizme.

I ti to znaš geometrijski likovi stalno nas okružuju ne samo na satovima geometrije, već iu Svakidašnjica postoje predmeti koji nalikuju jednom ili drugom geometrijskom liku.