Kako riješiti cijele razlomke s različitim nazivnicima. Razlomci s različitim nazivnicima i njihovo oduzimanje. Množenje cijelog broja s razlomkom

vaše dijete donijelo domaća zadaća iz škole i ne znaš kako to riješiti? Onda je ovaj mini vodič za vas!

Kako zbrajati decimale

Prikladnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu. Da biste dodali decimale, morate slijediti jedno jednostavno pravilo:

Znamenka mora biti ispod znamenke, zarez ispod zareza.

Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice su jedna ispod druge, desetine i stotinke su jedna ispod druge. Sada zbrajamo brojeve, zanemarujući zarez. Što učiniti sa zarezom? Zarez se prenosi na mjesto gdje je stajao u pražnjenju cijelih brojeva.

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Da biste izvršili zbrajanje sa zajedničkim nazivnikom, trebate zadržati nazivnik nepromijenjen, pronaći zbroj brojnika i dobiti razlomak, koji će biti ukupan zbroj.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima pronalaženjem zajedničkog višekratnika

Prvo na što treba obratiti pažnju su nazivnici. Nazivnici su različiti, zar nisu djeljivi jedan s drugim, zar ne primarni brojevi. Prvo morate dovesti do jednog zajedničkog nazivnika, postoji nekoliko načina da to učinite:

1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer, moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv s 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b - LCM (a; b). NA ovaj primjer LCM (3;4)=12. Provjera: 12:3=4; 12:4=3.
Pomnožimo faktore i izvršimo zbrajanje rezultirajućih brojeva, dobivamo 13/12 - nepravilan razlomak.

Da bismo nepravilan razlomak pretvorili u pravi, brojnik podijelimo nazivnikom, dobijemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojnik, a 12 nazivnik.

Zbrajanje razlomaka pomoću križnog množenja

Za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima postoji još jedan način prema formuli "križ po križ". Ovo je zajamčeni način za izjednačavanje nazivnika, za to morate pomnožiti brojnike s nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste samo na početno stanje učenje razlomaka, onda je ova metoda najlakša i najtočnija, kako dobiti pravi rezultat pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.

Radnje s razlomcima.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Dakle, što su razlomci, vrste razlomaka, transformacije – prisjetili smo se. Pozabavimo se glavnim pitanjem.

Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve je isto kao i s običnim brojevima. Zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti.

Sve ove radnje sa decimal operacije s razlomcima ne razlikuju se od operacija s cijelim brojevima. Zapravo, to je ono za što su dobri, decimalni. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.

mješoviti brojevi, kao što sam rekao, od male su koristi za većinu radnji. Još ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke.

A evo i radnji s obični razlomci bit će pametniji. I puno važnije! da te podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Operacije s običnim razlomcima su osnova za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.

Svatko može zbrajati (oduzeti) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da vas podsjetim da sam potpuno zaboravan: pri zbrajanju (oduzimanju) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) kako bi se dobio brojnik rezultata. Tip:

Ukratko, u opći pogled:

Što ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći glavno svojstvo razlomka (ovdje je opet dobro došlo!), nazivnike činimo istim! Na primjer:

Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Isključivo u svrhu da nazivnici budu isti. Napominjem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neugodno, a 4/10 je čak ništa.

Usput, to je bit rješavanja bilo kakvih zadataka iz matematike. Kad smo vani neugodno izrazi čine isto, ali prikladnije za rješavanje.

Još jedan primjer:

Situacija je slična. Ovdje smo napravili 48 od 16. Jednostavnim množenjem na 3. Ovo je sve jasno. Ali ovdje nailazimo na nešto poput:

Kako biti?! Teško je napraviti devetku od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Preobrazimo se svaki razlomak tako da nazivnici budu isti. To se zove "svedi na zajednički nazivnik":

Kako! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je jednako djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo na primjer sa 7, onda će se rezultat sigurno podijeliti sa 7!

Ako trebate zbrajati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe to raditi u parovima, korak po korak. Vi samo trebate pronaći nazivnik koji je zajednički svim razlomcima, i dovesti svaki razlomak na isti nazivnik. Na primjer:

A što će biti zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobivamo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je od tih brojeva lako dobiti 16. Taj će broj biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16 i tako dalje.

Usput, uzmemo li 1024 kao zajednički nazivnik, i sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Samo neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija ...

Riješite sami primjer. Nije logaritam... Trebalo bi biti 29/16.

Dakle, sa zbrajanjem (oduzimanjem) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, s dodatnim množiteljima. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I ništa nisu zaboravili.

A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi. Nove grablje će se naći ovdje, da...

Dakle, moramo dodati dva frakcijska izraza:

Trebamo nazivnike učiniti istim. I to samo uz pomoć množenje! Tako kaže glavno svojstvo razlomka. Stoga, ne mogu dodati jedan na x u prvom razlomku u nazivniku. (Ali to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve će rasti zajedno! Dakle, zapišemo, liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo i upišemo umnožak nazivnika ispod, da ne zaboravimo:

I, naravno, ne množimo ništa s desne strane, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički nazivnik desne strane, mislimo: da bismo dobili nazivnik x (x + 1) u prvom razlomku, moramo brojnik i nazivnik ovog razlomka pomnožiti s (x + 1) . A u drugom razlomku - x. Dobiješ ovo:

Bilješka! Zagrade su ovdje! Ovo su grablje na koje mnogi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer se množimo cjelina brojnik i cjelina nazivnik! A ne njihovi pojedinačni komadi...

U brojnik desne strane upisujemo zbroj brojnika, sve je kao u razlomci, zatim otvorite zagrade u brojniku desne strane, t.j. umnoži sve i daj slično. Ne trebate otvarati zagrade u nazivnicima, ne trebate nešto množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! dobivamo:

Ovdje smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Riješite primjere, naviknite se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svladali razlomke u zadanom vremenu, sve ove operacije rade jednom rukom, na stroju!

I još jedna napomena. Mnogi se slavno bave razlomcima, ali se drže primjera cijeli brojevima. Vrsta: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvojku? Ne morate nigdje pričvrstiti, morate napraviti razlomak od dvojke. Nije lako, vrlo je jednostavno! 2=2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.

Pa na zbrajanju – oduzimanju razlomaka osvježilo se znanje. Transformacije razlomaka iz jedne vrste u drugu - ponavljaju se. Također možete provjeriti. Hoćemo li se malo nagoditi?)

Izračunati:

Odgovori (u neredu):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Množenje / dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve radnje s razlomcima.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Dijete je teško razumjeti frakcijske izraze. Većina ljudi ima poteškoća s . Prilikom proučavanja teme "zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima", dijete pada u stupor, teško mu je riješiti zadatak. U mnogim primjerima potrebno je izvršiti niz izračuna prije nego što se neka radnja može izvesti. Na primjer, pretvoriti razlomke ili pretvoriti nepravilan razlomak u ispravan.

Jasno objasnite djetetu. Uzmite tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treća će biti izrezana na 4 dijela. Od izrezane jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite pored dva cijela voća. Dobijamo ¼ jabuke s jedne strane i 2 ¾ s druge strane. Ako ih spojimo, dobijemo tri cijele jabuke. Pokušajmo smanjiti 2 ¾ jabuke za ¼, odnosno ukloniti još jednu krišku, dobit ćemo 2 2/4 jabuke.

Pogledajmo pobliže radnje s razlomcima, koji uključuju cijele brojeve:

Prvo, prisjetimo se pravila izračuna za frakcijske izraze sa zajedničkim nazivnikom:

Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali to se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju pretvorbu.

Kako pronaći vrijednost izraza gdje su nazivnici različiti

U nekim je zadacima potrebno pronaći vrijednost izraza kod kojih su nazivnici različiti. Razmotrimo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3

Pronađite vrijednost ovog izraza, za to nalazimo zajednički nazivnik za dva razlomka.

Za brojeve 7 i 3, ovo je 21. Cjelobrojne dijelove ostavljamo istim, a razlomke smanjujemo na 21, za to pomnožimo prvi razlomak sa 3, drugi sa 7, dobivamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da cijeli dijelovi ne podliježu pretvorbi. Kao rezultat, dobivamo dva razlomka s jednim nazivnikom i izračunavamo njihov zbroj:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Što ako je rezultat zbrajanja nepravilan razlomak koji već ima cijeli broj:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju, zbrajamo cijele dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, dakle 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

S pronalaženjem zbroja, sve je jasno, analizirajmo oduzimanje:

Iz rečenog slijedi pravilo postupanja dalje mješoviti brojevišto zvuči ovako:

Ako je potrebno od frakcijskog izraza oduzeti cijeli broj, nije potrebno drugi broj prikazati kao razlomak, dovoljno je operirati samo cjelobrojnim dijelovima.

Pokušajmo sami izračunati vrijednost izraza:

Pogledajmo pobliže primjer ispod slova "m":

4 5/11-2 8/11, brojnik prvog razlomka manji je od drugog. Da bismo to učinili, uzimamo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobivamo,
3 5/11+11/11=3 cijeli 16/11, oduzmi drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11

Budite oprezni pri izvršavanju zadatka, nemojte zaboraviti pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite, naglašavajući cijeli dio. Da biste to učinili, potrebno je podijeliti vrijednost brojnika s vrijednošću nazivnika, tada ono što se dogodilo zauzima mjesto cjelobrojnog dijela, ostatak će biti brojnik, na primjer:

19/4=4 ¾, provjerite: 4*4+3=19, u nazivniku 4 ostaje nepromijenjeno.

Rezimirati:

Prije nego što pređemo na zadatak koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba izvršiti na razlomku da bi rješenje bilo ispravno. Potražite racionalnija rješenja. Nemojte ići težim putem. Planirajte sve akcije, odlučite prvi skica, zatim prebacite u školsku bilježnicu.

Kako ne bi došlo do zabune pri rješavanju frakcijskih izraza, potrebno je slijediti pravilo slijeda. O svemu odlučite pažljivo, bez žurbe.

Obični razlomčki brojevi prvi put susreću školarce u 5. razredu i prate ih kroz život, budući da je u svakodnevnom životu često potrebno uzeti u obzir ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - udio. Dionice su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zgnječiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII stoljeću se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom jeziku.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se "razbijeni brojevi", što je bilo vrlo teško prikazati u razumijevanju ljudi.

moderan izgled jednostavne frakcijske ostatke, čiji su dijelovi odvojeni točno vodoravnom linijom, prvi je pridonio Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi datirani su 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako dolazi do množenja mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti sorte frakcija:

ispravan;
pogrešno;
mješoviti.

Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa lako je formulirati neovisno: rezultat množenja prosti razlomci s istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika zadanih razlomaka. Naime, novi nazivnik je u početku kvadrat jednog od postojećih.

Prilikom množenja prosti razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomka biti umnožak različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine za smanjenje frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika s brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Za razmatranje je dano nekoliko primjera.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju formulom:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav proizvod je zbroj identičnih razlomaka, a broj pojmova to ukazuje prirodni broj. poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti nazivnik s ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Korisno je koristiti ovu tehniku kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje metodu predstavljanja miješana frakcija u pogrešnu, također se može predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemu se nazivnik novog razlomka tvori množenjem cjelobrojnog dijela s nazivnikom i dodavanjem brojniku izvornog razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces također radi obrnutim putem. Da biste odabrali cijeli broj i razlomki ostatak, trebate podijeliti brojnik nepravilnog razlomka s nazivnikom s "uglom".

Množenje nepravilni razlomci proizveden na uobičajeni način. Kada unos ide ispod jednog razlomka, prema potrebi, trebate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve ovom metodom i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih problema. matematički problemi u raznim programima. Dovoljan broj takvih usluga nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka s različite brojeve u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za izračun razlomaka. Oni su u stanju ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Lako je raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, znak je odabran matematička radnja i kliknite na "izračunaj". Program broji automatski.

Predmet aritmetičke operacije s razlomcima je relevantan u cijelom obrazovanju srednjoškolaca i starijih škola. U srednjoj školi više ne razmišljaju o najjednostavnijim vrstama, ali cjelobrojni frakcijski izrazi, ali poznavanje pravila za transformaciju i izračune, dobiveno ranije, primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro naučeno osnovno znanje daje potpuno povjerenje u dobra odluka najviše izazovni zadaci.

Zaključno, ima smisla navesti riječi Lava Tolstoja, koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik – svoje zasluge, ali svatko može smanjiti svoj nazivnik – svoje mišljenje o sebi i time se približiti svom savršenstvu.

Pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima su vrlo jednostavna.

Razmotrite pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima u koracima:

1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika. Rezultirajući LCM bit će zajednički nazivnik razlomaka;

2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik;

3. Zbrojite razlomke svedene na zajednički nazivnik.

Na jednostavan primjer Naučite kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima.