En la práctica, es bastante común usar la derivada para calcular el valor mayor y menor de una función. Realizamos esta acción cuando averiguamos cómo minimizar costos, aumentar ganancias, calcular la carga óptima en la producción, etc., es decir, en aquellos casos en que es necesario determinar el valor óptimo de un parámetro. Para resolver tales problemas correctamente, uno debe tener una buena comprensión de cuál es el valor más grande y más pequeño de una función.
Usualmente definimos estos valores dentro de algún intervalo x, que a su vez puede corresponder a todo el alcance de la función o parte de ella. Puede ser un segmento [ a ; b ] , e intervalo abierto (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , intervalo infinito (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) o intervalo infinito - ∞ ; un , (- ∞ ; un ] , [ un ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
En este artículo, describiremos cómo se calcula el valor mayor y menor de una función dada explícitamente con una variable y=f(x) y = f(x).
Definiciones basicas
Comenzamos, como siempre, con la formulación de las principales definiciones.
Definición 1
El mayor valor de la función y = f (x) en algún intervalo x es el valor m a x y = f (x 0) x ∈ X , que, para cualquier valor x x ∈ X , x ≠ x 0, hace que la desigualdad f (x ) ≤ f (x 0) .
Definición 2
El valor más pequeño de la función y = f (x) en algún intervalo x es el valor m i n x ∈ X y = f (x 0) , que, para cualquier valor x ∈ X , x ≠ x 0, hace que la desigualdad f(X f (x) ≥ f (x0) .
Estas definiciones son bastante obvias. Puede ser aún más simple decir esto: el valor más grande de una función es su valor más grande en un intervalo conocido en la abscisa x 0, y el más pequeño es el valor más pequeño aceptado en el mismo intervalo en x 0.
Definición 3
Los puntos estacionarios son tales valores del argumento de la función en los que su derivada se convierte en 0.
¿Por qué necesitamos saber qué son los puntos estacionarios? Para responder a esta pregunta, debemos recordar el teorema de Fermat. De ello se deduce que un punto estacionario es un punto en el que se encuentra el extremo de una función diferenciable (es decir, su mínimo o máximo local). En consecuencia, la función tomará el valor más pequeño o más grande en un cierto intervalo exactamente en uno de los puntos estacionarios.
Otra función puede tomar el valor más grande o más pequeño en aquellos puntos en los que la función misma es definida y su primera derivada no existe.
La primera pregunta que surge al estudiar este tema es: en todos los casos, ¿podemos determinar el valor máximo o mínimo de una función en un intervalo dado? No, no podemos hacer esto cuando los límites del intervalo dado coincidirán con los límites del dominio de definición, o si estamos tratando con un intervalo infinito. También sucede que una función en un intervalo dado o en el infinito tomará valores infinitamente pequeños o infinitamente grandes. En estos casos, no es posible determinar el valor mayor y/o menor.
Estos momentos serán más comprensibles después de la imagen en los gráficos:
La primera figura nos muestra una función que toma los valores mayor y menor (m a x y y m i n y) en puntos estacionarios ubicados en el intervalo [ - 6 ; 6].
Examinemos en detalle el caso indicado en el segundo gráfico. Cambiemos el valor del segmento a [ 1 ; 6] y obtenemos que el valor más grande de la función se logrará en el punto con la abscisa en el límite derecho del intervalo, y el más pequeño, en el punto estacionario.
En la tercera figura, las abscisas de los puntos representan los puntos límite del segmento [ - 3 ; 2]. Corresponden al valor mayor y menor de la función dada.
Ahora veamos la cuarta imagen. En él, la función toma m a x y (el valor más grande) y m i n y (el valor más pequeño) en puntos estacionarios en el intervalo abierto (-6; 6).
Si tomamos el intervalo [ 1 ; 6), entonces podemos decir que el valor más pequeño de la función en él se alcanzará en un punto estacionario. No sabremos el valor máximo. La función podría tomar el mayor valor en x igual a 6 si x = 6 perteneciera al intervalo. Este es el caso que se muestra en la Figura 5.
En el gráfico 6, esta función adquiere el valor más pequeño en el borde derecho del intervalo (- 3 ; 2 ] , y no podemos sacar conclusiones definitivas sobre el valor más grande.
En la figura 7, vemos que la función tendrá m a x y en el punto estacionario, teniendo una abscisa igual a 1 . La función alcanza su valor mínimo en el límite del intervalo del lado derecho. En menos infinito, los valores de la función se aproximarán asintóticamente a y = 3.
Si tomamos un intervalo x ∈ 2 ; + ∞ , entonces veremos que la función dada no tomará ni el valor más pequeño ni el más grande. Si x tiende a 2, entonces los valores de la función tenderán a menos infinito, ya que la recta x = 2 es una asíntota vertical. Si la abscisa tiende a más infinito, entonces los valores de la función se aproximarán asintóticamente a y = 3. Este es el caso que se muestra en la Figura 8.
En este párrafo, daremos una secuencia de acciones que se deben realizar para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función en un cierto intervalo.
- Primero, encontremos el dominio de la función. Verifiquemos si el segmento especificado en la condición está incluido en ella.
- Ahora calculemos los puntos contenidos en este segmento en los que no existe la primera derivada. La mayoría de las veces, se pueden encontrar en funciones cuyo argumento está escrito bajo el signo del módulo, o en funciones de potencia, cuyo exponente es un número racional fraccionario.
- A continuación, averiguamos qué puntos estacionarios caen en un segmento determinado. Para hacer esto, debe calcular la derivada de la función, luego igualarla a 0 y resolver la ecuación resultante, y luego elegir las raíces apropiadas. Si no obtenemos un solo punto estacionario o no caen en un segmento dado, continuamos con el siguiente paso.
- Determinemos qué valores tomará la función en los puntos estacionarios dados (si corresponde), o en aquellos puntos donde no existe la primera derivada (si corresponde), o calculamos los valores para x = a y x = segundo
- 5. Tenemos una serie de valores de función, de los cuales ahora debemos elegir el mayor y el menor. Estos serán los valores mayor y menor de la función que necesitamos encontrar.
Veamos cómo aplicar correctamente este algoritmo al resolver problemas.
Ejemplo 1
Condición: se da la función y = x 3 + 4 x 2. Determine su valor mayor y menor en los segmentos [ 1 ; 4] y [-4; - uno ] .
Decisión:
Comencemos por encontrar el dominio de esta función. En este caso, será el conjunto de todos los números reales excepto el 0. En otras palabras, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞. Ambos segmentos especificados en la condición estarán dentro del área de definición.
Ahora calculamos la derivada de la función según la regla de derivación de una fracción:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3
Aprendimos que la derivada de la función existirá en todos los puntos de los segmentos [ 1 ; 4] y [-4; - uno ] .
Ahora necesitamos determinar los puntos estacionarios de la función. Hagamos esto con la ecuación x 3 - 8 x 3 = 0. Sólo tiene una raíz real, que es 2. Será un punto estacionario de la función y caerá en el primer segmento [ 1 ; 4 ] .
Calculemos los valores de la función en los extremos del primer segmento y en el punto dado, es decir para x = 1, x = 2 y x = 4:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Hemos obtenido que el mayor valor de la función m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se logrará en x = 1 , y el menor m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – en x = 2 .
El segundo segmento no incluye ningún punto estacionario, por lo que debemos calcular los valores de la función solo en los extremos del segmento dado:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Por lo tanto, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Responder: Para el segmento [ 1 ; 4 ] - metro un X y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , para el segmento [ - 4 ; - 1 ] - metro un x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Ver imagen:
Antes de aprender este método, te recomendamos que revises cómo calcular correctamente el límite lateral y el límite en el infinito, así como aprender los métodos básicos para encontrarlos. Para encontrar el valor mayor y/o menor de una función en un intervalo abierto o infinito, realizamos los siguientes pasos en secuencia.
- Primero debe verificar si el intervalo dado será un subconjunto del dominio de la función dada.
- Determinemos todos los puntos que están contenidos en el intervalo requerido y en los que no existe la primera derivada. Por lo general, ocurren en funciones donde el argumento está encerrado en el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionalmente racional. Si faltan estos puntos, puede continuar con el siguiente paso.
- Ahora determinamos qué puntos estacionarios caen en un intervalo dado. Primero, igualamos la derivada a 0, resolvemos la ecuación y encontramos las raíces adecuadas. Si no tenemos un solo punto estacionario o no se encuentran dentro del intervalo especificado, inmediatamente procedemos a otras acciones. Están determinados por el tipo de intervalo.
- Si el intervalo se ve como [ a ; b), entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = a y el límite unilateral lím x → b - 0 f (x) .
- Si el intervalo tiene la forma (a ; b ] , entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = b y el límite lateral lím x → a + 0 f (x) .
- Si el intervalo tiene la forma (a ; b) , entonces necesitamos calcular los límites unilaterales lím x → b - 0 f (x) , lím x → a + 0 f (x) .
- Si el intervalo se ve como [ a ; + ∞), entonces es necesario calcular el valor en el punto x = a y el límite a más infinito lim x → + ∞ f (x) .
- Si el intervalo se parece a (- ∞ ; b ] , calculamos el valor en el punto x = b y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x) .
- Si - ∞ ; b , entonces consideramos el límite unilateral lim x → b - 0 f (x) y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x)
- Si - ∞ ; + ∞ , entonces consideramos los límites a menos y más infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- Al final, debe sacar una conclusión basada en los valores obtenidos de la función y los límites. Hay muchas opciones aquí. Entonces, si el límite lateral es igual a menos infinito o más infinito, entonces queda claro de inmediato que no se puede decir nada sobre el valor más pequeño y más grande de la función. A continuación consideraremos un ejemplo típico. Las descripciones detalladas lo ayudarán a comprender qué es qué. Si es necesario, puede volver a las figuras 4 - 8 en la primera parte del material.
Condición: dada una función y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcular su valor mayor y menor en los intervalos - ∞ ; -4, -∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .
Decisión
En primer lugar, encontramos el dominio de la función. El denominador de la fracción es un trinomio cuadrado, que no debe ir a 0:
x 2 + x - 6 = 0 re = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ re (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Hemos obtenido el alcance de la función, al que pertenecen todos los intervalos especificados en la condición.
Ahora diferenciamos la función y obtenemos:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
En consecuencia, las derivadas de una función existen en todo el dominio de su definición.
Pasemos a encontrar puntos estacionarios. La derivada de la función se convierte en 0 en x = - 1 2 . Este es un punto estacionario que está en los intervalos (- 3 ; 1 ] y (- 3 ; 2) .
Calculemos el valor de la función en x = - 4 para el intervalo (- ∞ ; - 4 ] , así como el límite en menos infinito:
y (- 4) \u003d 3 mi 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 mi 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lím x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 = 3 mi 0 - 4 = - 1
Como 3 e 1 6 - 4 > - 1 , entonces m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Esto no nos permite determinar de manera única el valor más pequeño de la función. Solo podemos concluir que hay un límite por debajo de -1, ya que es a este valor al que la función se acerca asintóticamente en menos infinito.
Una característica del segundo intervalo es que no tiene un solo punto estacionario ni un solo límite estricto. Por lo tanto, no podemos calcular ni el valor más grande ni el más pequeño de la función. Al definir el límite en menos infinito y como el argumento tiende a - 3 en el lado izquierdo, obtenemos solo el rango de valores:
lím x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lím x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 y 0 - 4 = - 1
Esto quiere decir que los valores de la función estarán ubicados en el intervalo -1; +∞
Para encontrar el valor máximo de la función en el tercer intervalo, determinamos su valor en el punto estacionario x = - 1 2 si x = 1 . También necesitamos saber el límite unilateral para el caso en que el argumento tiende a - 3 en el lado derecho:
y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 mi 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lím x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (- 0) - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Resultó que la función tomará el valor más grande en un punto estacionario m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. En cuanto al valor más pequeño, no podemos determinarlo. Todo lo que saber, es la presencia de un límite inferior a -4.
Para el intervalo (- 3 ; 2), tomemos los resultados del cálculo anterior y una vez más calculemos a qué es igual el límite lateral cuando tiende a 2 desde el lado izquierdo:
y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lím x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lím x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Por lo tanto, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , y el valor más pequeño no se puede determinar, y los valores de la función están acotados desde abajo por el número - 4 .
Con base en lo que hicimos en los dos cálculos anteriores, podemos afirmar que en el intervalo [ 1 ; 2) la función tomará el valor más grande en x = 1, y es imposible encontrar el más pequeño.
En el intervalo (2 ; + ∞), la función no alcanzará ni el valor más grande ni el más pequeño, es decir tomará valores del intervalo -1; +∞.
lím x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lím x → + ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1
Habiendo calculado cuál será el valor de la función en x = 4 , encontramos que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , y la función dada en más infinito se aproximará asintóticamente a la línea y = - 1 .
Comparemos lo que obtuvimos en cada cálculo con la gráfica de la función dada. En la figura, las asíntotas se muestran con líneas de puntos.
Eso es todo lo que queríamos hablar sobre encontrar el valor más grande y más pequeño de una función. Esas secuencias de acciones que te hemos dado te ayudarán a realizar los cálculos necesarios de la forma más rápida y sencilla posible. Pero recuerde que a menudo es útil averiguar primero en qué intervalos la función disminuirá y en cuáles aumentará, después de lo cual se pueden sacar más conclusiones. Para que pueda determinar con mayor precisión el valor mayor y menor de la función y justificar los resultados.
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Veamos cómo explorar una función usando un gráfico. Resulta que mirando el gráfico, puedes encontrar todo lo que nos interesa, a saber:
- alcance de la función
- rango de función
- función ceros
- períodos de aumento y disminución
- puntos altos y bajos
- el valor mayor y menor de la función en el intervalo.
Aclaremos la terminología:
Abscisa es la coordenada horizontal del punto.
ordenada- coordenada vertical.
abscisa- el eje horizontal, más a menudo llamado el eje.
eje Y- eje vertical, o eje.
Argumento es una variable independiente de la que dependen los valores de la función. Más a menudo indicado.
En otras palabras, nosotros mismos elegimos , sustituimos en la fórmula de la función y obtenemos .
Dominio funciones: el conjunto de esos (y solo esos) valores del argumento para el que existe la función.
Denotado: o .
En nuestra figura, el dominio de la función es un segmento. Es en este segmento donde se dibuja la gráfica de la función. Sólo aquí existe esta función.
Rango de funciones es el conjunto de valores que toma la variable. En nuestra figura, este es un segmento, desde el valor más bajo hasta el más alto.
Ceros de función- puntos donde el valor de la función es igual a cero, es decir, . En nuestra figura, estos son los puntos y .
Los valores de la función son positivos donde . En nuestra figura, estos son los intervalos y .
Los valores de la función son negativos. donde . Tenemos este intervalo (o intervalo) de a.
Los conceptos más importantes - funciones crecientes y decrecientes en algún conjunto. Como conjunto, puedes tomar un segmento, un intervalo, una unión de intervalos o la recta numérica completa.
Función aumenta
En otras palabras, cuanto más, más, es decir, la gráfica va hacia la derecha y hacia arriba.
Función decreciente sobre el conjunto si para alguno y perteneciente al conjunto la desigualdad implica la desigualdad .
Para una función decreciente, un valor mayor corresponde a un valor menor. El gráfico va hacia la derecha y hacia abajo.
En nuestra figura, la función crece en el intervalo y decrece en los intervalos y .
Definamos que es puntos máximos y mínimos de la función.
Punto máximo- este es un punto interno del dominio de definición, tal que el valor de la función en él es mayor que en todos los puntos suficientemente cercanos a él.
En otras palabras, el punto máximo es tal punto, el valor de la función en la que más que en los vecinos. Esta es una "colina" local en el gráfico.
En nuestra figura - el punto máximo.
Punto bajo- un punto interno del dominio de definición, tal que el valor de la función en él es menor que en todos los puntos suficientemente próximos a él.
Es decir, el punto mínimo es tal que el valor de la función en él es menor que en los vecinos. En el gráfico, este es un "agujero" local.
En nuestra figura - el punto mínimo.
El punto es el límite. No es un punto interior del dominio de definición y por lo tanto no se ajusta a la definición de punto máximo. Después de todo, ella no tiene vecinos a la izquierda. De la misma manera, no puede haber un punto mínimo en nuestro gráfico.
Los puntos máximo y mínimo se denominan colectivamente puntos extremos de la función. En nuestro caso, esto es y .
Pero, ¿qué sucede si necesita encontrar, por ejemplo, función mínima en el corte? En este caso, la respuesta es: porque función mínima es su valor en el punto mínimo.
De manera similar, el máximo de nuestra función es . Se alcanza en el punto .
Podemos decir que los extremos de la función son iguales a y .
A veces, en las tareas que necesita para encontrar los valores mayor y menor de la función en un segmento dado. No necesariamente coinciden con los extremos.
En nuestro caso valor de función más pequeño en el intervalo es igual y coincide con el mínimo de la función. Pero su mayor valor en este segmento es igual a . Se alcanza en el extremo izquierdo del segmento.
En cualquier caso, los valores más grandes y más pequeños de una función continua en un segmento se obtienen en los puntos extremos o en los extremos del segmento.
A veces, en los problemas B15 hay funciones "malas" para las que es difícil encontrar la derivada. Anteriormente, esto era solo en las pruebas, pero ahora estas tareas son tan comunes que ya no se pueden ignorar al prepararse para este examen.
En este caso, funcionan otros trucos, uno de los cuales es: monótono.
La función f (x) se llama monótonamente creciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:
x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).
La función f (x) se llama monótonamente decreciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:
x1< x 2 ⇒ f (x1) > f ( x2).
En otras palabras, para una función creciente, cuanto mayor es x, mayor es f(x). Para una función decreciente, lo contrario es cierto: cuanto más x, más menor f(x).
Por ejemplo, el logaritmo crece monótonamente si la base a > 1 y decrece monótonamente si 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
La raíz cuadrada aritmética (y no solo cuadrada) aumenta monótonamente en todo el dominio de definición:
La función exponencial se comporta de manera similar al logaritmo: crece para a > 1 y decrece para 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Finalmente, grados con exponente negativo. Puedes escribirlos como una fracción. Tienen un punto de quiebre donde se rompe la monotonía.
Todas estas funciones nunca se encuentran en su forma pura. Se les agregan polinomios, fracciones y otras tonterías, por lo que se vuelve difícil calcular la derivada. Lo que sucede en este caso, ahora lo analizaremos.
Coordenadas del vértice de la parábola
Muy a menudo, el argumento de la función se reemplaza con trinomio cuadrado de la forma y = ax 2 + bx + c . Su gráfica es una parábola estándar, en la que nos interesa:
- Ramas de parábola: pueden subir (para a > 0) o bajar (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- El vértice de la parábola es el punto extremo de una función cuadrática, en el cual esta función toma su menor (para a > 0) o su mayor (a< 0) значение.
De mayor interés es parte superior de una parábola, cuya abscisa se calcula mediante la fórmula:
Entonces, hemos encontrado el punto extremo de la función cuadrática. Pero si la función original es monótona, para ella el punto x 0 será también un punto extremo. Por lo tanto, formulamos la regla clave:
Los puntos extremos del trinomio cuadrado y la función compleja en la que entra coinciden. Por lo tanto, puedes buscar x 0 para un trinomio cuadrado y olvidarte de la función.
Del razonamiento anterior, no queda claro qué tipo de punto obtenemos: un máximo o un mínimo. Sin embargo, las tareas están diseñadas específicamente para que no importe. Juzga por ti mismo:
- No hay ningún segmento en la condición del problema. Por lo tanto, no es necesario calcular f(a) y f(b). Queda por considerar sólo los puntos extremos;
- Pero solo hay uno de esos puntos: esta es la parte superior de la parábola x 0, cuyas coordenadas se calculan literalmente de forma oral y sin derivadas.
Así, la solución del problema se simplifica enormemente y se reduce a tan solo dos pasos:
- Escribe la ecuación de la parábola y = ax 2 + bx + c y encuentra su vértice usando la fórmula: x 0 = −b /2a;
- Encuentra el valor de la función original en este punto: f (x 0). Si no hay condiciones adicionales, esta será la respuesta.
A primera vista, este algoritmo y su justificación pueden parecer complicados. Deliberadamente no publico un esquema de solución "desnudo", ya que la aplicación irreflexiva de tales reglas está plagada de errores.
Considere las tareas reales del examen de prueba en matemáticas: aquí es donde esta técnica es más común. Al mismo tiempo, nos aseguraremos de que de esta manera muchos problemas de B15 se vuelvan casi verbales.
Debajo de la raíz hay una función cuadrática y \u003d x 2 + 6x + 13. El gráfico de esta función es una parábola con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente a \u003d 1\u003e 0.
Parte superior de la parábola:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3
Dado que las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, en el punto x 0 \u003d −3, la función y \u003d x 2 + 6x + 13 toma el valor más pequeño.
La raíz es monótonamente creciente, por lo que x 0 es el punto mínimo de toda la función. Tenemos:
Tarea. Encuentre el valor más pequeño de la función:
y = registro 2 (x 2 + 2x + 9)
Debajo del logaritmo hay nuevamente una función cuadrática: y \u003d x 2 + 2x + 9. El gráfico es una parábola con ramas hacia arriba, porque a = 1 > 0.
Parte superior de la parábola:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
Entonces, en el punto x 0 = −1, la función cuadrática toma el valor más pequeño. Pero la función y = log 2 x es monótona, entonces:
y mín = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
El exponente es una función cuadrática y = 1 − 4x − x 2 . Reescribámoslo en forma normal: y = −x 2 − 4x + 1.
Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola, se ramifica hacia abajo (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2
La función original es exponencial, es monótona, por lo que el mayor valor estará en el punto encontrado x 0 = −2:
Un lector atento seguramente notará que no escribimos el área de valores permisibles de la raíz y el logaritmo. Pero esto no era obligatorio: dentro hay funciones cuyos valores son siempre positivos.
Consecuencias del alcance de una función
A veces, para resolver el problema B15, no basta con encontrar el vértice de la parábola. El valor deseado puede estar al final del segmento, pero no en el punto extremo. Si la tarea no especifica un segmento en absoluto, mire rango de tolerancia función original. A saber:
Presta atención de nuevo: el cero bien puede estar debajo de la raíz, pero nunca en el logaritmo o denominador de una fracción. Veamos cómo funciona con ejemplos específicos:
Tarea. Encuentre el mayor valor de la función:
Debajo de la raíz hay nuevamente una función cuadrática: y \u003d 3 - 2x - x 2. Su gráfica es una parábola, pero se ramifica hacia abajo ya que a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Escribimos el área de valores permisibles (ODZ):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; uno]
Ahora encuentra el vértice de la parábola:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1
El punto x 0 = −1 pertenece al segmento ODZ, y esto es bueno. Ahora consideramos el valor de la función en el punto x 0, así como en los extremos de la ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Entonces, obtuvimos los números 2 y 0. Se nos pide que encontremos el más grande: este es el número 2.
Tarea. Encuentre el valor más pequeño de la función:
y = registro 0,5 (6x - x 2 - 5)
Dentro del logaritmo hay una función cuadrática y \u003d 6x - x 2 - 5. Esta es una parábola con ramas hacia abajo, pero no puede haber números negativos en el logaritmo, por lo que escribimos la ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Tenga en cuenta: la desigualdad es estricta, por lo que los extremos no pertenecen a la ODZ. De esta forma, el logaritmo se diferencia de la raíz, donde los extremos del segmento nos vienen bastante bien.
Buscando el vértice de la parábola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3
La parte superior de la parábola se ajusta a lo largo de la ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Pero como los extremos del segmento no nos interesan, consideramos el valor de la función solo en el punto x 0:
y mín = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
\(\blacktriangleright\) Para encontrar el valor mayor/menor de una función en el segmento \(\) , es necesario representar esquemáticamente la gráfica de la función en este segmento.
En los problemas de este subtema, esto se puede hacer usando la derivada: encuentre los intervalos de aumento (\(f">0\) ) y disminución (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) No olvides que la función puede tomar el valor máximo/menor no solo en los puntos internos del segmento \(\) , sino también en sus extremos.
\(\blacktriangleright\) El valor mayor/menor de la función es el valor de la coordenada \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) La derivada de una función compleja \(f(t(x))\) se busca de acuerdo con la regla: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(matriz)(|r|c|c|) \hlínea & \text(Función) f(x) & \text(Derivada) f"(x)\\ \hlínea \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hlínea \end(matriz) \quad \quad \quad \quad \begin(matriz)(|r|c|c|) \hline & \text(Función ) f(x) & \text(Derivada ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(matriz)\]
Tarea 1 #2357
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el valor más pequeño de la función \(y = e^(x^2 - 4)\) en el intervalo \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) - arbitrario.
1) \
\ Entonces \(y" = 0\) cuando \(x = 0\) .
3) Busquemos intervalos de signo constante \(y"\) en el segmento considerado \([-10; -2]\) :
4) Bosquejo de la gráfica sobre el segmento \([-10; -2]\) :
Por lo tanto, la función alcanza su valor más pequeño en \([-10; -2]\) en \(x = -2\) .
\ Total: \(1\) es el valor más pequeño de la función \(y\) en \([-10; -2]\) .
Respuesta 1
Tarea 2 #2355
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) en el segmento \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) - arbitrario.
1) \
Encontremos los puntos críticos (es decir, los puntos internos del dominio de la función, en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] La derivada existe para cualquier \(x\) .
2) Encuentra los intervalos de signo constante \(y"\) :
3) Busquemos intervalos de signo constante \(y"\) en el segmento considerado \([-1; 1]\) :
4) Bosquejo de la gráfica sobre el segmento \([-1; 1]\) :
Así, la función alcanza su valor máximo en \([-1; 1]\) en \(x = -1\) o en \(x = 1\) . Comparemos los valores de la función en estos puntos.
\ Total: \(2\) es el mayor valor de la función \(y\) en \([-1; 1]\) .
Respuesta: 2
Tarea 3 #2356
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el valor más pequeño de la función \(y = \cos 2x\) en el intervalo \(\) .
ODZ: \(x\) - arbitrario.
1) \
Encontremos los puntos críticos (es decir, los puntos internos del dominio de la función, en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] La derivada existe para cualquier \(x\) .
2) Encuentra los intervalos de signo constante \(y"\) :
(aquí hay una infinidad de intervalos en los que se alternan los signos de la derivada).
3) Busquemos intervalos de constancia \(y"\) en el segmento considerado \(\) :
4) Bosquejo de la gráfica sobre el segmento \(\) :
Por lo tanto, la función alcanza su valor más pequeño en \(\) en \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Total: \(-1\) es el valor más pequeño de la función \(y\) en \(\) .
Respuesta 1
Tarea 4 #915
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el mayor valor de una función
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Decidamos sobre ODZ:
1) Denote \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , luego \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Encontremos los puntos críticos (es decir, los puntos internos del dominio de la función, en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– en la ODZ, de donde encontramos la raíz \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . La derivada de la función \(y\) no existe para \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , pero esta ecuación tiene un discriminante negativo, por lo tanto, no tiene soluciones. Para encontrar el valor más grande / más pequeño de una función, debe comprender cómo se ve esquemáticamente su gráfico.
2) Encuentra los intervalos de signo constante \(y"\) :
3) Bosquejo gráfico:
Por lo tanto, la función alcanza su valor máximo en \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),
Total: \(0\) es el mayor valor de la función \(y\) .
Respuesta: 0
Tarea 5 #2344
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el valor más pequeño de una función.
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Decidamos sobre ODZ:
1) Denota \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , luego \(y(t)=\log_(3)t\) .
Encontremos los puntos críticos (es decir, los puntos internos del dominio de la función, en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]- en la ODZ, desde donde encontramos la raíz \ (x \u003d -4 \) . La derivada de la función \(y\) no existe para \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , pero esta ecuación tiene un discriminante negativo, por lo tanto, no tiene soluciones. Para encontrar el valor más grande / más pequeño de una función, debe comprender cómo se ve esquemáticamente su gráfico.
2) Encuentra los intervalos de signo constante \(y"\) :
3) Bosquejo gráfico:
Así, \(x = -4\) es el punto mínimo de la función \(y\) y en ella se alcanza el valor más pequeño:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Total: \(1\) es el valor más pequeño de la función \(y\) .
Respuesta 1
Tarea 6 #917
Nivel de tarea: más difícil que el examen
Encuentra el mayor valor de una función
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Desde un punto de vista práctico, lo más interesante es el uso de la derivada para encontrar el valor mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de los equipos... En otras palabras, en muchos ámbitos de la vida hay que resolver el problema de optimizar algunos parámetros. Y este es el problema de encontrar los valores mayor y menor de la función.
Cabe señalar que el valor mayor y menor de una función generalmente se busca en algún intervalo X, que es todo el dominio de la función o parte del dominio. El intervalo X en sí mismo puede ser un segmento de línea, un intervalo abierto 
, un intervalo infinito .
En este artículo, hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función explícitamente dada de una variable y=f(x) .
Navegación de página.
El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.
Detengámonos brevemente en las principales definiciones.
El mayor valor de la función. 
, que para cualquier 
la desigualdad es verdadera.
El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor 
, que para cualquier la desigualdad es verdadera.
Estas definiciones son intuitivas: el valor mayor (menor) de una función es el valor mayor (menor) aceptado en el intervalo considerado con la abscisa.
Puntos estacionarios son los valores del argumento en los que se anula la derivada de la función.
¿Por qué necesitamos puntos estacionarios al encontrar los valores más grandes y más pequeños? La respuesta a esta pregunta viene dada por el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función derivable tiene un extremo (mínimo local o máximo local) en algún punto, entonces ese punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor máximo (menor) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.
Además, una función a menudo puede tomar los valores más grandes y más pequeños en los puntos donde la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.
Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Siempre es posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores infinitamente grandes e infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.
Para mayor claridad, damos una ilustración gráfica. Mire las imágenes, y mucho se aclarará.
en el segmento
En la primera figura, la función toma los valores mayor (max y ) y menor (min y ) en puntos estacionarios dentro del segmento [-6;6] .
Considere el caso que se muestra en la segunda figura. Cambia el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en un punto estacionario y el más grande, en un punto con una abscisa que corresponde al límite derecho del intervalo.
En la figura No. 3, los puntos límite del segmento [-3; 2] son las abscisas de los puntos correspondientes al mayor y menor valor de la función.
en el campo abierto
En la cuarta figura, la función toma los valores mayor (max y ) y menor (min y ) en puntos estacionarios dentro del intervalo abierto (-6;6).
En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.
en el infinito
En el ejemplo que se muestra en la séptima figura, la función toma el valor más grande (max y ) en un punto estacionario con la abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y ) se alcanza en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a y=3.
En el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. Como x=2 tiende a la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la recta x=2 es una asíntota vertical), y como la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función tienden asintóticamente a y=3 . En la Figura 8 se muestra una ilustración gráfica de este ejemplo.
Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua sobre el segmento.
Escribimos un algoritmo que nos permite encontrar el valor más grande y más pequeño de una función en un segmento.
- Encontramos el dominio de la función y verificamos si contiene el segmento completo.
- Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (por lo general, tales puntos ocurren en funciones con un argumento bajo el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionario-racional). Si no hay tales puntos, entonces vaya al siguiente punto.
- Determinamos todos los puntos estacionarios que caen en el segmento. Para ello, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y elegimos raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, vaya al siguiente paso.
- Calculamos los valores de la función en los puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en los puntos donde no existe la primera derivada (si los hay), y también en x=a y x=b.
- De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el más grande y el más pequeño; serán los valores más grandes y más pequeños deseados de la función, respectivamente.
Analicemos el algoritmo al resolver un ejemplo para encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función en un segmento.
Ejemplo.
Encuentra el valor mayor y menor de una función
- en el segmento;
- en el intervalo [-4;-1] .
Decisión.
El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales, excepto el cero, es decir, . Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.
Encontramos la derivada de la función con respecto a: 
Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1] .
Los puntos estacionarios se determinan a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.
Para el primer caso, calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en un punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4: 
Por lo tanto, el mayor valor de la función 
se alcanza en x=1, y el valor más pequeño 
– en x=2 .
Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene ningún punto estacionario): 
Decisión.
Comencemos con el alcance de la función. El trinomio cuadrado en el denominador de una fracción no debe desaparecer: 
Es fácil comprobar que todos los intervalos de la condición del problema pertenecen al dominio de la función.
Diferenciamos la función: 
Obviamente, la derivada existe en todo el dominio de la función.
Encontremos puntos estacionarios. La derivada se anula en . Este punto estacionario cae dentro de los intervalos (-3;1] y (-3;2) .
Y ahora puedes comparar los resultados obtenidos en cada punto con la gráfica de la función. Las líneas punteadas azules indican las asíntotas.
Esto puede terminar con encontrar el valor más grande y más pequeño de la función. Los algoritmos discutidos en este artículo le permiten obtener resultados con un mínimo de acciones. Sin embargo, puede ser útil determinar primero los intervalos de aumento y disminución de la función y solo después sacar conclusiones sobre el valor más grande y más pequeño de la función en cualquier intervalo. Esto da una imagen más clara y una justificación rigurosa de los resultados.
