El logaritmo natural de la expresión. Logaritmo de la regla de acción con logaritmos

derivado de su definición. Y entonces el logaritmo del número b por razon un definido como el exponente al que debe elevarse un número un para obtener el número b(el logaritmo existe solo para números positivos).

De esta formulación se sigue que el cálculo x=log a b, es equivalente a resolver la ecuación ax=b. Por ejemplo, registro 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 . La formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b por razon un es igual con. También está claro que el tema del logaritmo está muy relacionado con el tema de la potencia de un número.

Con logaritmos, como con cualquier número, puede realizar operaciones de suma, resta y transformar de todas las formas posibles. Pero en vista del hecho de que los logaritmos no son números del todo ordinarios, aquí se aplican sus propias reglas especiales, que se llaman propiedades básicas.

Suma y resta de logaritmos.

Tomemos dos logaritmos los mismos motivos: registro x y iniciar sesión. Luego eliminar es posible realizar operaciones de suma y resta:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registrar un(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = registro x 1 + registro x 2 + registro x 3 + ... + registro a x k.

Desde teoremas del logaritmo del cociente se puede obtener una propiedad más del logaritmo. Es bien sabido que el registro un 1= 0, por lo tanto,

Iniciar sesión un 1 /b= registro un 1 - registro un segundo= -registro un segundo.

Entonces hay una igualdad:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmos de dos números mutuamente recíprocos sobre la misma base diferirán entre sí solo en el signo. Asi que:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Con este video comienzo una larga serie de lecciones sobre ecuaciones logarítmicas. Ahora tiene tres ejemplos a la vez, sobre la base de los cuales aprenderemos a resolver la mayoría tareas simples, que se llaman protozoos.

registro 0,5 (3x - 1) = -3

largo (x + 3) = 3 + 2 largo 5

Déjame recordarte que la ecuación logarítmica más simple es la siguiente:

log a f(x) = b

Es importante que la variable x esté presente solo dentro del argumento, es decir, solo en la función f(x). Y los números a y b son solo números, y en ningún caso son funciones que contengan la variable x.

Métodos básicos de solución.

Hay muchas maneras de resolver este tipo de estructuras. Por ejemplo, la mayoría de los maestros en la escuela sugieren de esta manera: Expresar inmediatamente la función f ( x ) usando la fórmula F( x) = un segundo Es decir, cuando se encuentra con la construcción más simple, puede proceder inmediatamente a la solución sin acciones ni construcciones adicionales.

Sí, por supuesto, la decisión resultará ser correcta. Sin embargo, el problema con esta fórmula es que la mayoría de los estudiantes no entiendo, de dónde viene y por qué exactamente elevamos la letra a a la letra b.

Como resultado, a menudo observo errores muy ofensivos, cuando, por ejemplo, se intercambian estas letras. Esta fórmula debe entenderse o memorizarse, y el segundo método conduce a errores en los momentos más inoportunos y cruciales: en exámenes, pruebas, etc.

Por eso sugiero a todos mis alumnos que abandonen la fórmula estándar de la escuela y la utilicen para resolver ecuaciones logarítmicas el segundo enfoque, que, como habrás adivinado por el nombre, se llama forma canónica.

La idea de la forma canónica es simple. Miremos de nuevo nuestra tarea: a la izquierda tenemos log a , mientras que la letra a significa exactamente el número, y en ningún caso la función que contiene la variable x. Por tanto, esta letra está sujeta a todas las restricciones que se imponen sobre la base del logaritmo. a saber:

1 ≠ un > 0

Por otro lado, de la misma ecuación, vemos que el logaritmo debe ser es igual al numero b , y no se imponen restricciones a esta letra, porque puede tomar cualquier valor, tanto positivo como negativo. Todo depende de qué valores tome la función f(x).

Y aquí recordamos nuestra maravillosa regla de que cualquier número b puede representarse como un logaritmo en base a desde a elevado a b:

b = log a a b

¿Cómo recordar esta fórmula? Sí, muy sencillo. Escribamos la siguiente construcción:

segundo = segundo 1 = segundo iniciar sesión un un

Eso sí, en este caso surgen todas las restricciones que apuntábamos al principio. Y ahora usemos la propiedad básica del logaritmo e ingresemos el factor b como la potencia de a. Obtenemos:

segundo = segundo 1 = segundo iniciar sesión un a = iniciar sesión un segundo

Como resultado, la ecuación original se reescribirá de la siguiente forma:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Eso es todo. La nueva función ya no contiene un logaritmo y se resuelve mediante técnicas algebraicas estándar.

Por supuesto, alguien ahora objetará: ¿por qué fue necesario encontrar algún tipo de fórmula canónica, por qué realizar dos pasos adicionales innecesarios, si era posible pasar inmediatamente de la construcción original a la fórmula final? Sí, aunque solo sea porque la mayoría de los estudiantes no entienden de dónde viene esta fórmula y, como resultado, cometen errores regularmente al aplicarla.

Pero tal secuencia de acciones, que consta de tres pasos, le permite resolver la ecuación logarítmica original, incluso si no comprende de dónde proviene esa fórmula final. Por cierto, esta entrada se llama fórmula canónica:

log a f(x) = log a a b

La conveniencia de la forma canónica también radica en el hecho de que puede usarse para resolver una clase muy amplia de ecuaciones logarítmicas, y no solo las más simples que estamos considerando hoy.

Ejemplos de soluciones

Y ahora consideremos ejemplos reales. Así que decidamos:

registro 0,5 (3x - 1) = -3

Reescribámoslo así:

registro 0,5 (3x − 1) = registro 0,5 0,5 −3

Muchos estudiantes tienen prisa e intentan elevar inmediatamente el número 0,5 a la potencia que nos llegó del problema original. Y, de hecho, cuando ya esté bien capacitado para resolver tales problemas, puede realizar este paso de inmediato.

Sin embargo, si ahora recién está comenzando a estudiar este tema, es mejor no apresurarse a ningún lado para no cometer errores ofensivos. Entonces tenemos la forma canónica. Tenemos:

3x - 1 = 0,5 -3

Esta ya no es una ecuación logarítmica, sino lineal con respecto a la variable x. Para resolverlo, primero tratemos con el número 0.5 elevado a −3. Tenga en cuenta que 0,5 es 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Todos decimales convierte a normal cuando resuelves una ecuación logarítmica.

Reescribimos y obtenemos:

3x - 1 = 8
3x=9
x=3

Todos tenemos la respuesta. La primera tarea está resuelta.

Segunda tarea

Pasemos a la segunda tarea:

Como puedes ver, esta ecuación ya no es la más simple. Aunque solo sea porque la diferencia está a la izquierda, y no un solo logaritmo en una base.

Por lo tanto, debe deshacerse de alguna manera de esta diferencia. EN este caso todo es muy simple. Echemos un vistazo más de cerca a las bases: a la izquierda está el número debajo de la raíz:

Recomendación general: en todas las ecuaciones logarítmicas, intente deshacerse de los radicales, es decir, las entradas con raíces, y pase a funciones de potencia, simplemente porque los exponentes de estas potencias se quitan fácilmente del signo del logaritmo y, al final, tal notación simplifica y acelera enormemente los cálculos. Escribámoslo así:

Ahora recordamos la notable propiedad del logaritmo: del argumento, así como de la base, puedes sacar grados. En el caso de las bases sucede lo siguiente:

log a k b = 1/k loga b

En otras palabras, el número que estaba en el grado de la base se adelanta y al mismo tiempo se invierte, es decir, se convierte en número inverso. En nuestro caso, había un grado de base con un indicador de 1/2. Por lo tanto, podemos sacarlo como 2/1. Obtenemos:

5 2 logaritmo 5 x − logaritmo 5 x = 18
10 logaritmo 5 x − logaritmo 5 x = 18

Tenga en cuenta: en ningún caso debe deshacerse de los logaritmos en este paso. Piense en las matemáticas de los grados 4-5 y el orden de las operaciones: primero se realiza la multiplicación, y solo luego se realizan la suma y la resta. En este caso, restamos uno de los mismos elementos de 10 elementos:

9 registro 5 x = 18
registro 5 x = 2

Ahora nuestra ecuación se ve como debería. Este es diseño más simple, y lo resolvemos con la forma canónica:

registro 5 x = registro 5 5 2
x = 5 2
x=25

Eso es todo. El segundo problema está resuelto.

Tercer ejemplo

Pasemos a la tercera tarea:

largo (x + 3) = 3 + 2 largo 5

Recuerda la siguiente fórmula:

logaritmo b = logaritmo 10 b

Si por alguna razón está confundido al escribir lg b , entonces al hacer todos los cálculos, simplemente puede escribir log 10 b . Puedes trabajar con logaritmos decimales de la misma manera que con los demás: sacar potencias, sumar y representar cualquier número como lg 10.

Son precisamente estas propiedades las que usaremos ahora para resolver el problema, ya que no es la más simple que escribimos al comienzo de nuestra lección.

Para empezar, tenga en cuenta que el factor 2 antes de lg 5 se puede insertar y se convierte en una potencia de base 5. Además, el término libre 3 también se puede representar como un logaritmo; esto es muy fácil de observar a partir de nuestra notación.

Juzgue usted mismo: cualquier número se puede representar como logaritmo en base 10:

3 = registro 10 10 3 = registro 10 3

Reescribamos el problema original teniendo en cuenta los cambios recibidos:

largo (x − 3) = largo 1000 + largo 25
largo (x − 3) = largo 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Ante nosotros está nuevamente la forma canónica, y la obtuvimos pasando por alto la etapa de transformaciones, es decir, la ecuación logarítmica más simple no apareció en ninguna parte con nosotros.

Eso es de lo que estaba hablando al principio de la lección. La forma canónica permite resolver una clase de problemas más amplia que la estándar. fórmula escolar dado por la mayoría de los maestros de escuela.

Eso es todo, nos deshacemos del signo del logaritmo decimal y obtenemos una construcción lineal simple:

x + 3 = 25.000
x = 24997

¡Todos! Problema resuelto.

Una nota sobre el alcance

Aquí me gustaría traer nota IMPORTANTE sobre el alcance. Seguro que ahora habrá alumnos y profesores que dirán: “¡Cuando resolvemos expresiones con logaritmos, es imprescindible recordar que el argumento f(x) debe ser mayor que cero!” Al respecto, surge una pregunta lógica: ¿por qué en ninguno de los problemas considerados requerimos que se satisfaga esta desigualdad?

No te preocupes. No aparecerán raíces adicionales en estos casos. Y este es otro gran truco que te permite acelerar la solución. Solo sepa que si en el problema la variable x aparece solo en un lugar (o más bien, en el único argumento del único logaritmo), y en ningún otro lugar en nuestro caso aparece la variable x, entonces escriba el dominio no es necesario porque se ejecutará automáticamente.

Juzgue usted mismo: en la primera ecuación, obtuvimos que 3x - 1, es decir, el argumento debe ser igual a 8. Esto automáticamente significa que 3x - 1 será mayor que cero.

Con el mismo éxito, podemos escribir que en el segundo caso, x debe ser igual a 5 2, es decir, ciertamente es mayor que cero. Y en el tercer caso, donde x + 3 = 25.000, es decir, de nuevo, evidentemente mayor que cero. En otras palabras, el alcance es automático, pero solo si x ocurre solo en el argumento de un solo logaritmo.

Eso es todo lo que necesitas saber para resolver problemas simples. Esta regla por sí sola, junto con las reglas de transformación, le permitirá resolver una clase muy amplia de problemas.

Pero seamos honestos: para comprender finalmente esta técnica, para aprender a aplicar la forma canónica de la ecuación logarítmica, no basta con ver una lección en video. Por lo tanto, descarga ahora mismo las opciones de solución independiente que se adjuntan a este videotutorial y comienza a resolver al menos uno de estos dos trabajos independientes.

Te llevará solo unos minutos. Pero el efecto de dicho entrenamiento será mucho mayor en comparación con si solo vieras este video tutorial.

Espero que esta lección te ayude a comprender las ecuaciones logarítmicas. Aplique la forma canónica, simplifique las expresiones usando las reglas para trabajar con logaritmos, y no tendrá miedo de ninguna tarea. Y eso es todo lo que tengo por hoy.

Consideración del alcance

Ahora hablemos sobre el dominio de la función logarítmica, y cómo esto afecta la solución de ecuaciones logarítmicas. Considere una construcción de la forma

log a f(x) = b

Tal expresión se llama la más simple: solo tiene una función, y los números a y b son solo números, y en ningún caso son una función que dependa de la variable x. Se resuelve de forma muy sencilla. Solo necesitas usar la fórmula:

b = log a a b

Esta fórmula es una de propiedades clave logaritmo, y al sustituir en nuestra expresión original, obtenemos lo siguiente:

log a f(x) = log a a b

f(x) = un segundo

Esta ya es una fórmula familiar de los libros de texto escolares. Muchos estudiantes probablemente tendrán una pregunta: dado que la función f ( x ) en la expresión original está bajo el signo logarítmico, se le imponen las siguientes restricciones:

f(x) > 0

Esta limitación se aplica porque el logaritmo de números negativos no existe. Entonces, tal vez debido a esta limitación, ¿debería introducir una verificación de respuestas? ¿Quizás necesitan ser sustituidos en la fuente?

No, en las ecuaciones logarítmicas más simples no es necesaria una verificación adicional. Y es por eso. Echa un vistazo a nuestra fórmula final:

f(x) = un segundo

El hecho es que el número a en cualquier caso es mayor que 0; este requisito también lo impone el logaritmo. El número a es la base. En este caso, no se imponen restricciones al número b. Pero esto no importa, porque no importa en qué grado elevemos un número positivo, aún obtendremos un número positivo en la salida. Así, el requisito f (x) > 0 se cumple automáticamente.

Lo que realmente vale la pena verificar es el alcance de la función bajo el signo de registro. Puede haber diseños bastante complejos, y en el proceso de resolverlos, definitivamente debes seguirlos. Echemos un vistazo.

Primera tarea:

Primer paso: convertir la fracción de la derecha. Obtenemos:

Nos deshacemos del signo del logaritmo y obtenemos la ecuación irracional habitual:

De las raíces obtenidas, sólo nos conviene la primera, ya que la segunda raíz menos que cero. La única respuesta será el número 9. Eso es todo, el problema está resuelto. No se requieren verificaciones adicionales de que la expresión bajo el signo del logaritmo sea mayor que 0, porque no solo es mayor que 0, sino que por la condición de la ecuación es igual a 2. Por lo tanto, el requisito "mayor que cero" se cumple automáticamente. satisfecho.

Pasemos a la segunda tarea:

Todo es lo mismo aquí. Reescribimos la construcción, reemplazando el triple:

Nos deshacemos de los signos del logaritmo y obtenemos una ecuación irracional:

Elevamos al cuadrado ambas partes, teniendo en cuenta las restricciones, y obtenemos:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x2 = x2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Resolvemos la ecuación resultante a través del discriminante:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x1 = -1

x2 \u003d -6

Pero x = −6 no nos conviene, porque si sustituimos este número en nuestra desigualdad, obtenemos:

−6 + 4 = −2 < 0

En nuestro caso se requiere que sea mayor que 0 o, en casos extremos, igual. Pero x = −1 nos conviene:

−1 + 4 = 3 > 0

La única respuesta en nuestro caso es x = −1. Esa es toda la solución. Volvamos al principio de nuestros cálculos.

La principal conclusión de esta lección es que no es necesario verificar los límites de una función en las ecuaciones logarítmicas más simples. Porque en el proceso de resolución todas las restricciones se ejecutan automáticamente.

Sin embargo, esto de ninguna manera significa que pueda olvidarse por completo de la verificación. En el proceso de trabajar en una ecuación logarítmica, bien puede convertirse en una irracional, que tendrá sus propias limitaciones y requisitos para el lado derecho, que hemos visto hoy en dos ejemplos diferentes.

Siéntase libre de resolver tales problemas y tenga especial cuidado si hay una raíz en el argumento.

Ecuaciones logarítmicas con diferentes bases

Seguimos estudiando ecuaciones logarítmicas y analizamos dos trucos más bastante interesantes con los que está de moda resolver más estructuras complejas. Pero primero, recordemos cómo se resuelven las tareas más simples:

log a f(x) = b

En esta notación, a y b son solo números, y en la función f (x) la variable x debe estar presente, y solo allí, es decir, x debe estar solo en el argumento. Transformaremos tales ecuaciones logarítmicas usando la forma canónica. Para esto, notamos que

b = log a a b

Y a b es solo un argumento. Reescribamos esta expresión de la siguiente manera:

log a f(x) = log a a b

Esto es exactamente lo que estamos tratando de lograr, de modo que tanto a la izquierda como a la derecha haya un logaritmo en base a. En este caso, podemos, en sentido figurado, tachar los signos de log, y desde el punto de vista de las matemáticas, podemos decir que simplemente equiparamos los argumentos:

f(x) = un segundo

Como resultado, obtenemos una nueva expresión que será mucho más fácil de resolver. Apliquemos esta regla a nuestras tareas de hoy.

Así que el primer diseño:

En primer lugar, observo que hay una fracción a la derecha, cuyo denominador es log. Cuando veas una expresión como esta, vale la pena recordar la maravillosa propiedad de los logaritmos:

Traducido al ruso, esto significa que cualquier logaritmo se puede representar como un cociente de dos logaritmos con cualquier base c. por supuesto, 0< с ≠ 1.

Entonces: esta fórmula tiene una maravillosa caso especial cuando la variable c es igual a la variable b. En este caso, obtenemos una construcción de la forma:

Es esta construcción la que observamos en el signo de la derecha de nuestra ecuación. Reemplacemos esta construcción con log a b , obtenemos:

En otras palabras, en comparación con la tarea original, hemos intercambiado el argumento y la base del logaritmo. En cambio, tuvimos que voltear la fracción.

Recordamos que cualquier grado puede ser descontado de la base según la siguiente regla:

En otras palabras, el coeficiente k, que es el grado de la base, se saca como una fracción invertida. Saquemoslo como una fracción invertida:

El factor fraccionario no se puede dejar delante, porque en este caso no podremos representar esta entrada como una forma canónica (después de todo, en la forma canónica no hay ningún factor adicional delante del segundo logaritmo). Por lo tanto, pongamos la fracción 1/4 en el argumento como potencia:

Ahora igualamos los argumentos cuyas bases son iguales (y realmente tenemos las mismas bases), y escribimos:

X + 5 = 1

x = −4

Eso es todo. Obtuvimos la respuesta a la primera ecuación logarítmica. Preste atención: en el problema original, la variable x aparece solo en un registro y está en su argumento. Por lo tanto, no hay necesidad de verificar el dominio y nuestro número x = −4 es, de hecho, la respuesta.

Ahora pasemos a la segunda expresión:

registro 56 = registro 2 registro 2 7 − 3 registro (x + 4)

Aquí, además de los logaritmos habituales, tendremos que trabajar con lg f (x). ¿Cómo resolver tal ecuación? A un estudiante no preparado le puede parecer que se trata de una especie de lata, pero de hecho todo se resuelve de manera elemental.

Fíjate bien en el término lg 2 log 2 7. ¿Qué podemos decir al respecto? Las bases y argumentos de log y lg son los mismos, y esto debería dar algunas pistas. Recordemos una vez más cómo se sacan los grados de debajo del signo del logaritmo:

log a b n = n log a b

En otras palabras, cuál era la potencia del número b en el argumento se convierte en un factor frente al mismo log. Apliquemos esta fórmula a la expresión lg 2 log 2 7. No tengas miedo de lg 2: esta es la expresión más común. Puedes reescribirlo así:

Para él, todas las reglas que se aplican a cualquier otro logaritmo son válidas. En particular, el factor anterior puede introducirse en el poder del argumento. Vamos a escribir:

Muy a menudo, los estudiantes a quemarropa no ven esta acción, porque no es bueno ingresar un registro bajo el signo de otro. De hecho, no hay nada criminal en esto. Además, obtenemos una fórmula que es fácil de calcular si recuerdas una regla importante:

Esta fórmula puede considerarse tanto como una definición como una de sus propiedades. En cualquier caso, si transformas una ecuación logarítmica, debes conocer esta fórmula de la misma forma que la representación de cualquier número en forma de logaritmo.

Volvemos a nuestra tarea. Lo reescribimos teniendo en cuenta que el primer término a la derecha del signo igual será simplemente igual a lg 7. Tenemos:

largo 56 = largo 7 − 3 largo (x + 4)

Muevamos lg 7 a la izquierda, obtenemos:

largo 56 - largo 7 = -3 largo (x + 4)

Restamos las expresiones de la izquierda porque tienen la misma base:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Ahora echemos un vistazo más de cerca a la ecuación que tenemos. Es prácticamente la forma canónica, pero hay un factor −3 a la derecha. Pongámoslo en el argumento lg correcto:

largo 8 = largo (x + 4) −3

Ante nosotros está la forma canónica de la ecuación logarítmica, así que tachamos los signos de lg e igualamos los argumentos:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

¡Eso es todo! Hemos resuelto la segunda ecuación logarítmica. En este caso, no se requieren verificaciones adicionales, porque en el problema original x estaba presente en un solo argumento.

voy a enumerar de nuevo puntos clave Esta lección.

La fórmula principal que se estudia en todas las lecciones de esta página dedicadas a resolver ecuaciones logarítmicas es la forma canónica. Y no se desanime por el hecho de que la mayoría de los libros de texto escolares le enseñan cómo resolver este tipo de problemas de manera diferente. Esta herramienta funciona de manera muy eficiente y le permite resolver una clase de problemas mucho más amplia que los más simples que estudiamos al comienzo de nuestra lección.

Además, para resolver ecuaciones logarítmicas, será útil conocer las propiedades básicas. A saber:

La fórmula para pasar a una base y un caso especial cuando volteamos el registro (esto nos fue muy útil en la primera tarea);
La fórmula para sacar y sacar potencias de debajo del signo del logaritmo. Aquí, muchos estudiantes se atascan y no ven a quemarropa que la potencia extraída y traída puede contener log f (x). Nada de malo con eso. Podemos introducir un logaritmo según el signo de otro y al mismo tiempo simplificar notablemente la solución del problema, que es lo que observamos en el segundo caso.

En conclusión, me gustaría agregar que no es necesario verificar el alcance en cada uno de estos casos, porque en todas partes la variable x está presente en un solo signo de log y, al mismo tiempo, está en su argumento. Como consecuencia, todos los requisitos del dominio se cumplen automáticamente.

Problemas con base variable

Hoy consideraremos ecuaciones logarítmicas, que para muchos estudiantes parecen no estándar, si no completamente irresolubles. Estamos hablando de expresiones que no se basan en números, sino en variables e incluso funciones. Resolveremos tales construcciones usando nuestra técnica estándar, es decir, a través de la forma canónica.

Para empezar, recordemos cómo se resuelven los problemas más simples, que se basan en números ordinarios. Entonces, la construcción más simple se llama

log a f(x) = b

Para resolver tales problemas, podemos usar la siguiente fórmula:

b = log a a b

Reescribimos nuestra expresión original y obtenemos:

log a f(x) = log a a b

Luego igualamos los argumentos, es decir, escribimos:

f(x) = un segundo

Por lo tanto, nos deshacemos del signo de registro y resolvemos el problema habitual. En este caso, las raíces obtenidas en la solución serán las raíces de la ecuación logarítmica original. Además, el registro, cuando tanto la izquierda como la derecha están en el mismo logaritmo con la misma base, se llama forma canónica. Es a este registro que intentaremos reducir las construcciones de hoy. Entonces vamos.

Primera tarea:

registro x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Reemplace 1 con log x − 2 (x − 2) 1 . El grado que observamos en el argumento es, de hecho, el número b, que estaba a la derecha del signo igual. Así que reescribamos nuestra expresión. Obtenemos:

registro x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = registro x - 2 (x - 2)

¿Qué vemos? Ante nosotros está la forma canónica de la ecuación logarítmica, por lo que podemos igualar con seguridad los argumentos. Obtenemos:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Pero la solución no termina ahí, porque esta ecuación no es equivalente a la original. Después de todo, la construcción resultante consta de funciones que están definidas en toda la recta numérica, y nuestros logaritmos originales no están definidos en todas partes ni siempre.

Por lo tanto, debemos escribir el dominio de definición por separado. No seamos más sabios y primero anotemos todos los requisitos:

Primero, el argumento de cada uno de los logaritmos debe ser mayor que 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

En segundo lugar, la base no solo debe ser mayor que 0, sino también diferente de 1:

X − 2 ≠ 1

Como resultado, obtenemos el sistema:

Pero no se alarme: al procesar ecuaciones logarítmicas, dicho sistema se puede simplificar enormemente.

Juzgue usted mismo: por un lado, se requiere que la función cuadrática sea mayor que cero, y por otro lado, esta función cuadrática se equipara a una cierta expresión lineal, que también se requiere que sea mayor que cero.

En este caso, si requerimos que x − 2 > 0, automáticamente se cumplirá el requisito 2x 2 − 13x + 18 > 0. Por lo tanto, podemos tachar con seguridad la desigualdad que contiene función cuadrática. Así, el número de expresiones contenidas en nuestro sistema se reducirá a tres.

Por supuesto, también podríamos tachar desigualdad lineal, es decir, tachar x − 2 > 0 y requerir que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Pero debes estar de acuerdo en que es mucho más rápido y fácil resolver la desigualdad lineal más simple que este sistema, obtenemos las mismas raíces.

En general, intente optimizar los cálculos siempre que sea posible. Y en el caso de las ecuaciones logarítmicas, tachar las desigualdades más difíciles.

Reescribamos nuestro sistema:

Aquí hay un sistema de este tipo de tres expresiones, dos de las cuales, de hecho, ya hemos descubierto. Escribamos por separado ecuación cuadrática y resolverlo:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Tenemos ante nosotros un trinomio cuadrado reducido y, por tanto, podemos utilizar las fórmulas de Vieta. Obtenemos:

(x − 5)(x − 2) = 0

×1 = 5

x2 = 2

Ahora, volviendo a nuestro sistema, encontramos que x = 2 no nos conviene, porque estamos obligados a tener x estrictamente mayor que 2.

Pero x \u003d 5 nos queda bastante bien: el número 5 es mayor que 2 y, al mismo tiempo, 5 no es igual a 3. Por lo tanto, la única solución para este sistema será x \u003d 5.

Todo, la tarea está resuelta, incluso teniendo en cuenta la ODZ. Pasemos a la segunda ecuación. Aquí estamos esperando cálculos más interesantes y significativos:

El primer paso: así como la última vez, llevamos todo este asunto a una forma canónica. Para ello, podemos escribir el número 9 de la siguiente manera:

La base con la raíz no se puede tocar, pero es mejor transformar el argumento. Pasemos de la raíz a la potencia con exponente racional. Vamos a escribir:

Permítanme no reescribir toda nuestra gran ecuación logarítmica, sino igualar inmediatamente los argumentos:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x2 + 4x + 3 = 0

Ante nosotros está el trinomio cuadrado nuevamente reducido, usaremos las fórmulas de Vieta y escribiremos:

(x + 3)(x + 1) = 0

x1 = -3

x2 = -1

Entonces, obtuvimos las raíces, pero nadie nos garantizó que encajarían en la ecuación logarítmica original. Después de todo, los signos de registro imponen restricciones adicionales (aquí tendríamos que escribir el sistema, pero debido a la incomodidad de toda la construcción, decidí calcular el dominio de definición por separado).

En primer lugar, recuerda que los argumentos deben ser mayores que 0, a saber:

Estos son los requisitos impuestos por el dominio de definición.

Notamos enseguida que como igualamos las dos primeras expresiones del sistema, podemos tachar cualquiera de ellas. Tachemos el primero porque parece más amenazador que el segundo.

Además, tenga en cuenta que las soluciones de la segunda y tercera desigualdades serán los mismos conjuntos (el cubo de algún número es mayor que cero, si este mismo número es mayor que cero; de manera similar con la raíz de tercer grado, estas desigualdades son completamente similar, por lo que uno de ellos lo podemos tachar).

Pero con la tercera desigualdad, esto no funcionará. Deshagámonos del signo del radical de la izquierda, para lo cual elevamos ambas partes a un cubo. Obtenemos:

Entonces obtenemos los siguientes requisitos:

−2 ≠ x > −3

¿Cuál de nuestras raíces: x 1 = -3 o x 2 = -1 cumple con estos requisitos? Obviamente, solo x = −1, porque x = −3 no satisface la primera desigualdad (porque nuestra desigualdad es estricta). En total, volviendo a nuestro problema, obtenemos una raíz: x = −1. Eso es todo, problema resuelto.

Una vez más, los puntos clave de esta tarea:

Siéntete libre de aplicar y resolver ecuaciones logarítmicas usando la forma canónica. Los estudiantes que hacen tal notación, en lugar de pasar directamente del problema original a una construcción como log a f (x ) = b , permiten mucho menos errores que aquellos que tienen prisa en algún lugar, saltándose pasos intermedios de cálculos;
En cuanto aparece una base variable en el logaritmo, el problema deja de ser el más sencillo. Por tanto, a la hora de resolverlo hay que tener en cuenta el dominio de definición: los argumentos deben ser mayores que cero, y las bases no solo deben ser mayores que 0, sino que tampoco deben ser iguales a 1.

Puede imponer los últimos requisitos a las respuestas finales de diferentes maneras. Por ejemplo, es posible resolver un sistema completo que contenga todos los requisitos del dominio. Por otro lado, primero puede resolver el problema en sí mismo y luego recordar el dominio de definición, resolverlo por separado en forma de sistema y aplicarlo a las raíces obtenidas.

La forma de elegir al resolver una ecuación logarítmica en particular depende de usted. En cualquier caso, la respuesta será la misma.

hoy hablaremos de fórmulas de logaritmos y dar demostración ejemplos de soluciones.

Por sí mismos, implican patrones de solución según las propiedades básicas de los logaritmos. Antes de aplicar las fórmulas de los logaritmos a la solución, te recordamos, en primer lugar, todas las propiedades:

Ahora, con base en estas fórmulas (propiedades), mostramos Ejemplos de resolución de logaritmos..

Ejemplos de resolución de logaritmos basados en fórmulas.

Logaritmo numero positivo b en base a (denotado log a b) es el exponente al que se debe elevar a para obtener b, con b > 0, a > 0 y 1.

Según la definición log a b = x, que es equivalente a a x = b, entonces log a a x = x.

logaritmos, ejemplos:

log 2 8 = 3, porque 2 3 = 8

log 7 49 = 2 porque 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, porque 5 -1 = 1/5

logaritmo decimal es un logaritmo ordinario, cuya base es 10. Denotado como lg.

log 10 100 = 2 porque 10 2 = 100

logaritmo natural- también el logaritmo logaritmo habitual, pero ya con la base e (e \u003d 2.71828 ... - numero irracional). Conocido como ln.

Es conveniente recordar las fórmulas o propiedades de los logaritmos, porque las necesitaremos más adelante al resolver logaritmos, ecuaciones logarítmicas y desigualdades. Repasemos cada fórmula nuevamente con ejemplos.

Identidad logarítmica básica
un registro un b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
El logaritmo del cociente es igual a la diferencia de los logaritmos
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Propiedades del grado de un número logaritmable y la base del logaritmo
El exponente de un número logarítmico log a b m = mlog a b

Exponente de la base del logaritmo log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

si m = n, obtenemos log a n b n = log a b

registro 4 9 = registro 2 2 3 2 = registro 2 3
Transición a una nueva fundación
log a b = log c b / log c a,
si c = b, obtenemos log b b = 1

entonces log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Como puedes ver, las fórmulas de logaritmos no son tan complicadas como parecen. Ahora, habiendo considerado ejemplos de resolución de logaritmos, podemos pasar a las ecuaciones logarítmicas. Consideraremos ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas con más detalle en el artículo: "". ¡No te pierdas!

Si aún tiene preguntas sobre la solución, escríbalas en los comentarios al artículo.

Nota: decidió obtener una educación de otra clase de estudio en el extranjero como una opción.

Expresiones logarítmicas, solución de ejemplos. En este artículo, consideraremos problemas relacionados con la resolución de logaritmos. Las tareas plantean la cuestión de encontrar el valor de la expresión. Cabe señalar que el concepto de logaritmo se utiliza en muchas tareas y es sumamente importante comprender su significado. En cuanto al USO, el logaritmo se utiliza al resolver ecuaciones, en tareas aplicadas, también en tareas relacionadas con el estudio de funciones.

Aquí hay ejemplos para entender el significado mismo del logaritmo:

Identidad logarítmica básica:

Propiedades de los logaritmos que siempre debes recordar:

*El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

* * *

* El logaritmo del cociente (fracción) es igual a la diferencia de los logaritmos de los factores.

* * *

* El logaritmo del grado es igual al producto del exponente y el logaritmo de su base.

* * *

*Transición a nueva base

* * *

Más propiedades:

* * *

Calcular logaritmos está estrechamente relacionado con el uso de las propiedades de los exponentes.

Enumeramos algunos de ellos:

esencia propiedad dada es que al pasar el numerador al denominador y viceversa, el signo del exponente cambia al contrario. Por ejemplo:

Consecuencia de esta propiedad:

* * *

Al elevar una potencia a otra potencia, la base sigue siendo la misma, pero los exponentes se multiplican.

* * *

Como puede ver, el concepto mismo del logaritmo es simple. Lo principal es que se necesita una buena práctica, lo que da una cierta habilidad. Ciertamente, el conocimiento de las fórmulas es obligatorio. Si no se forma la habilidad en la transformación de logaritmos elementales, entonces al resolver tareas simples es fácil cometer un error.

Practique, resuelva primero los ejemplos más simples del curso de matemáticas y luego pase a los más complejos. En el futuro, definitivamente mostraré cómo se resuelven los logaritmos "feos", no habrá tales en el examen, pero son interesantes, ¡no te lo pierdas!

¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

El logaritmo de un número. norte por razon un se llama exponente X , a la que hay que subir un para obtener el número norte

Siempre que
,
,

De la definición del logaritmo se sigue que
, es decir.
- esta igualdad es la identidad logarítmica básica.

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales. En vez de
escribe
.

logaritmos básicos mi se llaman naturales y se denotan
.

Propiedades básicas de los logaritmos.

El logaritmo de la unidad para cualquier base es cero.

El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

3) El logaritmo del cociente es igual a la diferencia de los logaritmos

Factor
se llama el módulo de transición de los logaritmos en la base un a logaritmos en la base b .

Usando las propiedades 2-5, a menudo es posible reducir el logaritmo de una expresión compleja al resultado de operaciones aritméticas simples sobre logaritmos.

Por ejemplo,

Tales transformaciones del logaritmo se llaman logaritmos. Las transformaciones recíprocas de logaritmos se llaman potenciación.

Capítulo 2. Elementos de las matemáticas superiores.

1. Límites

límite de función
es un número finito A si, al esforzarse xx 0 para cada predeterminado
, hay un numero
que tan pronto como
, entonces
.

Una función que tiene un límite difiere de él en una cantidad infinitesimal:
, donde - b.m.w., es decir
.

Ejemplo. Considere la función
.

al esforzarse
, función y va a cero:

1.1. Teoremas básicos sobre límites.

El límite de un valor constante es igual a este valor constante

El límite de la suma (diferencia) de un número finito de funciones es igual a la suma (diferencia) de los límites de estas funciones.

El límite de un producto de un número finito de funciones es igual al producto de los límites de estas funciones.

El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de estas funciones si el límite del denominador no es igual a cero.

Límites notables

,
, donde

1.2. Ejemplos de cálculo de límites

Sin embargo, no todos los límites se calculan tan fácilmente. Más a menudo, el cálculo del límite se reduce a la divulgación de la incertidumbre de tipo: o .

2. Derivada de una función

Tengamos una función
, continuo en el segmento
.

Argumento consiguió un poco de impulso
. Entonces la función se incrementará
.

Valor del argumento corresponde al valor de la función
.

Valor del argumento
corresponde al valor de la función.

Por lo tanto, .

Encontremos el límite de esta relación en
. Si este límite existe, entonces se llama la derivada de la función dada.

Definición de la 3derivada de una función dada
por argumento llamado límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento, cuando el incremento del argumento tiende arbitrariamente a cero.

Derivada de función
se puede denotar de la siguiente manera:

; ; ; .

Definición 4La operación de encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.

2.1. El significado mecánico de la derivada.

Considere el movimiento rectilíneo de algún cuerpo rígido o punto material.

Deja que en algún momento punto de movimiento
estaba a distancia desde la posición inicial
.

Después de un período de tiempo
ella se movió una distancia
. Actitud =- velocidad media punto material
. Encontremos el límite de esta razón, teniendo en cuenta que
.

En consecuencia, la determinación de la velocidad instantánea de un punto material se reduce a encontrar la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo.

2.2. Valor geométrico de la derivada

Supongamos que tenemos una función definida gráficamente
.

Arroz. 1. El significado geométrico de la derivada

si un
, entonces el punto
, se moverá a lo largo de la curva, acercándose al punto
.

Por lo tanto
, es decir. el valor de la derivada dado el valor del argumento es igual numéricamente a la tangente del ángulo formado por la tangente en un punto dado con la dirección positiva del eje
.

2.3. Tabla de fórmulas básicas de diferenciación.

Función de potencia

Funcion exponencial

función logarítmica

Funcion trigonometrica

función trigonométrica inversa

2.4. Reglas de diferenciación.

Derivado de

Derivada de la suma (diferencia) de funciones

Derivada del producto de dos funciones

La derivada del cociente de dos funciones

2.5. Derivado de función compleja.

Deja que la función
tal que se puede representar como

y
, donde la variable es un argumento intermedio, entonces

La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de la función dada con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a x.

Ejemplo 1.

Ejemplo2.

3. Función diferencial.

Dejalo ser
, diferenciable en algún intervalo
Déjalo ir en esta función tiene una derivada

entonces puedes escribir

(1),

donde - una cantidad infinitesimal,

porque en

Multiplicando todos los términos de la igualdad (1) por
tenemos:

Donde
- b.m.v. orden superior.

Valor
se llama diferencial de la función
y denotado

3.1. El valor geométrico del diferencial.

Deja que la función
.

Figura 2. El significado geométrico del diferencial.

Obviamente, la diferencial de la función
es igual al incremento de la ordenada de la tangente en el punto dado.

3.2. Derivadas y diferenciales de varios órdenes.

Sí hay
, entonces
se llama la primera derivada.

La derivada de la primera derivada se llama derivada de segundo orden y se escribe
.

Derivada del orden n de la función
se llama derivada de orden (n-1) y se escribe:

La diferencial de la diferencial de una función se llama segunda diferencial o diferencial de segundo orden.

.

.

3.3 Resolución de problemas biológicos mediante diferenciación.

Tarea 1. Los estudios han demostrado que el crecimiento de una colonia de microorganismos obedece a la ley
, donde norte – número de microorganismos (en miles), t – tiempo (días).

b) ¿Aumentará o disminuirá la población de la colonia durante este período?

Responder. La colonia crecerá en tamaño.

Tarea 2. El agua del lago se analiza periódicamente para controlar el contenido de bacterias patógenas. A través de t días después de la prueba, la concentración de bacterias se determina por la relación