Prilikom rješavanja potrebno je uzeti u obzir da rješavanje problema pronalaženja površine pravokutnika samo iz duljine njegovih stranica Zabranjeno je.
To je lako provjeriti. Neka je opseg pravokutnika 20 cm. To će biti točno ako su njegove stranice 1 i 9, 2 i 8, 3 i 7 cm. Sva ova tri pravokutnika imat će isti opseg, jednak dvadeset centimetara. (1 + 9) * 2 = 20 isto kao (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Kao što vidite, možemo birati beskonačan broj opcija dimenzije stranica pravokutnika, čiji će opseg biti jednak zadanoj vrijednosti.
Područje pravokutnika s zadanim perimetrom od 20 cm, ali s različitim stranama bit će različito. Za navedeni primjer - 9, 16 i 21 četvorni centimetar, respektivno.
S 1 \u003d 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm2
Kao što možete vidjeti, postoji beskonačan broj opcija za područje figure s danim perimetrom.
Dakle, da bi se izračunala površina pravokutnika iz njegovog perimetra, potrebno je znati ili omjer njegovih strana ili duljinu jedne od njih. Jedina figura koja ima nedvosmislenu ovisnost svoje površine o perimetru je krug. Samo za krug a možda i rješenje.
U ovoj lekciji:
- Zadatak 4. Promijenite duljinu stranica uz zadržavanje površine pravokutnika
Zadatak 1. Nađite stranice pravokutnika iz površine
Opseg pravokutnika je 32 centimetra, a zbroj površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana je 260 četvornih centimetara. Pronađite stranice pravokutnika.Odluka.
2(x+y)=32
Prema uvjetu zadatka, zbroj površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana (kvadrata, odnosno četiri) bit će jednak
2x2+2y2=260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
Sada uzmimo to u obzir na temelju činjenice da je x+y=16 (vidi gore) na x=9, zatim y=7 i obrnuto, ako je x=7, tada je y=9
Odgovor: Stranice pravokutnika su 7 i 9 centimetara
Zadatak 2. Nađi stranice pravokutnika iz opsega
Opseg pravokutnika je 26 cm, a zbroj površina kvadrata izgrađenih na njegove dvije susjedne strane je 89 četvornih metara. vidi Pronađi stranice pravokutnika.
Odluka.
Označimo stranice pravokutnika sa x i y.
Tada je opseg pravokutnika:
2(x+y)=26
Zbroj površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana (postoje dva kvadrata, odnosno, a to su kvadrati širine i visine, budući da su stranice susjedne) bit će jednak
x2+y2=89
Rezultirajući sustav jednadžbi rješavamo. Iz prve jednadžbe to zaključujemo
x+y=13
y=13-y
Sada izvodimo zamjenu u drugoj jednadžbi, zamjenjujući x s njegovim ekvivalentom.
(13.) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
Rješavamo rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.
D=676-640=36
x1=5
x2=8
Sada uzmimo u obzir to na temelju činjenice da je x+y=13 (vidi gore) na x=5, zatim y=8 i obrnuto, ako je x=8, tada je y=5
Odgovor: 5 i 8 cm
Zadatak 3. Nađite površinu pravokutnika iz omjera njegovih stranica
Nađi površinu pravokutnika ako je njegov opseg 26 cm, a stranice su proporcionalne 2 prema 3.
Odluka.
Označimo stranice pravokutnika koeficijentom proporcionalnosti x.
Odakle će duljina jedne strane biti jednaka 2x, a druga - 3x.
Zatim:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Sada, na temelju dobivenih podataka, određujemo površinu pravokutnika:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2
Zadatak 4. Promjena duljine stranica uz zadržavanje površine pravokutnika
Duljina pravokutnika povećana za 25%. Za koji postotak treba smanjiti širinu da joj se površina ne bi promijenila?Odluka.
Površina pravokutnika je
S=ab
U našem slučaju jedan od faktora je povećan za 25%, što znači a 2 = 1,25a. Tako, novi trg pravokutnik bi trebao biti jednak
S 2 \u003d 1,25ab
Dakle, kako bi se površina pravokutnika vratila na početnu vrijednost, onda
S2 = S / 1,25
S 2 \u003d 1,25ab / 1,25
Budući da se nova veličina a ne može promijeniti, onda
S 2 \u003d (1.25a) b / 1.25
1 / 1,25 = 0,8
Dakle, vrijednost druge strane mora se smanjiti za (1 - 0,8) * 100% = 20%
Odgovor: Širina treba smanjiti za 20%.
U sljedećem testnih zadataka Pronađite opseg figure prikazane na slici.
Možete pronaći opseg oblika različiti putevi. Izvorni oblik možete transformirati na takav način da se perimetar novog oblika može lako izračunati (na primjer, promijeniti ga u pravokutnik).
Drugo rješenje je izravno tražiti opseg lika (kao zbroj duljina svih njegovih stranica). Ali u ovom se slučaju ne može osloniti samo na crtež, već se na temelju podataka problema pronaći duljine segmenata.
Želim vas upozoriti: u jednom od zadataka, među predloženim odgovorima, nisam pronašao onaj koji mi je ispao.
c) .
Pomaknimo stranice malih pravokutnika iz unutarnjeg područja u vanjsko. Kao rezultat toga, veliki pravokutnik je zatvoren. Formula za pronalaženje opsega pravokutnika
U ovom slučaju, a=9a, b=3a+a=4a. Dakle, P=2(9a+4a)=26a. Perimetru velikog pravokutnika dodajemo zbroj duljina četiri segmenta, od kojih je svaki jednak 3a. Kao rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .
c) .
Nakon prijenosa unutarnjih stranica malih pravokutnika na vanjsku površinu, dobivamo veliki pravokutnik, čiji je opseg P=2(10x+6x)=32x, i četiri segmenta, dva od x duljine, dva od 2x duljine.
Ukupno, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .
?) .
Pomaknimo 6 horizontalnih "koraka" iznutra prema van. Opseg rezultirajućeg velikog pravokutnika je P=2(6y+8y)=28y. Ostaje pronaći zbroj duljina segmenata unutar pravokutnika 4y+6∙y=10y. Dakle, opseg figure je P=28y+10y= 38g .
D) .
Pomaknimo okomite segmente iz unutarnjeg područja figure ulijevo, u vanjsko područje. Da biste dobili veliki pravokutnik, pomaknite jednu od duljine 4x u donji lijevi kut.
Opseg izvorne figure nalazimo kao zbroj opsega ovog velikog pravokutnika i duljina preostala tri segmenta P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .
e) .
Prijenos unutarnje strane male pravokutnike na vanjsko područje, dobivamo veliki kvadrat. Njegov opseg je P=4∙10x=40x. Da biste dobili opseg izvorne figure, morate zbroj duljina osam segmenata, svaki 3x dugačak, dodati opsegu kvadrata. Ukupno, P=40x+8∙3x= 64x .
b) .
Pomaknimo sve vodoravne "stepenice" i vertikalne gornje segmente na vanjsko područje. Opseg rezultirajućeg pravokutnika je P=2(7y+4y)=22y. Da biste pronašli opseg izvorne figure, morate na opseg pravokutnika dodati zbroj duljina četiri segmenta, svaki s duljinom y: P=22y+4∙y= 26g .
D) .
Pomaknite sve vodoravne crte iz unutarnjeg područja u vanjsko područje i pomaknite dvije okomite vanjske linije u lijevom i desnom kutu, odnosno z ulijevo i udesno. Kao rezultat, dobivamo veliki pravokutnik, čiji je opseg P=2(11z+3z)=28z.
Opseg izvorne figure jednak je zbroju opsega velikog pravokutnika i duljina šest segmenata u z: P=28z+6∙z= 34z .
b) .
Rješenje je potpuno slično rješenju prethodnog primjera. Nakon transformacije figure, nalazimo opseg velikog pravokutnika:
P=2(5z+3z)=16z. Obodju pravokutnika dodajemo zbroj duljina preostalih šest odsječaka, od kojih je svaki jednak z: P=16z+6∙z= 22z .
Geometrija se, ako se ne varam, u moje vrijeme učila od petog razreda i perimetar je bio i jest jedan od ključnih pojmova. Tako, perimetar je zbroj duljina svih strana (označeno latiničnim slovom P). Općenito, ovaj se pojam tumači na različite načine, npr.
- ukupna duljina ruba figure,
- duljina svih njegovih strana,
- zbroj duljina njegovih lica,
- duljina granične linije,
- zbroj svih duljina stranica mnogokuta
Različiti oblici imaju svoje formule za određivanje perimetra. Da bih razumio samo značenje, predlažem da samostalno izvedem nekoliko jednostavnih formula:
- za kvadrat
- za pravokutnik
- za paralelogram
- za kocku
- za kutiju
Opseg kvadrata
Na primjer, uzmimo najjednostavniji - perimetar kvadrata.
Sve strane kvadrata su jednake. Neka se onda jedna strana zove "a" (kao i ostale tri).
P = a + a + a + a
ili kompaktnije zapise
Opseg pravokutnika
Zakomplicirajmo zadatak i uzmimo pravokutnik. U ovom slučaju više se ne može reći da su sve stranice jednake, pa neka su duljine stranica pravokutnika jednake a i b.
Tada će formula izgledati ovako:
P = a + b + a + b
Opseg paralelograma
Slična situacija bit će i s paralelogramom (vidi perimetar pravokutnika)
perimetar kocke
Što učiniti ako imamo posla s trodimenzionalnim likom? Na primjer, uzmite kocku. Kocka ima 12 stranica i sve su jednake. Prema tome, opseg kocke može se izračunati na sljedeći način:
Perimetar kutije
Pa, da bismo popravili materijal, izračunavamo perimetar paralelepipeda. Ovdje je potrebno malo razmisliti. Učinimo to zajedno. Kao što znamo, kvadar je lik čije su stranice pravokutnici. Svaki paralelepiped ima dvije baze. Uzmimo jednu od baza i pogledajmo njene stranice - one imaju duljine a i b. Prema tome, opseg baze je P = 2a + 2b. Tada je opseg dviju baza
(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b
Ali imamo i "c" stranu. Dakle, formula za izračun opsega paralelepipeda će izgledati ovako:
P = 4a + 4b + 4c
Kao što možete vidjeti iz gornjih primjera, sve što je potrebno učiniti za određivanje opsega oblika je pronaći duljinu svake od stranica, a zatim ih zbrojiti.
Zaključno, želio bih napomenuti da nema svaka figura perimetar. Na primjer, Kugla nema opseg.
Kako izračunati perimetar?
Često smo čuli od učitelja: "Marljivo učite, znanje će vam biti od velike koristi u životu", i, doista, to se događa. Na primjer, kada poduzimamo popravke, apsolutno je neophodno da znamo kako izračunati opseg određene figure kako bismo odredili potrebnu količinu gradevinski materijal. U ovom članku, za one koji su zaboravili školski tečaj, govorit ćemo o tome kako izračunati opseg raznih oblika.
Što je perimetar?
Opseg je duljina linije koja ocrtava geometrijski lik; duljina svih strana ravnog lika. Dakle, da biste pronašli opseg figure, dovoljno je izmjeriti duljinu svake strane i zbrojiti sve rezultate. Međutim, ponekad je moguće izračunati više na jednostavan način korištenjem posebnih formula. Zatim ćemo analizirati načine pronalaženja perimetra različitih oblika koristeći obje metode.
Opseg trokuta
Prije nego što izračunate opseg trokuta, morate izmjeriti duljinu svake strane. Nakon toga, samo ih preklopite - ovo će biti perimetar.
Međutim, ako imamo posla s jednakokračan trokut, možete izmjeriti jedan od jednake strane i pomnožite dobivenu vrijednost s dva, a zatim joj dodajte duljinu baze.
Da biste izračunali opseg jednakostraničnog trokuta, dovoljno je izmjeriti samo jednu stranu i dobivenu vrijednost pomnožiti s tri.
Opseg četverokuta
U ovom ćemo odjeljku analizirati kako izračunati opseg kvadrata, romba, pravokutnika, paralelepipeda i trapeza.
kvadrat i romb
Kao što znate, kvadrat ima četiri strane i sve su jednake, što znači da za izračunavanje opsega kvadrata morate izmjeriti jednu od njegovih strana, a zatim pomnožiti dobivenu vrijednost s 4. Strogo govoreći, opseg kvadrata romb je potpuno isti, jer romb ima sve strane jednake.
Pravokutnik i paralelogram
Stranice pravokutnika su jednake u parovima, pa ćete za izračunavanje opsega morati izmjeriti veću i manju stranu, pomnožiti svaku od dobivenih vrijednosti s dva i zbrojiti rezultirajuće vrijednosti. Slično, pronađite perimetar paralelograma.
Trapez
Druga vrsta četverokuta je trapez. Ova figura, u pravilu, ima sve strane različitih duljina, pa ćete stoga, da biste pronašli perimetar, morati izmjeriti svaku stranu i zbrojiti ih. Međutim, trapez može biti jednakokračan. U ovom slučaju, za izračunavanje perimetra, možete koristiti sljedeću formulu: P \u003d a + b + 2c, gdje je c duljina jedne od jednakih strana.
Usput, postoji još jedan način za određivanje perimetra jednakokraki trapez metoda tzv srednja linija". Prvo morate potrošiti ovo vrlo srednja linija(crta se kroz dvije točke - sredine jednakih strana), zatim ga trebate izmjeriti, pomnožiti dobivenu vrijednost s dva i dodati dvije duljine jednakih strana.
Opseg poligona
Da biste pronašli opseg poligona, u pravilu vrijedi pravilo - izmjerite sve strane i zbrojite ih. Međutim, neki posebni slučajevi olakšavaju nositi se sa zadatkom. Na primjer, ako ispred sebe imate takozvani pravilni šesterokut, njegov se opseg može izračunati množenjem duljine stranice sa 6.
Za izračunavanje opsega kruga ili, kako se češće kaže, opsega, postoji posebna formula: P=2πr, gdje je π konstantna vrijednost jednaka 3,14; r je polumjer kružnice. Formula može izgledati i ovako: P=πd, gdje je d promjer kružnice.
Usput, zapravo, π je omjer opsega kruga i njegovog promjera. Dokazano je da je ta vrijednost jednaka za sve krugove i jednaka 3,14.
Nacrtajte koordinatnu ravninu s x i y osi. Na koordinatnoj ravnini trebate staviti točke s zadane koordinate. Za crtanje koordinatne ravnine uzmite mrežu papira ili ravnalom nacrtajte mrežu na praznom listu papira. Sada nacrtajte vodoravnu crtu (X-os) i okomito na nju u sredini nacrtajte okomitu liniju (Y-os). Označite točku gdje se dvije linije sijeku kao "0".
- Kada napravite doznačke oznake, brojevi iznad i desno od "0" bit će pozitivni, a brojevi ispod i lijevo od "0" bit će negativni.
Upamtite: prvi broj u paru koordinata (koordinata "x") iscrtan je duž osi X, a drugi broj (koordinata "y") je iscrtan duž osi Y. Na primjer, za crtanje točke s koordinate (2,4), izbrojite 2 oznake duž osi X i 4 oznake na osi Y, a zatim označite točku presjeka.
Pronađite vrijednosti okomite i horizontalne strane. Morate znati duljinu svake strane poligona kako biste odredili njegov opseg. U slučaju okomite ili vodoravne strane, jednostavno izbrojite broj pomoćnih oznaka između bočnih točaka. Zatim zapišite broj blizu te strane.
- Na primjer, da biste pronašli duljinu vodoravne stranice, počnite s jednog kraja stranice i prebrojite broj pomoćnih oznaka do drugog kraja stranice. Ako ste izbrojali 6 maraka, duljina ove strane je 6 jedinica.
Koristite formulu udaljenosti da biste pronašli duljinu nagnutih stranica. Duljina nagnute strane ne može se pronaći jednostavnim prebrojavanjem referentnih oznaka između njezinih krajeva. Zato upotrijebi formulu: d = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle d=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)- y_(1))^(2)))). Zamijenite vrijednosti koordinata x i y dviju točaka na krajevima stranice čiju duljinu želite pronaći u formulu.
- Na primjer, da biste pronašli udaljenost (dužinu stranice) između dvije točke s koordinatama (4.7) i (1.3), zamijenite ove koordinate u formulu i dobijete: d = (4 2 − 1 1) 2 + (7 2 − 3 1) 2 (\displaystyle d=(\sqrt ((4_(2)-1_(1))^(2)+(7_(2)- 3_(1))^(2))))
- Pojednostavite jednadžbu i dobijete .
- Izračunati: d = 25 (\displaystyle d=(\sqrt (25)))= 5. Stoga je duljina stranice 5 jedinica.
Dodajte duljine svih strana poligona da biste pronašli njegov opseg. Opseg poligona jednak je zbroju svih njegovih stranica. Kada izračunate vrijednosti svake strane poligona s obzirom na koordinate njegovih točaka vrha, jednostavno dodajte ove vrijednosti.
- Na primjer, ako nacrtate trokut na koordinatnoj ravnini i izračunate da su njegove stranice 3, 2 i 5, zbrojite te brojeve da dobijete 10. Dakle, opseg trokuta je 10 jedinica.
