Pravilo za množenje običnih razlomaka mješovitih brojeva. Pravilo za množenje razlomaka cijelim brojevima

Množenje obični razlomci Pogledajmo nekoliko mogućih opcija.

Množenje razlomka s razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj, u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.

Do pomnožiti razlomak s razlomkom, potrebno:

• pomnoži brojnik prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka i upiše njihov umnožak u brojnik novog razlomka;
• pomnoži nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka i njihov umnožak upiše u nazivnik novog razlomka;

Prije množenja brojnika i nazivnika provjerite mogu li se razlomci smanjiti. Smanjenje razlomaka u izračunima uvelike će olakšati vaše izračune.



Množenje razlomka prirodnim brojem

Na razlomke pomnožiti sa prirodni broj trebate pomnožiti brojnik razlomka s ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.

Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno odabrati cijeli dio.



Množenje mješovitih brojeva

Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.



Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem

Ponekad je u izračunima prikladnije koristiti drugačiju metodu množenja običnog razlomka brojem.

Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, nazivnik razlomka trebate podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti isti.



Kao što se može vidjeti iz primjera, ova verzija pravila je prikladnija za korištenje ako je nazivnik razlomka djeljiv bez ostatka prirodnim brojem.

Radnje s razlomcima

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima

Zbrajanje razlomaka je dvije vrste:

• Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
• Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Počnimo sa zbrajanjem razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjen:



Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2 Dodajte razlomke i .

Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjen:



Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, tada je uobičajeno riješiti se nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljena s dva jednako je jedan:



Ovaj primjer može se lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .



Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobit ćete pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Moraju se dodati brojnici, a nazivnik ostati nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti istim;
2. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom zbrajanja razlomaka nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu zbrajati odjednom, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina za smanjenje razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.

Bit ove metode je da se najprije traži najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i s drugim razlomkom - NOC se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajte razlomke i

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) nazivnik.

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Najprije podijelimo LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i iznad nje zapišemo pronađeni dodatni faktor:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu crtu iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima:



Pogledajte pomno do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako zbrajati takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:



Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati slikom. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika bit će što će se ovaj put podijeliti na jednake udjele (svedene na isti nazivnik).



Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Stavljajući ove dijelove zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu istaknuli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pizza i još jedna šesta pizza).

Imajte na umu da smo slikali dati primjer previše detaljan. NA obrazovne ustanove nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožiti dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i nazivnici. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:



Ali postoji i druga strana medalje. Ako se na prvim fazama studija matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

3. Nađi LCM nazivnika razlomaka;
4. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
5. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
6. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
7. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gornji dijagram.

Korak 1. Pronađite LCM za nazivnike razlomaka

Nalazimo LCM za nazivnike oba razlomka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4. Za ove brojeve trebate pronaći LCM:

Korak 2. Podijelite LCM nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

LCM podijelite nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 s 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada LCM dijelimo nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima

Brojnike i nazivnike množimo našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Zbrojiti:



Dodatak nije stao u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dopušteno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan redak, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog retka i na početak nova linija. Znak jednakosti u drugom retku označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli broj

Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:



Dobio odgovor

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

8. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
9. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Za rješavanje ovog primjera potrebno je brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti. Napravimo to:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostavite isti:

Ovaj primjer je lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka trebate oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Ako je primjer potpun, uobičajeno je da se riješite nepravilnog razlomka. Riješimo se pogrešnog razlomka u odgovoru. Da biste to učinili, odaberite cijeli njegov dio:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, budući da ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo po istom principu koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 s 3, dobijemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 s 4, dobijemo 3. Napišemo trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Dobio odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pizze, dobit ćete pizze.

Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ti će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo trebate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Nađite LCM nazivnika tih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik tih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada ćemo pronaći dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 s 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 s 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako oduzeti takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Odgovor se pokazao točnim razlomkom, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo ga učiniti jednostavnijim i estetski ugodnijim. Što može biti učinjeno? Ovu frakciju možete smanjiti. Podsjetimo da je smanjenje razlomka dijeljenje brojnika i nazivnika najvećim zajednički djelitelj brojnik i nazivnik.

Da biste ispravno smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 20 i 30.

Nemojte brkati GCD s NOC. Najčešća pogreška koju čine mnogi početnici. GCD je najveći zajednički djelitelj. Nalazimo ga za smanjenje frakcija.

A LCM je najmanji zajednički višekratnik. Nalazimo ga kako bismo razlomke doveli na isti (zajednički) nazivnik.

Sada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj (gcd) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD za brojeve 20 i 30:

GCD (20 i 30) = 10

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s 10:

Dobio si lijep odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste razlomak pomnožili brojem, trebate brojnik zadanog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka brojem 1

Unos se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i množitelj izmijene, onda se umnožak neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet, funkcionira pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovice jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka sa 4

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množitelj na mjestima, dobit ćemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza.

Dobio odgovor. Poželjno je smanjiti zadani razlomak. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako uzeti dvije trećine od ove polovice? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Dobit ćemo pizzu. Zapamtite kako izgleda pizza podijeljena u tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak, ali bit će dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, mora se podijeliti s gcd brojnika i nazivnika. Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

GCD za (105 i 150) je 15

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD:

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati s zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broj a je broj koji, kada se pomnoži sa a daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Je li moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži s 5, daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožite razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može pronaći za bilo koji drugi cijeli broj.

• recipročna vrijednost 3 je razlomak
• recipročna vrijednost 4 je razlomak

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

Množenje cijelog broja s razlomkom jednostavan je zadatak. Ali postoje suptilnosti koje ste vjerojatno razumjeli u školi, ali ste ih od tada zaboravili.

Kako pomnožiti cijeli broj s razlomkom - nekoliko pojmova

Ako se sjećate što su brojnik i nazivnik i kako se pravi razlomak razlikuje od nepravilnog, preskočite ovaj odlomak. Za one koji su potpuno zaboravili teoriju.

Brojnik je gornji dio razlomci su ono što dijelimo. Nazivnik je donji. To je ono što dijelimo.
Pravi razlomak je onaj čiji je brojnik manji od nazivnika. Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojnik veći ili jednak nazivniku.

Kako pomnožiti cijeli broj s razlomkom

Pravilo za množenje cijelog broja s razlomkom je vrlo jednostavno – brojnik množimo cijelim brojem, a nazivnik ne diramo. Na primjer: dva pomnožena s jednom petinom - dobivamo dvije petine. Četiri puta tri šesnaestine je dvanaest šesnaestih.

Smanjenje

U drugom primjeru, rezultirajuća frakcija se može smanjiti.
Što to znači? Imajte na umu da su i brojnik i nazivnik ovog razlomka djeljivi s četiri. Dijeljenje oba broja zajedničkim djeliteljem naziva se smanjenjem razlomka. Dobivamo tri četvrtine.

Nepravilni razlomci

Ali pretpostavimo da pomnožimo četiri puta dvije petine. Dobio osam petina. Ovo je pogrešan razlomak.
Mora se dovesti do toga ispravan oblik. Da biste to učinili, morate odabrati cijeli dio iz njega.
Ovdje trebate koristiti dijeljenje s ostatkom. Dobivamo jedan i tri u ostatku.
Jedna cjelina i tri petine su naš pravi razlomak.

Ispraviti trideset pet osmina je malo teže. Najbliži broj trideset sedam koji je djeljiv s osam je trideset dva. Kada se podijeli, dobivamo četiri. Od trideset i pet oduzmemo trideset dva - dobijemo tri. Ishod: četiri cijele i tri osmine.

Jednakost brojnika i nazivnika. A ovdje je sve vrlo jednostavno i lijepo. Kada su brojnik i nazivnik jednaki, rezultat je samo jedan.

U ovom članku ćemo analizirati množenje mješovitih brojeva. Prvo ćemo izraziti pravilo za množenje mješovitih brojeva i razmotriti primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera. Zatim ćemo govoriti o množenju mješovitog broja i prirodnog broja. Na kraju ćemo naučiti kako množiti mješoviti broj i obični razlomak.

Navigacija po stranici.

Množenje mješovitih brojeva.

Množenje mješovitih brojeva može se svesti na množenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, dovoljno je pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke.

Zapišimo pravilo množenja mješovitih brojeva:

• Prvo, mješoviti brojevi koji se množe moraju se zamijeniti nepravilnim razlomcima;
• Drugo, morate koristiti pravilo množenja razlomka s razlomkom.

Razmotrite primjere primjene ovog pravila pri množenju mješovitog broja s mješovitim brojem.

Izvršite množenje mješovitih brojeva i .

Prvo, predstavljamo pomnožene mješovite brojeve kao nepravilne razlomke: i . Sada možemo zamijeniti množenje mješovitih brojeva množenjem običnih razlomaka: . Primjenom pravila množenja razlomaka dobivamo . Rezultirajući razlomak je nesvodljiv (vidi svodljivi i nesvodljivi razlomci), ali je netočan (vidi redoviti i nepravilni razlomci), stoga, da bismo dobili konačni odgovor, ostaje izdvojiti cijeli broj iz nepravilnog razlomka: .

Napišimo cijelo rješenje u jedan red: .

.

Da biste konsolidirali vještinu množenja mješovitih brojeva, razmotrite rješenje drugog primjera.

Izvršite množenje.

Smiješni brojevi i jednaki su razlomcima 13/5 i 10/9. Zatim . U ovoj fazi, vrijeme je da se prisjetimo smanjenja razlomaka: zamijenimo sve brojeve u razlomku njihovim proširenjima u primarni čimbenici, te izvršiti redukciju istih faktora.

Množenje mješovitog broja i prirodnog broja

Nakon zamjene mješovitog broja, pravi razlomak, množenje mješovitog broja i prirodnog broja svodi se na množenje običnog razlomka i prirodnog broja.

Pomnožite mješoviti broj i prirodni broj 45 .

Mješoviti broj je dakle razlomak . Zamijenimo brojeve u rezultirajućem razlomku njihovim proširenjima u proste faktore, napravimo smanjenje, nakon čega odabiremo cijeli broj: .

.

Množenje mješovitog broja i prirodnog broja ponekad se prikladno izvodi korištenjem distributivnog svojstva množenja s obzirom na zbrajanje. U ovom slučaju, umnožak mješovitog broja i prirodnog broja jednak je zbroju umnožaka cjelobrojnog dijela na zadani prirodni broj i razlomka na zadani prirodni broj, tj. .

Izračunajte proizvod.

Mješoviti broj zamjenjujemo zbrojem cjelobrojnog i razlomka, nakon čega primjenjujemo distributivno svojstvo množenja: .

Množenje mješovitog broja i običnog razlomka najprikladnije je svesti na množenje običnih razlomaka, predstavljajući pomnoženi mješoviti broj kao nepravilan razlomak.

Mješoviti broj pomnožite običnim razlomkom 4/15.

Zamjenom mješovitog broja s razlomkom, dobivamo .

www.cleverstudents.ru

Množenje razlomaka

§ 140. Definicije. 1) Množenje razlomka cijelim brojem definira se na isti način kao i množenje cijelih brojeva, naime: pomnožiti neki broj (množitelj) cijelim brojem (množitelj) znači napraviti zbroj identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, množenje sa 5 znači pronaći zbroj:
2) Pomnožiti neki broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Dakle, pronalaženje razlomka zadanog broja, koji smo prije razmatrali, sada ćemo nazvati množenje razlomkom.

3) Pomnožiti neki broj (množitelj) s mješovitim brojem (faktorom) znači pomnožiti množitelj prvo s cijelim brojem faktora, zatim s razlomkom faktora, i zbrojiti rezultate ova dva množenja zajedno.

Na primjer:

Broj dobiven nakon množenja se u svim tim slučajevima naziva raditi, tj. na isti način kao kod množenja cijelih brojeva.

Iz ovih definicija jasno je da je množenje razlomaka radnja koja je uvijek moguća i uvijek nedvosmislena.

§ 141. Svrsishodnost ovih definicija. Da bismo razumjeli svrsishodnost uvođenja posljednje dvije definicije množenja u aritmetiku, uzmimo sljedeći problem:

Zadatak. Vlak, krećući se ravnomjerno, putuje 40 km na sat; kako saznati koliko će kilometara ovaj vlak prijeći za zadani broj sati?

Da smo ostali pri toj jednoj definiciji množenja, koja je naznačena u aritmetici cijelih brojeva (zbrajanje jednakih članova), onda bi naš problem imao tri različita rješenja, i to:

Ako je zadani broj sati cijeli broj (na primjer, 5 sati), tada se za rješavanje problema 40 km mora pomnožiti s ovim brojem sati.

Ako je zadani broj sati izražen kao razlomak (na primjer, sati), tada ćete morati pronaći vrijednost ovog razlomka od 40 km.

Konačno, ako se zadani broj sati pomiješa (na primjer, sati), tada će biti potrebno pomnožiti 40 km s cijelim brojem sadržanim u mješovitom broju i rezultatu dodati onaj razlomak od 40 km kao što je u mješoviti broj.

Definicije koje smo dali omogućuju nam da damo jedan opći odgovor na sve ove moguće slučajeve:

40 km se mora pomnožiti sa zadanim brojem sati, ma kakav on bio.

Dakle, ako je zadatak predstavljen u opći pogled Tako:

Vlak koji se kreće jednoliko putuje v km na sat. Koliko će kilometara vlak prijeći za t sati?

onda, bez obzira na brojeve v i t, možemo izraziti jedan odgovor: željeni broj se izražava formulom v · t.

Bilješka. Pronalaženje nekog razlomka zadanog broja, prema našoj definiciji, znači isto što i množenje zadanog broja ovim razlomkom; stoga, na primjer, pronaći 5% (tj. pet stotinki) određenog broja znači isto što i množenje zadanog broja sa ili s; pronalaženje 125% zadanog broja isto je kao množenje tog broja sa ili s , itd.

§ 142. Bilješka o tome kada se broj povećava, a kada smanjuje od množenja.

Od množenja s pravim razlomkom, broj se smanjuje, a od množenja sa nepravilan razlomak broj se povećava ako je ovaj nepravilni razlomak veći od jedan, a ostaje nepromijenjen ako je jednak jedan.
Komentar. Prilikom množenja razlomaka, kao i cijelih brojeva, umnožak se uzima jednakim nuli ako je bilo koji od faktora jednak nuli, dakle,.

§ 143. Izvođenje pravila množenja.

1) Množenje razlomka cijelim brojem. Neka se razlomak pomnoži sa 5. To znači povećati se za 5 puta. Da bi se razlomak povećao za 5, dovoljno je povećati njegov brojnik ili smanjiti nazivnik za 5 puta (§ 127).

Tako:
Pravilo 1. Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, morate brojnik pomnožiti s ovim cijelim brojem, a nazivnik ostaviti istim; umjesto toga, nazivnik razlomka također možete podijeliti zadanim cijelim brojem (ako je moguće), a brojnik ostaviti istim.

Komentar. Umnožak razlomka i nazivnika jednak je brojniku.

Tako:
Pravilo 2. Da biste cijeli broj pomnožili razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i ovaj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.
Pravilo 3. Da biste razlomak pomnožili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i učiniti prvi umnožak brojnikom, a drugi nazivnikom proizvoda.

Komentar. Ovo pravilo može se primijeniti i na množenje razlomka cijelim brojem i cijelog broja razlomkom, samo ako cijeli broj smatramo razlomkom s nazivnikom jedan. Tako:

Dakle, tri pravila koja su sada navedena sadržana su u jednom, koje se može izraziti općenito na sljedeći način:
4) Množenje mješovitih brojeva.

Pravilo 4. Za množenje mješovitih brojeva, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilima za množenje razlomaka. Na primjer:
§ 144. Smanjenje u množenju. Prilikom množenja razlomaka, ako je moguće, potrebno je izvršiti preliminarnu redukciju, što se može vidjeti iz sljedećih primjera:

Takvo smanjenje se može učiniti jer se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se brojnik i nazivnik smanji u isti broj jednom.

§ 145. Promjena proizvoda s promjenom faktora. Kada se faktori promijene, umnožak razlomaka će se promijeniti na potpuno isti način kao i umnožak cijelih brojeva (§ 53), naime: ako povećate (ili smanjite) bilo koji faktor nekoliko puta, tada će se proizvod povećati (ili smanjiti) za isti iznos.

Dakle, ako u primjeru:
da bi se pomnožilo nekoliko razlomaka, potrebno je pomnožiti njihove brojnike među sobom i nazivnike među sobom i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi nazivnikom umnoška.

Komentar. Ovo pravilo se može primijeniti i na takve proizvode u kojima su neki faktori broja cijeli ili mješoviti, ako samo cijeli broj smatramo razlomkom čiji je nazivnik jedan, a mješovite brojeve pretvorimo u nepravilne razlomke. Na primjer:
§ 147. Osnovna svojstva množenja. U množenje razlomaka pripadaju i ona svojstva množenja koja smo naveli za cijele brojeve (§ 56, 57, 59). Navedite ova svojstva.

1) Proizvod se ne mijenja promjenom mjesta faktora.

Na primjer:

Doista, prema pravilu iz prethodnog stavka, prvi umnožak je jednak razlomku, a drugi je jednak razlomku. Ali ti su razlomci isti, jer se njihovi pojmovi razlikuju samo po redoslijedu cjelobrojnih faktora, a umnožak cijelih brojeva se ne mijenja kada se mijenjaju mjesta faktora.

2) Proizvod se neće promijeniti ako se bilo koja skupina čimbenika zamijeni njihovim proizvodom.

Na primjer:

Rezultati su isti.

Iz ovog svojstva množenja može se izvesti sljedeći zaključak:

da pomnožite broj s umnoškom, ovaj broj možete pomnožiti s prvim faktorom, pomnožiti rezultirajući broj s drugim i tako dalje.

Na primjer:
3) Distributivni zakon množenja (s obzirom na zbrajanje). Da biste zbroj pomnožili nekim brojem, možete svaki pojam pomnožiti s tim brojem zasebno i zbrojiti rezultate.

Ovaj zakon smo objasnili (§ 59) kao primijenjen na cijele brojeve. Ostaje istinito bez ikakvih promjena za razlomke.

Pokažimo, zapravo, da je jednakost

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(distributivni zakon množenja s obzirom na zbrajanje) ostaje istinit čak i kada slova znače razlomke. Razmotrimo tri slučaja.

1) Pretpostavimo prvo da je faktor m cijeli broj, na primjer m = 3 (a, b, c su bilo koji brojevi). Prema definiciji množenja cijelim brojem, može se napisati (ograničeno zbog jednostavnosti na tri pojma):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Na temelju asocijativnog zakona zbrajanja možemo izostaviti sve zagrade na desnoj strani; primjenom komutativnog zakona zbrajanja, a zatim opet zakona kombinacije, očito možemo prepisati desnu stranu na sljedeći način:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Dakle, distributivni zakon u ovom slučaju je potvrđen.

Množenje i dijeljenje razlomaka

Zadnji put smo naučili kako zbrajati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju razmatrati uglavnom množenje.

Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) smanjeni razlomak - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je redukcija na zajednički nazivnik: bez križnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u neispravne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ta pravila susrela samo pri zbrajanju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

1. Prekrižimo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je dovršena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, budući da nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Sve razlomke prevodimo u nepravilne, a zatim minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se prema uobičajenim pravilima. dobivamo:

Podsjetim još jednom da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se pomnože, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori i stoga se mogu smanjiti korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim su primjerima crvenom bojom označeni brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku ​​pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slične brojke koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Pogreška nastaje zbog činjenice da se prilikom zbrajanja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Množenje razlomaka.

Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.

Množenje razlomka s razlomkom.

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati umnožak brojnika i umnožaka nazivnika tih razlomaka.

Razmotrimo primjer:
Brojnik prvog razlomka pomnožimo s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka također pomnožimo s nazivnikom drugog razlomka.

Množenje razlomka brojem.

Počnimo s pravilom bilo koji broj može se predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac \) .

Koristimo ovo pravilo za množenje.

Nepravilan razlomak \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) pretvoren je u miješana frakcija.

Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj s brojnikom i ostavite nazivnik nepromijenjen. Primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Za množenje mješovitih razlomaka, najprije morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim upotrijebiti pravilo množenja. Brojnik se množi s brojnikom, nazivnik se množi sa nazivnikom.

Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.

Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak s razlomkom?
Odgovor: umnožak običnih razlomaka je množenje brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom. Da biste dobili umnožak miješanih razlomaka, morate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.

Kako množiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno jesu li nazivnici razlomaka isti ili različiti, množenje se događa prema pravilu za pronalaženje umnoška brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom.

Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod prema pravilima množenja.

Kako pomnožiti broj s razlomkom?
Odgovor: Pomnožimo broj s brojnikom, a nazivnik ostavimo istim.

Primjer #1:
Izračunajte umnožak: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac \) b) \(\frac \puts 11\)

Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac \)?
Odgovor: \(\frac = 3\)

Primjer #4:
Izračunajte umnožak dviju recipročnih vrijednosti: a) \(\frac \times \frac \)

Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) prirodni brojevi u isto vrijeme?

Odluka:
a) Uzmimo primjer da odgovorimo na prvo pitanje. Razlomak \(\frac \) je točan, njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac \) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.

b) u gotovo svim nabrajanjima razlomaka ovaj uvjet nije zadovoljen, ali postoje neki brojevi koji istovremeno ispunjavaju uvjet da su nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilni razlomak je \(\frac \) , njegova recipročna vrijednost je \(\frac \). Dobivamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uvjetima, kada su brojnik i nazivnik jednaki.

c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo kada brojimo npr. 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac \), tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac \). Razlomak \(\frac \) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac = \frac = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je taj broj 1.

Primjer #6:
Izvedite umnožak miješanih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac \) b) \(1\frac \puts 3\frac \)

Odluka:
a) \(4 \puta 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac\)

Primjer #7:
Mogu li dvije međusobno recipročne biti istovremeno mješoviti brojevi?

Pogledajmo primjer. Uzmite mješoviti razlomak \(1\frac \), pronađite ga recipročan, za to ga prevodimo u nepravilan razlomak \(1\frac = \frac \) . Njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac \) . Razlomak \(\frac \) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.

Množenje decimale prirodnim brojem

Prezentacija za lekciju

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

• Na zabavan način upoznati učenike s pravilom množenja decimalnog razlomka prirodnim brojem, bitnom jedinicom i pravilom izražavanja decimalnog razlomka kao postotak. Razvijati sposobnost primjene stečenih znanja u rješavanju primjera i zadataka.
• Razvijte i aktivirajte logično mišljenje učenika, sposobnost prepoznavanja i generaliziranja obrazaca, jačanje pamćenja, sposobnost suradnje, pružanja pomoći, vrednovanja svog rada i rada međusobno.
• Razvijati interes za matematiku, aktivnost, mobilnost, sposobnost komunikacije.

Oprema: interaktivna ploča, plakat s cifargramom, plakati s izjavama matematičara.

1. Organiziranje vremena.
2. Usmeno brojanje je generalizacija prethodno proučenog gradiva, priprema za proučavanje novog gradiva.
3. Objašnjenje novog gradiva.
4. Domaća zadaća.
5. Matematički tjelesni odgoj.
6. Uopćavanje i sistematizacija stečenog znanja na igriv način uz pomoć računala.
7. Ocjenjivanje.

2. Dečki, danas će naša lekcija biti pomalo neobična, jer je neću provesti sam, već sa svojim prijateljem. I moj prijatelj je također neobičan, sad ćeš ga vidjeti. (Na ekranu se pojavljuje računalo za crtani film.) Moj prijatelj ima ime i zna pričati. Kako se zoveš prijatelju? Komposha odgovara: "Zovem se Komposha." Jeste li spremni danas mi pomoći? DA! Pa onda, krenimo s lekcijom.

Danas sam dobio šifrirani cifergram, ljudi, koji moramo zajedno riješiti i dešifrirati. (Na ploči je postavljen poster sa usmeno prebrojavanje za zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka, kao rezultat toga dečki dobivaju sljedeći kod 523914687. )

Komposha pomaže dešifrirati primljeni kod. Kao rezultat dekodiranja dobiva se riječ MNOŽENJE. Množenje je ključna riječ teme današnje lekcije. Na monitoru se prikazuje tema lekcije: "Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem"

Ljudi, znamo kako se izvodi množenje prirodnih brojeva. Danas ćemo pogledati množenje. decimalni brojevi na prirodan broj. Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem može se smatrati zbrojem članova, od kojih je svaki jednak ovom decimalnom razlomku, a broj članova jednak je ovom prirodnom broju. Na primjer: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Dakle 5,21 3 = 15,63. Predstavljajući 5.21 kao običan razlomak prirodnog broja, dobivamo

I u ovom slučaju dobili smo isti rezultat 15,63. Sada, zanemarujući zarez, uzmimo broj 521 umjesto broja 5,21 i pomnožimo zadanim prirodnim brojem. Ovdje moramo imati na umu da je u jednom od faktora zarez pomaknut dva mjesta udesno. Množenjem brojeva 5, 21 i 3 dobivamo proizvod jednak 15,63. Sada, u ovom primjeru, pomaknut ćemo zarez ulijevo za dvije znamenke. Dakle, za koliko je puta povećan jedan od faktora, proizvod je smanjen za toliko puta. Na temelju sličnih točaka ovih metoda donosimo zaključak.

Da se množi decimal za prirodan broj trebate:
1) zanemarujući zarez, izvršiti množenje prirodnih brojeva;
2) u dobivenom umnošku odvojite zarezom s desne strane onoliko znakova koliko ih ima u decimalnom razlomku.

Na monitoru su prikazani sljedeći primjeri koje analiziramo zajedno s Komposhom i dečkima: 5,21 3 = 15,63 i 7,624 15 = 114,34. Nakon što pokažem množenje sa okrugli broj 12,6 50 = 630. Zatim prelazim na množenje decimalnog razlomka s bitnom jedinicom. Prikazujem sljedeće primjere: 7,423 100 = 742,3 i 5,2 1000 = 5200. Dakle, uvodim pravilo za množenje decimalnog razlomka s bitnom jedinicom:

Da biste decimalni razlomak pomnožili s bitnim jedinicama 10, 100, 1000 itd., potrebno je pomaknuti zarez udesno u ovom razlomku za onoliko znamenki koliko ima nula u zapisu bitne jedinice.

Objašnjenje završavam izrazom decimalnog razlomka u postotku. Unosim pravilo:

Da biste decimalu izrazili kao postotak, pomnožite je sa 100 i dodajte znak %.

Dajem primjer na računalu 0,5 100 = 50 ili 0,5 = 50%.

4. Na kraju objašnjenja dajem dečkima domaća zadaća, koji se također prikazuje na monitoru računala: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Kako bi se dečki malo odmorili, konsolidirali temu, zajedno s Komposhom odrađujemo matematičku tjelesnu. Svi ustaju, pokazuju razredu riješene primjere i moraju odgovoriti je li primjer točan ili netočan. Ako je primjer točno riješen, onda podignu ruke iznad glave i pljesnu dlanovima. Ako primjer nije točno riješen, dečki ispruže ruke u stranu i gnječe prste.

6. A sada se malo odmorite, možete riješiti zadatke. Otvorite svoj udžbenik na stranici 205, № 1029. u ovom zadatku potrebno je izračunati vrijednost izraza:

Zadaci se pojavljuju na računalu. Kako su riješeni, pojavljuje se slika s likom čamca, koji, kad je potpuno sastavljen, isplovljava.

Rješavajući ovaj zadatak na računalu, raketa se postupno razvija, rješavajući posljednji primjer, raketa odleti. Učitelj daje male informacije učenicima: svemirski brodovi. U blizini Bajkonura, Kazahstan gradi svoje nova svemirska luka Baiterek.

Koliko će auto prijeći za 4 sata ako je brzina putnički automobil 74,8 km/h.

Poklon bon Ne znate što pokloniti svojoj drugoj osobi, prijateljima, zaposlenicima, rodbini? Iskoristite našu posebnu ponudu: "Poklon bon hotela Blue Osoka Country". Certifikat […]

) a nazivnik po nazivniku (dobijemo nazivnik proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koji uključuje prirodni broj.

Nije tako strašno kako se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti miješane razlomke u neispravne;
• množi brojnike i nazivnike razlomaka;
• smanjujemo razlomak;
• ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilni razlomak u mješoviti.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Može biti prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Razlomci na više razina.

U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja. Obavite sve izračune pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u glavi.

2. U zadacima s različiti tipovi razlomci - idite na oblik običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Donosimo frakcijske izraze na više razina u obične, koristeći dijeljenje na 2 točke.

5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.

Množenje običnih razlomaka

Razmotrimo primjer.

Neka je na tanjuru $\frac(1)(3)$ dio jabuke. Moramo pronaći njegov dio $\frac(1)(2)$. Traženi dio rezultat je množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak.

Množenje dva obična razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka razlomkom je razlomak čiji je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženih razlomaka, a nazivnik jednak umnošku nazivnika:

Primjer 1

Pomnožite obične razlomke $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Odluka.

Upotrijebimo pravilo množenja običnih razlomaka:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Odgovor:$\frac(15)(77)$

Ako se kao rezultat množenja razlomaka dobije poništivi ili nepravilni razlomak, onda ga je potrebno pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Odluka.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kao rezultat, dobili smo reducibilni razlomak (na temelju dijeljenja s $3$. Podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s $3$, dobivamo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Odgovor:$\frac(1)(24).$

Kada množite razlomke, možete smanjiti brojnike i nazivnike da biste pronašli njihov proizvod. U tom se slučaju brojnik i nazivnik razlomka rastavljaju na jednostavne čimbenike, nakon čega se faktori koji se ponavljaju smanjuju i rezultat se nalazi.

Primjer 3

Izračunajte umnožak razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Odluka.

Koristimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očito, brojnik i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu smanjiti za brojeve $2$, $3$ i $5$. Razlažemo brojnik i nazivnik na jednostavne faktore i činimo redukciju:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Odgovor:$\frac(1)(20).$

Prilikom množenja razlomaka može se primijeniti komutativni zakon:

Množenje razlomka prirodnim brojem

Pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojnik jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka s prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $\frac(a)(b)$ običan razlomak, $n$ je prirodan broj.

Primjer 4

Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ s $4$.

Odluka.

Upotrijebimo pravilo množenja običnog razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja za kontraktibilnost razlomka ili za nepravilan razlomak.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ s $3$.

Odluka.

Upotrijebimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Po kriteriju dijeljenja brojem $3$) može se odrediti da se dobiveni razlomak može smanjiti:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Također je bilo moguće smanjiti razlomke zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim proširenjima u proste faktore. U ovom slučaju rješenje se može napisati na sljedeći način:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Odgovor:$1\frac(2)(5).$

Kada množite razlomak prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:

Podjela običnih razlomaka

Operacija dijeljenja je inverzna od množenja i njen rezultat je razlomak s kojim trebate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznati umnožak dvaju razlomaka.

Dijeljenje dva obična razlomka

Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka: Očito, brojnik i nazivnik rezultirajućeg razlomka mogu se rastaviti na jednostavne faktore i smanjiti:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak iz kojeg biramo cijeli broj:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Odgovor:$1\frac(5)(9).$